Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7

59 3,332 8
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/08/2014, 07:01

Đề khảo sát Câu 1: a, cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + … + 220 Hỏi A có chia hết cho 128 không?b, Tính giá trị biểu thức + Bài 2 : a, Cho A = 3 + 32 + 33 + …+ 32009Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3nb, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 Ngày soạn : 16/1/2012 Buổi 1 Đề khảo sát Câu 1: a, cho A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 20 Hỏi A có chia hết cho 128 không? b, Tính giá trị biểu thức 104.2 65.213.2 10 1212 + + 49 1010 2.3 5.311.3 + Bài 2 : a, Cho A = 3 + 3 2 + 3 3 + …+ 3 2009 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3 n b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia Bài 3 : Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 , ƯCLN của chúng bằng 6. Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ; OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm . So sánh AB với AC Hướng dẫn chấm Bài Hướng dẫn chem. Điểm 1 a, 2A – A = 2 21  2 7 A  128 b, = 104.2 78.2 10 12 + 16.3 16.3 9 10 = 3 + 3 = 6 0.5 0.5 0.5 0.5 2 a, Tìm được n = 2010 b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b + c  9 và 1 0.5 1 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 2b = a + c nên 3b  9 ⇒ b  3 vậy b { } 9;6;3;0∈ abc  5 ⇒ c ∈ { } 5;0 Xét số abo ta được số 630 Xét số 5ab ta được số 135 ; 765 0.5 3 P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k ∈ N Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài ⇒ p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 9  3 ⇒ p + 8 là hợp số 0.5 0.5 0.5 0.5 4 Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a ≤ b) ta có (a,b) = 1 nên a = 6a / b= 6b / trong đó (a / ,b / ) = 1 ( a,b,a / ,b / ∈ N) ⇒ a / + b / = 14 a / 1 3 5 b / 13 11 9 a 6 1 8 30 b 7 8 66 54 0.5 0.5 1 5 x O B C A Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6) nên điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB – OA AB = 6 – 4 = 2 (cm) Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 ) nên điểm A năm giữa hai điểm B và C Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm) Vậy AB > AC ( 2 >1) 0.5 0.5 0.5 0.5 2 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 Ngày soạn : 23/1/ 2012 Buổi 2: Ôn tập số hữu tỉ số thực Phần 1: Lý thuyết 1. Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ Với x= a m , y= b m ( a,b,m ∈ Z m 0 ≠ ) a b a b x y m m m a b a b x y m m m + +=+= − −=−= , ( 0) . . . . . : : . . a c x y y b d a c a c x y b d b d a c a d a d x y b d b c b c = = ≠ = = = = = 2,Giá tri tuyệt đối của một số hữu tỉ +/ Với x Q∈ Ta có  x neỏu x ≥ 0 x =   -x neỏu x < 0 Nhận xét : Với mọi x ∈ Q, ta có: x≥ 0, x = -xv à x≥ x +/ Với x,y Q∈ Ta có x y x y+ ≤ + ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y 0≥ ) x y− ≥ x y− ( // … // ) Phần II: Bài tập vận dụng Bài 1. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 − − − − − + + + + 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 − − − − − + + + + 3 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 − + + + + + − + − + − + + − = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 − + − =− =− Bài 2: Thực hiện phộp tớnh: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 − − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 12 5 12 4 10 3 4 12 6 12 5 9 3 9 3 3 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 3 12 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A − − = − + + − − = − + + − − = − + + − = − − = − = : Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x −+− Khi x thay đổi Giải a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 ≥ 0 => x ≥ - 2. + Nếu x ≥ - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 ≤ x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn 4 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x −+− Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007 Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau - GV: Gọi học sinh trình bày Bài 4: Tìm x biết: a. ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − + b. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = - GV: Hướng dẫn giải a, ( ) 1 2 3 1 2 3 1 7 2 3 3 1 5 2 3 3 1 4 2 1 4 16 2 3,2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 3 5 5 1 2 3 x x x x x x x x − = − =− = + = − =− + = − − + = − + ⇔ − + = + ⇔ − + =   ⇔ − = ⇔         ⇔ b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   5 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x +    ÷   + − = − − = − = ⇒ = − = ⇒ =   ⇔ − − − =     ⇔     ⇔   Bài tập về nhà : Bài 1,Cho 1,11 0,19 1,3.2 1 1 ( ) : 2 2,06 0,54 2 3 7 1 23 (5 2 0,5) : 2 8 4 26 A B + − = − + + = − − a, Rút gọn A và B b, Tìm x Z∈ để A < x < B. Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= 2002 2001x x− + − 6 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 Ngày soạn : 2 /2/2012 Buổi 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. CI.Lý thuyết 1/ Định nghĩa +/ Với x Q∈ Ta có  x neỏu x ≥ 0 x =   -x neỏu x < 0 2, Tính chất : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự: x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x +/ Với x,y Q∈ Ta có x y x y+ ≤ + ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y 0 ≥ ) x y− ≥ x y− ( // … // ) II.Bài tập Bài 1: Tính giá trị của biểu thức a, A= 3x 2 - 2x+1 với x= 1 2 Ta có x= 1 2 suy ra x= 1 2 hoặc x= 1 2 − HS tính giá trị trong 2 trường hợp +/ Với x= 1 2 thì A= 3 4 +/ Với x= 1 2 − thì A= 11 4 b, B= 3 2 6 3 2 4x x x− + + với x= -2/ 3 c, C= 2 3x y− với x=1/2 và y=-3 d, D= 2 2 31x x− − − với x=4 e, E= 2 5 7 1 3 1 x x x − + − với x= 1 2 (về nhà ) Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c KQ: B=20/ 9 C= -8 D = -5 Bài 2: Tìm x biết a, 6527 =++− xx 7−x =1-2x Do 7−x 0 ≥ với mọi x nên xét với 1 – 2x ≥ 0 2 1 ≤⇔ x 7 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x= 3 8 (loại do không thoả mãn điều kiện x 2 1 ≤ ) Trường hợp 2: x – 7 = 2x -1 ⇒ x = - 6( thoả mãn điều kiện của x) b, 2 3 2x x x− − = − c, xxx 313 =+++ GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày Bài 3: Tìm x và y biết a, 1 2 2 3 2 x − = b, 7,5 3 5 2 4,5x− − = − c, 3 4 5 5 0x y− + + = GV: Tổ chức cho học sinh làm bài - Học sinh lên bảng trình bày Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a, A= 3,7 4,3 x+ − Ta có 4,3 0x− ≥ với mọi x 4,3 3,7 3,7x⇒ − + ≥ Hay A 3,7≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4,3 0 4,3 0 4,3 x x x − = − = = Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3 Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c b, B= 3 8,4 24,2x + − c, C= 4 3 5 7,5 17,5x y− + + + Bài tập về nhà Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau , 5,5 2 1,5 , 10,2 3 14 , 4 5 2 3 12 a D x b E x c F x y = − − = − − − = − − − + ` 8 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 Ngày soạn : 10 /2/2012 Buổi 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo) I. Lý thuyết 1/ Định nghĩa +/ Với x Q∈ Ta có  x neỏu x ≥ 0 x =   -x neỏu x < 0 2, Tính chất Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự: x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x +/ Với x,y Q∈ Ta có x y x y+ ≤ + ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y 0≥ ) x y− ≥ x y− ( // … // ) II. Bài tập : Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|; d) |a| = - a; e) a ≤ |a|. Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng: a) |a| = |b| ⇒ a = b; b) a > b ⇒ |a| > |b|. Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai a) x 2 y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0; d) ;0 11 =− yx d) .01 =+ y x Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau: a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3. b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4; Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a; e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|. Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau: a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|; c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7. Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|. Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20. Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu =≤≥ ,, để các khẳng định sau đúng với mọi a và b. 9 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu đẳng thức ? a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| với |a| ≥ |b|; c) |ab|…|a|.|b|; d) . || || b a b a Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1; c) C = x 2 + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|. Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = 5 - |2x – 1|; b) B = ; 3|1| 1 +−x Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên. Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chứng minh rằng: |a – b| < 5. Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối: A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|. 10 [...]... sau: 172 0 07, 1921; 131003 Li gii: Ta s tỡm cỏch liờn h cỏc lu tha trờn vi lu tha dng A2k, A4k vn dng cỏc ý trong nhn xột trờn õy Tht vy, 172 0 07= 17 172 006= 17 174 .501 = 17. ( 174 )501 174 cú tn cựng l 1 ( 174 )501 cú tn cựng l 1 17. ( 174 )501 cú tn cựng l 7 Vy 172 007cú tn cựng l 7 Tng t 1921=19 192.10 suy ra 1921 cú tn cựng l 9 131003=133 134.250 suy ra 131001 cú tn cựng l 7 VD3: Chng minh rng 3366 +77 55 ... Ta chng minh 3366 +77 55 -2 cú tn cựng l 0 sau ú vn dng du hiu chia ht cho 5 Tht vy, 33 66 cú cựng ch s tn cựng vi 3 66, m 366=933=9.92.16 suy ra 366 cú tn cựng l 9, 77 55cú cựng ch s tn cựng vi 75 5, vỡ 75 5 =73 .74 .13 nờn 75 5 cú tn cựng l 3 Do ú 3366, 77 55 cú ch s tn cựng ln lt l 9, 3 suy ra 3366 +77 55 2 tn cựng l 0 (pcm) Bi tp: 1/ a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 71 00 g) 8100 ; 9100... là bài toán 2 a) 129219 97 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A6.1292 = M 2 b) 333319 97 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1) 499 3333 = D3 c) 123419 97 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = ( C 6 )499 1234 = G 4 d) 12 371 9 97 = 12 374 499 +1 = (12 374 ) 499 12 37 = (D1) 499 12 37 = X 7 Dng 2: chng minh Chia ht Vn dng vo cỏc bi toỏn chng minh chia ht ỏp dng du hiu chia ht 12 Giỏo ỏn tng hp bi dng hc sinh gii... sinh gii Toỏn lp 7 2 2 a b a b a b a 2 b 2 ab = ữ = ữ = = 2 = 2 = c d c d c d c d cd 2 2 2 2 3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a 2 -10b 2 = 2= 2= = = = 3c 7c 10d 2 5cd 3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2 3a 2 +5ab 3c 2 +5cd 2 = 7a -10b 2 7c2 -10d 2 3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2 3a 2 +5ab 3c 2 +5cd = 2 2 = 3c 2 +5cd 7c -10d 2 7a -10b 2 7c 2 -10d 2 t Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu: Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc Tổng. .. cú tn cựng l 5 129219 97 + 333319 97 5 a) Chng minh 162819 97 + 129219 97 10 p dng qui tc tỡm ch s tn cựng ta cú 162819 97 s cú tn cựng l M 8 129219 97 S Cú tn cựng l N 2 Nh vy 162819 97 + 129219 97 10 (vỡ ch s tn cựng ca tng ny s l 0) Ta cng cú th vn dung hiu ca hai s hoc tớch ca hai s ra cỏc bi toỏn chng minh tng t a) 4343- 171 7 chia ht cho 10 b) 3636 -910 chia ht cho 45 c) 71 000 -71 000 chia ht 10 d) (210+... v 171 4 Ta cú : 3111 < 3211 M : 3211 = (25)11 = 255 Vy 3111 < 255 171 4 > 1614 M : 1614 = (24)14 = 256 Vy 171 1 > 256 M 256 > 255 Nờn 3111 < 171 4 III Cỏc bi tp: So sỏnh hai s sau 5 7 a) 25 v 125 ; 536 v 1124 ; 32n v 23n ( n l s t nhiờn khỏc 0 ) b) 523 v 6.522 ; 7. 213 v 216 ; 339 v 1121 c) 1 075 0 v 73 75 ; 291 v 535 ; 544 v 2112 ; 421 v 6 47 ; 530 v 12410 14 [ Giỏo ỏn tng hp bi dng hc sinh gii Toỏn lp 7 Dng... v dng c bn trỡnh by trờn nay cũn li cỏc lu tha m c s l 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9 2/Tỡm ch s tn cựng ca: a) 71 992 (HD: = 74 tn cựng bng 1) b) 9101 c) 24100 d) 19451945 ; e) 21000 f) 74 30 ; 4931 ; 873 2 ; 5833 ; 2335 3: Tìm ch số tận cùng của các lu thừa sau : a) 129219 97 ; b) 333319 97 ; c) 123419 97 ; d) 12 371 9 97 ; e) 123819 97 ; f) 256919 97 Bài giải Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của ly thừa... Bài toán 3: Tính tổng H= 1 1 1 1 + 2 + 3 + + 2008 5 5 5 5 Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt 1 = a thì 5 H = a + a2 + a3 + a4++a2008 Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn: 5.H = 1 + 1 1 1 1 + 2 + 3 + + 20 07 5 5 5 5 4H=5H H = (1 + = 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + + 20 07 ) ( + 2 + 3 + + 2008 ) 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 2008 = 5 2008 1 5 2008 15 Giỏo ỏn tng hp bi dng hc sinh gii Toỏn lp 7. .. 141 x = 3 x = 3 kết hợp với (1) y = 4 hoặc y = 4 z = 5 z = 5 b) Từ x y z x2 y2 z2 = = (1) = = 3 4 5 9 16 25 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: x 2 y 2 z 2 2 x 2 3z 2 2 x 2 + y 2 3 z 2 77 = = = = = = = 1 x 2 = 9 x = 3 9 16 25 18 75 18 + 16 75 77 x = 3 x = 3 kết hợp với (1) y = 4 hoặc y = 4 z = 5 z = 5 33 Giỏo ỏn tng hp bi dng hc sinh gii Toỏn lp 7 Tổng quát : Tìm x,y,z... 4343- 171 7 chia ht cho 10 b) 3636 -910 chia ht cho 45 c) 71 000 -71 000 chia ht 10 d) (210+ 211+212) chia ht cho 7 e) 810-89-88 chia cho 45 l mt s t nhiờn Gii: a) 4343 = 434)10.433 = (s cú tn cựng bng 1)10.( s cú tn cựng bng 7) = (s cú tn cựng bng 7 171 7 = 174 . 173 ( 1)4 = ( 7) = s cú tn cựng bng 7 Vy 4343- 171 7 cú tn cựng bng 0 nờn chia ht cho 10 b) 3636 cú tn cựng bng 6 v cú tng cỏc ch s chia ht cho 9 910= (81)5 . 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   5 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x. phộp tớnh 17 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 - GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày Bài 3: Tính a, ( ) 4 8 0 15 12 6 . 3 1 .9. 3 1 15 4 . 7 3       + . 2 1 ≤⇔ x 7 Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 Trường hợp 1: x -7 = 1-2x => 3x =8 => x= 3 8 (loại do không thoả mãn điều kiện x 2 1 ≤ ) Trường hợp 2: x – 7 = 2x -1
- Xem thêm -

Xem thêm: Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7, Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7, Giáo án tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7

Từ khóa liên quan