CHƯƠNG ứng dụng quy hoạch phi tuyến quy hoạch động hệ thống nguồn nước Những ứng dụng ban đầu kỹ thuật vận trù học vào toán hệ thống nguồn nước chủ yếu dựa vào việc sử dụng kỹ thuật quy hoạch tuyến tính quy hoạch động Việc sử dụng kỹ thuật để giải toán hệ thống nguồn nước đà ghi lại nhiều tài liệu Các đoạn chương trình quy hoạch tuyến tính phổ biến rộng rÃi, nhiên quy hoạch động đòi hỏi đoạn chương trình riêng cho ứng dụng Việc sử dụng quy hoạch phi tuyến giải toán hệ thống nguồn nước chưa phổ biến hầu hết toán yêu cầu lời giải thực tế toán phi tuyến Sự phát triển gần kỹ thuật quy hoạch phi tuyến đoạn chương trình quy hoạch phi tuyến sẵn có đà lôi ứng dụng quy hoạch phi tuyến vào toán hệ thống nguồn nước Hai phần chương trình bày sở quy hoạch động Sau đó, trình bày bước tính toán tối ưu hóa phi tuyến không ràng buộc bước tính toán tối ưu hóa phi tuyến có ràng buộc 4.1 Quy hoạch động Quy hoạch động (DP-Dynamic Programming) biến đổi toán định nối tiếp hay nhiều giai đoạn có nhiều biến định liên quan với thành chuỗi toán giai đoạn đơn lẻ, toán đơn lẻ chứa một vài biến Nói cách khác, kỹ thuật quy hoạch động phân tách toán N định thành chuỗi N toán định riêng lẻ có liên quan với Sự phân tách hữu dụng việc giải toán lớn, phức tạp việc phân tách toán thành chuỗi toán nhỏ 129 sau kết hợp lời giải toán nhỏ để nhận lời giải mô hình tổng thể Lý sử dụng phân tách nhằm để giải toán có hiệu mà tiết kiệm đáng kể khối lượng tính toán Theo kinh nghiệm, khối lượng tính toán tăng theo hàm mũ với số biến tăng tuyến tính theo số toán Chương chủ yếu đề cập đến quy hoạch động Những sách đề cập đến quy hoạch động Dreyfus and Law (1977), Cooper and Cooper (1981) Denardo (1982) Để diễn tả triết lý chung kỹ thuật quy hoạch động, xem xét toán phân bổ tài nguyên sau Giả sử nguồn vốn phân bổ cho ba dự án thuỷ lợi A, B C, nhằm tối đa hóa tổng thu nhập dự tính Mỗi dự án gồm có phương án xây dựng khác mà đòi hỏi mức cấp vốn khác mang lại lợi nhuận khác Do hạn chế ngân sách, tổng lượng vốn sẵn có cho toàn dự án không đổi (đà ấn định) Nếu số phương án cho dự án không lớn, liệt kê đầy đủ tất kết hợp phương án dự án để xác định kết hợp phương ¸n tèi ­u cho sù ph¸t triĨn dù ¸n tỉng thể Tất nhiên, hướng tiếp cận liệt kê đầy đủ có ba nhược điểm chính: (1) trở nên không khả thi số lượng kết hợp phương án lớn; (2) kiểm định tổ hợp hành động tối ưu tất phương án kết hợp kiểm tra, chí tổ hợp bắt gặp từ tính toán ban đầu; (3) loại trừ từ đầu tổ hợp nghiệm không khả thi Trong quy hoạch động phương án cho dự án xem xét riêng mà không bỏ qua phụ thuộc lẫn dự án thông qua tổng ngân sách có Vì tổng lượng vốn bị hạn chế, lượng vốn dành cho dự án phụ thuộc vào phân bổ cho dự án lại Với lượng vốn ấn định cho dự án A B, phân bổ cho dự án lại, C, phải tiến hành ®Ĩ tèi ­u hãa lỵi nhn cđa nã ®èi víi khả vốn lại Nói cách khác, phân bổ tối ưu cho dự án C phụ thuộc vào lượng vốn dành cho C sau đà phân bổ cho A B Vì phân bổ tối ưu cho dự án A B, phân bổ lợi nhuận tối ưu từ dự án C phải xác định cho tất lượng vốn lại có thể, sau phân bổ cho dự án A B tiến hành Hơn với lượng vốn phân bổ cho dự án A, phân bổ cho dự án B C phải làm cách tối ưu lượng vốn lại sau đà phân bổ cho dự án A Để tìm phân bổ tối ưu cho dự án B ta tìm phân bổ làm tối đa hóa lợi nhuận từ dự án B với lợi nhuận tối ưu từ dự án C Sự phân bổ hàm lượng vốn lại từ phân bổ cho dự án B Cuối cùng, phân bổ tối ưu cho dự án A xác định để tối đa lợi nhuận từ dự án A céng víi lỵi nhn tèi ­u kÕt hỵp cđa dự 130 án B C, hàm lượng vốn lại sau phân bổ cho dự án A Trong thực tế, lượng vốn phân bổ đồng thời cho ba dự án Sự phân bổ theo chuỗi thứ tự động tác mặt toán học cho phép ta tiến hành định Quy hoạch động khắc phục hạn chế phương pháp liệt kê đầy đủ việc sử dụng khái niệm sau: Bài toán tách thành toán phương án tối ưu lựa chọn cho toán theo chuỗi trình tự để không cần liệt kê tất phương án trước toán Bởi tối ưu hóa áp dụng cho toán con, phương án không tối ưu tự động bị loại bỏ Các toán cần kết nối với theo cách định để không tối ưu hóa phương án không khả thi 4.1.1 Các thành phần mô hình quy hoạch động Ví dụ phân bổ lượng vốn cho dự án nước vừa mô tả mô hình hóa toán học lµ: N Mi Max rij xij (4.1.1a) i 1 j với giả thiết là: N Mi cij xij  F i 1 j 1 (4.1.1b) Mi  xij  1, j 1 víi i  1, 2,3, N Tất xij = (4.1.1c) (4.1.1d) Trong rij lợi nhuận sinh từ phương án j dự án i, cij yêu cầu cấp vốn cho phương án j dự án i, xij biến định mà lÊy hc b»ng hc b»ng 1, b»ng phương án j dự án i không lựa chọn phương phương án j dự án i lựa chọn F tổng lượng vốn giành cho dự án này, N tổng số lượng dự án xem xét, Mi tổng số phương án dự án i Tập hợp thứ hai ràng buộc biểu thị tất dự án xét đến phải cấp vốn Hơn nữa, phương án dự án xung khắc với nhau, tức phương án dự án chọn 131 Hình 4.1.1 Biểu thị thứ tự chuỗi toán quy hoạch động Theo thảo luận chung hướng tiếp cận giải quy hoạch động, mô hình quy hoạch toán học mô tả hình 4.1.1 Theo hình 4.1.1, phần tử ngôn từ thiết lập toán quy hoạch động sau: Các giai đoạn (n) điểm toán mà định lựa chọn Trong ví dụ phân bổ lượng vốn, dự án đặc trưng cho giai đoạn mô hình quy hoạch động Nếu toán định phân tách thành N toán con, chuyển sang toán quy hoạch động có N giai đoạn Các biến định (dn) tổ hợp hành động tiến hành giai đoạn Quyết định ví dụ phân bổ lượng vốn dự án phương án lựa chọn dự án Số biến định, dn, giai đoạn không thiết Các biến trạng thái (Sn) biến diễn tả trạng thái hệ thống giai đoạn n Một biến trạng thái rời rạc liên tục, hạn định không hạn định Trong hình 4.1.1, giai đoạn n bất kỳ, có trạng thái đầu vào, Sn, trạng thái đầu ra, Sn+1 Các biến trạng thái hệ thống mô hình quy hoạch động có chức liên kết giai đoạn cho giai đoạn tối ưu hóa riêng biệt định thu tự động khả thi cho toàn toán Hơn nữa, cho phép ta định tối ưu cho giai đoạn lại mà không cần phải kiểm tra ảnh hưởng định tương lai tới định đà trước Lợi nhuận giai đoạn (rn) số đo tính hiệu định làm giai đoạn Nó hàm trạng thái đầu vào, trạng thái đầu biến định giai đoạn định Tức là: rn=r(Sn, Sn+1, dn) Phép biến đổi trạng thái hay phép biến đổi giai đoạn (tn) phép biến đổi đơn trị biểu thị mối quan hệ trạng thái đầu vào, trạng thái đầu ra, định Nói chung, thông qua phép biến đổi trạng thái này, đầu 132 Bảng 4.1.1 Chi phí lợi nhuận phương ¸n VÝ dô 4.1.1 Dù ¸n A Dù ¸n B Chi phí cA (triệu đô) Lợi nhuận rA (triệu đô) Chi phí cA (triệu đô) Lợi nhuận rA (triệu đô) Chi phí cA (triệu đô) Lợi nhuận rA (triệu đô) Phương án Dự ¸n C 8 12 - - giai đoạn n biểu thị hàm trạng thái đầu vào biến định sau: Sn+1=tn(Sn, dn) (4.1.2) Để minh họa thuật giải đại số hướng tiếp cận quy hoạch động tối ưu hóa toán, toán phân bổ vốn dự án giải ví dụ sau Ví dụ 4.1.1 Bảng 4.1.1 gồm vốn cần thiết (triệu đô la) cho phương án ri biểu thị lợi nhuận (triệu đô la) mà sinh dự án Tổng ngân sách xây dựng triệu đô la Giả sử tất dự án xét phải thực thi Xác định tổ hợp tối ưu phương án để tối đa hóa lợi nhuận tổng cộng Lời giải Các yếu tố cho mô hình quy hoạch động định nghĩa sau: Giai đoạn (n): dự án biểu thị giai đoạn với n = A, B C Biến trạng thái (Sn): biến trạng thái giai đoạn tập hợp phương án xét Biến định (dn): biến định phương án chọn cho giai đoạn (dự án) Lợi nhuận giai đoạn (rn): lợi nhuận sinh từ phương án đà chọn Hàm chuyển đổi trạng thái (tn): Sn = dn với n = C vµ Sn+1 = dn víi n = A vµ B Theo dạng giản đồ, toán miêu tả hình 4.1.2a dạng toán chuỗi định Một cách rõ ràng hơn, hệ thống Hình 4.1.2a Sự biểu thị thành chuỗi toán ví dụ phân bổ ngân sách 133 Hình 4.1.2b Biểu thị mạng lưới ví dụ phân bổ ngân sách sử dụng phương án biến trạng thái mở rộng cho biểu thị mạng lưới hình 4.1.2b trạng thái khả thi (các phương án) giai đoạn (dự án) Giả sử chuỗi định theo thứ tự dự án hình 4.1.2a; phân tích tiến hành theo trình tự ngược lại việc bắt đầu với dự án cuối (tức dự án C) Thứ tự dự án không quan trọng ví dụ Thuật toán đệ quy bắt đầu với giai đoạn n = C, có hai trạng thái (hay phương án) khả thi hình 4.1.2b Vì trạng thái cuối cùng, không liên quan đến tối ưu hóa * * Nói cách khác, định tối ưu cho dự án C d C S C tối ưu hóa tương ứng phát biểu Max fC(SC) = rC(dC = SC) dạng bảng, tính toán cho giai đoạn Bảng 4.1.2(a) Lùi lại giai đoạn để xem xét dự án B Với trạng thái khả thi giai đoạn n = B, mục đích để xác định kết nối tốt (dưới dạng lợi nhuận tích lũy dự án B) cho tất trạng thái khả thi giai đoạn sau (chỉ có giai đoạn C thời điểm tại) Bài toán tối ưu hãa lµ Max f B ( S B )  rB  S B   fC  d B * Những tính toán để xác định kết nối tối ưu cho trạng thái khả thi dự án B đưa Bảng 4.1.2(b) Chú ý toán chuỗi lựa chọn phương án với ràng buộc ngân sách Cần phải theo dõi kiểm tra phí tổn tích lũy trình tối ưu hóa chuyển từ giai đoạn sang giai đoạn Trong Bảng 4.1.2(b) với trạng thái khả thi dự án B, là, SB = (phương án 1, phương án 2, phương án 3), điều tương ứng hai định với trạng thái giai đoạn (dự án C), dC = SC = (phương án 1, phương án 2) Để giải thích tính toán có liên quan Bảng 4.1.2(b) xét dòng cuối tương ứng với SB = phương án Lợi nhuận tích lũy gắn liền với dC = phương án 12 triệu đô la + triệu đô la = 15 triệu đô la số (12 triệu đô la) lợi nhuận sinh từ lựa chọn phương án cho dự án B số thứ hai (3 triệu đô la) lựa chọn phương án cho dự án C đà Bảng 4.1.2(a) Chi phí tích lũy tương ứng với kết nối trạng thái dự án B C (tức là, SB = phương án SC = phương án 1) triệu đô + triệu đô = triệu đô, khả thi vòng hạn chế ngân sách triệu đô Với ý tới SB = phương án dB = SC = phương án 2, lợi nhuận tích lũy 17 triệu đô, lớn định ban đầu 15 triệu đô; nhiên, chi phí tích lũy triệu đô sử dụng hết toàn ngân sách không kinh phí cho dự án A Điều vi phạm ràng buộc yêu cầu tất dự án phải thực thi Vì vậy, định dB = SC = phương án không khả thi cần phải loại bỏ Hai cột cuối Bảng 4.1.2(b) ghi vào lợi nhuận tích lũy tối ưu định tối ưu ứng với trạng thái khả thi cho dự án B Những nối kết tối ưu cho trạng thái khả thi giai đoạn tới giai đoạn đánh dấu khung chữ nhật Bảng 4.1.2b 134 Khi đà kết thúc phân bổ dự án B, phân tích tiến hành theo chiểu ngược lại để xem xét dự án A Giải pháp tối ưu cho dự án A phương án 3, có lợi nhuận tổng cộng 21 triệu đô la cho ba dự án Sử dụng trình tính đà dùng cho dự án B, bảng tính toán cho dự án A Bảng 4.1.2(c) Kiểm tra cột cuối Bảng 4.1.2(c) tương ứng với ®Þnh tèi ­u d * , ng­êi ta thÊy r»ng tổng lượng vốn triệu đô sử dụng hết thực giải pháp tối A ưu Bước cuối kỹ thuật quy hoạch động bước tìm ngược qua ba giai đoạn theo thứ tự ngược lại, tức A B C dùng bảng tính toán tương ứng Chú ý rằng, từ Bảng 4.1.2(c), tổng lợi nhuận đạt lớn 21 triệu đô ứng với SA = phương án Với SA = phương án 2, định tối ưu d * S B = phương án đà khoanh tròn Tiếp tục tìm ngược A Bảng 4.1.2(b), với SB = phương án 3, định tối ưu tương ứng d * S C = phương án Đến B * * hoàn thành bước tìm ngược lựa chọn tối ưu phương án ( d * ,d B ,dC ) ( A phương án 2, phương án 3, phương án 1) tổng lợi nhuận tối ưu (lớn nhất) 21 triệu đô la Bước tìm ngược minh họa hình 4.1.2b đường nét đậm Bài toán giải việc xác định biến trạng thái lượng ngân sách sẵn có (Bài toán 4.1.2) 4.1.2 Các đặc trưng thuật giải quy hoạch động Từ ví dụ 4.1.1, đặc tính đặc trưng cho tất toán quy hoạch động sau: Bài toán chia thành giai đoạn, với biến định giai đoạn Mỗi giai đoạn có số trạng thái gắn liền với ảnh hưởng định lựa chọn giai đoạn để tạo lợi nhuận, dựa hàm lợi nhuận giai đoạn đó, để biến đổi biến trạng thái thành biến trạng thái cho giai đoạn kế tiếp, thông qua hàm chuyển đổi trạng thái Với trạng thái tại, sách tối ưu cho giai đoạn lại độc lập với sách đà chấp nhận giai đoạn trước Đây gọi nguyên lý Bellman tính tối ưu, xem cốt lõi quy hoạch động Lời giải bắt đầu việc tìm định tối ưu cho trạng thái Bảng 4.1.2(a) Tính toán quy hoạch động cho dự ¸n C Lỵi nhn tèi ­u SC * fC (triƯu đô la) Quyết định tối ưu * dC Phương án (1)+ Phương án (chi phí = triệu đô la) Phương án (3) Phương án (chi phí = triệu đô la) Dấu + () chi phí tích lũy cho dự án C 135 Bảng 4.1.2(b) Tính toán quy hoạch động cho dù ¸n B * f B (S B ,d B ) = rB (S B )+ f C (d B ) dB = S C Phương án * f B () d* B 8+5=13 (2+3=5) 13 PA - ($5) 9+3=12 (3+1=4) 9+5=14 (3+3=6) 14 PA - ($6) 12+3=15 (4+1=5) SB Phương án 12+5=17 (4+3=7, không khả thi)# 15 PA-1 ($5) Phương án Phương án 8+3=11 (2+1=3)+ Phương án Dấu + () chi phí tích lũy cho dự án C # không khả thi, định sử dụng tất $7 triệu ngân sách không dự trữ cho dự án A giai đoạn cuối (gọi đệ quy lùi) hay giai đoạn (gọi đệ quy tiến) Một thuật giải tiến bắt đầu tính toán từ giai đoạn giai đoạn cuối thuật giải lùi bắt đầu tính toán từ giai đoạn cuối tới giai đoạn Một mối quan hệ đệ quy xác định sách tối ưu cho trạng thái giai đoạn n xây dựng cho trước sách tối ưu cho trạng thái giai đoạn tiếp theo, n+1 Phương trình đệ quy lùi này, theo hình 4.1.1, viết là: f n* ( Sn )  opt rn ( Sn d n ) o f n*1 (Sn1 ) dn (4.1.3)  opt rn (Sn dn ) o f n*1[tn ( Sn , dn )] dn obiểu thị toán tử đại số mà +, -, , miễn phù hợp với toán Phương trình đệ quy cho thuật giải tiến phát biểu là: f n* ( Sn ) opt rn ( Sn , d n ) o f n*1 ( Sn1 ) (4.1.4) dn Chó ý r»ng, ví dụ này, tính toán cho giai đoạn (dự án C) không liên quan đến số hạng fn+1(Sn+1) phương trình đệ quy 4.1.3 Nói chung trường hợp sử dụng tối ưu hóa quy hoạch động lùi Do đó, phương trình đệ quy cho kỹ thuật quy hoạch động lùi viết là: víi n = N opt [rn (S n , d n )],  dn f ( Sn )   * opt [rn (S n , d n ) o f n 1 ( S n 1 )], víi n = ®Õn N -  dn * n (4.1.5a) (4.1.5b) Bảng 4.1.2(c) Tính toán quy hoạch động cho dù ¸n A SA * f A (S A ,d A ) = rA (S A )+ f B (d A ) * f A () d* A 136 dA = S B Phương án 5+14=19 PA - (1+6=7) 6+14=20 PA - (2+6=8, không khả thi) 8+13=21 8+14=22 PA - (3+5=8, không khả (3+6=9, không khả thi) thi) DÊu + () lµ chi phÝ tÝch lũy cho dự án A, B C Phương ¸n 5+13=8 (1+5=6)+ 6+13=19 (2+5=7) Ph­¬ng ¸n 5+15=20 (1+5=6) 6+15=21 (2+5=7) 20 21 * +15+23 (3+5=8, không khả thi) - PA - ($6) PA - ($7) - Ví dụ 4.1.2 Xác định phương trình đệ quy lïi cho VÝ dô 4.1.1 f3*  S Max rC ; với giai đoạn thứ hai Lời giải Với giai đoạn thứ ba (n=3) dC  f  S   Max rB  f dB * C  ; vµ víi giai đoạn f S Max r 1 dA A   f B* Ví dụ 4.1.3 Các dòng chảy tới hồ có tổng dung tích đơn vị nước 2, 1, đơn vị tương ứng với bốn mùa năm Để tiện lợi, lượng nước tính đơn vị nguyên Do đó, lượng xả từ hồ để cung cấp cho thành phố nông nghiệp bán với giá $2000 cho đơn vị đầu tiên, $1500 cho đơn vị thứ hai, $1000 cho đơn vị thứ ba, $500 cho đơn vị thứ tư Khi hồ chứa đầy nước xả tràn đơn vị nước, trận lũ nhỏ dẫn tới thiệt hại $1500, Khi xả tràn lên tới đơn vị, trận lũ lớn gây thiệt hại $4000, Xác định sách vận hành để lợi nhuận hàng năm lớn quy hoạch động sử dụng thuật giải lùi, xét với lượng dự trữ thời điểm cuối năm Lời giải Bước giải thích hàm lợi nhuận Một đơn vị xả từ hồ có lợi nhuận $2000; đơn vị xả có lợi nhuận $2000+ $1500 = $3500; đơn vị xả có lợi nhuận $3500 + $1000 = $4500; đơn vị xả có lợi nhuận $4500 + $500 = $5000; đơn vị xả (khi mà hồ chứa có dung tích đơn vị điều có nghĩa hồ chứa bị đầy đơn vị phải xả tràn); lợi nhuận $5000 (4 đơn vị cấp nước) - $1500 (1 đơn vị xả tràn) = $3500; đơn vị xả lợi nhuận $5000 -$4000 (2 đơn vị xả tràn) = $1000, Mỗi mùa thể giai đoạn hình 4.1.3 Biến trạng thái cho toán vận hành hồ chứa lượng trữ hồ, lượng trữ ban đầu hay đầu mùa Sn = STn lượng tr÷ kÕt thóc ~ hay ci mïa S n  STn mùa thứ n Lượng xả từ hồ chứa biến định ký hiệu dn = Rn mùa thứ n Hàm chuyển đổi đơn giản phương trình liên tục liên hệ lượng trữ đầu thời đoạn với lượng trữ cuối thời đoạn giai đoạn n: ~ S n S n QFn Rn QFn dòng chảy đến cho giai đoạn n Lượng trữ cuối giai đoạn (mùa) lượng trữ ban đầu cho trạng thái kế tiếp, nghĩa ~ S n S n1 Phương trình đệ quy lùi quy hoạch động cho ví dụ là:  * f n  Max[rn ( S n , d n )]  Max[  C¸c b­íc tÝnh to¸n quy hoạch động trình bày bảng 4.1.3(a)-(d) Xem bảng 4.1.3(a) để theo dõi bước tính toán cho giai đoạn Cột thể lượng trữ (trạng thái) ban đầu mùa (giai đoạn) Cột thứ hai giá trị lượng trữ ban đầu cộng với lượng dòng chảy tới hồ QF4 = Năm cột linh hồn tính toán quy hoạch động mà phương trình đệ quy 137 ~ giải Mỗi cột dành cho giá trị lượng trữ cuối thời đoạn S = 0, 1, 2, Đối với * giai đoạn 4, tính toán không cần thiết phương trình đệ quy f ( S )  r4 ( S , d ) Ví ~ dụ lượng trữ ban đầu S4 = lượng trữ cuối S4 cho ta lượng xả R4 = Lượng xả xác định từ việc giải hàm chuyển đổi trạng thái cho R4 ~ R4 S  QF4  S    Với lượng xả đơn vị lợi nhuận $2000 f4 (S4)=r4(S4=0, d4=R4=1) = $2000, Một cách ~ tương tự cho S4 = vµ S  , R4 = + - = f4(S4)=r4(S4=1, d4=R4=2) = $3500, * Các cột lợi nhuận tối đa f ( S ) định nghĩa giá trị lợi nhuận cực đại cho lượng trữ ban đầu có xét đến lượng trữ cuối Điều giống việc xét lượng xả (quyết định) lượng trữ ban đầu Lượng xả tối ưu cho lượng trữ ban đầu liệt kê cột lượng trữ cuỗi tối ưu liệt kê cột cuối Bảng 4.1.3(b) trình bày tính toán quy hoạch động cho giai đoạn (mùa) thứ với lượng dòng ~ chảy tới hồ đơn vị Để minh hoạ quy trình tính toán xét trường hợp S3 = S3 Lượng xả thể thông qua tổ hợp lượng trữ ban đầu lượng trữ cuối ~ R3  S  QF3  S     , lợi nhuận r3(S3=0, d3=R3=2) = $3500, Từ bảng * 4.1.3(a) lỵi nhn l tÝch tèi ­u cho giai đoạn f ( S 0)  $2000 ®èi víi ~ S3  S Các bước tính toán lặp theo chiều ngược lại cho giai đoạn (mùa 2) giai đoạn (mùa) trình bày bảng 4.1.3(c) (d) 138 Gradient suy giảm f x g x xác định hệ số đạo hàm toàn phần:  f f  f  x    ,   x1 x2   g g  g  x    ,   x1 x2  T (4.6.8) T (4.6.9) XÐt biÕn c¬ së (phụ thuộc) x biến không sở (độc lập) x2 Phương trình (4.6.7) sử dụng để giải cho dx1 dx1 g  x  / x2 dx g  x  / x1 (4.6.10) sau vào phương trình (4.6.6) để khử dx1 Kết đạo hàm toàn phần hàm mục tiêu f(x) biĨu diƠn b»ng   f x x   g x 1  g x   f x             dx  df  x          x1   x2   x2        x1        (4.6.11) Gradient suy giảm biểu thức dấu ngoặc { } giản hoá thành df x f x   f  x    x1     x1   x2   dx2 x2 (4.6.12) vô hướng có biến không sở x2 Gradient suy giảm viết dạng vector cho trường hỵp nhiỊu biÕn nh­ sau  F N F    x N T   f  x    f  x    x B         x N   x B   x N      (4.6.13) ®ã 1    x B   g  x    g  x   1 g  x    B      x N   x N   x B   x N        (4.6.14) Vector nhân tử Kuhn-Tucker định nghĩa  f  x      xB    T  g  x      xB    1 T  f  x   1 T   B   xB    (4.6.15) Sư dơng nh÷ng định nghĩa gradient suy giảm phương trình (4.6.13) biểu diễn bằng: 145 dF   f  x   T g  x        xN   dxN   xN     N F (4.6.16) 4.6.4 Các điều kiện tối ưu cho phương pháp gradient suy giảm tổng quát Xét toán quy hoạch phi tuyến Minimize f(x) với rµng buéc gi(x) = i = 1, , m x j  x j  x j j=1, , n Dưới dạng biến sở không sở, hàm Lagrange cho toán phát biểu L f x T g  x   T  x  x   T x  x  f  xB , x N   T g  xB , xN   T  xB  xB   T  x N  xN  B N T   T   B x B  x B   N x N  x N (4.6.17) N B vector nhân tử Lagrange cho biến không sở sở tương ứng Dựa phương trình (4.5.6), điều kiện Kuhn-Tucker cho tính tối ưu dạng biến sở không sở B L  B f  T B g   B   B  (4.6.18a) N L  N f  T N g   N   N  (4.6.18b) B  N  (4.6.18c) B  N  (4.6.18d) T  T  x B  xB    B  xB  x B   B T  T  x N  xN    N  xN  x N   N (4.6.18e) (4.6.18f) NÕu xB lµ thùc sù n»m biên B B theo phương trình (4.6.18e) từ phương trình (4.6.18a), T f g        xB   xB  T 1 T  f  1 T    B    xB  (4.6.19) Nãi c¸ch kh¸c, x B  x B  x B , vector nhân tử Kuhn-Tucker vector nhân tử Lagrange cho ràng buộc đẳng thức g(x) = 0, 146 Nếu xN chặt biên cđa nã, nghÜa lµ x N  x N  x N , th×  N   N  theo phương trình (4.6.18f) F xN (4.6.20) Từ phương trình (4.6.16) vµ (4.6.18b),  N L   N F với xN thực nằm biên cđa nã NÕu xN n»m trªn biªn d­íi cđa nã, x N  x N , th×  N  v×  F     N   xN  (4.6.21) NÕu xN n»m trªn biªn nó, xN xN , N  v× thÕ  F   xN  N (4.6.22) Ba phương trình trên, phương trình (4.6.20)-(4.6.22), xác định điều kiện tối ưu cho toán suy giảm định nghĩa phương trình (4.6.4) Các điêu kiện Kuhn-Tucker cho toán gốc xem điều kiện tối ưu cho toán suy giảm Ví dụ 4.6.1 Xét toán nhà máy sản xuất-xử lý rác thải ví dụ 3.1.1 Nhà máy sản xuất thành phẩm x1 với giá bán cho đơn vị sản phẩm 10 ngàn USD Giá thành sản xuất cho đơn 0,8 vị thành phẩm ngàn USD Lượng chất thải 2x1 thay cho 2x1 vÝ dơ 3.1.1 (xem h×nh 4.6.2) Nhà máy xử lý chất thải có công xuất tối đa 10 đơn vị chất thải với hiệu xuất xử lí 80% với giá thành 0,6 ngàn USD đơn vị chất thải Thuế đánh vào lượng chất thải thải sông ngàn USD cho đơn vị chất thải Khối lượng chất thải thải sông không qua xử lí x2 Bài toán trở thành toán quy hoạch phi tuyến với hàm tối ưu hàm ràng buộc phi tuyến 0,8 Lời giải Chi phÝ xư lÝ lµ 0, 2x1  x2  thuế đánh vào chất thải đổ sông không qua xử lí x2 0, 2 x10,8  x2  Hµm mơc tiêu tối đa hoá lợi nhuận       Max x0  10 x1  x1  0, x10,8  x2   x2  0, x10.8  x2     2 x10,8  x1 x2 với ràng buộc a Dung tích nhà máy xử lí x10,8 x2 10 b Lượng chất thải tối đa xả s«ng 0, x10.8  0,8 x2  c Lượng chất thải vào nhà máy phải dương x10,8  x2  x1  vµ x2 Bài toán minh hoạ đồ thị hình 4.6.2 147 Để giải toán này, biến ảo không âm x3, x4 x5 đưa vào để thu ràng buộc phương trình Hình 4.6.2 Sơ đồ hệ thống nhà máy sản xt - xư lÝ chÊt th¶i g1  x   x10,8  x2  x3  10  g  x   0, x10,8  0,8 x2  x4   g  x   x10,8  x2  x5 Để tăng tốc trình hội tụ toán phi tuyến này, nghiệm tối ưu toán QHTT ví dụ 3.1.1 x1 , x2 6,2 sử dụng nghiệm ban đầu cho toán phi tuyến Để kiểm tra tính khả thi nghiệm ban đầu (6, 2), thay nghiệm vào phương trình ràng buộc xem có thoả mÃn không Thực tế điểm nghiệm khả thi Tại  x1 , x   6,2  , giá trị biến ảo x3 = 3,614, x4 = 0,723, x5 = 6,386 Tới ta có thÓ lùa T T chän x N   x1 , x  , x B   x3 , x , x5  , ®ã x1 x2 biến siêu sở Bây biến sở thể dạng biến không sở x3 x10,8  x2  10 x4  0, x10,8  0,8 x2  x5  x10,8  x2 Diễn giải biến sở hàm mục tiêu biến không sở ham mục tiêu suy giảm F x1 , x2 x10,8 x1 x2 Để xác định hướng tìm kiếm nhằm cải thiện nghiệm thời, cần ph¶i tÝnh gradient suy gi¶m Vector gradient suy gi¶m cã thể tính phương trình (4.6.16) 148 f  T  g  N F        x N   x N  ®ã  f   x N  f     1.6 x1 0.2     x1  5.88        1    6,       f     x2    x , x 6,2    g1   x1  g   g    x N   x1  g   x1  g   x   1.6 x10.2 g    0.32 x10.2  x  1.6 x10.2  g   x   x , x 6,     1.12  1  0.8  0.22 0.8     1.12  1     g1 g1 g1     x3 x4 x5  T  f  1  f f f   g g g  T    B   x , x , x   x  x x    x B    g3 g4 g5  3   x3 x4 x5    1 0  0,0,0 0 0  0,0,0    0    Do vËy, vector gradient suy giảm N F điểm nghiệm thời T T T T x N   x1 , x2   6,2  vµ x B   x3 , x4 , x5    3, 614,0, 723, 6,386  lµ  1,12 1   5,88     5,88  N F       0, 0,   0, 22 0,8     1   1   1,12 1    Trong vÝ dô hàm mục tiêu suy giảm diễn tả tường minh biến không sở thời, gradient suy giảm đánh giá b»ng mét c¸ch kh¸c nh­ sau  F      F   x1    1,6 x1 ,2    ,88      N F   X    F       1  N    ,2   x2 Sử dụng phương pháp hướng dốc nhất, hướng tìm kiếm x1 , x2 6,2 xác định 149 F  x  d1  d     N F    F  d2   x     0,2   5,88     1, x1       1  6,2  1 Bắt đầu từ x1 , x2 6,2 theo d 5.88,1T tìm kiếm theo đường tiến hành để xác định bước nhảy khả thi tèi ­u mµ Maximize F  x   F  x1   d1 , x2   d   F   5,88 ,2     2   5,88  0,8    5,88        2   5,88   0,8  42,16   40 Do hµm tèi ưu suy giảm lồi, xác định cách sai phân hàm mục tiêu Tìm kiếm đường để xác định khả thi tối ưu tiến hành cách sử dụng quy trình thử sai sau: XB XN β x1 x2 F(x) x3 x4 x5 6,000 31,61 3,611 0,723 6,389 0,1 6,588 1,9 35,15 2,863 0,673 7,137 0,3 7,764 1,7 42,34 1,394 0,579 8,606 0,5 8,940 1,50 49,33 - 0,04 0,493 10,037 0,494 8,905 1,506 49,33 0,495 9,995 Víi β = 0,5 nghiệm không khả thi x3 âm Với = 0,494, giá trị x3 giảm đến không trở thành biến không sở bước lặp Điểm nghiệm biểu thị điểm hình 4.6.3 Tìm kiếm đường thẳng cách khác tiến hành sử dụng quy trình tìm kiếm chiều phương pháp mặt cắt vàng Tại điểm nghiệm 2, x1 , x2   8,905,1,506  , c¸c biÕn sở không sở xác định x N x1 , x3 T x B  x2 , x4 , x5 T Cả x1 x2 trở thành biến sở biến nằm biên chúng Xét phương trình ràng buộc, biến sở diễn giải thông qua biến không sở sau x2 x10,8  x3  10 x4  0, x10,8  0,8 x2   2 x10,8  0,8 x3  12 x5  x10,8  x2  10 x3 150 Hình 4.6.3 Minh họa đồ giải ví dụ nhà máy sản xuất xử lí rác thải phi tuyến Do hàm mục tiêu suy giảm F  x1 , x3   2 x10,8  x1  x2  2 x10,8  x1  x10,8  x3  10  4 x10,8  x1  x3  10 Gradient suy gi¶m điểm x1 , x3 8.905, định nghĩa hướng tìm kiếm, d F / x1   3, x10,2    4, 934  d 1     1  d   F / x3   8,905,0   1  L¹i tiÕp tơc tõ ®iÓm 2,  x1 , x2   8,905, 1,506  , theo h­íng t×m kiÕm T d   4,934, , ta tìm bước nhảy tối ưu mà tối đa hàm mục tiêu suy giảm Maximize F  x   F  x1   d1 , x3   d3   F  8,905  4,934 ,    4  8,905  4,934   0,8   8,905  4,934      10  4  8,905  4,934   0,8  35,538  72,335 Lưu ý biến không sở x1 biến siêu sở (không sở không nămd biên nó) x3 nằm biên 0, Do vậy, việc xác định khả thi tối ưu tìm kiếm đường tử sai thực tương tự với bước lặp trước cách xét biến siêu sở Việc bảng Vì d3 âm x3 = lại biên nên giữ nguyên biến không sở biên Bây điểm nghiệm x1 , x2    9,390,2,000  , biÕn c¬ së x4 giảm đến không trở thành biến không sở biên Cùng với x3 = 151 0, chúng rừng buộc g1(x) g2(x) bị chặn Do hai biến không sở x3 x4 không biên chúng Các biến sở (x1, x2, x5), thông qua biến không sở (x3, x4) lµ XN XB x2 x1 β F(x) x3 x4 x5 8,905 49,33 1,506 0,495 10 0,1 9,398 - 0,1 51,873 2,008 - 0,008(inf) 10 0,098 9,389 - 0,098 51,822 1,998 0,002 10 0,0985 9,390 - 0,0985 51,735 2,000 0,000 10 1,25 x1    0, x3  0,5 x4  x2   0, x3  x4 x5  10  x3 Khi đó, hàm mục tiêu suy giảm 1,25 F x3 , x4   2   0, x3  0,5 x4     0, x3  0,5 x4     0, x3  x4  1,25  14  0, x3  1,5 x4    0, x3  0,5 x4  với gradient suy giảm 0.25 F / x3   0,  3,5   0, x3  0, x4   N F     0.25  F / x4  1,  4,375   0, x3  0,5 x4   0,0     4,878        5, 347 gradient thảo mÃn điều kiện tối ưu toán cực đại hoá Giá trị âm FN cho biến không sở (x3, x4) mà hai nằm biªn d­íi chØ r»ng mét sè gia cđa bÊt kỳ biến làm giảm hàm mục tiêu Do nghiệm tối ưu cho toán nhà máy sản xuất - xử lí chất thải phi * tuyÕn nµy lµ  x1* , x2   9,39,2, 00 với giá trị hàm mục tiêu 51,834 ngàn đô la 4.7 Tối ưu hóa phi tuyến có ràng buộc: Phương pháp pê-nan-ti Tư tưởng cốt lõi phương phương pháp hàm pê-nan-ti biến đổi toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc thành chuỗi toán tối ưu hóa không ràng buộc Tư tưởng phương pháp cộng hay nhiều hàm ràng buộc vào hàm mục tiêu để loại bỏ ràng buộc Lập luận cho cách tiếp cận toán không ràng buộc dễ dàng giải nhiều Bằng việc sử dụng hàm pê-nan-ti toán 152 quy hoạch phi tuyến có ràng buộc biến đổi thành toán không ràng bc Minimize f  x   víi gi¶ thiÕt L  f  x  , g  x      Minimize g(x)   Trong ®ã L f x , g x  lµ mét hàm pê-nan-ti Các dạng khác hàm pê-nan-ti đà đưa mà tìm thấy tài liệu khác (Gill, Murray Wright, 1981; Mc Cormick, 1983) Hàm pê-nan-ti cực tiểu hóa giai đoạn cho chuỗi giá trị tham số liên quan tới pê-nan-ti Thực tế, hàm Lagrange (đà trình bày Mục 4.5) dạng hàm pê-nan-ti Đối với nhiều hàm pê-nan-ti, ma trận Hessian hàm pênan-ti ngày trở nên bất lợi (tức là, giá trị hàm nhạy cảm với thay đổi nhỏ giá trị tham số) nghiệm tiệm cận tới tối ưu Mục trình bày tóm tắt phương pháp hàm pê-nan-ti phương pháp số gia Lagrange Phương pháp số gia Lagrange bổ xung thêm dạng hàm pê-nan-ti bậc hai vào hàm Lagrange (Phương trình 4.5.2), để nhận được: m LA x, ,   f  x    i g i  x   i 1  f  x   T g  x     m  gi2  x  i 1 T g x g x (4.7.1) Trong ®ã  tham số pê-nan-ti dương Một số tính chất phương trình (4.7.1) thảo luận Gill, Murray vµ Wright (1981) VÝ dơ 4.7.1 Gill, Murray vµ Wright (1981), Edgar Himmelblau (1988) đà sử dụng toán cùc tiĨu hãa sau ®Ĩ minh häa sè gia Lagrange Minimize f(x) = x3 Víi gi¶ thiÕt x+1 = Lời giải Số gia Lagrange theo phương trình (4.7.1) LA  x,  ,   x    x  1    x  1 * Víi   3 vµ   , hµm sè gia Lagrange lµ LA  x, 3,9   x   x  1  T¹i x=-1, gradient cđa sè gia Lagrange lµ 153  x  1  x LA  x, 3,   x    x  1   1    1 33 0 vi phân bậc hai lµ  LA  x, 3,   x   x   1 Vi phân bậc hai xác định dương với Đồ thị LA(x,-3,9) hình 4.7.1 minh họa x=-1, lA(x,-3,9) cực tiểu địa phương Cần ý hàm số gia Lagrange không bị chặn với giá trị Trong trường hợp lý tưởng, x* tính cực tiểu hóa không ràng buộc đơn hàm sai phân (Phương trình 4.7.1) Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, * sẵn nghiệm đà xác định Do đó, phương pháp số gia Lagrange phải bao gồm thủ tục để đánh giá nhân tử Lagrange Gill, Murray Wright (1981) đưa thuật giải sau: Bước Chọn ước lượng ban đầu nhân tử Lagrange k , tham số pê-nan-ti , điểm ban đầu xk = 0, Đặt k = k + đặt số bước lặp lớn J Bước KiĨm tra ®Ĩ xem liƯu xk cã tháa m·n điều kiện tối ưu không hay liệu k > J không Nếu kết thúc thuật giải Bước Cùc tiĨu hãa hµm sè gia Lagrange, cùc tiĨu hóa LA(x, , ), phương trình (4.7.1) Các thủ tục để xét tính không bị chặn phải xem xét Nghiệm tốt biểu thị xk+1 Bước Tăng thông số pê-nan-ti vi phạm ràng buộc xk+1 không giảm xuống đáng kể từ xk Bước Đặt k = k+1 quay lại bước Các phương pháp số gia Lagrange áp dụng cho ràng buộc bất đẳng thức Với tập hợp ràng buộc bị vi phạm, g(x) xk, hàm số gia Lagrange có đạo hàm không liên tục điểm nghiệm bất kú rµng bc nµo lµ cã hiƯu lùc (Gill, Murray and Wright, 1981) Buys (1972) Rockafellar (1973a,b, 1974) đà đưa hàm số gia Lagrange cho toán ràng buộc bất đẳng thức i gi  x    g i  x      LA  x,  ,   f  x      i 1   i2   m  nÕu g i  x   i (4.7.2)  nÕu gi  x   i 154 Nh÷ng vÝ dơ vỊ viƯc sư dơng thđ tơc sè gia Lagrange cho việc kết hợp ràng buộc biên vào mô hình cho hệ thống nước ngầm hệ thống phân phối nước trình bày Chương Hình 4.7.1 Đường liền nét đồ thị hàm mục tiêu Ví dụ 4.7.1 F(x) = x3 Đường dấu chấm biểu thị đồ thị hàm * Lagrange, đường nét đứt đồ thÞ cđa sè gia Lagrange LA (x,  , 9) (LÊy theo Gill, Murray vµ Wright, 1981) 4.8 Tèi ­u hóa phi tuyến có ràng buộc: Phương pháp chiếu Lagrange Bây giờ, toán quy hoạch phi tuyến tổng quát phát biểu việc tách rời ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức Minimize f(x) với giả thiết g(x) = h(x) Thay sử dụng hàm mục tiêu gốc f(x), phương pháp chiếu Lagrange giải mục tiêu tổng quát hóa bao gồm nhân tử Lagrange sau: T T  Minimize f  x     k  g  x    k  g h ˆ   g T g h  x      k  A k x   k    T   A x h k  (4.8.1) h ®ã  k k vector nhân tử Lagrange cho ràng buộc đẳng g h thức g(x) ràng buộc bất đẳng thức có hiệu lực (tại biªn cđa chóng) ˆ h  x  b­íc lặp thứ k; A k A k ma trận ràng buộc đẳng g h 155 thức tuyến tính hóa ràng buộc bất đẳng thức có hiệu lực bước lặp thứ k mà xác định bằng: h x    x  k  x  g  x    ;  x  xk   Ak   g A kˆ   h (4.8.2) Các ràng buộc mô hình gốc phương pháp chiếu Lagrange tuyến tính hóa (nếu toán ràng buộc tuyến tính) A k x  g  x k   A k x k g g (4.8.3) k ˆ A kˆ x  h  xk   A h xk h (4.8.4) g(xk) h xk vector giá trị ràng buộc ước lượng điểm nghiệm (xk) bước lặp thứ k Gill, Murray Wright (1981) đưa thuật toán chiếu Lagrange đơn giản hóa sau: Bước Với k = 0, chon đánh giá ban đầu điểm nghiệm xk, nhân tử Lagrange k cho ràng buộc đẳng thức g(x) k cho g h ràng buộc bất đẳng thức có hiệu lực h x Đặt số bước lặp lớn J B­íc KiĨm tra ®Ĩ xem liƯu xk cã tháa mÃn điều kiện tối ưu hay không k > J hay không Nếu thế, ngừng thuật toán Bước Sử dụng xk giải toán sau T T T k k ˆ Minimize f  x     k  g  x    hˆ h  x     h  A k x   hˆ g  g   g      T   k Ah x ˆ   víi rµng bc A k x  g  x k   A k x k g g ˆ A kˆ x  h  xk   xk h víi møc an toàn gần để đối phó với tính không bị chặn Bước Đặt nghiệm tối ưu tìm thấy Bước xk+1 cập nhật nhân tư Lagrange cho  k 1 vµ  kˆ 1 Đặt k = k + quay trở lại g h Bước Việc thực thuật giải có tính nhậy với nghiệm khởi tạo ban đầu Sự thành công thuật giải để hội tụ đến cực tiểu địa phương đòi hỏi nghiệm khởi tạo ban đầu x0 tương đối gần với giá trị tối ưu Để cải thiện việc thực mô hình, Gill, Murray Wright (1981) trình bày hướng tiếp cận để tìm nghiệm khởi tạo tốt, cách tiếp cận 156 thay hàm mục tiêu phương trình (4.8.1) Bước hàm số gia Lagrange, trình bày Mơc 4.7, víi tham sè pª-nan-ti   4.9 Các chương trình máy tính quy hoạch phi tuyến Mục giới thiệu vắn tắt chương trình máy tính quy hoạch phi tuyến áp dụng để giải toán quy hoạch phi tuyến Đó là: (1) GRG2 (Generalized Reduced Gradient 2) xây dựng Lasdon đồng nghiệp ông (Lasdon et al., 1978; Lasdon and Waren, 1978); (2) GINO (Liebman et al., 1986); (3) MINOS (Modular In-core Nonlinear Optimization System) xây dựng Murtagh Saunders (1980, 1983); (4) GAMSMINOS Chương trình máy tính GRG2 Chương trình máy tính GRG2 ứng dụng tư tưởng thuật toán gradient suy giảm tổng quát đà trình bày Mục 4.6 GRG2 yêu cầu người sử dụng cung cấp chương trình GCOMP xác định hàm mục tiêu ràng buộc toán quy hoạch phi tuyến (NLP-Nonlinear Programming Problem) Nã cung cÊp cho ng­êi sư dơng lùa chọn việc cung cấp chương trình chứa đạo hàm hàm mục tiêu ràng buộc Nếu không cung cấp, sai phân xấp xỉ số học sai phân hữu hạn tiến sai phân hữu hạn trung tâm GRG2 cung cấp số phương án mà sử dụng để xác định hướng tìm kiếm Chúng gồm có BFGS, phương pháp giả Newton nhiều phương pháp gradient liên hợp khác (xem Mục 4.4.3) Phương pháp mặc định phương pháp BFGS Chương trình MINOS MINOS chương trình máy tính ngôn ngữ Fortran thiết kế để giải toán tối ưu hóa quy mô lớn Chương trình giải toán quy hoạch tuyến tính việc thực thi phương pháp đơn hình Khi toán có hàm mục tiêu phi tuyến với giả thiết ràng buộc tuyến tính, MINOS sử dụng thuật toán gradient suy giảm kết hợp với thuật toán giả Newton Trong trường hợp mà toán có ràng buộc phi tuyến, thuật toán chiếu Lagrange (mục 4.8) tiến hành Tương tự GRG2, MINOS đòi hỏi người sử dụng cung cấp chương trình FUNOBJ để xác định hàm mục tiêu gradient Chương trình FUNOBJ cung cấp người sử dụng để nhập vào ràng buộc gradient chúng GAMS-MINOS GAMS-MINOS phiên vi tính kết nối GAMS MINOS Một minh họa file đầu vào GAMS-MINOS cho ví dụ 4.6.1 hình 4.9.1 Những điểm tương đồng tìm thấy việc so sánh file đầu vào với file đầu vào GAMS cho lời giải quy hoạch tuyến tính toán sản xuất, xử lý rác thải Phụ lục 3.A 157 GINO GINO (Liebman et al., 1986) GRG2 cho máy vi tính tài liệu tham khảo Buys,J.D.:Dual Algorithms for Constrained Optimization Problems, Ph.D.Thesis, University of Leiden, Netherlands,1972 Cooper,L.L.and M.W.Cooper: Introduction to Dynamic Programming, Pergamon Press, Elmsford, N.Y 1981 Chow, V.T.,D.R.Maidment and G.W.Tauxe: “Computer Time and Memory Requirements for DP and DDDP in Water Resource System Analysis” Water Resources Research, vol.11, no 5, pp.621-628, Oct.1971 Denardo, E.V.: Dynamic Programming Theory and Applications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J 1982 Dennis, J.E and R.B Schnable: Numerical Methods for Unconstrained Optimization, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J 1983 Dreyfus, S.and A.Law: The Art and Theory of Dynamic Programming, Academic Press, New York, 1977 Edgar, T.F.and D.M.Himmelblau: Optimization of Chemical Processes, McGraw-Hill, Inc.,New York.1980, Gill, P.E.W.Murray and M.H.Wright: Practical Optimization, Academic Press, London and New York, 1981 Himmelblau, D.M.: Applied Nonliear Programming, McGraw-Hill, Inc 1972 Lasdon, L.S.,R.L.Fox and M.W.Ratner: “Nonlinear optimization using the generalized reduced gradient method” Revue Francaise d’ Automatique, Informatique et Recherche Operationnelle, vol 3, pp 73-104, November 1974 Lasdon, L.S.,A.D.Waren, A.Jain, and M.Ratner: “ Design and Testing of a Generalized Reduced Gradient Code for Nonlinear Programming” ACM Transations on Mathematical Soffware, vol 4, pp.34-50, 1978 Lasdon, L.S and A.D.Waren: “ Generalized Reduced Gradient Software for Linearly and Nonlinearly Constrained Problems” in Design and Implementation of Optimization Software, H.J.Greenberg(ed.), Sijthoff and Noordhoff, pp 363-397,1978 Liebman, J.S.,L.S.Lasdon, L.Schrage and A.Waren: Modeling and Optimization with GINO, The Scientific Press, Palo Alto, Calif., 1986 Luenberger, D.G.: Introduction to Linear and Nonlinear Programming, Addison-Wesley, Reading, Mass.,1984 158 McCormick, G.P.: Nonlinear Programming: Theory, Algorithms, and Applications, Wisley, New York, 1983 Murtaugh, B.A and M.A Saunders: “Large-Scale Linearly Constrained Optimization” Mathematical Programming, vol 14, pp 41-72, 1978 Murtaugh, B.A and M.A.Saunders: “MINOS/AUGMENTED User’s Manual” Syst.Optimiz Lab, Tech.Rep 80-14,51 pp.,Department of Operations Research, Stanford University, Stanford, Calif.,1980, Murtaugh,B.A and M.A.Saunders: “MINOS 5.0 User’s Guide” Syst , Optimiz Lab.Tech.Rep 83-20, 118 pp., De partment of Operations Research, Stanford University, Stanford, Calif.,1983 Rockafellar, R.T.: “ A Dual Approach to Solving Nonlinear Programming Problems by Unconstrained Optimization” Math, Prog vol 5, 354373, 1973a Rockafellar, R.T.: “The Multiplier Method of Hestenes and Powell Appliec to Convex Programming” SIAM, J.Control and Optimization, vol 12, 268-285, 1973b Rockafellar, R.T.: “Augmented Lagrange Multiplier Functions and Duality in Nonconvex Programming” SIMA, J.Applied Math, vol 12, 555-562, 1974 159 ... biến thuật toán tìm kiÕm tèi ­u lµ: (a) x k  x k 1  1; (4 .4. 4a) (b) x k  x k 1 xk  2; (4 .4. 4b) f  x k   f  x k 1    ; (c) (4 .4. 4c) (d) f  xk   f  xk 1  f  xk   ? ?4; (4 .4. 4d)... $2000 f4 (S 4) = r4(S4=0, d4=R4= 1) = $2000, Một cách ~ tương tù cho S4 = vµ S  , R4 = + - = f4(S 4) = r4(S4=1, d4=R4= 2) = $3500, * Các cột lợi nhuận tối đa f ( S ) định nghĩa giá trị lợi nhuận cực đại. .. (2 +3= 5) 13 PA - ($ 5) 9+3=12 (3 +1= 4) 9+5= 14 (3 +3= 6) 14 PA - ($ 6) 12+3=15 (4 +1= 5) SB Phương án 12+5=17 (4 +3=7, không khả thi)# 15 PA-1 ($ 5) Phương ¸n Ph­¬ng ¸n 8+3=11 (2 +1= 3)+ Ph­¬ng ¸n DÊu + () lµ chi