Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử A / Lời nói đầu Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song lại dạng tốn khó học sinh bậc THCS Nội dung giới thiệu đầy đủ chương trình Đại Số coi nội dung nịng cốt chương trình Bởi vận dụng nhiều phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi biểu thức hữu tỉ, biến đổi biểu thức vơ tỉ, giải phương trình bậc cao Thực tế giảng dạy cho thấy, phương pháp giơí thiệu SGK roừ ràng, cụ thể Song việc em vận dụng nhiều lúng túng Đặc biệt học sinh giỏi nội dung kiến thức chưa đáp ứng nhu cầu học toán em Vậy Dạy - Học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử để đạt kết tốt nhất? Phù hợp cho học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng nhu cầu học tập học sinh giỏi Để đạt kết đó, ngồi phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt kiến thức cách nhuần nhuyễn Đó lý tơi đưa đề tài Cụ thể đề tài này, với phương pháp hay đặc biệt Tôi làm rõ: • Phương pháp giải • Bài tập tự luyện Với nội dung trình bày đề tài này, hy vọng đề tài không tài liệu hướng dẫn học sinh mà tài liệu tham khảo bổ ích cho cơng tác giảng dạy giáo viên trường THCS Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử B Nội dung Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp I/ Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp • Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có maởt tất caỷ hạng tử • Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử • Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) –3xy + x y – 5x y b) 2x(y – z) + 5y(z – y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y Bài làm a) 3xy + x y – 5x y = xy(- + xy – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x (x + y) – 10y (x + y) = 10(x + y) (x – y ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y) Bài tập tự luyện Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 12xy – 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z c) x(y – 2007) – 3y(2007 - y) d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 b) 2x (x – y) + 2x (y – x ) + 2x (z – x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp 2 2 2 2 2 2 2 2 3 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Sử dụng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản Những đẳng thức : (A + B) = A + 2AB + B (A - B) = A - 2AB + B A – B = (A + B)(A – B) (A + B) = A + 3A B + 3AB + B (A - B) = A - 3A B + 3AB - B A + B = (A + B)(A – AB + B ) A - B = (A - B)(A + AB + B ) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA A – B = (A – B)(A + A B + … + AB + B ) A – B = (A +B)(A - A B + … - B ) A +B = (A + B)(A – A B + A B - … +B ) n(n − 1) n(n − 1) (A + B) = A + n A B - 1.2 A B + … + 1.2 A B + nAB + B n(n − 1) (A - B) = A - n A B + 1.2 A B - … +(-1) B Ví dụ Phân tích đa thức tành nhân tử a) x + 6xy + 9y b) a – b c) (x – 3) - (2 – 3x) d) x – 3x + 3x - Bài Làm a) x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y ) b) a – b = (a ) – (b ) = (a + b ) (a – b ) = (a + b ) (a + b) (a – b) c) (x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- + 4x) d) x – 3x + 3x - = (x – 1) 2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử a) a + b + c – 3abc b) (a + b + c) – a – b – c 2 2 3 3 2 2 2 2 2 n −1 n 2k 2 n 3 2 k −1 2k K +1 n−2 n−2 2k −2 K +1 k −1 k −1 2k n n −1 n n −1 2k −2 n−2 2k 2 n−2 n −1 n n n −1 n 2 n n 2 4 2 2 4 n−2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài Làm a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca) b) (a + b + c) – a – b – c = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c = 3(a + b)(ab + bc + ac + c ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) Bài tập tự luyện Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x – 15) – 16 b) 25 – (3 – x) c) (7x – 4) – ( 2x + 1) d) 9(x + 1) – e) 9(x + 5) – (x – 7) f) 49(y- 4) – 9(y + 2) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 8x + 27y b) (x + 1) + (x – 2) c) – y + 6xy – 12x y + 8x d) 2004 - 16 III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp • Sử dụng tính chất giao hốn, kết hợp để nhóm hạng tử thích hợp vào nhóm • Áp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải tốn Ví dụ 2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x – 3xy + x – 3y b) 7x – 7xy – 4x + 4y c) x + 6x – y + d) x + y – z – 9t – 2xy + 6zt Bài Làm 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1) b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4) c)x + 6x – y + = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y = (x + + y)(x + – y) d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y ) – (z – 6zt + 9t ) = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz Bài Làm a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz = (x z + y z + 2xyz) + x y + xy + xz2 + yz = z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz = (x y + x z + xyz) + ( xy + y z + xyz) + (x z + yz + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) Bài Tập Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 3x – 9x – 27 b) x + 3x – 9x – c) x – 3x + 3x – – 8y BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) + z(x + y) – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp Vận dụng linh hoạt phương pháp biết thường tiến hành theo trình tự sau : - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 5x - 45x b) 3x y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bài làm a) 5x – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3) b) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) – (y + a) 2] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) Bài tập Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc b) 8x (x + z) – y (z + 2x) – z (2x - y) c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) – x – y - z Hướng dẫn (x + y + z ) – x – y - z =[(x + y + z) – x ] – (y + z ) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử Phương pháp Ta phân tích hạng tử thành tổng nhiều hạng tử thích hợp, để xuất nhóm số hạng mà ta phân tích thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + Bài làm 2 Cách 1: x – 6x + = (x – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2) (x – 4) Cách 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3) – = (x –3 + 1)(x – – 1) = (x – 2)(x – 4) Cách 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + – 6) = (x – 2)(x – 4) Cách 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + –6) = (x –4)(x – 2) Cách 5: x2 – 6x + = (x2 – 4x + 4) – 2x + = ( x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2)(x – – 2) = (x – 2)(x – 4) Bài tập Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + c) 3x2 – 7x – d) 10x2 – 29x + 10 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4x2 – 29x + 24 b) x + 6x2 + 11x + c) x2 – 7xy + 10y d) 4x2 – 3x – VI/ Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp 3 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ta thêm hay bớt hạng tử vào đa thức cho để làm xuất n nhóm số hạng mà ta phân tích thành nhân tử chung phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử x + 64 = x + 64 + 16x – 16x = (x + 8) – (4x) = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4y b) x + x + Bài làm a) x + 4y = x + 4y + 4x y – 4x y = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x + x + = (x + x + x ) – (x + x + x ) + (x + x + 1) = x (x + x + 1) – x (x + x + 1) + (x + x +1) = (x + x + 1)(x – x +1) Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + x + b) x + x + c) x + x + d) x + Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 5x + 3x – b) x + 9x + 11x – 21 c) x – 7x + Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x - 5x + 8x – b) x – 3x + c) x – 5x + 3x + d) x + 8x + 17x + 10 e) x + 3x + 6x + Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x – 2x – 4 4 2 2 2 4 5 4 3 8 8 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử b) 2x – 12x + 7x – c) x + x + d) x + 3x + 3x + e) x + 9x + 26x + 24 f) 2x – 3x + 3x + g) 3x – 14x + 4x + * MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phương pháp Một số toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cho có biểu thức xuất nhiều lần Ta đặt biểu thức biến Từ viết đa thức cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử a) 6x – 11x + b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bài Làm a) 6x – 11x + - Đặt x2 = y - Đa thức cho trở thành: 6y – 11y + = (3y – 1)(2y – 3) - Trả lại biến cũ: 6x – 11x + = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x )( x + ) b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 - Đặt x + 3x + = y ⇒ x – 3x – = y – - Đa thức cho trở thành y(y – 4) – = y – 4y – = (y + 1)(y + 5) - Trả lại biến cũ (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – = (x + 3x + + 1)(x + 3x + – 5) = (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 4 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 - Đặt x + 8x + = y ⇒ x + 8x + 15 = y + - Đa thức cho trở thành : y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Trả lại biến cũ (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + + 3) = (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Bài tập Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x + x) – 2(x + x) – 15 b) (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – c) (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x d) 3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + 2 2 2 2 2 VIII/ Phương Pháp hệ số bất định Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức bậc hệ số tương ứng chúng phải a x + a x + + a x + a x + a = b x + b x + + b x + b x+b ⇔ a = b ∀ i = 1; n Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Ví dụ 1: A = x + 11x + 30 Vì A đa thức bậc 3, hệ số cao Nên A phân tích A có dạng A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac ⇔ x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac Đồng hệ số, ta có n n n =1 n −1 2 n n n =1 n −1 2 i i 3 3 2 10 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a + b =  ab + c = 11 ac = 30  Chọn a = ⇒ c = 15; b = -2 Vậy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15) 2.2 Ví dụ 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1 Vì B đa thức bậc 4, hệ số cao nên B phân tích thành nhân tử B có dạng: B = (x + ax + b)(x + cx + d) ⇔B = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd Đồng hệ số, ta có: 2  a + c = −14  ac + b + d = 15    ad + bc = −14 bd =   a = −1 b =   c = −13 d =  ⇒  a = −13 b =    c = −1 d =  Do B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) B = (x – 13x + 1)(x – x + 1) Bài tập Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4x + 5x + b) 2x – 3x –7x + 6x + c) 5x + 9x – 2x – 4x – Bài 17: Tìm a, b, c a) x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c) b) x + 3x – x – = (x – 2)( x + bx + c) + a c) 4x + 7x + 7x – = (ax + b)(x + x +1) + c IX/ Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Khi biến có vai trị đa thức ta xét giá trị riêng Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z) – x – y – z Bài Làm Coi P đa thức biến x Khi x = -y P = ⇒ P  (x + y) 2 2 4 3 2 2 2 2 3 3 11 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trong P, vai trị x, y, z bình đẳng nên P  (x + z) P  (y + z) ⇒ P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P đa thức bậc biế x, y, z nên Q số Với x = ; y = z = 1, ta có Q = Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) Ví dụ 2: M = a(b + c)(b - c ) + b(c + a)(c - a ) + c(a + b)(a - b ) Bài Làm Coi M đa thức biến a Khi a = b M = ⇒M  (a - b) Trong M vai trị a, b, c bình đẳng nên : M  (b - c) M  (c - a) M = (a - b)(b –c)(c – a)N Vì M đa thức bậc biến a nên N đa thức bậc a Nhưng a,b,c có vai trị bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R số) ⇒ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chọn a = 0, b = 1, c = ⇒ R = Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bài tập Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) X Phương pháp tìm nghiệm đa thức Phương pháp Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) phải nghiệm đa thức 2 2 2 12 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự Ví dụ: x3 + 3x - Nếu đa thức có nghiệm a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) nhân tử cịn lại có dạng x2 + bx = c suy - ac = - suy a ước -4 Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ước hạng tư khơng đổi Ước (- 4) : -1; 1; -2; 2; - 4; sau kiểm tra ta thấy1 nghiệm đa thức suy đa thức chứa nhân tử (x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x – 1) * Cách 1: x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2 * Cách 2: x3 + 3x2 – = x 3– + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức chứa nhân tử (x – 1) + Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử (x + 1) Ví dụ : * Đa thức : x3 - 5x2 + 8x – có - + - = Suy đa thức có nghiệm hay đa thức có chứa thừa số (x – 1) *Đa thức : x3 – 5x2 + 3x + có (- 5) + = + Suy đa thức có nghiệm - hay đa thức chứa thừa số (x + 1) +Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm hữu tỷ 13 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử p Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q p ước hạng tử không đổi, q ước dương hạng tử cao Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – Nghiệm hữu tỷ Nếu có đa thức : (- 1); ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- Sau kiểm tra ta thấy x =1/2 nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1) 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x2 – 2x + 3) XI Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c Nếu b2 – 4ac bình phương số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phương pháp biết Nếu b2 – 4ac khơng bình phương số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp b) Ví dụ: 2x2 – 7x + Với a =2 , b =- , c = Xét b - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55 Suy Phân tích thành nhân tử : 2x2 - 7x + = ( x - 3)(2x - 1) Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c = có nghiệm x1 , x2 P(x) =a( x - x1)(x - x2) Phần 2: CÁC BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I) Bài toán rút gọn biểu thức Phương pháp +Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung +áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung 14 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ⇒ Học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức giúp phát triển tư suy luận lôgic, sáng tạo 2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức 3x − x + 5x − A = 2x − x − 4x + 3 x+3 B = x +1 − 2x −1 x − − x −1 x2 −1 Bài Làm A 3x − 3x − x + x + x − − x + x − x − 3x + 3 x ( x − 1) − x ( x − 1) + ( x − 1) = x ( x − 1) + x( x − 1) − 3( x − 1) A ( x − 1)(3 x − x + 1) ( x − 1)( x − 1)(3 x − 1) = ( x − 1)(2 x + x − 3) = ( x − 1)(2 x + 3)( x − 1) A ( x − 1) (3x − 1) x − = ( x − 1) (2 x + 3) = x + 3 a) A = x b) MTC = x2 - = (x + 1)(x - 1) ( x + 3)( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) − ( x − 3) B = ( x + 1)( x − 1) B = B = x + 2x − − 2x + x + − x + ( x + 1)( x − 1) 1− x = −1 ( x + 1)( x − 1) Bài tập Bài 19 Rút gọn biểu thức a (b − c ) + b (c − a ) + c ( a − b) A= ab − ac − b + bc 2 2 C x − x − 12 x + 45 = 3x − 19 x + 33x − x − y + z + xyz = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z − x) D x + y + z − 3xyz = ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) B Bài 20 Rút gọn biểu thức 1 1 A = x( x + y ) + y ( x + y ) + x( x − y ) + y ( y − x) 1 B = a(a − b)(a − c) + b(b − a)(b − c) + c(c − a)(c − b) 15 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 21 Cho x2 - 4x + = x + x +1 Tính giá trị biểu thức A= x II) Bài tốn giải phương trình bậc cao Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình tích AB = ⇔ A = B = Ví dụ: Giải phương trình * Ví dụ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = ⇔ x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = ⇔ x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = ⇔ (x- 5)(x2- 2x + 5) = 2 x − = ⇔  x − 2x + = x = ⇔  ( x − 1) + = 0(voly ) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {5} * Ví dụ 2: (2x2 + 3x - 1) - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = (1) Đặt: 2x + 3x - = t (*) ⇒ 2x + 3x + = t + Phương trình cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = ⇔ t2 - 5t + = ⇔ (t - 1)(t - 4) = ⇔ ⇔ t − = t − =  t = t =  + Thay t = vào (*), ta có: 2x2 + 3x - = ⇔ 2x + 3x - = ⇔ (2x + 4x) - x - = ⇔ 2x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (2x - 1) = 16 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  x = −2 x + =  2 x − = ⇔  x=   + Thay t = vào (*), ta có : 2x2 + 3x - = ⇔ 2x + 3x - = ⇔ (x - 1)( 2x +5) = ⇔ x = x −1 =  2 x + = ⇔  x=−   −5 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; ; 2` ; 1} * Ví Dụ 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1) ⇔ (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 ⇔ (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40 Đặt x2 + 6x + = t (*) ⇒ x2 + 6x + = t + Phương trình cho trở thành: t(t + 3) = 40 ⇔ t2 + 3t – 40 = ⇔ (t – 5)(t + 8) = ⇔ Thay t = vào (*), ta có: t = t = −8  x2 + 6x + = ⇔x2 + 6x = x = ⇔x(x + 6) = ⇔ x = -  x2 + 6x + = - ⇔ x2 + 6x + 13 = 25 27 ⇔x2 + 2x + + = Thay t = -8 vào (*), ta có: 27 ⇔ (x + )2 + = (Vơ lý) Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6} Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn 17 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử x + 3x + 4x + 3x + = (4) Ta thấy x = không nghiệm phương trình (4) ⇒ Chia hai vế (4) cho x ≠ 0, ta 1 x + 3x + + x + x = 2 ⇔ (x2 + x ) + 3(x + x Đặt x + ) x +4=0 = t (*) ⇒x + x =t –2 Phương trình cho trở thành : t + 3t + = ⇔ (t + 1)(t + 2) = 2 2 t = −1 ⇔ t = −2 Thay t = - vào (*), ta : x + x x = -1 ⇔ x + x + = (Vô nghiệm) Thay t = - vào (*), ta : x + = - ⇔ x + 2x + = ⇔ (x + 1) = ⇔ x = -1 Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ x – x + 3x + 3x – x + = (5) Có x = - nghiệm phương trình (5) Do (5) ⇔ (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + = (5’) Ta thấy x = không nghiệm (5’) Chia vế (5’) cho x ≠ 0, ta có: 1 1 x – 2x + - x + x = ⇔ (x + x ) – 2(x + x ) + = 3 2 2 2 2 Đặt (x + x ) = t (*) ⇒ (x + x ) = t – (5’) ⇔ t – 2t +3 = ⇔ (t – 1) + = ( vô nghiệm) 2 2 18 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bài tập: Bài 22: Giải phương trình a) 2x + 3x +6x +5 =0 b) x – 4x – 19x + 106x – 120 = c) 4x + 12x + 5x – 6x – 15 = d) x + 3x + 4x + = Bài 23: giải phương trình a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24 b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) (2x + 1)(x+ 1) (2x + 3) = 18 d) 12x + 7) (3x + 2)(2x + 1) = Bài 24: giải phương trình a) (x – 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = b) (x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = c) (x + 5x) – 2x – 10x = 24 Bài 25: giải phương trình a) x - 2x + 4x – 3x + = b) x – 3x + 4x – 3x + = c) 2x – 9x + 14x – 9x + = d) x + x + x + x +x + x + = Bài 26: giải phương trình: x + 2x + 3x + 3x + 2x + = 4 3 2 2 2 2 2 4 2 5 19 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử D Kết luận chung Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp với phương pháp khác tạo nên lôgic chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức Trong năm qua tơi vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng q trình tìm tịi lời giải hay hợp lý nhất, kể tập vận dụng rút gọn biểu thức ý nghĩa việc phân tích đa thức tử mẫu phân thức quan trọng, khơng giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà cịn giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung biểu thức Số học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng vào tập 95% Trên số suy nghĩ vấn đề phát triển tư học sinh qua việc dạy giải tốn phân tích đa thức hành nhân tử Rất mong góp ý chân thành đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! 20 ... phụ) Phương pháp Một số tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cho có biểu thức xuất nhiều lần Ta đặt biểu thức biến Từ viết đa thức cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử Ví dụ : Phân. .. đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử B Nội dung Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp I/ Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp • Tìm nhân. .. TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I) Bài tốn rút gọn biểu thức Phương pháp +Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung +áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức