Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0 1 a   ) . x y x y a a a   ;     . y x x x y y a a a   x x y y a a a   ; 1 x x a a   . Ghi nhớ công thức khử cơ số:         f x g x a a f x g x        1 0 f x a f x    ;     log f x a a c f x c    Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai 2 . . 0 x x m a n a p    (1) Cách giải:  Đặt   , 0 x t a t   , khi đó   2 2 2 x x t a a   . Ta có p/trình   2 . . 0, 0 mt nt p t     (2)  Giải p/trình (2), tìm nghiệm 0 t   Giải p/trình log x a a t x t     Kết luận, nghiệm của (1) Ví dụ: Giải các phương trình sau 1) 2 1 3 4.3 1 0 x x    2)     2. 3 2 2 2 1 1 0 x x      Lời giải : 1) 2 1 3 4.3 1 0 x x    2 3.3 4.3 1 0 x x     Đặt   3 , 0 x t t   , khi đó 2 2 3 x t  . Ta có p/trình 2 3 4 1 0 t t    ,   0 t  Giải p/trình này được 1 1; 3 t t   (thỏa mãn đ/k 0 t  )  Với 1 t  , ta có 0 3 1 3 3 0 x x x      - Với 1 3 t  , ta có 1 1 3 3 3 1 3 x x x         Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm 0; 1 x x    Chú ý: 2 1 2 1 2 3 3 .3 3.3 x x x    2) Để ý   2 2 1 2 2 2 1 3 2 2       Đặt   2 1 x t   ,   0 t  , Khi đó       2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 x x x t                    P/trình đã cho trở thành 2 2 1 0 t t    ,   0 t  Giải p/trình này ta được 1 t  (nhận); 1 0 2 t    (loại)  Với 1 t  , ta có   2 1 1 0 x x      Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 0 x  . Dạng 2: . . 0 x x m a n a p     hay . 0 x x n m a p a    Cách giải:  Đặt   , 0 x t a t   , khi đó 1 1 x x a t a    Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm 0 t  . Rồi tìm x.  Kết luận. Ví dụ : Giải các phương trình sau 1) 1 6 6 5 0 x x    2) 1 1 1 5 26 0 5 x x      Lời giải: 1) Ta có 1 6 6 5 0 x x    6 6.6 5 0 x x      Đặt 6 x t  ,   0 t  ta có 1 1 6 6 x x t     Ta có p/trình 1 6. 5 0 t t    ,   0 t  2 5 6 0 t t     . Giải p/trình này được 6 t  (thỏa); 1 0 t    (không thỏa)  Vậy ta có 6 6 1 x x    . Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất 1 x  . 2) Để ý : 1 1 5 5 .5 5.5 x x x    ; 1 1 1 1 5 5 5 .5 5 x x x     Ta có 1 1 1 5 26 0 5 x x      5 5.5 26 0 5 x x     Đặt   5 , 0 x t t   ta có p/trình   5 5. 26 0, 0 t t t     2 5 26 5 0 t t     Giải p/trình này được 1 5; 5 t t   (thỏa mãn đ/k 0 t  )  Với 5 t  , ta có 5 5 1 x x    - Với 1 5 t  , ta có 1 1 5 5 5 1 5 x x x         Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm 1; 1 x x    Dạng 3: Bất phương trình mũ     f x g x a a ,   0 1 a   Cách giải:  Nếu 0 1 a   ta có     f x g x  (đổi chiều BPT)  Nếu 1 a  ta có     f x g x  . Với BPT   f x a c  - Nếu 0 1 a   , ta có   log a f x c  (Đổi chiều BPT) - Nếu 1 a  , ta có   log a f x c  Ví dụ : Giải các bất phương trình a) 2 3 1 2 4 x x  b)   2 2 3 1 9 3 x x  Giải: a) Ta có 2 3 1 2 4 x x  2 3 2 2 2 x x     2 3 2 x x     2 3 2 0 x x     1 2 x    Vậy BPT đã cho có tập nghiệm   1;2 T  Vì cơ số 2 1 a   nên 2 3 2 2 2 x x    2 3 2 x x     (hai BPT có cùng chiều). Để giải BPT 2 3 2 0 x x    , ta tìm nghiệm tam thức 2 3 2 x x   và xét dấu rồi chọn miền nghiệm. b)   2 2 3 1 1 3 9 x x      2 2 3 2 1 1 3 3 x x   2 2 3 2 x x    (đổi chiều BPT do cơ số 1 1 3 a   ) 2 2 3 2 0 x x     1 2 2 x     Vậy BPT đã cho có tập nghiệm 1 2; 2 T         Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình 2 2 2 9.2 2 0 x x    Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 1 7 2.7 9 0 x x    Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Giải phương trình 2 1 3 9.3 6 0 x x    Câu 4: Giải các bất phương trình sau a)     2 3 2 6 1 1 2 2 x x x    b) 2 2 7 6 3 3 x x x    2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit. Lý huyết Ghi nhớ: Với 0 1, 0, 0 a b c     khi đó Tính toán: log a a    ; log log a a b b    1 log log a a b b    Cộng, trừ logarit : log log log . a a a b c b c   ; log log log a a a b b c c   Đổi cơ số: log log log a c a b b c  ; 1 log log a b b a   Cách khử logarit:           0 log log a a f x f x g x f x g x              log c a f x c f x a    Chú ý: 10 log log lg a a a   ; log ln e a a  . Dạng 1: Biến đổi về phương trình     log log a a f x g x  Cách giải: - Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi. - Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit. Ví dụ: Giải các p/trình sau: 1)   3 9 log 9 log 5 x x   2)     2 2 2 log 2 log 3 log 12 x x    Lới giải: 1)  Đ/k xác định: 0 0 9 0 x x x        Khi đó ta có   3 9 log 9 log 5 x x   2 3 3 3 log 9 log log 5 x x     3 3 1 2 log log 5 2 x x     3 3 log 3 2 x   2 3 log 2 3 9 x x x       (thỏa mãn đ/k)  Vậy p/trình có nghiệm duy nhất 9 x  . 2)  Đ/k xác định 2 0 2 3 3 0 3 x x x x x                Khi đó ta có     2 2 2 log 2 log 3 log 12 x x        2 2 log 2 3 log 12 x x        2 3 12 x x     2 5 6 0 x x     Giải p/trình này dược 6 x  (thỏa đ/k); 1 x   (không thỏa đ/k)  Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 6 x  . Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit     2 .log .log 0 a a m f x n f x p    Cách giải:  Đ/k xác định:   0 f x   Đặt   log a t f x  , t   Ta có p/trình 2 . 0 mt nt p    . Giải p/trình này tìm t.  Giải p/trình     log t a f x t f x a    để tìm x.  Kết luận. Ví dụ : Giải ph/trình 2 2 2 2 log 3log 10 0 x x    Giải: Đ/k xác định: 0 x  Ta có     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log log 2log 4log x x x x     Đặt 2 log t x  , ta có 2 2 2 2 log 4 x t   P/trình đã cho trở thành 2 4 3 10 0 t t    Giải p/trình này được 5 2; 4 t t     Với 2 t  , ta có 2 2 log 2 2 4 x x x      - Với 5 4 t   , ta có 5 4 2 5 log 2 4 x x       Kết luận: P/trình đã cho có hai nghiệm 5 4; 4 x x    . Dạng 3: Bất p/trình     log log a a f x g x  ,   0 1 a   . Điều kiện xác định:     0 0 f x g x        - Nếu 0 1 a   , ta có     f x g x  (BPT đổi chiều) - Nếu 1 a  , ta có     f x g x  (BPT cùng chiều)  Với BPT   log a f x c  - Nếu 0 1 a   , ta có   c f x a  (BPT đổi chiều) - Nếu 1 a  , ta có   c f x a  (BPT cùng chiều) Ví dụ: Giải các bất p/trình: a)   2 2 log log 3 1 x x   b)     1 1 3 3 log 2 1 log 2 x x    Giải: a)  Đ/kiện xác định: 0 1 3 1 0 3 x x x          Với 1 3 x  ta có :   2 2 log log 3 1 x x   3 1 x x    1 2 1 2 x x     { Cơ số 2 1 a   nên có BPT cùng chiều}  Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 1 ; 3 2 T        b)  Đ/kiện xác định: 2 1 0 1 2 0 2 x x x           Với 1 2 x  ta có :     1 1 3 3 log 2 1 log 2 x x    2 1 2 x x     3 x   { Cơ số 1 1 2 a   nên BPT đổi chiều}  Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 ;3 2 T        Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban): Giải phương trình   4 2 log log 4 5 x x   . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình       3 3 3 log 2 log 2 log 5x x x      . Câu 3: Giải các bất phương trình a)   1 5 1 5 5 log log 2 log 3 x x   b) 2 3 3 log 4log 3 0 x x    . Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0 1 a . phương trình 2 1 3 9.3 6 0 x x    Câu 4: Giải các bất phương trình sau a)     2 3 2 6 1 1 2 2 x x x    b) 2 2 7 6 3 3 x x x    2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit. . Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình 2 2 2 9.2 2 0 x x    Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 1 7 2.7 9 0 x x    Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân