CHƯƠNG II: GIỚI THIỆU CƠ HỌC LƯỢNG TỬ CHƯƠNG II Cơ Bản Về Cơ Học Lượng Tử TỔNG QUAN Mục đích tài liệu giúp người đọc hiểu hoạt động đặc tính thiết bị bán dẫn Một cách lí tưởng, khảo sát thiết bị tức khắc Tuy nhiên, để hiểu đặc tuyến V-A, cần hiểu biết đặc tính chuyển động electron tinh thể electron chịu tác động khác Chuyển động vật thể vĩ mô, chẳng hạn hành tinh vệ tinh tiên đốn với độ xác cao dùng vật lí cổ điển dựa định luật chuyển động Newton Trong thực nghiệm với electron sóng điện từ tần số cao dẫn đến kết mâu thuẫn với vật lí cổ điển Tuy nhiên, kết thực nghiệm tiên đoán định luật học lượng tử Lí thuyết sóng học lượng tử sở cho lí thuyết vật lí bán dẫn Chúng ta tập trung vào vật liệu bán dẫn mà tính chất điện liên quan trực tiếp đến đặc tính chuyển động electron mạng tinh thể Hành vi đặc tính electron mơ tả học sóng Cơ học sóng sử dụng phương trình Schrodinger phương trình giới thiệu chương Mục tiêu chương giới thiệu vắn tắt học lượng tử người đọc thu kiến thức quen với phương pháp phân tích Nh ững kiến thức nhập mơn hình thành nên sở vật lí bán dẫn 2.1|NHỮNG NGUN LÍ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Xem video làm thí nghiệm ảo tại: http://mientayvn.com/Dien%20tu/Sach/Va t%20li%20dien%20tu%20va%20ban%20dan/Chuong%20II/21 html Trước nghiên cứu sở tốn học học lượng tử, có ba nguyên lí mà cần xem xét: nguyên lí lượng tử hóa lượng, ngun lí lưỡng tính sóng-hạt ngun lí bất định 2.1.1 Lượng tử hóa lượng Một thí nghiệm chứng tỏ có mâu thuẫn kết thực nghiệm với lí thuyết cổ điển ánh sáng hiệu ứng quang điện Nếu ánh sáng không đơn sắc chiếu đến bề mặt vật liệu, electron (những electron quang) phát từ bề mặt Theo vật lí cổ điển, cường độ ánh sáng đủ lớn, động electron lớn cơng electron s ẽ khỏi bề mặt kim loại khơng phụ thuộc vào tần số ánh sáng tới Điều thực tế không xảy Hiệu ứng quan sát thực tế là, với cường độ ánh sáng tới không đổi, tần số ánh sáng nhỏ tần số υ0 (υ0 tần số giới hạn phụ thuộc vào loại vật liệu cụ thể) khơng có electron từ bề mặt vật liệu Còn υ ≥ υ0 động cực đại electron quang biến đổi tuyến tính theo tần số Kết biễu diễn hình 2.1 Nếu cường độ ánh sáng tới biến đổi cịn tần số khơng đổi, tốc độ phát xạ electron quang thay đổi, động cực đại giữ nguyên Tiếp theo, thực thí nghiệm ảo hiệu ứng quang điện Trước tiên, xem hình vẽ mơ tả phận cách điều khiển thí nghiệm Nhấp vào để thực thí nghiệm Vào năm 1900, Planck giả thuyết xạ nhiệt phát từ bề mặt đun nóng thành lượng lượng nhỏ rời rạc gọi lượng tử Năng lượng lượng tử E=hυ, υ tần số xạ h gọi số Planck (h=6,625.10 –34 J-s) Sau vào năm 1905, Einstein giải thích hiệu ứng quang điện cách giả thiết lượng sóng ánh sáng bao gồm lượng nhỏ rời rạc Những lượng nhỏ rời rạc gọi photon có lượng E=hυ Do đó, photon với lượng đủ lớn va chạm vào electron bề mặt vật liệu Năng lượng nhỏ để bứt electron khỏi bề mặt gọi cơng vật liệu Và phần lượng dư biến thành động electron quang Kết xác nhận thực nghiệm minh họa hình 2.1 Hiệu ứng quang điện chứng tỏ chất gián đoạn photon chứng minh hành vi giống hạt photon Động cực đại electron quang viết Tmax h m 2 hv hv0 (2.1) lượng photon tới h lượng cực tiểu, cơng cần để bứt electron khỏi bề mặt 2.1.2 Lưỡng tính sóng-hạt Chúng ta dã thấy phần trước hiệu ứng quang điện, sóng ánh sáng hành xử thể chúng hạt Hành vi giống hạt sóng điện từ cơng cụ để giải thích hiệu ứng Compton Trong thí nghiệm này, chùm tia X chiếu tới chất rắn Một phần chùm tia X bị lệch tần số sóng lệch thay đổi so với sóng tới Nếu xét toán s ự va chạm photon tia X electron ch ất rắn, sử dụng định luật bảo toàn lượng động lượng, suy kết hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Năm 1924, de Broglie giả thuyết tồn sóng vật chất Ơng ta lập luận sóng biểu hành vi giống hạt, tiên đốn hạt biểu tính chất giống sóng Đây giả thuyết De Broglie tồn lưỡng tính sóng hạt Động lượng photon là: p=h/λ (2.2) λ bước sóng sóng ánh sáng Do đó, De Broglie đ ã giả thuyết bước sóng hạt biểu diễn λ=h/p (2.3) p động lượng hạt λ gọi bước sóng De Broglie sóng vật chất Bản chất sóng electron kiểm tra theo vài cách Như đ ã biết, sóng đặc trưng tượng giao thoa nhiễu xạ Nhiễu xạ tượng ánh sáng sau qua nh ững khe hẹp có độ lớn cỡ bước sóng ánh sáng tia sáng khơng truyền thẳng Về mặt thực nghiệm, thấy quan sát xuất vân sáng tối xen kẽ với cường độ khác Chẳng hạn ánh sáng laser (là ánh sáng đơn s ắc) qua lỗ nhỏ hình cầu có đường kính xấp xỉ bước sóng quan sát thấy sau: Vì thế, muốn chứng minh electron có tính chất sóng phải bố trí thí nghiệm quan sát tượng nhiễu xạ electron qua khe Để có tượng nhiễu xạ xảy tất nhiên khe phải có kích thướt xấp xỉ bước sóng electron Các khe khe mạng tinh thể chất rắn kết tinh Chẳng hạn chiếu chùm electron vào tinh thể bạch kim thu hình ảnh sau: Bạn có thấy gồm vân sáng vân tối xen kẽ giống tượnng nhiễu xạ ánh sáng laser không Vậy là, thực tế có tồn tượng nhiễu xạ electron Nghĩa electron hạt lại thể tính chất sóng Những dãy số 311, 220, 111, 200 kí hiệu mặt mạng tinh thể Để thu vài đánh giá tần số bước sóng liên quan đến ngun lí lưỡng tính sóng-hạt, hình 2.4 biễu diễn thang sóng điện từ Chúng ta thấy bước sóng 72,7 A thu ví dụ thuộc vùng tử ngoại Thơng thường, xem xét bước sóng vùng tử ngoại nhìn thấy Những bước sóng ngắn so với phổ radio thơng thường Ví dụ 2.2: Tính bước sóng de Broglie electron chuyển động với vận tốc 105 cm/s Giải Động lượng electron p m (9.11 10 31 Do đó, bước sóng De broglie là: )(10 ) 9.11 10 26 h p 6.625 10 34 9.11 10 26 7.27 10 m Hay 72.7 A Kết luận: Kết cho thấy bậc độ lớn bước sóng De Broglie electron thơng thường Trong số trường hợp sóng điện từ hành xử thể chúng hạt (những photon) hạt hành xử thể chúng sóng Ngun lí lưỡng tính sóng-hạt học lượng tử áp dụng chủ yếu cho hạt vi mơ chẳng hạn electron, áp dụng cho proton nơtron Đối với hạt vĩ mơ, chứng tỏ phương trình chuyển động mơ tả chúng trở phương trình học cổ điển Ngun lí lưỡng tính sóng – hạt sở để mơ tả chuyển động hành vi electron tinh thể Xem phim tài liệu (tùy chọn) 2.1.3 Nguyên lí bất định Nguyên lí bất định Heisenberg đưa vào năm 1927, áp dụnh chủ yếu cho hạt vi mô phát biểu mơ tả xác tuyệt đối hành vi hạt cấp độ nguyên tử Nguyên lí bất định mô tả mối quan hệ biến liên hợp, chẳng hạn vị trí động lượng, lượng thời gian Phát biểu thứ ngun lí bất định khơng thể mơ tả xác đồng thời vị trí động lượng hạt Nếu độ bất định tọa độ Δp độ bất định vị trí Δx hệ thức bất định viết Δp.Δx≥ћ (2.4) ћ=h/2π=1,054.10 –34 J-s gọi số Planck hiệu dụng Phát biểu khái quát hóa cho góc momen đ ộng lượng Phát biểu thứ hai ngun lí bất định khơng thể đồng thời mơ tả xác tuyệt đối lượng khoảng thời gian mà hạt tồn trạng thái lượng Nếu độ bất định lượng ΔE độ bất định thời gian Δt hệ thức bất định phát biểu ΔE.Δt≥ћ (2.5) Một cách để hình dung hệ thức bất định xét đo đồng thời vị trí động lượng, đo đồng thời lượng thời gian Hệ thức bất định muốn nói đo đồng thời có độ sai lệch phạm vi Tuy nhiên, số Planck hiệu dụng nhỏ; hệ thức bất định có ý nghĩa cho hạt cấp độ nguyên tử Và cần nhớ hệ thức bất định phát biểu khơng liên hệ đến sai số phép đo Một kết hệ thức bất định xác định xác vị trí electron Thay vào đó, s ẽ xác định xác suất tìm thấy electron khoảng Trong chương sau, s ẽ xây dựng hàm mật độ xác suất cho phép xác định xác suất mà electron có lượng Vì vậy, việc mô tả hành vi electron, làm việc với hàm xác suất Video sau mô tả chuyển động electron nguyên tử, bạn thấy electron mà thấy đám mây electron 2.2 PHƯƠNG TRÌNH SĨNG SCHRODINGER Những kết thực nghiệm sóng điện từ hạt vi mơ khơng thể giải thích định luật học cổ điển, điều địi hỏi phải xây dựng môn học cho hạt vi mô Năm 1926, Schrodinger đ ã xây dựng học sóng, hợp ngun lí lượng tử Planck đưa ngun lí lư ỡng tính sóng hạt De Broglie Dựa nguyên lí lưỡng tính sóng hạt, mơ tả chuyển động electron tinh thể lí thuyết sóng Lí thuyết sóng mơ tả phương trình sóng Schrodinger 2.2.1 Phương trình sóng Phương trình sóng Schrodinger chiều, phi tương đối tính là: 2 2m ( x, t ) V ( x ) ( x, t ) x2 j ( x, t ) t (2.6) ψ(x,t) hàm sóng, V(x) giả sử không phụ thuộc thời gian, m khối lượng hạt j số ảo Có luận lí thuyết để dẫn phương trình sóng Schrodinger, phương trình định đề học lượng tử Hàm sóng ψ(x,t) dùng để mơ tả hành vi hệ mặt toán học ψ(x,t) hàm phức Chúng ta xác định phần phụ thuộc thời gian hàm sóng phần phụ thuộc tọa độ cách dùng kĩ thuật tách biến Giả sử hàm sóng viết dạng ( x, t ) ( x ) (t ) (2.7) ψ(x) hàm theo tọa độ x (t ) hàm theo thời gian Thế dạng nghiệm vào phương trình sóng Schrodinger, thu được: 2m (t ) ( x) V ( x) ( x) (t ) x2 j ( x) (t ) t Nếu chia cho hàm sóng tồn phần, phương trình 2.8 trở thành (2.8) Điều kiện biên liên tục hàm sóng cho ta Ψ(x=0)=ψ(x=a)=0 (2.30) Áp dụng điều điều kiện biên x=0, có A1 phải Tại x=a, có Ψ(x=a)=0=A 2sinKa (2.31) Phương trình có nghĩa Ka=nπ, n số nguyên dương n=1,2,3,… gọi số lượng tử Chúng ta viết K n a (2.32) Giá trị âm n làm cho hàm sóng có dấu âm tương ứng với hàm mật độ xác suất giống với trường hợp n dương Về mặt vật lí, khơng thể phân biệt khác nghiệm +n –n Bởi dư thừa này, giá trị âm n không xét đến Hệ số A2 tìm cách dùng điều kiện biên chuẩn hóa cho ( x) * ( x)dx phương trình (2.18) Vì hàm sóng hàm thực nên ψ(x)=ψ*(x) Thế hàm sóng vào phương trình (2.18) có a A22 sin Kxdx (2.33) Tính tích phân sau ta suy đư ợc A2 a (2.34) Cuối nghiệm độc lập thời gian ( x) n x sin a a n=1,2,3………… (2.35) Nghiệm biễu diễn electron giếng không xác định nghiệm sóng dừng Electron tự biễu diễn sóng chạy, hạt liên kết biễu diễn sóng dừng Tham số K nghiệm định nghĩa phương trình (2.29) (2.32) Từ hai biểu thức K, suy n2 a2 2mE (2.36) Do lượng tồn phần E n2 2ma En n=1, 2, 3………… (2.37) Đối với hạt giếng vơ hạn, hàm sóng ( x) sin Kx a (2.38) Ở số K phải có giá trị rời rạc, nghĩa lượng toàn phần hạt có giá trị rời rạc Kết có nghĩa lượng hạt bị lượng tử hóa Nghĩa là, lượng hạt có giá trị rời rạc Sự lượng tử hóa lượng hạt trái ngược với kết vật lí cổ điển Vật lí cổ điển cho phép hạt có giá trị lượng liên tục Năng lượng rời rạc dẫn đến trạng thái lượng tử xét chi tiết chương chương sau Sự lượng tử hóa lượng hạt liên kết kết quan trọng Hình 2.6a biễu diễn mức lượng hạt giếng không xác định, hình 2.6b 2.6c biễu diễn hàm sóng hàm xác suất tương ứng Chúng ta rút lượng tăng, xác suất tìm thấy hạt vị trí x trở nên đồng 2.3.3 Hàm bậc thang Bây xét hàm bậc thang biễu diễn hình 2.7 Trong phần trước, xét hạt bị giam hai hàng rào Trong ví dụ này, giả sử có dịng hạt xuất phát từ –∞ chuyển động theo hướng +x Kết đáng ý thu trường hợp lượng toàn phần hạt nhỏ độ cao hàng rào, E