ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10 Môn học : Đại số tuyến tính . Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu. HÌNH THỨC T HI: TỰ L UẬN CA 1 Câu 1 : C ho ma tr ận A =    7 4 1 6 2 5 8 −2 −2 −5    . Tín h A 2010 , b iết A có hai trò r iêng là 1 và 3 . Câu 2 : T ìm chie àu và m ột cơ s ở TR ỰC CHUẨN của k hông g ian ng hiệm của h ệ ph ương trìn h          x 1 + x 2 − x 3 − 2 x 4 = 0 2 x 1 + x 2 − 3 x 3 − 5 x 4 = 0 3 x 1 + x 2 − 5 x 3 − 8 x 4 = 0 5 x 1 + 3 x 2 − 7 x 3 − 1 2 x 4 = 0 Câu 3 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b iết ma trận của f tr ong cơ s ở chính tắc là A =    2 1 −1 1 3 4 −1 1 0    . Tìm m a trận cu ûa f tron g cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ;( 1 , 1 , 1 ) }. Câu 4 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b iết ma trận của f tr ong cơ s ở E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } l à A =    2 1 −1 3 2 4 4 3 9    . Tìm cơ sơ û và số ch iều của ker f. Câu 5 : C hoA là ma trận vuôn g tùy ý, thự c, cấp n, tho ả A 10 = 0 . Ch ứng tỏ rằn g A chéo h oá được kh i và ch ỉ khi A là ma tr ận kh ông. Câu 6 : T ìm m để ma tr ận A =    1 −2 3 −2 5 1 3 1 m    có ba trò r iêng dươn g (c ó thể trùn g n hau). Câu 7 : T rong hệ trụ c toạ độ Oxy ch o đư ờng co ng ( C) có ph ương tr ình 5 x 2 +2 xy+5 y 2 −2 √ 2 x+4 √ 2 y = 0 . Nhận dạn g và ve õ đường cong ( C) . Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm. Câu 1(1 .5đ) . C héo hóa ma trận ( 1 đ) A = P DP −1 ; P =    −2 −1 −4 −1 1 0 1 0 1    . D =    1 0 0 0 3 0 0 0 3    . A 2010 = P D 2010 P −1 , tín h ra được P −1 =    1 1 4 1 2 4 −1 −1 −3    ; D 2010 =    1 0 0 0 3 2010 0 0 0 3 2010    . Câu 2 (1 .5đ) . T ìm một cơ s ở tùy ý của kh ông gian n gh iệm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Dùn g quá trìn h Gram- Schm idt đưa về cơ s ở trực g iao: E 1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) } Ch uẩn ho ùa, có cơ sở tr ực chuẩn: E 2 = { 1 √ 6 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , 1 √ 67 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } 1 Câu 3 (1.5 đ). C ó nhiều cách làm . M a trận ch uyển cơ sở từ chín h tắc sang E là: P =    1 1 1 2 1 1 1 2 1    Ma tr ận của ánh x ạ tuyến t ính tron g cơ sơ û E là B = P −1 AP =    8 1 1 6 −2 −1 −2 −3 −9 −2    Câu 4(1 .5 đ) . Giả s ử x ∈ Kerf; [x] E = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T . Kh i đó f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ] E = 0 ⇔ A ·[x] E = 0 ⇔    2 1 −1 3 2 4 4 3 9       x 1 x 2 x 3    =    0 0 0    ⇔ [x] E =    6 α −1 1 α α    ⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) . Dim( Kerf) = 1 , cơ sơ û: ( 1 0 , −7 , 4 ) . Câu 5 (1 .5đ) . Vì A 10 = 0 nên A chỉ có m ột trò riên g là λ = 0 ( theo t ính ch ất, n ếu λ 0 là TR c ủa A, thì λ 10 0 là TR c ủa A 10 . A che ùo hóa được ⇔ A = P · D ·P −1 , D là m a trận 0 n ên A = 0 . Câu 6 (1. 5đ). M a tr ận đối xứng thực có ba tr ò r iêng dương , suy ra d ạn g toa øn p hươn g tương ứng xác đònh dươn g ( hay ma t rận đã cho xác đòn h dương) . Th eo Sylveste r, A xa ùc đònh dươn g khi và chỉ khi các đònh thức con chín h dươ ng ⇔ δ 1 = 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ 3 = det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 . Câu 7(1. 0đ) . Xét dạn g toàn ph ương 5 x 2 1 + 2 x 1 x 2 + 5 x 2 2 có m a trận A =  5 1 1 5  . C héo h óa tr ực giao m a trận A b ởi ma trận trực g iao P = 1 √ 2  1 −1 1 1  v à ma tr ận chéo D =  6 0 0 4  Đường cong ( C) có ptr ình tr ong h ệ trục Ouv v ới hai v éctơ cơ sở là  1 √ 2 , 1 √ 2  ,  −1 √ 2 , 1 √ 2  là: 6 ( u + 1 6 ) 2 + 4 ( v + 3 4 ) 2 = 11 12 . Đây là đườn g cong ellips e. Hệ trục Ouv t hu được từ hệ Oxy bằn g cách quay 1 go ùc 4 5 o ng ược chiều k im đồn g hồ. 2 . ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10 Môn học : Đại số tuyến tính . Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông được sử dụn. x 2 +2 xy+5 y 2 −2 √ 2 x+4 √ 2 y = 0 . Nhận dạn g và ve õ đường cong ( C) . Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm. Câu. ánh xạ tuy ến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b iết ma trận của f tr ong cơ s ở E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } l à A =    2 1 −1 3 2 4 4 3 9    . Tìm cơ sơ û và số ch iều của