Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 năm học 2013 2014

68 3,770 29
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 12/08/2014, 09:00

Chuyên đề 1: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1 Cho biểu thức f( x ,y,...)a Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) M ( M hằng số) (1)Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = M (2) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Suối Ngô, Ngày 17, 18, 19, 21, 24/09/2013 Chuyên đề 1: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) ≤ M ( M hằng số) (1) - Tồn tại x o ,y o sao cho: f( x o ,y o ) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) ≥ m ( m hằng số) (1’) - Tồn tại x o ,y o sao cho: f( x o ,y o ) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1) 2 + ( x – 3) 2 . Mặc dù ta có A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x 2 – 2x + 1 + x 2 – 6x + 9 = 2( x 2 – 4x + 5) = 2(x – 2) 2 + 2 ≥ 2 A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax 2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 〉 0. Tìm GTLN của P nếu a 〈 0 Giải : P = ax 2 + bx +c = a( x 2 + a b x ) + c = a( x + a b 2 ) 2 + c - 2 2 4 b a Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 1 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Đặt c - a b 4 2 =k . Do ( x + a b 2 ) 2 ≥ 0 nên : - Nếu a 〉 0 thì a( x + a b 2 ) 2 ≥ 0 , do đó P ≥ k. MinP = k khi và chỉ khi x = - a b 2 -Nếu a 〈 0 thì a( x + a b 2 ) 2 `≤ 0 do đó P `≤ k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - a b 2 2/ Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x 2 - 7x)( x 2 – 7x + 12) Đặt x 2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y 2 - 36 ≥ -36 minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x 2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x 1 = 1, x 2 = 6. 3/ Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2 956 2 xx −− . Giải : A = 2 956 2 xx −− . = 569 2 2 +− − xx = 4)13( 2 2 +− − x . Ta thấy (3x – 1) 2 ≥ 0 nên (3x – 1) 2 +4 ≥ 4 do đó 2 1 (3 1) 4x − + ≤ 4 1 theo tính chất a ≥ b thì a 1 ≤ b 1 với a, b cùng dấu). Do đó 4)13( 2 2 +− − x ≥ 4 2− ⇒ A ≥ - 2 1 minA = - 2 1 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 3 1 . Bài tập áp dụng: 1. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 4x 9 = − + HD giải: ( ) 2 2 1 1 1 1 A . max A= x 2 x 4x 9 5 5 x 2 5 = = ≤ ⇔ = − + − + . Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 2 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 6x 17 = − + HD Giải: ( ) 2 2 1 1 1 1 A . max A= x 3 x 6x 17 8 8 x 3 8 = = ≤ ⇔ = − + − + 3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 A 2 x 2x 7 = + − + + b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. Ví dụ : Tìm GTNN của A = 12 683 2 2 +− +− xx xx . Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 4 2 1 x x x x x x − + + − + − + = 2 + 2 2 )1( )2( − − x x ≥ 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 y y y y y y y y y y y y y + − + + + + − − + − + = = + + − − + + − + + = 3 - y 2 + 2 1 y = ( y 1 -1) 2 + 2 minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 1 P 1 x x x + = − + 2, (36/210) Tìm GTNN của bt : 2 2 2 2006 B x x x − + = 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 C 5 7 x x x = − + 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, 2 2 2 2 D 2 3 x x x x + + = + + b, 2 2 2 1 E 2 4 9 x x x x + − = + + c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 1 43 2 + − x x Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 3 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 A = 1 144 2 22 + −−+− x xxx = 1 )2( 2 2 + − x x - 1 ≥ -1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 Tìm GTLN A = 1 14444 2 22 + −−−+ x xxx = 4 - 1 )12( 2 2 + + x x ≤ 4 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, 2 A 2 x x = + b, ( ) 2 3 2 B 2 x x = + 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 4 4 C x x x + + = Với x > 0; b, 5 3 2 D x x + = Với x > 0 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 3 2 E x x = + với x > 0; b, 3 2 1 F + = x x Với x > 0 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: ( ) 2 2 17 2 1 x x Q x + + = + Với x > 0 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 6 34 R 3 x x x + + = + Với x > 0 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 3 2000 S x x + = Với x > 0 III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của A = x 3 + y 3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x 2 –xy +y 2 ) + xy = x 2 – xy - y 2 + xy = x 2 + y 2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 ⇒ x 2 + 2xy + y 2 = 1 (1) Mà (x – y) 2 ≥ 0 Hay: x 2 - 2xy + y 2 ≥ 0 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x 2 + y 2 ) ≥ 1 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 2 1 Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 4 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x 2 + (1 – x) 2 = 2(x 2 – x) +1 = 2(x 2 - 2 1 ) 2 + 2 1 ≥ 2 1 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới Đặt x = 2 1 + a thì y = 2 1 - a . Biểu thị x 2 + y 2 ta được : x 2 + y 2 = ( 2 1 + a) 2 + ( 2 1 - a) 2 = 2 1 +2 a 2 ≥ 2 1 => MinA = 2 1 ⇔ a = 0 ⇔ x=y = 2 1 Bài tập 1: Tìm Min A = 2 2 3 3 2014a ab b a b+ + − − + Cách 1 Ta có: A= 2 2 2 1 2 1 1 2011a a b b ab a b− + + − + + − − + + 2 2 = a 2 1 2 1 1 2011a b b ab a b− + + − + + − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − − +b a b b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − +b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 1 a 1 2 1 2011 2 4 4 b b b a − − − = − + − + + + ( ) 2 2 3 1 1 = a 1 + 2011 2 4 b b − −   − + +  ÷    Min A = 2011 khi 1 a 1 0 1 2 1 0 b a b b −  − + =  ⇔ = =   − =  Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022 = a 1 1 2 4022 = + + − − + − + + − + + + + − + + + − + − + + − + a ab b a b a b b ab b a b b a b Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 5 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014  Min 2A = 4022 khi a 1 0 1 0 1 2 0 b a b a b − =   − = ⇔ = =   + − =  => Min A = 2011 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = 2 2 3 3 3a ab b a b+ + − − + Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: 2 2 2 4 2 8 6 15 0x y z x y z + + − + − + = Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 VT 2 1 4 8 4 6 9 1= x-1 2 2 3 1 1= − + + + + + − + + + + + − + ≥x x y y z z y z Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 1) 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + + + + + = 2) 2 2 2 x 4 9 2 12 12 1994y z x y z+ + − − − + Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1) VT 4 4 4 4 1 8 16 1 = x+2 2 1 4 1 1 x x y y z z y z = + + + + + + + + + + + + + + ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986 = 1 2 3 3 2 1986 1986 x y y z z x y z − + + − + + − + + − + − + − + ≥ Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = 2 2 4 5 10 22 28m mp p m p− + + − + Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 A = 4 4 2 1 10 20 27 = 2 2.5 2 25 1 2 = 2 5 1 2 2 m mp p p p m p m p m p p m p p − + + − + + − + − + − + + − + − + + − + ≥ Bài 5: CMR: Max B = 4 Với 2 2 B 5 2 4 10 6a b a ab b= − − − + + − Hướng dẫn Ta có: Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 6 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 2 2 B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = 4 - 4 4 6 9 2 2 1   − + + − + + − +   a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 = 4 - 2 2 2 1 3   − + − + + −   a b a b b ( ) ( ) 2 2 = 4 - 2 1 3 4   − + + − ≤   a b b Bài 6: Tìm GTNN của a) 2 2 A=a 5 4 2 5b ab b+ − − + ( Gợi ý ( ) ( ) 2 2 A = a - 2b 1 4b+ − + ) b) 2 2 B = x 3 3 2029y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B = x-y 3 3 2011y x+ − + − + ) c) 2 2 2 C 4 9 4 12 24 30x y z x y z= + + − + − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 C = x+2 2 3 3 4 1y z+ + + + + ) d) 2 2 D= 20x 18 24 4 12 2016y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 D= 4x-3y 2 1 3 2 2011x y+ − + − + ) Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : ( ) 2 2 2 2 a b c d a b c d+ + + = + + (*) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 0 4 4 4 4 4 4 0 2 2 2 0 a b c d ab a b c a b c d a b c d a b c d ab ac ad a b c d ab ac ad a ab b a ac c a ad d a a b a c a d a + + + = + + ⇔ + + + − + + = ⇔ + + + − − − = ⇔ + + + − − − = ⇔ − + + − + + − + + = ⇔ − + − + − + = Dấu “=” sảy ra khi : 2 2 2 0 0a b c d a b c d= = = = ⇔ = = = = BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : ( ) 2 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e+ + + + = + + + Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : 2 2 1a b ab a b+ + = + + Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 2 2 4 4 4 4 4 4 0a b ab a b+ + − + + = Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2 4 2 8 6 14x y z x y z+ + = − + − Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : 2 2 5 4 10 22 25m p mp m p+ = − + + Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 7 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1) 2 + ( x – 3) 2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1) 2 + (y – 1) 2 =2y 2 +2 ≥ 2 ⇒ minA= 2 ⇒ y=0 ⇒ x=2 2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất 1 B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0 Ví dụ : Tìm GTLN của 4 2 2 1 ( 1) x A x + = + (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi 1 A nhỏ nhất và ngược lại) Ta có : 1 A = 2 2 4 2 2 4 4 4 ( 1) 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x + + + = = + + + + .Vậy 1 A ≥ 1 min 1 A = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > 0 thì a n > b n BĐT Cô si: a + b ≥ 2 ab ; a 2 + b 2 ≥ 2ab ; (a + b) 2 ≥ 4ab ; 2( a 2 + b 2 ) ≥ ( a+ b) 2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd) 2 Ví dụ Cho x 2 + y 2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y ) 2 ≤ ( 2 2 +3 2 ).52 ⇒ ( 2x + 3y ) 2 ≤ 13.13.4 ⇒ 2x + 3y ≤ 26. Vậy maxA = 26 ⇔ 2 3 2 3 0 x y x y =   + ≥  Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 8 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Thay y = 3 2 x vào x 2 + y 2 = 52 ta được 4x 2 + 9x 2 = 52.4 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0 Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N∈ thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y) 2 – (x – y) 2 = 2005 2 - (x – y) 2 xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ x-y ≤ 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk 1 1 1 2x y + = Tìm GTNN của bt: A = x y+ Do x > 0, y > 0 nên 1 1 0, 0 yx > > áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 1 1 , x y ta có: 1 1 1 1 1 . 2 x y x y   + ≥  ÷   Hay 1 1 4 xy ≥ => 4xy ≥ Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => 0, 0x y≥ ≥ . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2 2 4 4x y xy+ ≥ ≥ = Vậy: Min A = 4 khi : 4 1 1 1 2 x y x y x y =   ⇔ = =  + =   VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 2 2 A x x 1 x x 1= − + + + + Ta có: 2 2 1 3 3 x x 1 x x R 2 4 4   − + = − + ≥ ∀ ∈  ÷   Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 9 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 2 1 3 3 x x 1 x x R 2 4 4   + + = + + ≥ ∀ ∈  ÷   Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số 2 2 x x 1, x x 1− + + + ta có : 2 2 2 2 4 24 x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 2 x x 1 2 − + + + + ≥ − + + + = + + ≥  Max A = 2 khi 4 2 2 2 x x 1 1 x 0 x x 1 x x 1  + + =  ⇔ =  − + = + +   VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y z A y z x = + + với x, y, z > 0. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: 3 x y z x y z A 3 . . 3 y z x y z x = + + ≥ = Do đó x y z x y z min 3 x y z y z x y z x   + + = ⇔ = = ⇔ = =  ÷   Cách 2 : Ta có : x y z x y y z y y z x y x z x x     + + = + + + −  ÷  ÷     . Ta đã có x y 2 y x + ≥ (do x, y > 0) nên để chứng minh x y z 3 y z x + + ≥ ta chỉ cần chứng minh : y z y 1 z x x + − ≥ (1) (1) ⇔ xy + z 2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z 2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z y z x + + . VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 10 [...]... A= 1 3+ 5 HD: A = = + 1 1 5+ 7 + + 1 7+ 9 1 5+ 7 3+ 5 1 ( 5− 3+ 7− 5+ 2 + + .+ 1 7+ 1 97 + 99 + .+ 9 9 − 7 + .+ 1 97 + 99 99 − 97 ) = 1 ( 99 − 3 ) 2  a+ b a + b   a + b + 2ab  + *Bài 39: Cho biểu thức D =   : 1 + 1 − ab   1 + ab    1 − ab a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 30 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 b) Tính giá trị của D với a = 2 c) Tìm... b)So sánh A với Gv:Lê Mỹ Hạnh 1 A Trường THCS Suối Ngơ 24 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 ( x − 9) ≥ 0 ⇒ A ≥ 1 1 b)XÐt hiƯu: A = = A A 6 x ( x + 9) 2 x +9 HD: a) A = 6 x Bài 4:  x−3 x   9 x x −3 x −2 − 1÷:  + − Cho A=  ÷  x 9 ÷  x+ x −6 x −2 x +3÷     a)Tìm x để biểu thức A xác định b)Rút gọn A c)với giá trị nào của x thì A < 1 d)Tìm x ∈ Z để 3 HD a) x ≥ 0 , x ≠ 9, x ≠... Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 19 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9 b, y = x2 + 4x + 4 + x2 − 6x + 9 Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 − 8 x + 16 b, y = 25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2 − 30 x + 9 Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2 x −1 + x + 2 x −1 Suối Ngơ, Ngày 25,26,28/ 09/ 2012-01,02/10/2012 CHUN ĐỀ... THCS Suối Ngơ 35 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 A 20 GT KL B 12 H C µ ∆ABH; H = 90 0 ; AB = 20cm 5 BH = 12cm; AC = AH 3 · BAC = ? Gi¶i: AB 20 5 AC = = = BH 12 3 AH AB BH = ⇒ AC AH XÐt ∆ABH vµ ∆ CAH cã : 0 · · AHB = CHA = 90 Ta cã AB BH (chøng minh trªn) = AC AH · ⇒ ∆ABH P ∆CAH (CH c¹nh gv) ⇒ CAH = · ABH 0 nªn · 0 · · L¹i cã BAH + · ABH = 90 BAH + CAH = 90 Do ®ã : BAC = 90 0 Bµi 2: Cho... , Tìm GTNN của Q = Gv:Lê Mỹ Hạnh 12 16 + x y x 3 + 2000 x x 2 + 2 x + 17 2( x + 1) Trường THCS Suối Ngơ 15 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M = Năm Học: 2013- 2014 x + 6 x + 34 x +3 Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của Q = x 2 + 1, 2 xy + y 2 x− y Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của B = x 2 y 3 2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành... 5 2x x-4 x x 2 − 3x + 4 x (Bồi dưỡng HSG tốn đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 1 3x + ( với x > -1 ) x+1 2 Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: B = 2 x + ( với x > 1 ) x-1 2 Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: C = 5 x 1 + ( với x > ) 2x-1 3 2 Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 16 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: D = Năm Học: 2013- 2014 x 5 + ( với 0 < x < 1... Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 13 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Bài 7:Tìm GTLN của : A = Năm Học: 2013- 2014 x − 1 + y − 2 biết x + y = 4 Bài 8 Tìm GTNN của : A = -x 2 + 4 x + 21 − -x 2 + 3 x + 10 Bài 9( 76/ 29) Tìm GTNN của : A = x y z + + với x, y, z dương và x + y + z ≥ 12 y z x Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A = x − 4 + y − 3 biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một...  x −1 − 3 x −1   Bài 29: Cho biểu thức: G=   10) a) Rút gọn F b) CMR: F < 3  x+2 x 1   x −1  :  ( x ≥ 0; x ≠ + − x x −1 x + x +1 1− x   2      Bài 30 : Cho biểu thức: H=   9) a) Rút gọn H b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 28 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 ( x ≥ 0; x ≠ 9) + − x + 2 x − 3 1− x x...GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2) 3 2 Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm) : 2 ≥ 9 A ⇒ A ≤  ÷ 9 3 3 1 2 max A =  ÷ khi và chỉ khi x = y = z = 3 9 VD 5: Tìm GTNN của A = xy yz zx + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1 z x y... các cạnh thỏa mãn: a ≤ b ≤ c CMR: ( a + b + c ) 2 ≤ 9bc Giải: Từ giả thiết bài ra ta có: Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 22 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 2b ≥ b + a > c ⇒ 4b − c > 0 ⇒ (b − c).(4b − c) ≤ 0 ⇒ 4b 2 + c 2 ≤ 5bc ⇒ ( 2b + c ) ≤ 9bc(1) Mà: (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 ≤ 9bc Ta có đpcm Bài 13: Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) . Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 7 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ :. Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 19 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, 2 2 4 4 1 4 12 9y x x x x= − + + − + b, 2 2 4 4 6 9y x x x x= + + + − + Bài 2: Tìm. Hạnh Trường THCS Suối Ngô 6 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 2 2 B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = 4 - 4 4 6 9 2 2 1   − + + − + + − + 
- Xem thêm -

Xem thêm: Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 năm học 2013 2014, Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 năm học 2013 2014, Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 năm học 2013 2014