LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC Cán hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN Học viên: NGUYỄN THỊ THOAN Lớp Cao học 2011-2013 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, 26/09/2013 Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức đề tài trừu tượng, đặc biệt bất đẳng thức tam giác Mặc dù năm trở lại đây, bất đẳng thức tam giác khơng đề cập nhiều chương trình tốn phổ thơng ln vấn đề thu hút với ham mê toán học, đặc biệt học sinh chun tốn Bởi vì, kết hợp yếu tố: Đại số, Giải tích Hình học nên mang vẻ đẹp riêng Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức đề tài trừu tượng, đặc biệt bất đẳng thức tam giác Mặc dù năm trở lại đây, bất đẳng thức tam giác khơng đề cập nhiều chương trình tốn phổ thơng ln vấn đề thu hút với ham mê toán học, đặc biệt học sinh chun tốn Bởi vì, kết hợp yếu tố: Đại số, Giải tích Hình học nên mang vẻ đẹp riêng Đối với bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức tam giác nói riêng, học sinh ln băn khoăn việc phân loại dạng áp dụng phương pháp chứng minh hiệu cho dạng Hơn nữa, biết, người học sinh đánh giá giỏi toán phải biết tự tìm tịi sáng tạo toán Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN LỜI NĨI ĐẦU Do đó, song song với nguyện vọng giúp học sinh phân loại phương pháp giải bất đẳng thức tam giác, tác giả cịn muốn kích thích sáng tạo em ý tưởng xây dựng bất đẳng thức nằm tài liệu sẵn có Điều thơi thúc tác giả tìm hiểu nghiên cứu đề tài Một phân loại xây dựng bất đẳng thức tam giác Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN LỜI NĨI ĐẦU Do đó, song song với nguyện vọng giúp học sinh phân loại phương pháp giải bất đẳng thức tam giác, tác giả cịn muốn kích thích sáng tạo em ý tưởng xây dựng bất đẳng thức nằm ngồi tài liệu sẵn có Điều thơi thúc tác giả tìm hiểu nghiên cứu đề tài Một phân loại xây dựng bất đẳng thức tam giác Do khuôn khổ hạn chế luận văn nên tác giả tập trung khai thác bất đẳng thức có liên quan đến đại lượng góc tam giác Ngồi ra, với dạng khác, tác giả xin dành cho chuyên đề sau Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương Áp dụng tính chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương Áp dụng tính chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Chương Áp dụng tính lồi, lõm hàm số chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương Áp dụng tính chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Chương Áp dụng tính lồi, lõm hàm số chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Chương Áp dụng bất đẳng thức đại số chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN Chương Áp dụng tính chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng bất đẳng thức lượng giác tam giác 1.1 Một số kiến thức [2] Định lý 1.1 (Định lý dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f (x) = ax + bx + c, (a = 0) Đặt ∆ = b2 − 4ac - Nếu ∆ < f (x) dấu với hệ số a với x ∈ R b 2a - Nếu ∆ > f (x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , giả sử x1 < x2 Khi f (x) dấu với hệ số a với x ∈ (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞) trái dấu với hệ số a với x ∈ (x1 , x2 ) - Nếu ∆ = f (x) dấu với hệ số a với x = − Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 26/09/2013 Hà Nội, TAM GIÁC / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy xây dựng số bất đẳng thức tam giác Tương tự trên, ta xây dựng bất đẳng thức sau: 1 + + ≥ cos A cos B cos C 1 + + ≥ A B C sin sin sin 2 √ 1 + + ≥ A B C cos cos cos 2 Ngoài ta kết hợp Hệ 3.1.1 với bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 3.1.3 Khi ta có √ 1 √ +√ +√ ≥ 3 3 cos A cos B cos B cos C cos C cos A Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 63 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy xây dựng số bất đẳng thức tam giác Kết 3.1.2 (Kết hợp Hệ 3.1.2 với bất đẳng thức bản) Bài toán 3.1.12 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có (1 + tan A) (1 + tan B) (1 + tan C ) ≥ + √ 3 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức: (1 + tan A) (1 + tan B) (1 + tan C ) ≥ + √ tan A tan B tan C √ tan A tan B tan C ≥ 3 Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 64 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy xây dựng số bất đẳng thức tam giác Tương tự trên, ta xây dựng bất đẳng thức sau: √ A B C + cot + cot + cot ≥ 1+ 2 √ 1 1+ 1+ ≥ 1+ 1+ sin A sin B sin C cos A 1+ cot A 1+ cos B 1+ cot B 1+ Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) cos C 1+ cot C 1+ ≥ 27 ≥ 1+ √ 3 MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 65 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 3.2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki Định lý 3.1.1 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) Với hai số (a1 , a1 , , an ) (b1 , b1 , , bn ) ta ln có 2 (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ a1 + a1 + + an Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) 2 b1 + b2 + + bn MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 66 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2.2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh số bất đẳng thức tam giác Ví dụ 3.2.4 Chứng minh tam giác ABC ta ln có cos B√ C√ 9√ A√ cos B + + cos cos C + + cos cos A + ≤ 2 2 Lời giải Đặt P = cos A√ B√ C√ cos B + + cos cos C + + cos cos A + 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P≤ cos2 A B C + cos2 + cos2 2 Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) (cos A + cos B + cos C + 3) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 67 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2.2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh số bất đẳng thức tam giác Ví dụ 3.2.4 (tiếp) Áp dụng bất đẳng thức A B C + cos2 + cos2 ≤ , 2 cos A + cos B + cos C ≤ cos2 Ta P≤ +3 = 9√ Dấu đẳng thức xảy A = B = C hay ABC tam giác Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 68 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng số bất đẳng thức tam giác Hệ 3.2.1(Bất đẳng thức Schwarz) Với hai số thực (a1 , a2 , a3 ) (b1 , b2 , b3 ) bi > 0, ∀i = 1, 2, ta ln có 2 a2 a3 (a1 + a2 + a3 )2 a1 + + ≥ b1 b2 b3 b1 + b2 + b3 Hệ 3.2.2 Với hai số thực (a1 , a1 , a3 ) (b1 , b1 , b3 ) ta ln có 2 a1 + b + 2 a2 + b + Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) 2 a3 + b ≥ (a1 + a2 + a3 )2 + (b1 + b2 + b3 )2 MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 69 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng số bất đẳng thức tam giác Kết 3.2.1 (Kết hợp Hệ 3.2.1 với bất đẳng thức bản) Bài toán 3.2.1 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có √ tan2 A tan2 B tan2 C 3 + + ≥ tan B + tan C tan C + tan A tan A + tan B Bất đẳng thức xây dựng từ hai bất đẳng thức tan2 A tan2 B tan2 C tan A + tan B + tan C + + ≥ tan B + tan C tan C + tan A tan A + tan B √ tan A + tan B + tan C ≥ 3 Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 70 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng số bất đẳng thức tam giác Bài toán 3.2.2 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có √ cot2 A cot2 B cot2 C + + ≥ cot B + n cot C cot C + n cot A cot A + n cot B n+1 Bài toán 3.2.3 Chứng minh tam giác ABC , với n ∈ N ta ln có tan2 A B C tan + n tan 2 Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) tan2 + B C A tan + n tan 2 tan2 + C A B tan + n tan 2 √ ≥ n+1 MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 71 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng số bất đẳng thức tam giác Kết 3.2.2 (Kết hợp Hệ 3.2.2 với bất đẳng thức bản) Bài toán 3.2.5 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có √ √ √ + tan2 A + + tan2 B + + tan2 C ≥ Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức √ √ √ + tan2 A+ + tan2 B+ + tan2 C ≥ + (tan A + tan B + tan C )2 Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) √ tan A + tan B + tan C ≥ 3 MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 72 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng số bất đẳng thức tam giác Bài toán 3.2.6 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta có 1+ + sin2 A 1+ + sin2 B 1+ √ ≥ 21 sin C Bài toán 3.2.8 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có √ √ √ + tan2 A + tan2 B + + tan2 B + tan2 C + + tan2 C + tan2 A ≥ √ Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 73 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN KẾT LUẬN Phân loại cách rõ ràng có hệ thống dạng bất đẳng thức tam giác cách chứng minh dạng Mỗi ví dụ đưa ví dụ điển hình giúp học sinh nắm bắt nhanh chóng dạng cách giải Các phương pháp chứng minh vừa ngắn gọn, lại vừa thể mối quan hệ sâu sắc Đại số, Giải tích Hình học Luận văn gợi mở cho học sinh ý tưởng để xây dựng bất đẳng thức Từ đây, em làm chủ kiến thức, tự tìm hiểu sáng tạo tốn nằm ngồi sách Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 74 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 75 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, (2005), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu, (2007), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn, (2008), Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội Phạm Kim Hùng, (2012), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội Hội nghị khoa học, (2004), Các chuyên đề chọn lọc bồi dưỡng học sinh khiếu Tốn hệ THPT Chun, Hà Nội Hồng Văn Minh, (2012), 1000 tập trọng tâm điển hình mơn Toán, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 76 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Tiến, (2004), Một số kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức, Hội thảo khoa học "30 năm Việt Nam tham dự Olympic Toán quốc tế, Hà Nội Đàm Nhật Quang, (2004), Những quy luật dẫn tới bất đẳng thức Cauchy, Jensen, Karamata suy rộng, Hội thảo khoa học "30 năm Việt Nam tham dự Olympic Toán quốc tế, Hà Nội Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 77 / 77 ... chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Chương Áp dụng tính lồi, lõm hàm số chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG... xây dựng bất đẳng thức tam giác Chương Áp dụng tính lồi, lõm hàm số chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Chương Áp dụng bất đẳng thức đại số chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Nguyễn... MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨCHà Nội, 26/09/2013 TRONG TAM GIÁC 39 / 77 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG KẾT LUẬN 2.3.2 Áp dụng Bất đẳng thức Karamata xây dựng số bất đẳng thức tam giác