1 BÀI TẬP MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Câu 1. Cho bài tóan Quy họach tuyến tính mà ta gọi là bài tóan (P) = − − + → 1 2 3 4 ( ) 3 4 5 6 min f x x x x x + + + =   + + =   + + =  ≥ = 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 13 14 2 14 11 3 14 16 0, 1,4. j x x x x x x x x x x x j 1) Chứng minh (4,3,7,0) x = là phương án cực biên tối ưu của bài tóan (P). 2) Viết bài tóan ñối ngẫu của bài tóan (P) và tìm phương án tối ưu của bài tóan ñối ngẫu. 3) Chứng minh 17 101 20 0, , , 27 27 27 x   ′ =     là ph ươ ng án c ự c biên nh ư ng không ph ả i là ph ươ ng án t ố i ư u c ủ a bài tóan (P). Hãy xây d ự ng m ộ t ph ươ ng án c ự c biên m ớ i t ố t h ơ n x ′ . Câu 2. Cho bài tóan Quy h ọ ach tuy ế n tính mà ta g ọ i là bài tóan (P) = − − + → 1 2 3 4 ( ) 7 2 12 5 min f x x x x x + + − =   + + =  ≥ = 1 2 3 4 2 3 4 4 11 2 5 15 0, 1,4. j x x x x x x x x j 1) Ch ứ ng minh (0,4,7,0) x = là ph ươ ng án c ự c biên t ố i ư u c ủ a bài tóan (P). 2) Vi ế t bài tóan ñố i ng ẫ u c ủ a bài tóan (P) và tìm ph ươ ng án t ố i ư u c ủ a bài tóan ñố i ng ẫ u. Câu 3. Cho bài tóan Quy h ọ ach tuy ế n tính mà ta g ọ i là bài tóan (P) = + + → 1 2 3 ( ) 4 5 7 min f x x x x + + =   + + =  ≥ = 1 2 3 1 2 3 3 6 2 3 14 0, 1,3. j x x x x x x x j 1) Li ệ t kê t ấ t c ả các ph ươ ng án c ự c biên c ủ a bài toán (P). 2) Ch ứ ng t ỏ bài toán có ph ươ ng án t ố i ư u. T ừ ñ ó ch ỉ ra ph ươ ng án c ự c biên t ố i ư u. 3) Phát bi ể u bài toán ñố i ng ẫ u c ủ a bài toán (P), và tìm ph ươ ng án t ố i ư u c ủ a bài toán ñố i ng ẫ u. Câu 4. M ộ t xí nghi ệ p d ự ñị nh s ả n xu ấ t ba lo ạ i s ả n ph ẩ m A, B và C. Các s ả n ph ẩ m này ñượ c ch ế t ạ o t ừ ba lo ạ i nguyên li ệ u I, II và III . S ố l ượ ng các nguyên li ệ u I, II và III mà xí nghi ệ p có l ầ n l ượ t là 30, 50, 40. S ố l ượ ng các nguyên li ệ u c ầ n ñể s ả n xu ấ t m ộ t ñơ n v ị s ả n ph ẩ m A, B, C ñượ c cho ở b ả ng sau ñ ây NL SP I II III A 1 1 3 B 1 2 2 C 2 3 1 2 Xớ nghieọp muoỏn leõn moọt k hoch sn xut ủ thu ủc tng s lói nhiu nht (vi gi thit cỏc sn phm lm ra ủu bỏn ht), nu bit rng lói 5 triu ủng cho mt ủn v sn phm loi A, lói 3.5 triu ủng cho mt ủn v sn phm loi B, lói 2 triu ủng cho mt ủn v sn phm loi C. 1) Lp mụ hỡnh bi toỏn Quy hoch tuyn tớnh. 2) Bng phng phỏp ủn hỡnh, hóy gii bi toỏn trờn. Cõu 5. Mt Xớ nghip chn nuụi cn mua mt lai thc n tng hp T1, T2, T3 cho gia sỳc vi t l cht dinh dng nh sau: 1 kg T1 cha 4 ủn v dinh dng D1, 2 ủn v dinh dng D2, v 1 ủn v dinh dng D3; 1 kg T2 cha 1 ủn v dinh dng D1, 7 ủn v dinh dng D2, v 3 ủn v dinh dng D3; 1 kg T3 cha 3 ủn v dinh dng D1, 1 ủn v dinh dng D2, v 4 ủn v dinh dng D3. Mi ba n, gia sỳc cn ti thiu 20 ủn v D1, 25 ủn v D2 v 30 ủn v D3. Hi Xớ nghip phi mua bao nhiờu kg T1, T2, T3 mi lai cho mt ba n ủ bo ủm tt v cht dinh dng v tng s tin mua l nh nht ? Bit rng 1 kg T1 cú giỏ l 10 ngn ủng, 1 kg T2 cú giỏ l 12 ngn ủng, 1 kg T3 cú giỏ l 14 ngn ủng. Cõu 6. Cho bi toỏn Quy hach tuyn tớnh 1 2 3 1 2 3 1 2 3 j f(x) x 2x 3x min 6x 3x 2x 20 2x 6x 3x 25 x 0; j 1,3. = + + + + + + = 1) Phỏt bi u bi toỏn ủ i ng u c a bi toỏn trờn . 2) Hóy gi i m t trong hai bi toỏn r i suy ra ph ng ỏn t i u c a bi toỏn cũn l i. Cõu 7. M t cụng ty s n xu t hai lo i s n n i th t v s n ngoi tr i. Nguyờn li u ủ s n xu t g m hai lo i A, B v i tr l ng l 6 t n v 8 t n t ng ng. s n xu t m t t n s n n i th t c n 2 t n nguyờn li u A v 1 t n nguyờn li u B. s n xu t m t t n s n ngoi tr i c n 1 t n nguyờn li u A v 2 t n nguyờn li u B. Qua ủ i u tra th tr ng cụng ty bi t r ng nhu c u s n n i th t khụng h n s n ngoi tr i quỏ 1 t n. Giỏ bỏn m t t n s n n i th t l 2000 USD, giỏ bỏn m t t n s n ngoi tr i l 3000 USD. H i c n s n xu t m i lo i s n bao nhiờu t n ủ cú doanh thu l n nh t ? Cõu 8. Cho bi túan v n t i cõn b ng thu phỏt hm m c tiờu c c phớ min v ph ng ỏn (ph ng ỏn ủ c xõy d ng b ng ph ng phỏp gúc Tõy B c) 30 40 50 60 80 1 30 5 40 7 10 2 45 5 7 4 40 9 5 55 12 2 3 6 55 1) Tớnh c c phớ v n chuy n c a ph ng ỏn trờn v ch ng t ph ng ỏn ny l ph ng ỏn c c biờn khụng suy bi n v khụng t i u. 3 2) Xuất phát từ phương án trên hãy xây dựng một phương án mới tốt hơn (chỉ cần một phương án mới tốt hơn). Câu 9. Cho bài tóan vận tải cân bằng thu phát hàm mục tiêu cước phí max và phương án (phương án ñược xây dựng bằng phương pháp góc Tây – Bắc) 60 40 50 60 50 10 50 5 17 2 75 5 10 7 40 4 25 5 85 12 12 1 25 6 60 1) Tính cước phí vận chuyển của phương án trên và chứng tỏ phương án này là phương án cực biên không suy biến và không tối ưu. 2) Xuất phát từ phương án trên hãy xây dựng một phương án mới tốt hơn (chỉ cần một phương án mới tốt hơn). Câu 10. Đại hội thế vận ñược tổ chức ñồng loạt cùng ngày ở 4 ñịa ñiểm. Các nhu cầu vật chất (tấn) ñược phát ñi từ 3 ñịa ñiểm. Các dữ liệu về yêu cầu thu phát và cự ly (km) ñược cho trong bảng dưới ñây. Do ñặc ñiểm của các phương tiện vật chất, thời gian và phương tiện vận tải, nên không thể chuyển quá xa trên 150 km. Tìm phương án chuyên chở sao cho tổng số chiều dài quãng ñường là nhỏ nhất. 15 10 17 18 20 160 50 100 70 30 100 200 30 60 10 50 40 30 50 Câu 11. Cho bài tóan vận tải: 80 20 60 50 5 4 2 40 3 6 70 7 9 Trong ñó ô(2,1) và ô(3,3) là ô cấm, tức là tuyến ñường từ nơi phát hàng thứ 2 ñến nơi nhận hàng thứ 1 và tuyến ñường từ nơi phát hàng thứ 3 ñến nơi nhận hàng thứ 3 không thể ñi qua ñược. 4 1) Xây dựng một phương án cực biên. 2) Xuất phát từ phương án này hãy xây dựng một phương án mới tốt hơn (chỉ cần một Câu 12. Giải bài tóan vận tải cân bằng thu phát: 40 70 90 100 5 6 9 45 4 10 55 4 2 5 Trong ñó ô(2,2) là ô cấm, tức là tuyến ñường từ nơi phát hàng thứ 2 ñến nơi nhận hàng thứ 2 không thể ñi qua ñược. Câu 13. Cho bài tóan vận tải cân bằng thu phát và hai phương án. Phương án (1) ñược xây dựng bằng phương pháp cực tiểu theo bảng cước phí (tức phương pháp “min cước”): 40 70 20 80 10 20 9 60 2 30 4 3 10 1 20 20 2 20 6 2 Phương án (2) ñược xây dựng bằng phương pháp Fogel 40 70 20 80 10 20 9 60 2 20 30 4 3 10 1 20 2 20 6 2 1) Hỏi các phương án này có phải là các phương án cực biên không suy biến? 2) Hỏi phương án nào là phương án tốt hơn? 3) Kiểm tra tính tối ưu của các phương án. Câu 14. Một nhà máy chế biến thịt, sản xuất ba loại thịt: bò, lợn, cừu, với tổng lượng mỗi ngày là 480 tấn bò; 400 tấn lợn; 230 tấn cừu. Mỗi loại ñều có thể bán ñược ở dạng tươi hoặc nấu chín. Tổng lượng các loại thịt nấu chín ñể bán trong giờ làm việc là 420 tấn. Ngoài ra nấu thêm ngoài giờ 250 tấn (với giá cao hơn). Lợi nhuận thu ñược trên một tấn ñược cho bằng bảng sau: (với ñơn vị là triệu ñồng) 5 Tươi Nấu chín Nấu chín ngoài giờ Bò 8 11 14 Lợn 4 7 12 Cừu 4 9 13 Mục ñích của nhà máy là tìm phương án chế biến ñể làm cực ñại lợi nhuận. Hãy tìm phương án chế biến ñó. Đề thi tham khảo (Thời gian làm bài 60 phút) Câu I: (3 ñiểm) Cho bài tóan Quy họach tuyến tính mà ta gọi là bài tóan (P) = + + + → + + + =   − + + =   − + + =  ≥ = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 4 7 0 min 2 3 4 5 20 2 3 5 2 16 0, 1,4. j f x x x x x x x x x x x x x x x x x x j a) Chứng minh ( ) 1,2,0,3 x = là phương án cực biên, tối ưu của bài tóan (P). b) Viết bài tóan ñối ngẫu của bài tóan (P) và tìm phương án tối ưu của bài tóan ñối ngẫu. Câu II: (4 ñ i ể m) Một gia ñình cần ít nhất 1800 ñơn vị prôtêin và 1500 ñơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Một kilôgam thịt bò chứa 600 ñơn vị prôtêin và 600 ñơn vị lipit, một kilôgam thịt heo chứa 600 ñơn vị prôtêin và 300 ñơn vị lipit, một kilôgam thịt gà chứa 600 ñơn vị prôtêin và 600 ñơn vị lipit. Giá một kilôgam thịt bò là 80 ngàn ñồng, giá một kilôgam thịt heo là 75 ngàn ñồng, giá một kilôgam thịt gà là 90 ngàn ñồng. Hỏi một gia ñình nên mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại ñể: bảo ñảm tốt khẩu phần ăn trong một ngày và tổng số tiền phải mua là nhỏ nhất? Câu III: (3 ñ i ể m) Giải bài tóan vận tải cân bằng thu phát sau: j i 40 45 60 65 90 1 5 7 2 65 5 7 4 9 55 12 2 3 6 . 1 BÀI TẬP MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Câu 1. Cho bài tóan Quy họach tuyến tính mà ta gọi là bài tóan (P) = − − + → 1 2 3 4 ( ) 3 4 5 6 min f x. c ủ a bài tóan (P). 2) Vi ế t bài tóan ñố i ng ẫ u c ủ a bài tóan (P) và tìm ph ươ ng án t ố i ư u c ủ a bài tóan ñố i ng ẫ u. Câu 3. Cho bài tóan Quy h ọ ach tuy ế n tính mà ta g ọ i là bài. phương án chế biến ñó. Đề thi tham khảo (Thời gian làm bài 60 phút) Câu I: (3 ñiểm) Cho bài tóan Quy họach tuyến tính mà ta gọi là bài tóan (P) = + + + → + + + =   − + + =   − + + =  ≥