BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1) dx ln x C x.    2)    2 2 dx dx 1 1 1 1 dx dx . .dx . x a x a x a 2a x a x a 2a x a x a                                  d x a d x a 1 1 1 x a . . ln x a ln x a .ln C 2a x a x a 2a 2a x a                           3)   2 2 2 2 2 2 2 2 d x a x.dx 1 1 . .ln x a C x a 2 x a 2          4)   d ax b dx 1 1 . ln ax b C ax b a ax b a          5)               n 1 n n n d ax b ax b dx 1 1 . ax b .d ax b . C a a ax b ax b n 1                   1. Tích phân dạng     P x I .dx Q x     - Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ Q(x). - Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích những nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. - Trong nội dung chương trình phổ thơng ta chỉ tiếp xc với cc dạng sau của Q(x). ● Dạng 1.         1 2 n Q x x a x a x a     - Ta phân tích :            1 2 n P x P x Q x x a x a x a     1 2 n 1 2 n A A A x a x a x a        - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 2 n A , A , , A . ● Dạng 2.         m 1 2 n Q x x a x a x a x b      - Ta phân tích :             m 1 2 n P x P x Q x x a x a x a x b          1 2 n 1 2 m 2 m 1 2 n A A A B B B x a x a x a x b x b x b               - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 2 n 1 2 m A , A , , A , B , B , , B . ● Dạng 3.             2 2 1 2 n Q x x a x a x a x px q , p 4q 0         - Ta phân tích :              2 1 2 n P x P x Q x x a x a x a x px q         1 2 n 2 1 2 n A A A Bx C x a x a x a x px q            - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 2 n A , A , , A , B, C. ● Dạng 4.         2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Q x x p x q x p x q , p 4q 0; p 4q 0          - Ta phân tích :              1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 P x P x B x C B x C Q x x p x q x p x q x p x q x p x q              - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 1 2 2 B , C , B , C . 2. Tích phân dạng   2 , dx I a 0 ax bx c        Trong đó   2 ax bx c 0, ;       Xt 2 b 4ac    ● Nếu 0   thì 2 2 b ax bx c a x 2a           Khi đó : 2 2 dx 1 dx I . a b b a x x 2a 2a                       ===> Dạng cơ bản   n dx ax b   . ● Nếu 0   thì     2 1 2 ax bx c a x x x x      , với 1 2 x , x là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó :    1 2 1 dx I . a x x x x       ===> Dạng cơ bản 2 2 dx x a   . ● Nếu 0   thì 2 2 2 2 b Δ ax bx c a x 2a 4a                             Khi đó : 2 2 2 2 dx 1 dx I . ax bx c a b Δ x 2a 4a                                  === > Dạng 2 2 dx x a   . BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 1 2 0 dx x 2x 2    ĐS : π . 4 Bi 2. Tính tích phân : 1 2 0 dx x 2x 2    ĐS : π . 4 Bi 3. Tính tích phân : 1 2 0 dx x x 1    ĐS : π 3 . 9 Bi 4. Tính tích phân : 0 2 1 dx x 2x 4     ĐS : π 3 18 . 3. Tích phân dạng   2 , mx n I .dx a 0 ax bx c         Trong đó   2 mx n x ax bx c f     liên tục trên đoạn   ;   - Ta phân tích :   2 2 2 A. 2ax b mx n B ax bx c ax bx c ax bx c           - Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A, B. - Khi đó 2 2 2 mx n 2ax b 1 I .dx A. .dx B. .dx ax bx c ax bx c ax bx c                     + Tích phân   2 2 2 2 d ax bx c 2ax b .dx ln ax bx c ax bx c ax bx c                    + Tích phân 2 1 .dx ax bx c      đ tính ở trn. BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân :   0 2 2 2x 2 dx x 4x 8      ĐS : π ln 2 . 4  Bi 2. Tính tích phân : 1 2 0 4x 11 .dx x 5x 6     ĐS : 9 ln . 2 4. Tích phân dạng (tham khảo thm)   2 n n . x I dx ax b    - Sử dụng đồng nhất thức :     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x .a x . ax . ax b b a a a              2 2 2 1 . ax b 2b ax b b a          - Do đó :               2 2 2 2 n n n 2 n 1 n 2 2 ax b 2b ax b b x 1 1 1 2b b a a ax b ax b ax b ax b ax b                        - Vậy :         2 n 2 2 n n n 2 n 1 x 1 dx dx dx I .dx . 2b. b . a ax b ax b ax b ax b                       2 n 2 n 1 n 2 1 . I 2b.I b .I a          . BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân :   3 2 39 2 x .dx 1 x  - HD: Phân tích:     2 2 x 1 x 2 1 x 1      . ĐS : Bi 2. Tính tích phân :   3 3 10 2 x .dx 1 x  - HD: Phân tích:       2 3 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1 .        ĐS : 5. Tích phân dạng 2 2 dx I x a    - Đặt : x a.tan t  . ==>   2 dx a. 1 tan t .dt   - Khi đó   2 2 2 2 2 2 a. 1 tan t .dt dx 1 dt 1 . .ln t C. x a a tan t a a t a           BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 1 2 0 dx x 4   ĐS : Bi 2. Tính tích phân : 1 2 0 dx 2x 6x 9    ĐS : 6. Tích phân dạng (tham khảo thm)   n n 2 2 dx I x a    - Đặt:     n n 1 2 2 2 2 1 2nx u du dx x a x a dv dx v x                    7. Tích phân dạng (tham khảo thm)     n n 2 , dx I a 0, n 2 ax bx c         Trong đó   2 ax bx c 0, ;       - Ta cĩ:   n n n n 22 2 dx 1 dx I . a ax bx c b x 2a 4a                            ===> Dạng   n n 2 2 dx I x a      BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân :   1 3 2 0 dx x 4x 3    ĐS : Bi 2. Tính tích phân :   1 2 2 0 dx x 3x 2    ĐS : 2 4ln2 2ln3. 3   8. Tích phân dạng (tham khảo thm)     k k 2 , mx n I .dx a 0, k 2 ax bx c        - Phân tích :   m mb mx n 2ax b n 2a 2a      - Do đó :         k k k 2 2 2 2ax b mx n m mb 1 . n . 2a 2a ax bx c ax bx c ax bx c                  - Ta sẽ thu được 2 tích phân :     k 2 2ax b .dx ax bx c     v   k 2 1 .dx ax bx c   +           2 k k k 1 2 2 2 d ax bx c 2ax b 1 1 .dx . C 1 k ax bx c ax bx c ax bx c                       +   k 2 1 .dx ax bx c   đ tính ở trn. 9. Tích phân dạng (tham khảo thm)     m n dx I x a x b     Trong đó m,n   là các số nguyên dương, ngoài phương pháp h ệ số bất định, ta cịn cĩ thể sử dụng php đặt t x a x b    để giải. Ví dụ : Tính tích phân     1 2 3 0 dx I x 2 x 3     + Đặt : x 2 5 1 1 t t 1 x 3 x 3 x 3 5               2 2 2 5 1 t 5dt dt .dx 5 .dx dx 5 x 3 1 t               +           3 2 5 2 3 5 2 2 4 2 1 t dx 1 x 3 1 t 1 5dt 1 .dx . . .dt x 2 5 t 5 t x 2 x 3 x 3 1 t                        + Đổi cận : 2 1 x 0 t ; x 1 t 3 4         . + Khi đó :   1 1 3 4 4 4 2 4 2 2 2 3 3 1 t 1 1 1 1 I dt 3 3 t dt 5 t 5 t t                   . . Tính tích phân :   3 2 39 2 x .dx 1 x  - HD: Phân tích:     2 2 x 1 x 2 1 x 1      . ĐS : Bi 2. Tính tích phân :   3 3 10 2 x .dx 1 x  - HD: Phân tích:       2 3 3 x.     1. Tích phân dạng     P x I .dx Q x     - Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ Q(x) a      BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân :   1 3 2 0 dx x 4x 3    ĐS : Bi 2. Tính tích phân :   1 2 2 0 dx x 3x 2    ĐS : 2 4ln2 2ln3. 3   8. Tích phân dạng (tham khảo thm) 