Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 Dạng 1: Viết phương trình dao động diều hoà Xác định đặc trưng dao động điều hoà Chọn hệ quy chiếu: + Trục ox + gốc toạ độ VTCB + Chiều dương + gốc thời gian Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm Phương trình vận tốc: v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s 1) Xác định tần số góc ω : (ω >0) 2π ∆t + ω = 2πf = , với T = , N: tống số dao động T N k + Nếu lắc lò xo: ω = , ( k: N/m, m: kg) m + cho độ giản lò xo VTCB ∆l: k ∆l = mg ⇒ +ω= k g g = ⇒ω = m ∆l ∆l v A2 − x 2) Xác định biên độ dao động A:(A>0) d + A= , d: chiều dài quỹ đạo vật dao động lmax − lmin 2 v x + (nếu buông nhẹ v = 0) ω + Nếu đề cho chiều daig lớn nhở lò xo: A = + Nếu đề cho ly độ x ứng với vận tốc v ta có: A = v2 a + ω2 ω4 v + Nếu đề cho vận tốc cực đại: Vmax thì: A = Max ω aMax + Nếu đề cho gia tốc cực đại aMax : A = ω + Nếu đề cho lực phục hồi cực đại Fmax → F max = kA + Nếu đề cho vận tốc gia tốc: A = + Nếu đề cho lượng dao động Wthì → A = 2W k 3) Xác định pha ban đầu ϕ : ( −π ≤ ϕ ≤ π ) Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định ϕ x0  cosϕ = A x = x0 x0 = Acosϕ    ⇒ϕ = ? ⇔  ⇒ Khi t=0  v0 v = v0 v0 = − Aω sinϕ   sin ϕ =  ωA  cosϕ = 0 = Acosϕ ϕ = ?  ⇒ ⇒ v0 + Nếu lúc vật qua VTCB  A = ? v0 = − Aω sinϕ  A = − ω sin ϕ >  x0  >0  x0 = Acosϕ ϕ = ? A = cosϕ ⇒ ⇒ + Nếu lúc buông nhẹ vật  A = ? 0 = − Aω sinϕ sin ϕ =  GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 Trang Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 Chú ý:  thả nhẹ, buông nhẹ vật v0=0 , A=x  Khi vật theo chiều dương v>0 (Khi vật theo chiều âm v0 k ∈ N* ±b − ϕ d − ϕ < với k ∈ N  k ∈ N*  π − d − ϕ > π − d − ϕ < 3) Tìm ly độ vật vận tốc có giá trị v1: ⇒ ωt + ϕ = ±b + k 2π ⇒ t = 2 v v  Ta dùng A2 = x +  ÷ ⇒ x = ± A2 −    ÷ ω  ω  4) Tìm vận tốc qua ly độ x1:  v1  2 Ta dùng A = x +  ÷ ⇒ v = ±ω A2 − x vật theo chiều dương v>0 ω  Dạng 3: Xác định quãng đường số lần vật qua ly độ x0 từ thời điểm t1 đến t2 Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm Phương trình vận tốc: v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s t −t m 2π Tính số chu kỳ dao động từ thời điểm t1 đến t2 : N = = n + , với T = T T ω Trong chu kỳ : + vật quãng đường 4A + Vật qua ly độ lần * Nếu m= thì: + Quãng đường được: ST = 4nA + Số lần vật qua x0 MT= 2n ≠ thì: + Khi t=t1 ta tính x1 = Acos(ωt1 + ϕ)cm v1 dương hay âm (khơng tính v1) * Nếu m + Khi t=t2 ta tính x2 = Acos(ωt2 + ϕ)cm v2 dương hay âm (khơng tính v2) m Sau vẽ hình vật phần lẽ chu kỳ dựa vào hình vẽ để tính Slẽ số lần Mlẽ vật T qua x0 tương ứng GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 Trang Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 Khi đó: + Quãng đường vật là: S=ST +Slẽ + Số lần vật qua x0 là: M=MT+ Mlẽ  x1 > x0 > x2 * Ví dụ:  ta có hình vẽ: v1 > 0, v2 > -A x2 x0 O x1 Khi + Số lần vật qua x0 Mlẽ= 2n + Quãng đường được: Slẽ = 2A+(A-x1)+(A- x2 ) =4A-x1- x2 A Dạng 4: Xác định lực tác dụng cực đại cực tiểu tác dụng lên vật điểm treo lò xo - chiều dài lò xo vật dao động 1) Lực hồi phục( lực tác dụng lên vật): r r r Lực hồi phục: F = −kx = ma : hướn vị trí cân Độ lớn: F = k|x| = mω2|x| Lực hồi phục đạt giá trị cực đại Fmax = kA vật qua vị trí biên (x = ± A) Lực hồi phục có giá trị cực tiểu Fmin = vật qua vị trí cân (x = 0) 2) Lực tác dụng lên điểm treo lò xo: Lực tác dụng lên điểm treo lò xo lực đàn hồi: F = k | ∆l + x | + Khi lăc lò xo nằm ngang ∆ l =0 mg g = + Khi lắc lò xo treo thẳng đứng: ∆ l = k ω mg sin α + Khi lắc nằm mặt phẳng nghiêng góc α: ∆ l = k a) Lực cực đại tác dụng lện điểm treo là: Fmax = k(∆l + A) b) Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo là: + lắc nằm ngang: Fmin =0 + lắc treo thẳng đứng nằm mặt phẳng nghiêng góc α : Nếu ∆ l>A Fmin = k(∆l − A) Nếu ∆l ≤ A Fmin =0 3) Lực đàn hồi vị trí có li độ x (gốc O vị trí cân ): + Khi lăc lò xo nằm ngang F= kx + Khi lắc lò xo treo thẳng đứng nằm nghiêng góc α : F = k|∆ l + x| 4) Chiều dài lò xo: lo : chiều dài tự nhiên lò xo: a) lò xo nằm ngang: Chiều dài cực đại lò xo : l max = l o + A Chiều dài cực tiểu lò xo: l = l o + A b) Khi lắc lò xo treo thẳng đứng nằm nghiêng góc α : Chiều dài vật vị trí cân : l cb = l o + ∆ l Chiều dài cực đại lò xo: l max = l o + ∆ l + A Chiều dài cực tiểu lò xo: l = l o + ∆ l – A Chiều dài ly độ x: l = l 0+∆ l+x Dạng 5: Xác định lượng dao động điều hồ Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) m Phương trình vận tốc: v = -Aωsin(ωt + ϕ) m/s GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 Trang X Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 1 a) Thế năng: Wt = kx2 = k A2cos2(ωt + ϕ) 2 1 b) Động năng: Wđ = mv2 = mω2A2sin2(ωt + ϕ) = kA2sin2(ωt + ϕ) ; với k = mω2 2 1 c) Cơ năng: W = Wt + Wđ = k A2 = mω2A2 2 + Wt = W - Wđ + Wđ = W – Wt A ⇒ thời gian Wt = Wđ : ∆t = T Khi Wt = Wđ ⇒ x = ± + Thế động vật biến thiên tuần hồn với tần số góc ω’ = 2ω, tần số dao T động f’ =2f chu kì T’ = Chú ý: Khi tính lượng phải đổi khối lượng kg, vận tốc m/s, ly độ mét Dạng 6: Xác định thời gian ngắn vật qua ly độ x1 đến x2 Ta dùng mối liên hệ dao động điều hoà chuyển động trịn để tính Khi vật dao động điều hồ từ x1 đến x2 tương ứng vứoiu vật chuyển động tròn từ M đến N(chú ý x1 x2 hình chiếu vng góc M N lên trục OX Thời gian ngắn vật dao động từ x1 đến x2 thời gian vật chuyển động tròn từ M đến N ˆ MON ˆ ˆ ˆ Δt = t MN = T , MON = x1MO + ONx2 với 360 N M | x1 | | x2 | ˆ ˆ Sin(x1MO) = , Sin(ONx2 ) = A A A T + vật từ: x = € x = ± ∆t = -A x2 O x1 N X 12 A T + vật từ: x = ± € x= ± A ∆t = T A A € + vật từ: x=0 € x = ± x = ± x= ± A ∆t = 2 T A + vật lần liên tiếp qua x = ± ∆t = ∆S Vận tốc trung bình vật dao dộng lúc này: v = ∆t ∆ S tính dạng Dạng 7: Hệ lò xo ghép nối tiếp - ghép song song xung đối 1) Lò xo ghép nối tiếp: a) Độ cứng hệ k: Hai lò xo có độ cứng k1 k2 ghép nối tiếp xem lị xo có độ cứng k thoả mãn biểu thức: 1 = + (1) k k1 k Chứng minh (1): Khi vật ly độ x thì: GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 m k1 k2 Trang Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k x F = F1 = F2 1 hay kk  F = F1 = F2   + k= ⇔ F = F1 = F2 ⇒  F F1 F2 ⇒ =  k k1 k k1 + k  x = x1 + x x = x + x k = k + k  2  b) Chu kỳ dao động T - tần số dao động: m T2 ⇒ = 12 + Khi có lị xo 1( k1): T1 = 2π k1 k1 4π m m T2 ⇒ = + Khi có lị xo 2( k2): T2 = 2π k2 k2 4π m + Khi ghép nối tiếp lò xo trên: T = 2π m T2 ⇒ = k k 4π m 1 T2 T12 T2 2 2 = + Mà nên = + ⇒ T = T1 + T1 k k1 k 4π m 4π m 4π m 1 Tần số dao động: = + f f1 f b Lò xo ghép song song: Hai lị xo có độ cứng k k2 ghép song song xem lị xo có độ cứng k thoả mãn biểu thức: k = k1 + k2 (2) Chứng minh (2): f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k x  x = x1 = x  ⇔  x = x1 = x Khi vật ly độ x thì:   F = F1 + F2 F = F + F   x = x1 = x ⇒ ⇒ k = k1 + k kx = k1x1 + k x b) Chu kỳ dao động T - tần số dao động: m 4π m ⇒ k1 = + Khi có lị xo1( k1): T1 = 2π k1 T12 L1, k1 L2, k2 m 4π m ⇒ k2 = + Khi có lò xo2( k2): T2 = 2π k2 T2 m 4π m ⇒k = k T2 4π m 4π m 4π m ⇒ = + = + Mà k = k1 + k2 nên 2 T2 T1 T2 T2 T12 T2 2 2 Tần số dao động: f = f1 + f1 + Khi ghép nối tiếp lò xo trên: T = 2π c) Khi ghép xung đối công thức giống ghép song song L1, k1 Lưu ý: Khi giải toán dạng này, gặp trường hợp lị xo có độ dài tự nhiên l (độ cứng k0) cắt thành hai lị xo có chiều dài l (độ cứng k1) l (độ cứng k2) ta có: k0 l = k1 l = k2 l ES const Trong k0 = = ; E: suất Young (N/m2); S: tiết diện ngang (m2) l0 l0 L2, k2 Dạng : Chứng minh hệ dao động điều hoà GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 Trang Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 Trong trường hợp phải chứng minh hệ dao động điều hoà sở lực đàn hồi tác dụng: F = -kx lượng vật dao động (cơ năng) W = Wt + Wđ, ta tiến hành sau: Cách 1: Dùng phương pháp động lực học: + Phân tích lực tác dụng lên vật + Chọn hệ trục toạ độ Ox + Viết phương trình định luật II Newtơn cho vật: r r F = ma chiếu phương trình lên OX ∑ để suy ra: x'' = - ω2x : vật dao dộng điều hồ với tàn số góc ω Cách 2: Dùng phương pháp lượng: kx (con lắc lò xo) Wđ = mv2 1 Áp dụng định luật bảo toàn năng: W = Wt + Wđ = kx2 + mv2= const 2 + Lấy đạo hàm hai vế theo t phương trình ý: a = v' = x'' + Biến đổi để dẫn đến: x'' = -ω2x vật dao động điều hồ với tần số góc ω * Vì W = Wt + Wđ đó: Wt = Con lắc đơn Dạng 9: Viết phương trình dao động lắc đơn - lắc vật lý- chu kỳ dao động nhỏ 1) Phương trình dao động Chọn: + Trục OX trùng tiếp tuyến với quỹ đạo + gốc toạ độ vị trí cân + chiều dương chiều lệch vật + gốc thời gian Phương trình ly độ dài: s=Acos(ωt + ϕ) m v = - Aωsin(ωt + ϕ) m/s * Tìm ω>0: 2π ∆t + ω = 2πf = , với T = , N: tống số dao động T N g + ω= , ( l:chiều dài dây treo:m, g: gia tốc trọng trường nơi ta xét: m/s2) l mgd +ω= với d=OG: khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay I I: mơmen qn tính vật rắn v +ω= A2 − s * Tìm A>0: v2 + A = s + với s = α l ω ¼ MN ¼ + cho chiều dài quỹ đạo cung tròn MN : A = + A = α l , α : ly độ góc: rad * Tìm ϕ ( −π ≤ ϕ ≤ π ) Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định ϕ GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 Trang Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 x0  cosϕ = A  x = x0  x0 = Acosϕ  ⇒ϕ = ? ⇔  ⇒ Khi t=0  v = v0 v0 = − Aω sinϕ sin ϕ = v0  ωA  s A Phươg trình ly giác: α = = α cos(ωt + ϕ) rad với α = rad l l 2) Chu kỳ dao động nhỏ  T 2g l = 4π l  ⇒ + Con lăc đơn: T = 2π g  g = 4π l   T2  T mgd I=  I  4π ⇒ + Con lắc vật lý: T = 2π mgd  g = 4π I  T md  Dạng 10: Năng lượng lắc đơn - Xác định vận tốc vật Lực căng dây treo vật qua ly độ góc α 1) Năng lượng lắc đơn: Chọn mốc vị trí cân O + Động năng: Wđ= mv + Thế hấp dẫn ly độ α : Wt = mgl(1 - cosα) 2 + Cơ năng: W= Wt+Wđ= mω A 2 Khi góc nhỏ: Wt = mgl(1 − cosα ) = mglα 2 W= mglα 2) Tìm vận tốc vật qua ly độ α (đi qua A): Áp dụng định luật bảo tồn ta có: Cơ biên = vị trí ta xét WA=WN WtA+WđA=WtN+WđN ⇔ mgl(1 − cosα ) + mv A = mgl(1 − cosα ) +0 2 ⇒ v A = 2gl(cosα − cosα ) ⇒ v A = ± 2gl(cosα - cosα ) α0 α r τ N O r P 3) Lực căng dây(phản lực dây treo) treo qua ly độ α (đi qua A): r r r r Theo Định luật II Newtơn: P + τ =m a chiếu lên τ ta v2 ⇔ v2 A τ = m A + mgcosα = m2g(cosα − cosα ) + mgcosα l l ⇒ τ = mg(3cosα - 2cosα ) τ − mgcosα = ma ht = m 4) Khi góc nhỏ α ≤ 100 GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 Trang A Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12  v = gl(α − α ) sin α ≈ α A    α  2 cosα ≈ − τ = mg(1 − 2α − 3α )   Chú ý: + Khi qua vị trí cân bằng(VTCB) α = + Khi vị trí biên α = α Dạng 11 : Xác định chu kỳ lắc độ cao h độ sâu d dây treo không giản Gia tốc trọng trường mặt đất: g = GM ; R: bán kính trái Đất R=6400km R2 1) Khi đưa lắc lên độ cao h: GM g = h Gia tốc trọng trường độ cao h: (R + h) (1 + ) R l Chu kỳ lắc dao động mặt đất: T1 = 2π (1) g gh = Chu hỳ lắc dao động sai độ cao h: T2 = 2π l (2) gh T1 gh h = = g + h ⇒ T2 + h ⇒ T2 = T1 (1 + R ) R R Khi đưa lên cao chu kỳ dao động tăng lên 2) Khi đưa lắc xuống độ sâu d: d g d = g(1 - ) R *ở độ sâu d: m( π (R − d)3 D) ⇔ mg d = G (R − d) Chúng minh: Pd = Fhd D: khối lượng riêng trái Đất T gh ⇒ = mà T2 g ( π R D)(R − d)3 M(R − d)3 GM d ⇔ gd = G =G = (1 − ) 3 (R − d) R (R − d) R R R ⇒ g d = g(1 - d ) R l (3) gd T1 1d T2 = ≈ T1 (1 + ) gd gd T1 d ⇒ ⇒ = = 1− 2R mà d 1T2 g g R R Khi đưa xuống độ sâu chu kỳ dao động tăng lên tăng đưa lên độ cao *Chu kỳ lắc dao động độ sâu d: T2 = 2π Dạng 12 : Xác định chu kỳ nhiệt độ thay đổi (dây treo làm kim loại) Khi nhiệt độ thay đổi: Chiều dài biến đổi theo nhiệt độ : l = l0 (1 + λ t) λ : hệ số nở dài nhiệt kim loại làm dây treo lắc l0 : chiều dài 00C GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 Trang Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 l Chu kỳ lắc dao động nhiệt độ t1(0C): T1 = 2π (1) g Chu kỳ lắc dao động sai nhiệt độ t2(0C): T2 = 2π T l l2 (2) ⇒ = T2 l2 g l1 = l0 (1 + λ t1 ) l + λ t1 ⇒ = ≈ − λ (t − t1 ) λ = Ta có:  l2 1+ λt2 l2 = l0 (1 + λ t ) T1 T1 ≈ − λ (t − t1 ) ⇒ T2 = ≈ T1 (1 + λ (t − t1 )) ⇒ T2 2 − λ (t − t1 ) t Vậy T2 = T1 (1 +λ(t - ))1 + nhiệt độ tăng chu kỳ dao động tăng lên + nhiệt độ giảm chu kỳ dao động giảm xuống T1 h ≈ -λ(t - ) t Chú ý: + đưa lên cao mà nhiệt độ thay đổi thì: T2 R T1 ≈ -λ(t - ) t + đưa lên xuống độ sâu d mà nhiệt độ thay đổi thì: T2 d 2R Dạng 13 : Xác định thời gian dao động nhanh chậm ngày đêm Một ngày đêm: t = 24h = 24.3600 = 86400s Chu kỳ dao động là: T1 chu kỳ dao động sai T2 + Số dao động lắc dao động thực ngày đêm: N1 = + Số dao động lắc dao động sai thực ngày đêm: N = t T1 t T2 1 − | T2 T1 T1 + Thời gian chạy sai ngày đêm là: ∆τ = T1.∆N = t | − 1| T2  Nếu chu kỳ tăng lắc dao động chậm lại  Nếu chu kỳ giảm lắc dao động nhanh lên + Số dao đông sai ngày đêm: ∆N =| N1 − N1 |= t | * Khi đưa lên độ cao h lắc dao động chậm ngày là: ∆τ = t h R * Khi đưa xuống độ sâu h lắc dao động chậm ngày là: Δτ = t d 2R * Thời gian chạy nhanh chậm nhiệt độ thay đổi ngày đêm là: Δτ = t λ | t - t | h * Thời gian chạy nhanh chậm tổng quát: Δτ = t | + λ(t - t ) | R Dạng 13 : Xác định chu kỳ lăc vấp(vướng) đinh biên độ sau vấp đinh 1) Chu kỳ lắc: * Chu kỳ cn lắc trước vấp đinh: T1 = 2π GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 l1 , l1 : chiều dài lắc trước vấp đinh g Trang Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 l * Chu kỳ lắc sau vấp đinh: T2 = 2π , l2 : chiều dài lắc sau vấp đinh g * Chu kỳ lắc: T = (T1 + T2 ) 2) Biên độ góc sau vấp đinh β : Chọn mốc O Ta có: WA=WN α0 ⇒ WtA=WtN ⇔ mgl2 (1 − cosβ ) = mgl1 (1 − cosα ) ⇔ l2 (1 − cosβ ) = l1 (1 − cosα ) góc nhỏ nên β0 N l 1 ⇒ l2 (1 − (1 − β 02 )) = l1 (1 − (1 − α ) ⇒ β = α : biên độ góc sau l2 2 O vấp đinh Biên độ dao động sau vấp đinh: A' =β l2 Dạng 14: Xác định chu kỳ lắc phương pháp trùng phùng Cho hai lắc đơn: Con lắc chu kỳ T1 biết Con lắc chu kỳ T2 chưa biết T2 ≈ T1 Cho hai lắc dao động mặt phẳng thẳng đứng song song trước mặt người quan sát Người quan sát ghi lại lần chúng qua vị trí cân lúc chiều(trùng phùng) Gọi θ thời gian hai lần trùng phùng liên tiếp a) Nếu T1 > T2 : lắc T2 thực nhiều lắc T1 dao động θ  θ T2 = n + 1 1 T2 = T2 =  = + θ 1 ⇒ ⇒ ⇒ ta có θ = nT1 = (n + 1)T2 ⇒  +1 + T2 Tθ n = θ T1 T1 θ T1   b) Nếu T1 < T2 : lắc T1 thực nhiều lắc T2 dao động θ  T2 = θ  1 T2 = T2 = n  = θ 1 ⇒ ⇒ ⇒ ta có θ = nT2 = (n + 1)T1 ⇒  −1 − T2 Tθ n = θ − T1 T1 θ T1   Dạng 15 : Xác định chu kỳ lắc chịu tác dụng thêm r ngoại lực không đổi F * Chu kỳ lắc lúc đầu: T1 = 2π l (1) g * Chu kỳ lắc lúc sau: T2 = 2π l (2) g hd r Khi lắc chịu tác dụng thêm ngoại lực không đổi F đó: r r r Trọng lực hiệu dụng(trọng lực biểu kiến): Phd = F + P r r r r r r F ⇔ mg hd = F + mg ⇒ g hd = g + m r r 1) Khi F ↑↑ P (cùng hướng) GV: Lê Thanh Sơn,  : 0905930406 α0 N r r F P Trang 10 O A Lý thuyết phương pháp giải dạng toán phần dao động lớp 12 F g hd = g + T2 T1: chu kỳ tăng m r r 3) Khi F ⊥ P (vng góc) F g hd = g +  ÷ T2 0, r r F ↑↓ E q