1 Lời nói đầu Ph-ơng trình và hàm số bậc ba trong ch-ơng trình phổ thông chỉ xét d-ới góc độ giải tích, nh- tìm nghiệm, khảo sát hàm số, tìm cực trị, Tuy nhiên, ít ai quan tâm đến việc có hay không mối kiên hệ giữa ph-ơng trình bậc ba với các yếu tố trong hình học và l-ợng giác. Dựa trên nhận xét, một tam giác hoàn toàn đ-ợc xác định bởi ba yếu tố độc lập (chẳng hạn ba cạnh của tam giác), ba yếu tố này có thể đ-ợc coi là ba nghiệm của một ph-ơng trình bậc ba t-ơng ứng. Khóa luận sẽ xoay quanh vấn đề xây dựng ph-ơng trình bậc ba, từ đó khai thác các tính chất của ph-ơng trình bậc ba để chứng minh các hệ thức trong hình học và l-ợng giác. Khóa luận đ-ợc chia làm ba ch-ơng, lời mở đầu và kết luận. 1. Ch-ơng 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức để làm rõ ch-ơng 2 và ch-ơng 3. 2. Ch-ơng 2. Ph-ơng trình bậc ba và các tính chất nghiệm. Trình bày công thức nghiệm và tính chất nghiệm của ph-ơng trình bậc ba . 3. Ch-ơng 3. Xây dựng ph-ơng trình bậc ba với nghiệm là các yếu tố hình học và l-ợng giác Ch-ơng này là kết quả chính của khóa luận gồm việc xây dựng ph-ơng trình bậc ba với nghiệm là các yếu tố hình học và l-ợng giác, từ đó sáng tạo ra nhiều hệ thức mới, cũng nh- ứng dụng vào việc giải các bài toán phức tạp mà cách giải sẽ gọn gàng và logic hơn nhiều so với các cách giải thông th-ờng. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nh-ng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót vì trong một thời gian t-ơng đối ngắn, với những hạn chế nhất Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 2 định về mặc kiến thức cũng nh- kinh nghiệm về mặc thực tiễn. Rất mong quý thầy cô cùng các bạn sinh viên đóng góp ý kiến. Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn Th.S Phan Thị Quản, ng-ời đã tận tình chỉ bảo, h-ớng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này. Em cũng xin cảm ơn các các thầy cô giáo trong khoa toán đã truyền thụ kiến thức và giúp đỡ em trong suốt bốn năm học tập, tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này. Đà Nẵng, ngày 10 tháng 6 năm 2008 SVTH Nguyễn Thành Hiển Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 3 Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định lý cơ bản Định lý 1.1. (Về hệ thức l-ợng trong tam giác th-ờng) Gọi c 1 = AH và a 1 = CH là hình chiếu của các cạnh AB = c và BC = a trên cạnh AC = b. Khi đó 1. Nếu góc A nhọn thì a 2 = b 2 + c 2 2bc 1 . 2. Nếu góc A tù thì a 2 = b 2 + c 2 2bc 1 Định lý 1.2. (Định lý Stewart) Nếu đ-ờng thẳng AD = d thuộc tam giác ABC chia cạnh BC thành những đoạn BD = m và CD = n thì d 2 a = b 2 m + c 2 n amn. Hệ quả 1.1.1. Đ-ờng trung tuyến của tam giác ứng góc A đ-ợc tính theo công thức m a = 2(b 2 + c 2 ) a 2 2 . Hệ quả 1.1.2. Phân giác của góc A đ-ợc tính theo công thức l a = 2 bc.p.(p a) b + c . Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 4 Hệ quả 1.1.3. Khoảng cách từ trọng tâm G đến tâm vòng tròn ngoại tiếp O đ-ợc tính theo công thức OG = 1 3 9R 2 (a 2 + b 2 + c 2 ). Hệ quả 1.1.4. Khoảng cách từ trực tâm H đến tâm vòng tròn nội tiếpI đ-ợc tính theo công thức HI 2 =4R 2 a 3 + b 3 + c 3 + abc a + b + c Hệ quả 1.1.5. Khoảng cách từ trọng tâm G đến tâm I của đ-ờng tròn nội tiếp đ-ợc tính theo công thức IG = 1 3 9r 2 3p 2 +2(a 2 + b 2 + c 2 ). Hệ quả 1.1.6. Khoảng cách từ tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp O đến tâm đ-ờng tròn nội tiếp I đ-ợc tính theo công thức OI 2 = R 2 abc a + b + c . Định lý 1.3. (Định lý hàm số sin)Trong tam giác ABC ta luôn có a sin A = b sin B = c sin C =2R. Định lý 1.4. (Định lý hàm số cosin)Trong tam giác ABC ta luôn có a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. b 2 = c 2 + a 2 2ca cos B. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C. Định lý 1.5. (Định lý hàm số tang)Trong tam giác ABC ta luôn có a b a + b = tg A B 2 tg A + B 2 = tg A B 2 .tg C 2 . Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 5 1.2 Các công thức tính diện tích Diện tích của tam giác ABC đ-ợc tính theo các công thức sau S = 1 2 .a.h a = 1 2 .b.h b = 1 2 .c.h c = 1 2 bc. sin A = 1 2 ca. sin B = 1 2 ab. sin C = abc 4R = p.(p a).(p b).(p c) = r a .(p a)=r b .(p b)=r c .(p c) = r.r a .r b .r c = a.r b .r c r b + r c . 1.3 Bán kính đ-ờng tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác Đ-ờng tròn nội tiếp, bàng tiếp của tam giác đ-ợc tính theo các công thức sau r =(p a).tg A 2 =(p b).tg B 2 =(p c)tg C 2 r a = p.tg A 2 = S p a = p.(p b).(p c) p a . 1.4 Các bất đẳng thức đại số quan trọng Định lý 1.6. (Bất đẳng thức CauChy) Với mỗi số thực d-ơng a 1 ,a 2 , ,a n ta có bất đẳng thức a 1 + a 2 + + a n n n a 1 .a 2 a n . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n Hệ quả 1.4.1. (Bất dẳng thức CauChy suy rộng) Với các số thức d-ơng a 1 ,a 2 , ,a n và x 1 ,x 2 , ,x n là các số thực không âm có tổng bằng 1, ta có a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n a x 1 1 .a x 2 2 a x n n . Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 6 Định lý 1.7. (Bất đẳng thứcBunhiacopxkii) Với hai dãy số thực tùy ý a 1 ,a 2 , ,a n và b 1 ,b 2 , b n ta có luôn bất đẳng thức (a 2 1 + a 2 2 + + a 2 n ).(b 2 1 + b 2 2 + + b 2 n ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a 1 ,a 2 , ,a n ) và (b 1 ,b 2 , ,b n ) là hai bộ tỷ lệ . Hệ quả 1.4.2. Với hai dãy số thực a 1 ,a 2 , ,a n và b 1 ,b 2 , b n , b i 0 i = 1,n,tacó a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 + + a 2 n b n (a 1 + a 2 + + a n ) 2 b 1 + b 2 + + b n . Bất đẳng thức trên th-ờng đ-ợc gọi là bất đẳng thức Schwarz. Hệ quả 1.4.3. Với hai dãy số thực a 1 ,a 2 , ,a n và b 1 ,b 2 , b n , ta có a 2 1 + b 2 1 + + a 2 n + b 2 n (a 1 + a 2 + + a n ) 2 +(b 1 + b 2 + + b n ) 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a 1 ,a 2 , ,a n ) và (b 1 ,b 2 , ,b n ) là hai bộ tỷ lệ . Định lý 1.8. (Bất đẳng thứcHolder) Với m dãy số d-ơng (a 1,1 ,a 1,2 , ,a 1,n ), ,(a m,1 ,a m,2 , ,a m,n ) ta có m i=1 n j=1 a i,j n j=1 . m m i=1 a i,j m . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m dãy đó t-ơng ứng tỷ lệ. Bất đẳng thức Bunhiacopxkii là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Holder với m =2. Hệ quả 1.4.4. Với a, b, c, x, y , z, m, n, p là các số thực d-ơng, ta có (a 3 + b 3 + c 3 )(x 3 + y 3 + z 3 )(m 3 + n 3 + p 3 ) (axm + byn + czp) 3 Hệ quả 1.4.5. Với dãy số d-ơng a 1 ,a 2 , ,a n ,tacó (1 + a 1 ).(1 + a 2 ) (1 + a n ) (1 + n a 1 .a 2 a n ) n . Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 7 1.5 Định lý cơ bản của đa thức đối xứng Định nghĩa 1.1. Một đa thức P (x 1 ,x 2 , ,x n ) của những biến x 1 ,x 2 , ,x n , gọi là đối xứng, nếu nó không thay đổi khi ta chuyển đổi những biến giữa chúng bằng mọi cách có thể. Đa thức đối xứng sơ cấp của những biến x 1 ,x 2 , ,x n gồm 1 = x 1 + x 2 + + x n 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + + x n1 x n 3 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + + x n2 x n1 x n n = x 1 x 2 x n Định lý 1.9. (Định lý cơ bản của đa thức đối xứng) Giả sử P (x 1 ,x 2 , ,x n là đa thức đối xứng của các biến x 1 ,x 2 , ,x n . Khi đó, tồn tại một đa thức ( 1 , 2 , , n ) sao cho nếu trong nó ta thay 1 , 2 , , n bằng những đa thức đối xứng sơ cấp t-ơng ứng , thì sẽ nhận đ-ợc P (x 1 ,x 2 , ,x n ). Chứng minh.[5] trang 195-196. Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 8 Ch-ơng 2 Ph-ơng trình bậc ba và các tính chất nghiệm 2.1 Công thức Cardano. Ph-ơng trình bậc ba dạng tổng quát a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 =0. (a 1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 R,a 1 =0)(*) Ph-ơng trình (*) luôn luôn đ-a về ph-ơng trình bậc ba dạng x 3 + ax 2 + bx + c =0. (2.1) với a = b 1 a 1 b = c 1 a 1 c = b 1 a 1 Bằng cách đặt x = y a 3 thì (2.1) trở thành y 3 + py + q =0. (2.2) với p = b a 2 3 và q = 2.a 3 27 ab 3 + c Nghiệm của ph-ơng trình (2.2) y = 3 q 2 + q 2 4 + p 3 27 + 3 q 2 q 2 4 + p 3 27 Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 9 đ-ợc gọi là công thức Cardano. Gọi z 1 ,z 2 lần l-ợt là z 1 = 3 q 2 + q 2 4 + p 3 27 z 2 = 3 q 2 q 2 4 + p 3 27 Khi đó y 1 = z 1 + z 2 y 2 = z 1 + z 2 2 y 3 = z 1 2 + z 2 . với = 1 2 + i. 3 2 là 1 căn bậc ba của đơn vị. 2.2 Tính chất nghiệm của ph-ơng trình bậc ba Định lý 2.1. (Định lý Vieta về nghiệm của ph-ơng trình bậc ba ) Ph-ơng trình bậc ba x 3 + ax 2 + bx + c =0 (2.3) có ba nghiệm ( kể cả nghiệm phức) x 1 ,x 2 ,x 3 , có các tính chất sau đây Tính chất 2.2.1. T 1 = x 1 + x 2 + x 3 = a. Tính chất 2.2.2. T 2 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = b Tính chất 2.2.3. T 3 = x 1 x 2 x 3 = c Chứng minh. Vì x 1 ,x 2 ,x 3 là ba nghiệm của (2.3) nên x 3 + ax 2 + bx + c =(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) Phân tích vế trái rồi sử dụng đồng nhất thức, ta đ-ợc điều phải chứng minh . Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT 10 NhËn xÐt 1. NÕu x 1 ,x 2 ,x 3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× 1 x 1 , 1 x 2 , 1 x 3 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba t 3 + b c t 2 + a c t + 1 c =0. NhËn xÐt 2. NÕu x 1 ,x 2 ,x 3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× x 2 1 ,x 2 2 ,x 2 3 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba x 3 −  a 2 − 2b  .x 2 +  b 2 − 2ac  .x − c 2 =0. NhËn xÐt 3. NÕu x 1 ,x 2 ,x 3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× (x 1 + x 2 ) , (x 1 + x 3 ) , (x 2 + x 3 ) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba x 3 +2.a.x 2 +  a 2 + b  .x +(ab − c)=0 NhËn xÐt 4. NÕu x 1 ,x 2 ,x 3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× (x 1 x 2 + x 2 x 3 ) , (x 2 x 3 + x 1 x 3 ) , (x 1 x 3 + x 2 x 3 ) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba x 3 − 2bx 2 +  b 2 + ac  .x +  c 2 − abc  =0 TÝnh chÊt 2.2.4. T 4 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = a 2 − 2.b Chøng minh. Tõ (2.2.1) vµ (2.2.2) ta cã : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 =(x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2. (x 1 .x 2 + x 2 .x 3 + x 3 .x 1 )=a 2 − 2.b TÝnh chÊt 2.2.5. T 5 =(x 1 + x 2 ) . (x 2 + x 3 ) . (x 3 + x 1 )=−ab + c Chøng minh. Ta cã (x 1 + x 2 ) . (x 2 + x 3 ) . (x 3 + x 1 )=(x 1 + x 2 + x 3 ) . (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 ) − x 1 x 2 x 3 = −ab + c. TÝnh chÊt 2.2.6. T 6 = x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 = −a 3 +3.ab − 3c Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT [...]... đ-a ra một tính chất về nghiệm của ph-ơng trình bậc ba chỉ là vấn đề tìm các đa thức đối xứng Từ nhận xét trên, ta suy ra một số tính chất sau Tính chất 2.2.12 T13 = 1 1 1 a + + = x1 x2 x2 x3 x3 x1 c Tính chất 2.2.13 T14 1 1 1 a2 + b = + + = x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1 ab + c Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT - 13 - Tính chất 2.2.14 T15 1 1 1 b2 2ac = 2+ 2+ 2 = x1 x2 x3 c2 Tính chất. .. truyền thống, sau đây xin trình bày cách giải theo ph-ơng pháp mới nh- sau a./ áp dụng tính chất 2.2.3 cho ph-ơng trình bậc ba (3.26) và ví dụ 3.3, ta có sin b./ B C r 1 A sin sin = 2 2 2 4R 8 áp dụng tính chất 2.2.1 cho ph-ơng trình bậc ba (3.27) và ví dụ 3.3, ta có 4R + 4R + r A B C + cos2 + cos2 = cos 2 2 2 2R 2R 2 c./ R 2 9 = 4 áp dụng tính chất 2.2.1 cho ph-ơng trình bậc ba (3.30), ta có tg Khóa... từ các tính chất nghiệm của ph-ơng trình bậc bậc ba nêu trong ch-ơng 2, ta sẽ thiết lập đ-ợc nhiều công thức quan trọng 3.1 Xây dựng ph-ơng trình bậc ba với nghiệm là các yếu tố hình học 3.1.1 Ph-ơng trình bậc ba của a, b, c Định lý 3.1 Các cạnh a, b, c của tam giác là nghiệm của ph-ơng trình x3 2.p.x2 + p2 + r 2 + 4.R.r x 4pRr = 0 (3.1) Trong đó p, R, r lần l-ợt là chu vi , bán kính đ-ờng trình ngoại... tồn tại x1 và x2 thì = b2 4a1 (c1 a1x1 x2 ) 0 hay 1 4a1 c1 b2 1 x1 x2 2 a1 Hệ quả 2.2.3 Nếu ph-ơng trình bậc ba( 2.4) có ba nghiệm thực thì 4a1 c1 b2 1 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 3 2 a1 Hệ quả 2.2.4 Nếu ph-ơng trình bậc ba x3 + ax2 + b.x + c = 0 có ba nghiệm thực thì x1 x2 4b a2 và x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 3 4b a2 Định lý 2.3 (Định lý Sturm về nghiệm của ph-ơng trình bậc ba ) Ph-ơng trình x3 +... áp dụng tính chất 2.2.8 cho ph-ơng trình bậc ba (3.1), ta đ-ợc (10) Biến đổi 1 2M 3a2 2M 3b2 2M 3c2 64 1 = 8M 3 12M 2 a2 + b2 + c2 + 18M a2b2 + b2c2 + c2 a2 27a2 b2c2 64 1 3 = 4 a2 + b2 + c2 + 18 a2 + b2 + c2 a2 b2 + b2 c2 + c2a2 27.a2 b2c2 64 m2 m2.m2 = a b c áp dụng các tính chất 2.2.3, 2.2.4, 2.2.8 cho ph-ơng trình bậc ba (3.1), ta đ-ợc (11) 2 2 2 Định lý 3.4 (Ph-ơng trình bậc ba của... + a) (a + b)]2 áp dụng tính chất 2.2.3 cho ph-ơng trình bậc ba (3.1) và (3.4), ta đ-ợc (14) Biến đổi pa pb pc 2 + 2 + a (b + c) b (c + a) c (a + b)2 b+ca a+cb a+bc = 2p.abc 2 + 2 + a (b + c) b (c + a) c (a + b)2 1 1 1 1 1 1 = 2p.abc + + 2 + 2 + ab + ac bc + ba ca + cb (b + c) (c + a) (a + b)2 2 2 2 la + lb + lc = 4p.abc áp dụng tính chất 2.2.1 cho ph-ơng trình bậc ba (3.7) và (3.8), ta đ-ợc 2 p2... minh pa 1 1 1 , , là nghiệm của ph-ơng trình bậc ba ra rb rc 1 4R + r 1 x3 x2 + 2 x 2 = 0 r p r p r H-ớng dẫn Ta có :ra = biến đổi (3.10) theo X = p.r , thay x = pa (3.18) 1 p.r vào (3.10) và p a p.r p.r , ta đ-ợc điều phải chứng minh pa Nhận xét 7 Ta có thể thay a, b, c là ba nghiệm của (3.1) bởi ba nghiệm của một ph-ơng trình bậc ba khác vào định lý 3.2, và các kết quả đ-ợc suy ra t-ơng tự 3.1.2... 25 - Hay: 1 1 1 + + a b c 9 2.p áp dụng tính chất 2.2.1 cho ph-ơng trình bậc ba (3.2), ta đ-ợc p2 + r 2 + 4Rr 9 1 1 1 + + = a b c 4pRr 2.p 2 2 p + r 14Rr Từ ví dụ 3.3 và ví dụ 3.5 ta suy ra bất đẳng thức sau p 3 3.r (6) Ví dụ 3.6 Chứng minh rằng abc 52 2 p a2 + b2 + c2 + 2 < 2p2 27 p (7) Giải áp dụng tính chất 2.2.3 và 2.2.4, cho ph-ơng trình bậc ba (3.1), khi đó (7) t-ơng đ-ơng với 4pRr... 0 1 Thay x = G (Gx) vào (3.1), ta đ-ợc (3), thực hiện t-ơng tự suy ra (4) Nhận xét 6 Bằng việc thay biểu thức G(p, r, R) chứa ba biến p, r, R vào định lý 3.2, ta sẽ xây dựng đ-ợc hàng loạt ph-ơng trình bậc ba sau Hệ quả 3.1.8 (p a) , (p b) , (p c) là nghiệm của ph-ơng trình bậc ba x3 p.x2 + r 2 + 4Rr x p.r 2 = 0 Hệ quả 3.1.9 (3.9) 1 1 1 , , là nghiệm của ph-ơng trình bậc ba pa pb pc x3 Khóa... 4R2 R 4R2 3 (3.22) 3.2.2 Ph-ơng trình bậc ba của hàm cos Hệ quả 3.2.5 cos A, cos B, cos C là nghiệm của ph-ơng trình bậc ba R + r 2 p2 + r 2 4R2 (2R + r)2 p2 x + x x + = 0 (3.23) R 4R2 4R2 2R + r ra H-ớng dẫn Chứng minh cos A = , 2R suy ra ra = (2R + r) 2R cos A, áp dụng định lý 3.2 và ph-ơng trình 3 (3.17), ta đ-ợc (3.23) 1 1 1 , , là nghiệm của ph-ơng trình bậc ba cos A cos B cos C p2 + r 2 . trình bậc ba và các tính chất nghiệm. Trình bày công thức nghiệm và tính chất nghiệm của ph-ơng trình bậc ba . 3. Ch-ơng 3. Xây dựng ph-ơng trình bậc ba với nghiệm là các yếu tố hình học và l-ợng. 1 căn bậc ba của đơn vị. 2.2 Tính chất nghiệm của ph-ơng trình bậc ba Định lý 2.1. (Định lý Vieta về nghiệm của ph-ơng trình bậc ba ) Ph-ơng trình bậc ba x 3 + ax 2 + bx + c =0 (2.3) có ba nghiệm. thể đ-ợc coi là ba nghiệm của một ph-ơng trình bậc ba t-ơng ứng. Khóa luận sẽ xoay quanh vấn đề xây dựng ph-ơng trình bậc ba, từ đó khai thác các tính chất của ph-ơng trình bậc ba để chứng minh