PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  với M Ví dụ  x, y, z chứng minh : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) = ( x  y )  ( x z )  ( y  z )  với x;y;z  R   Vì (x-y)2  vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2  vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2  với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z  xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)  với x;y;z  R Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz với x;y;z  R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1)  Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2  b2  a  b  a)   ;   toán b) a2  b2  c2  a  b  c    3   c) Hãy tổng quát Giải: a) Ta xét hiệu =  a2  b2  a  b       a2  b2 a  2ab  b 1  = 2a  2b  a  b  2ab  = a  b   4 4 Vậy a2  b2  a  b      Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2  b2  c2  a  b  c  2   = a  b   b  c   c  a   Vậy 3   a2  b2  c2  a  b  c    3     Dấu xảy a = b =c 2 a  a   a n  a1  a   a n  c)Tổng quát   n n   Tóm lại bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2    mn  n     mp  p     mq  q            m  1           2 2 m  m  m  m     n     p     q     1  (luôn đúng) 2  2  2  2  m m   n 0 n  m  m   p0  m2 2 p  Dấu xảy    m n  p  q   q 0  m q 2  m m 2 1   2  Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có : a  b  c  abc(a  b  c ) Giải: Ta có : a  b  c  abc(a  b  c ) , a, b, c   a  b  c  a bc  b ac  c ab   2a  2b  2c  2a bc  2b ac  2c ab    a2  b2    2a b  b  c    2b c  c  a   2a c  2a bc  2b ac  2c ab    a2  b2   b 2  c2   c 2  a2   (a b  b c  2b ac )  (b c  c a  2c ab)  (a b  c a  2a ab)    a2  b2   b 2  c2   c 2  a2   ab  bc   bc  ac   ab  ac  Đúng với a, b, c Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: 2 0 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B Chú ý đẳng thức sau:  A  B 2  A  AB  B  A  B  C 2  A  B  C  AB  AC  BC  A  B 3  A  A B  AB  B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2  ab a) a2  b) a  b   ab  a  b c) a  b  c  d  e  a b  c  d  e  Giải: b2 a) a   ab  4a  b  4ab  4a  4a  b   2a  b   (BĐT đúng) Vậy a  b) b2  ab (dấu xảy 2a=b) a  b   ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b)  a  2ab  b  a  2a   b  2b    (a  b)  (a  1)  (b  1)  Bất đẳng thức cuối Vậy a  b   ab  a  b Dấu xảy a=b=1 c) a  b  c  d  e  a b  c  d  e   4 a  b  c  d  e   4ab  c  d  e  2          a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c  2 2  a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh      Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a 10  b10 a  b  a  b a  b  Giải: a 10       b10 a  b  a  b a  b  a12  a 10 b  a b10  b12  a12  a b  a b  b12      a b a  b  a b b  a   a2b2(a2-b2)(a6-b6)   a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x  y Giải: Chứng minh x2  y2 2 x y x2  y2  2 :x  y nên x- y   x2+y2  2 ( x-y) x y  x2+y2- 2 x+ 2 y   x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2   x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy  x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- )2  Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= x y  y  xy  y   x, y  R b/ a  b  c  a  b  c (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z   1 1     x yz x y z  Chứng minh :có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( 1 1 1 1   )=x+y+z - (   )  (vì   < x+y+z x y z x y z x y z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Ví dụ 5: Chứng minh :  a b c   2 ab bc ac Giải: Ta có : a  b  a  b  c  Tương tự ta có : 1 a a    (1) ab abc ab abc b b  ( 2) , bc abc c c  (3) ac abc Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c   1 ab bc ac Ta có : a  a  b  Tương tự : (*) a ac  ab abc b ab  bc abc (5) , ( 4) c cb  ca abc ( 6) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c   2 ab bc ac Từ (*) (**) , ta :  Phương pháp 3: (**) a b c    (đpcm) ab bc ac Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x  y  xy b) x  y  xy dấu( = ) x = y = c)  x  y 2  xy d) a b  2 b a Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:  x  y 2  xy Tacó a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc 2 ; c  a 2  4ac 2  a  b  b  c  c  a   64a b c  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số khơng âm : a, b  , ta có: a  b  ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1  a   a n  n n a1a a n  a  a   a n   a1a a n    n   n Dấu “=” xảy a1  a   a n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số khơng âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x  x  x  x x 1 1  a  x  Giải : Nếu đặt t =2 pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt  , a, b  b  x  x Khi phương trình có dạng : a b    b 1 a 1 a  b Vế trái phương trình:  a   b     a  b 1   a  b 1   a  b 1    1    1    1      3  b 1   a 1   a  b   b 1   a 1   a  b  1  1      a  b  c        b  1   a  1   a  b      b 1  a 1  a  b    b 1 a 1 a  b     3 3 a  1b  1a  b  3 a  1b  1a  b  2 Vậy phương trình tương đương với : a 1  b   a  b  a  b   2x  4x   x  Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P x y z   = x 1 y 1 z 1 Giải : P = 3- ( 1   ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > x 1 y 1 z 1 a  b  c  3 abc  Suy Q = 1 1 1 1 1   33  a  b  c         a b c abc a b c abc a b c 1 9     -Q   nên P = – Q  3- = x 1 y 1 z 1 4 4 Vậy max P = x = y = z = Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 abc    2abc a  bc b  ac c  ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a  bc  2a bc  1 1       a  bc a bc  ab ac  Tương tự : 1 1  1 1            b   ac b ac  bc ab  c   ab c ab  ac bc  2 abc     a  bc b   ac c   ab 2abc Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ : CMR tam giác ABC : a b c    (*) bca cab abc Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc    33 (1) bca cab abc (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b  c  a )(c  a  b)  ( b  c  a  c  a  b )  c ( 2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c)  abc  abc  (3) (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC Ví dụ 5: 0  a  b  c Cho  Chứng minh rằng: 0  x, y, z  by  cz  x  y  z   a  c  x  y  z 2   a b c 4ac Giải: Đặt f ( x )  x  (a  c ) x  ac  có nghiệm a,c Mà: a  b  c  f (b)   b  (a  c )b  ac  ac y  a  c  yb  ac  a  c  y b b x y z    xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c x  a  c  y  (a  c ) z a b c  x y z  xa  yb  zc  ac     a  c  x  y  z  a b c b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 xa  yb  zc ac x  y  z   a  c x  y  z    a b c x y z 2  4 xa  yb  zc ac     a  c   x  y  z  a b c  x y z  a  c    xa  yb  zc ac     x  y  z 2 (đpcm) 4ac a b c Ví dụ3: Cho x  , y  thỏa mãn x  y  CMR x  y  Gợi ý: Đặt x u , y v  2u-v =1 S = x+y = u  v  v = 2u-1 thay vào tính S Bài tập tự giải 1) Cho a > , b > , c > CMR: 25a 16b c   8 bc ca a b 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc    bc ca ab Phương pháp 14:   m  n  p  m  n  p  Dùng tam thức bậc hai Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c Định lí 1: a  f(x) > 0, x     a  f ( x)  0, x     a  f ( x)  0, x     a  f ( x)  0, x     Định lí 2: Phương trình f(x) = có nghiệm x1    x  a f    Phương trình f(x) = có nghiệm :  a f     x1  x      S   2 Phương trình f(x) = có nghiệm :  a f       x1  x    S   2   x1    x Phương trình f(x) = có nghiệm   f   f     x1    x   Ví dụ 1:Chứng minh f  x, y   x  y  xy  x  y   Giải: (1) Ta có (1)  x  x 2 y  1  y  y   2   2 y  1  y  y   y  y   y  y     y  1   Vậy f  x, y   với x, y   Chứng minh rằng: f  x, y   x y  x  y  xy  x  xy Ví dụ2: Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   x y  x  y  xy  x  xy   ( y  1) x  y 1  y  x  y      Ta có   y  y  y y   16 y    Vì a = y   f  x, y   Phương pháp 15: (đpcm) Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức với n  n0 ta thực bước sau : – Kiểm tra bất đẳng thức với n  n0 - Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) – kết luận BĐT với n  n0 Ví dụ1: Chứng minh : 1 1      2 n n n  N ; n  (1) Giải: Với n =2 ta có  1  2 (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2 Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1 Thật n =k+1 (1)  1 1      2 2 k (k  1) k 1 Theo giả thiết quy nạp  1 1 1      2   2 2 2 k (k  1) k k  1 k 1  1 1      2 (k  1) k  k  1 k k 1 1   k (k  2)  (k  1)  k2+2k Chứng minh  (1)     Giải: Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có a b (1)      k 1  a k 1  b k 1 k a k 1  b k 1 ab a b    2   (2) a k  b k a  b a k 1  ab k  a k b  b k 1 a k 1  b k 1    Vế trái (2)  2  a k 1  b k 1 a k 1  ab k  a k b  b k 1    a k  b k .a  b   (3) Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a  b giả thiết cho a  -b  a  b k  a k  b  bk  a k   b k a  b   (+) Giả sử a < b theo giả thiết - a , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải: Giả sử a  từ abc >  a  a < Mà abc > a <  cb < Từ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) >  b + c < a < b +c <  a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c > Ví dụ 2:Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac  2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a  4b , c  4d Giải: Giả sử bất đẳng thức : a  4b , c  4d cộng vế ta a  c  4( b  d ) (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2) Từ (1) (2)  a  c  2ac hay a  c   (vô lý) Vậy bất đẳng thức a  4b c  4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3:Cho x,y,z > xyz = Chứng minh Nếu x+y+z > 1   có ba số lớn x y z Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 1 1 =x + y + z – (   ) xyz = theo giả thiết x+y +z >   x y z x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương x,y,z >  xyz > (trái giả thiết) Còn số dương (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y,z lớn Ví dụ 4: Cho a, b, c  a.b.c=1 Chứng minh rằng: a  b  c  (Bất đẳng thức Cauchy số) Giải: Giả sử ngược l ại: a  b  c   (a  b  c)ab  3ab  a b  b a  cab  3ab  a b  (a  3a )b   Xét : f (b)  a b  (a  3a )b  Có   (a  3a )  4a = a  6a  9a  4a  a (a  6a  9a  4) =  a(a  1) (a  4)  a, b, c  (Vì   a  b  c    a  )  f (b)   vô lý Vậy: a  b  c  Ví dụ 5: Chứng minh không tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3): a  bc (1) b  ca (2) c  ab (3) Giải: Giả sử tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó: a  b  c  (b  c)  a  (a  b  c )(a  b  c)  b  ca  (c  a )  b c  ab  ( a  b)  c  (a  b  c)(a  b  c )   ( a  b  c )(  a  b  c )  Nhân (1’), (2’) (3’) vế với vế ta được:  [(a  b  c )(a  b  c)( a  b  c)]2   Vơ lý Vậy tốn chứng minh Phương pháp 17 : Sử dụng biến đổi lượng giác Nếu x  R đặt x = Rcos  , Rsin  ,   0,   ; x =      ,  2  Nếu x  R đặt x = R cos      0, c    ,3  2  (1’) (2’) (3’)  x  a  R cos  2 3.Nếu  x  a    y  b   R , (  0) đặt  , (  2 )  y  b  R sin  2  x    y    Nếu      R a, b  đặt  a   b   x    aR cos  , (  2 )   y    bR sin  Nếu toán xuất biểu thức : ax   b , a, b   Thì đặt: x  b    tg ,     ,  a  2  Ví dụ 1: Cmr : a  b  b  a  ab  1  b 1  a   2, a, b   1,1 2 Giải : a  1, b  a  cos  Đặt :  b  cos   ,   0,   Khi :  a  b  b  a  ab  1  b 1  a   2  cos  sin   cos  sin    cos  cos   sin  sin     sin(   )  3.cos(   )  cos(    )   2,   ( dpcm) Ví dụ : Cho a , b  Chứng minh : a b   b a1  ab Giải :  a   cos  Đặt :  b   cos         ,   0,        1 tg  tg (tg  cos   tg cos  ) tg   tg 2    cos  cos  cos  cos2  cos  cos  (sin   sin 2 ) sin(   ) cos in(   )     ab 2 2 2 cos  cos  cos  cos  cos  cos   a b   b a 1  Ví dụ 3: Cho ab  Chứng minh :  2   a  (a  4b)  2 2 a  4b Giải     :Đặt: a  2btg ,     ,   22  2 a  ( a  4b ) tg   (tg  2)2    4(tg  1).cos  a  4b  tg 2  sin 2  2(1  cos 2 )  2(sin 2  cos 2 )    2 sin(2  )    2  2, 2     Phương pháp 18: Sử dụng khai triển nhị thức Newton Kiến thức: Công thức nhị thức Newton n a  b n  C nk a nk b k , n  N * , a, b  R k 0 k Trong hệ số C n  n! (0  k  n) (n  k )!k! Một số tính chất đặt biệt khai triển nhị thức Newton: + Trong khai triển (a + b)n có n + số hạng + Số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng từ đến n Trong số hạng khai trtiển nhị thức Newton có tổng số mũ a b n +Các hệ số cách hai đầu k n C n  C n k k + Số hạng thứ k + C n a n k b k (0  k  n) Ví dụ 1: n Chứng minh 1  a    na, a  0, n  N * (bất đẳng thức bernoulli) Giải n n k Ta có: 1  a    C n a k  C n  C n a   na (đpcm) k 0 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: n a) an  bn  a  b  *   , a, b  0, n  N   n an  bn  cn  a  b  c  * b)   , a, b, c  0, n  N 3   Giải Theo cơng thức khai triển nhị thức Newton ta có: a  b n  C n0 a n  C n a n1b   C nn1 a.b n1  C nn b n a  b n  C n0 b n  C n b n1a   C nn 1b.a n 1  C nn a n n n  2a  b   C n (a n  b n )  C n (a n 1b  b n 1a )   C nn1 (a.b n1  b.a n1 )  C n (b n  a n ) a, b  0, i  1,2, , n  : a n i    b n i a i  b i   a n  b n  a n i b i  a i b n i n n n  2a  b   C n (a n  b n )  C n (a n  b n )   C n 1 (a n  b n )  C n (b n  a n ) n n  (a n  b n )(C n  C n   C n 1  C n )  n (a n  b n ) n a n  bn ab    n   b) Đặt d  abc 0 Theo câu (a) ta có: n ab cd  2   2  n n n n a b c  d      4 n n n ab c d           ( a  b  c  d )n  d n  n n n n n  a  b  c  d  4d  a n  b n  c n  3d n an  bn  cn abc   dn   3   Phương pháp 19: n Sử dụng tích phân Hàm số: f , g : a, b  R liên tục, lúc đó: b * Nếu f ( x)  0, x  a, b  f ( x)dx  a b * Nếu f ( x)  g ( x ), x  a, b   b f ( x )dx   g ( x )dx a a * Nếu f ( x)  g ( x ), x  a, b  x  a, b : f ( x )  g ( x0 ) b  b f ( x )dx   g ( x )dx a a b * b  f ( x )dx   f ( x ) dx a a b * Nếu m  f ( x)  M , x  a, b m  f ( x)dx  M (m, M ba a số) Ví dụ 1: Cho A, B, C ba góc tam giác Chưng minh rằng: tg A B C  tg  tg  2 Giải: x Đặt f ( x)  tg , x  (0,  ) x (1  tg ) 2 x x f '' ( x )  tg (1  tg )  0, x  (0,  ) 2 f ' ( x)  Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho: f ( A)  f ( B )  f (C )  A B C   f  3   A B C  A BC  tg  tg  tg  3tg   2   A B C  tg  tg  tg  3tg 2 A B C tg  tg  tg  2   dx  Ví dụ 2: Chứng minh:   10  cos x Giải   Trên đoạn 0,  ta có:  2  cos x    cos x   2  2 cos x     cos x    1   5  cos x  1 dx 1  dx       0      0      đpcm  2 5   cos x   10  cos x ... c Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: 2 0 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất. .. sin x  Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy: sin nx  n sin x , n    , x  R + Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai... =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng