76 CHƯƠNG 3 Quy hoạch tuyến tính và những ứng dụng trong hệ thống nguồn nớc 3.1. Quy hoạch tuyến tính Mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) đã và đang đợc áp dụng rộng rãi trong các bài toán phân bổ tối u tài nguyên. Nh tên của nó gợi ý, mô hình QHTT có hai tính chất cơ bản là cả hàm mục tiêu và các ràng buộc là các hàm tuyến tính của các biến quyết định. Dạng tổng quát của một mô hình QHTT có dạng: Max (hoặc Min) j n j j xcx 1 0 (3.1.1a) Với các biểu thức ràng buộc: ij n 1j ij bxa với i = 1, 2, n (3.1.1b) x j 0, với j = 1, 2, n (3.1.1c) Trong đó, c j là hệ số của hàm mục tiêu, a ij là hệ số công nghệ và b i là hệ số vế phải của phơng trình ràng buộc (Right Hand Side - RHS) ở dạng đại số, mô hình QHTT này có thể khai triển nh sau: Max (hoặc Min) x 0 = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n (3.1.2a) Với các ràng buộc: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b1 a 12 x 2 + a 22 x 2 + + a 2n x n b2 77 M M M M M (3.1.2b) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1 0; x 2 0, x n 0 ở dạng ma trận, mô hình QHTT có thể viết chính xác là: Max (hoặc Min) x 0 = C T x (3.1.3a) Với ràng buộc Ax b (3.1.3b) x 0 (3.1.3c) Với C là véc tơ cột (n x 1) của các hệ số hàm mục tiêu, x là vec tơ cột (n x 1) của các biến quyết định, A là ma trận (m x n) của các hệ số công nghệ, b là véc tơ cột (m x 1) các hệ số các vế bên phải hàm ràng buộc. Chỉ số trên T ký hiệu chuyển vị của ma trận hay vectơ. Các sách hay có liên quan đến QHTT bao gồm Gass (1985), Taha (1987), Vinston (1987) và Hillien và Lieberman (1990). Ví dụ 3.1.1. Xét một hệ thống bao gồm một nhà máy sản xuất và một nhà máy xử lí chất thải (Fiering và các cộng sự, 1971). Nhà máy sản xuất tạo ra các thành phẩm với giá bán ra cho mỗi thành phẩm là 10 nghìn đô la. Tuy nhiên, giá sản xuất cho mỗi thành phần là 3 nghìn đô la. Trong quá trình sản xuất hai đơn vị chất thải đợc tạo ra từ mỗi thành phẩm. Ngoài việc quyết định số lợng các thành phẩm nên sản xuất, ngời quản lý nhà máy cũng cần quyết định lợng chất thải đợc thải ra không qua xử lí để làm sao lợi nhuận thực (net-benefit) của nhà máy là tối đa mà yêu cầu về chất lợng nớc của sông không bị vợt quá mức cho phép. Công suất tối đa của nhà máy xử lí chất thải là 10 đơn vị chất thải với hiệu suất sử lý là 80%, và giá thành cho mỗi đơn vị chất thải là 0,6 nghìn đô la. Đồng thời nhà máy cũng phải trả thuế ảnh hởng cho lợng chất thải thải ra sông (2 nghìn đô la cho mỗi một đơn vị chất thải ra). Đơn vị quản lý kiểm soát ô nhiễm nớc đa ra tiêu chuẩn tối đa là 4 đơn vị chất thải của mỗi nhà máy thải ra. Hãy thiết lập mô hình QHTT cho bài toán này. Lời giải. Bớc đầu tiên của việc xây dựng mô hình là xác định các thành phần hệ thống và các mối quan hệ tơng tác của chúng. Trong ví dụ này, các thành phần của hệ thống là: nhà máy sản xuất, nhà máy xử lí chất thải, và con sông nhận lợng chất thải. Từ định nghĩa của bài toán, ta thấy có 2 biến quyết định là: (1) số lợng các đơn vị thành phẩm nên sản xuất, x 1 , và (2) lợng chất thải đổ trực tiếp vào sông không qua xử lí, x 2 . Từ sự mô tả mối quan hệ qua lại giữa thành phẩm, lợng chất thải đợc tạo ra, hiệu suất nhà máy xử lí, một sơ đồ minh họa hệ thống nghiên cứu có thể đợc thiết lập và thể hiện trên hình 3.1.1. Lợng chất thải ở mỗi nhánh có thể đợc xác định bằng nguyên lý cân bằng khối lợng. Vấn đề cốt lõi cần làm trớc khi xây dựng mô hình là xác định mục tiêu và các ràng buộc của bài toán. Trong ví dụ này, mục tiêu của bài toán tối đa lợi nhuận thực. Các ràng buộc gây ra bởi các hạn chế về công suất nhà máy xử lí chất thải và lợng chất thải cho phép đổ vào sông đợc quy định với các nhà kiểm soát ô nhiễm nớc. Khi đã xác định đợc mục tiêu và các ràng buộc của bài toán, bớc xây dựng mô hình tiếp theo về cơ sở liên quan đến việc chuyển hóa các mô tả các mục tiêu và ràng buộc bằng ngôn ngữ sang sự diễn tả bằng toán học thông qua các biến quyết định và các thông số. Lãi thực của nhà máy sản xuất đợc xác định dựa trên 4 yếu tố: (a) số lợng bán ra các thành phẩm (tính bằng nghìn đô la) giá thành sản xuất của các thành phẩm (tính bằng nghìn đô la), 3x 1 ; (c) chi phí cho việc xử lí chất thải (nghìn đô la) tạo ra từ quá trình sản xuất, 0,6(2 x1 -x 2 ) và (d) thuế ảnh hởng (nghìn đô la) đánh vào lợng chất thải không qua xử lí, 2{x 2 +0,2(2x 1 -x 2 )}. Lợi nhuận thực của nhà máy bằng tổng lợng tiền thu đợc trừ đi tổng các chi phí. Hàm mục tiêu của bài toán là tối đa hóa 78 lợi nhuận thực (lãi ròng), và bằng: 10x 1 -{3x 1 +0,6(2x 1 -x 2 )+2 x 2 +0,2(2x 1 -x 2 ) }. Hàm mục tiêu có thể diễn giải là: Max x 0 = 5x 1 -x 2 Theo hình. 3.1.1, ràng buộc do hạn chế về công suất của nhà máy xử lí nớc thải có thể diễn tả bằng công thức toán học là: 2x 1 - x 2 10 Hình 3.1.1 Sơ đồ mô tả hệ thống sản xuất xử lí chất thải. Ràng buộc này cho thấy lợng chất thải đợc xử lí, 2x 1 - x 2 , không thể vợt quá công suất của nhà máy, bằng 10 đơn vị chất thải. Tơng tự, ràng buộc liên quan đến tổng lợng chất thải có thể đổ vào sông đợc diễn giải là: x 2 + 0,2(2 x1 - x 2 ) 4 ở đó, vế trái (LHS) của điều kiện ràng buộc này là tổng lợng chất thải đổ vào sông (xem hình 3.1.1) và vế phải (RHS) của nó là tổng lợng đơn vị chất thải cho phép đổ ra sông quy định bởi cơ quan kiểm soát ô nhiễm nớc. Ngoài hai ràng buộc dễ nhận thấy ở đây, tồn tại một ràng buộc khá nhỏ để nhận biến đợc, và cần đợc đa vào trong mô hình. Một ràng buộc cần thiết để chắc chắn rằng một khối lợng nớc đợc xử lí là dơng. Nói một cách khác, mô hình nên bao gồm một ràng buộc làm cho lợng chất thải qua xử lí này không âm, (2x 1 - 2). Nó có thể đợc diễn giải bằng công thức toán học nh sau: 2x 1 -x 2 0 Cuối cùng, hai biến quyết định không thể âm, xét về ý nghĩa vật lý. Do đó, ràng buộc không âm của hai biến quyết đinh, x 1 0 và x 2 0, phải đợc đa vào hớng ràng buộc. Phiên bản cuối cùng của mô hình quy hoạch tuyến tính đợc viết dới dạng toán học, sau một vài biến đổi, có thể tóm tắt lại thành: 79 Max x 0 = 5x 1 - x 2 Với các ràng buộc: 2x 1 - x 2 10 4x 1 + 0,8 x 2 4 2x 1 - x 2 0 x 1 0 và x 2 0 Xem xét kỹ việc thiết lập mô hình tối u hóa này, ngời ta có thể nhận thấy rằng mô hình này là một mô hình quy hoạch tuyến tính, Linear Programming - LP. Tuy nhiên, nếu nói một cách chặt chẽ, mô hình trên có thể không đợc công nhận là mô hình QHTT nếu các biến quyết định, đặc biệt là biến x 1 , chỉ có thể mang giá trị nguyên. Nếu xảy ra trờng hợp này, mô hình là mô hình quy hoạch hỗn hợp và yêu cầu một thuật giải đặc biệt để giải nó. Thực tế là có một số các giả thiết cần đợc đa vào trong việc thiết lập mô hình QHTT. Các giả thiết này đợc mô tả một cách chi tiết ở các mục tiếp theo. 3.1.1. Các giả thiết của các mô hình quy hoạch tuyến tính Có bốn giả thiết ẩn cơ bản đợc đa vào mô hình QHTT. 1. Giả thiết về tính tỷ lệ. Giả thiết này có nghĩa là sự đóng góp của biến quyết định thứ j vào giá trị hiệu quả, c j x j , và việc nó sử dụng các tài nguyên khác nhau, a ij x j , tỷ lệ trực tiếp với giá trị của biến quyết định tơng ứng. 2. Giả thiết về tính cộng hợp. Giả thiết này có nghĩa là, tại một cấp độ hoạt động cho trớc (x 1 , x 2 , x n ), tổng lợng sử dụng các tài nguyên và sự đóng góp vào giá trị hiệu quả tổng hợp bằng tổng các giá trị tơng ứng đợc tạo ra bởi các hoạt động tiến hành riêng biệt. 3. Giả thiết về tính khả chia. Các đơn vị của các hoạt động có thể đợc chia ra làm nhiều cấp độ phân chia, do đó giá trị không nguyên của các biến quyết định là chấp nhận đợc. 4. Giả thiết về tính tất định. Tất cả thông số của mô hình đợc giả thiết là không đổi và không có tính bất định. ảnh hởng của tính bất định của các thông số tới kết quả có thể đợc điều tra bằng việc tiến hành phân tích độ nhậy. 3.1.2. Các dạng của bài toán QHTT Do các mô hình QHTT có thể đợc thể hiện dới nhiều dạng khác nhau (tối đa hóa, cực tiểu hóa, , , ), việc cần thiết là phải thay đổi các dạng này cho phù hợp với một quy trình giải cụ thể. Về cơ bản có 2 dạng mô tả mô hình QHTT đợc sử dụng: dạng chính tắc và dạng chuẩn. 80 Dạng chính tắc đợc sử dụng cho việc giải các mô hình QHTT theo phơng pháp đại số. Các đặc điểm cơ bản của nó có liên quan đến: (1) tất cả các ràng buộc viết dới dạng phơng trình ngoại trừ ràng buộc không âm của các biến quyết định. Các điều kiện này vẫn tồn tại ở dạng bất phơng trình; (2) Tất cả các hệ số vế phải của các phơng trình ràng buộc là không âm, nghĩa là b i 0; (3) tất cả các biến quyết định là không âm; và (4) Hàm mục tiêu có thể là cực đại hóa hay cực tiểu hóa. Một mô hình QHTT có dạng chính tắc đợc thể hiện là: Max (hoặc Min) 0 1 n j j j x c x (3.1.4a) 1 , 1,2, , 0. 1,2, , n i j i j j a x b i m x j n với với (3.1.4b) Ví dụ 3.1.2. Biến đổi mô hình QHTT của ví dụ đợc nêu ở mục trớc về sản xuất, xử lí nớc thải sang dạng chính tắc. Lời giải. Vì hàm mục tiêu có dạng chính tắc có thể là cực đại hóa hay cực tiểu hóa nên không cần thiết phải biến đổi hàm mục tiêu này. Tuy nhiên, dạng chính tắc của mô hình QHTT đòi hỏi tất cả cá ràng buộc phải ở dạng phơng trình. Điều này không thỏa mãn với cả 3 ràng buộc của mô hình ta đang xét. Do vậy cách biến đổi là điều kiện cần thiết. Chú ý rằng vì ràng buộc đầu tiên có dạng , một biến ảo (slack variables) không âm s 1 có thể đợc cộng vào vế trái của ràng buộc, trở thành: 2x 1 - x 2 + s 1 = 10 Tơng tự, ràng buộc bất phơng trình thứ hai có thể biến đổi về dạng: 0,4x 1 + 0,8x 2 + s 2 = 4 Trong đó s 1 là biến ảo không âm ở ràng buộc thứ hai. Đối với ràng buộc thứ 3, vì nó có dạng , một biến ảo không âm có thể đợc trừ ở vế trái, và ta có kết quả: 2x 1 - x 2 - s 3 = 0 Các biến quyết định nguyên thủy và ba biến ảo của s 1 , s 2 , s 3 đều không âm, và do đó điều kiện thứ 3 của dạng chính tắc đợc thỏa mãn. Thêm vào đó, cả hệ số của vế phải của các ràng buộc cũng là không âm. Cuối cùng ta có dạng chính tắc của mô hình QHTT cho ví dụ sản xuất, xử lí chất thải nh sau: Max x 0 = 5x 1 - x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 Với ràng buộc: 2x 1 - x 2 + s 1 = 10 0,4 x 1 + 0,8x 2 + s 2 = 4 2x 1 - x 2 - x 3 = 0 Tất cả x và s là không âm. Dạng chuẩn, mặt khác, rất có ích trong việc thể hiện lý thuyết đối ngẫu (duality theory) của mô hình QHTT. Nó sở hữu ba đặc tính sau trong việc thiết lập mô hình: (1) tất cả các biến quyết định là không âm; (2) tất cả các ràng buộc có dạng ; và (3) hàm mục tiêu có dạng tối đa hóa. Một mô hình QHTT có dạng chuẩn là: Max x 0 = 1 n j j j c x (3.1.5a) Ràng buộc bởi: 81 1 , 1,2, , 0, 1,2, , n ij j i j j a x b i m x j n (3.1.5b) Cần chú ý rằng các hệ số ở vế phải của ràng buộc có thể mang giá trị âm. Ví dụ 3.1.3. Chuyển đổi mô hình QHTT gốc cho ví dụ sản xuất, xử lí nớc thải sang dạng chuẩn. Lời giải: Vì hàm mục tiêu nguyên bản đã có dạng tối đa hóa nh yêu cầu nên không cần có sự biến đổi thêm đối với nó. Đối với các ràng buộc, hai ràng buộc ban đầu có dạng nên thỏa mãn yêu cầu của dạng chuẩn. Tuy nhiên, ràng buộc thứ 3 có dạng , để chuyển nó sang dạng ta nhân cả hai vế ràng buộc này với -1 và có kết quả nh sau: -2x 1 + x 2 0 Yêu cầu không âm của các biến quyết định cùng đợc thỏa mãn. Cuối cùng chúng ta có mô hình QHTT dới dạng chuẩn sau: Max (x 0 ) = 5x 1 - x 2 Ràng buộc bởi: 2x 1 - x 2 10 0,4x 1 + 0,8x 2 4 -2x 1 + x 2 0 x 1 0 và x 2 0 Thông thờng, mô hình QHTT sau khi đợc xây dựng thờng không thỏa mãn các đặc tính của dạng chính tắc cũng nh dạng chuẩn. Các biến đổi cơ sở sau đây giúp các bạn có thể chuyển đổi một mô hình QHTT sang bất kỳ dạng nào: 1. Tối đa hóa một hàm f(x) thì tơng ứng với tối thiểu hóa giá trị âm của nó, có nghĩa là: Max f(x) = Min {-f(x)} 2. Các ràng buộc có dạng có thể chuyển đổi sang dạng bằng cách nhân hai vế của bất phơng trình với -1 3. Một phơng trình có thể đợc thay thế bằng hai bất phơng trình trái dấu nhau. Ví dụ, phơng trình g(x) = b có thể đợc thay thế bằng g(x) b và g(x) b. 4. Một bất phơng trình có dấu giá trị tuyệt đối có thể thay thế bằng hai bất phơng trình không có dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ, ( ) g x b không thể thay thế bằng g(x) b và g(x) -b 5. Nếu một biến quyết định x không có ràng buộc về dấu (có thể dơng, bằng không, hoặc âm), nó có thể thay bằng hai biến quyết định không âm; x = x + - x - , với x + 0 và x - 0, 6. Để biến đổi một bất phơng trình sang phơng trình, một biến không âm có thể đợc cộng vào hoặc trừ đi. 3.2. Các thuật giải cho quy hoạch tuyến tính 82 3.2.1. Phơng pháp đồ giải Một cách đơn giản để giải bài toán QHTT là sử dụng phơng pháp đồ giải (hình học). Tuy nhiên, phơng pháp này chỉ áp dụng đợc cho các bài toán QHTT có nhiều nhất là hai biến quyết định (không kể các biến ảo). Để đặt cơ sở cho việc diễn giải hình học cho thuật giải đại số đợc mô tả sau này, phơng pháp đồ giải sẽ đợc sử dụng để giải bài toán sản xuất, xử lí chất thải ở ví dụ sau đây. Ví dụ 3.2.1. Giải bài toán sản xuất xử lí chất thải để tìm số lợng đơn vị thành phẩm tối u cần sản xuất x 1 và lựơng chất thải đợc sản sinh và đổ trực tiếp vào sông không qua xử lí x 2 để lãi thực của nhà sản xuất là lớn nhất. Lời giải. Xét mô hình QHTT xây dựng cho bài toán ở ví dự 3.1.1, nó liên quan đến hai biến quyết định và ba ràng buộc (ngoại trừ các yêu cầu không âm của các biến quyết định). Miền nghiệm (feasible space) đợc xác định bởi tất cả các ràng buộc của mô hình, bao gồm cả ràng buộc không âm của các biến quyết định. Do hai biến quyết định không thể âm, miền nghiệm phải nằm trong góc phần t thứ nhất (Đông Bắc). Miền nghiệm (vùng gạch chéo) cho bài toán ví dụ này đợc thể hiện trên hình 3.2.1. Mỗi đờng liền nét trên hình 3.2.1 đợc xác định từ mỗi ràng buộc tơng ứng ở phơng trình, và hai trục thể hiện hai điều kiện không âm của hai biến quyết định x 1 và x 2. Mũi tên trên mỗi đờng chỉ ra nửa mặt phẳng mà trên đó tất cả các điểm thỏa mãn ràng buộc này. Miền nghiệm do đó là miền giao của tất cả các nửa mặt phẳng khả thi và tất cả các điểm trên miền nghiệm thỏa mãn đồng thời tất cả các ràng buộc. Mỗi điểm thuộc miền này là một nghiệm khả thi cho mô hình tối u. Do giá trị của lợi nhuận thực tối đa là cha biết, một quá trình thử sai cần đợc tiến hành. Đầu tiên, ta vẽ một đờng thẳng x 0 = 0 để cho hàm mục tiêu tơng ứng đi qua gốc tọa độ. Về mặt toán học mà nói, tất cả các điểm (x 1 , x 2 ) nằm trên đờng 5x 1 - x 2 = 0 sẽ cho giá trị tổng lợi nhuận thật bằng 0, Tất nhiên, ta chỉ quan tâm đến những điểm nằm trên vùng kẻ chéo thể hiện miền nghiệm. Để biết đợc tổng lợi nhuận thực có thể đợc cải thiện hay không, đờng thẳng hàm mục tiêu có thể đợc dịch chuyển tiến hoặc lùi song song với đờng cũ để xem giá trị hàm mục tiêu biến đổi ra sao. Đờng thẳng thể hiện hàm mục tiêu đợc dịch chuyển sang trái và các giá trị x 1 , x 2 chọn bất kỳ trên đờng này đợc dùng để tính toán giá trị hàm mục tiêu. Ta có thể thấy rằng giá trị x 0 tơng ứng với bất cứ đờng thẳng nào dịch chuyển sang trái đờng 5x 1 - x 2 =0 và song song với nó đều có giá trị âm. Khi càng dịch chuyển đờng này sang trái, giá trị x 0 càng trở nên âm nhiều hơn. Điều này chỉ ra rằng sự tìm kiếm nghiệm đợc tiến hành sai hớng vì bài toán đặt ra là loại tối đa hóa; giá trị x 0 càng lớn càng tốt. Nh vậy, hớng tìm kiếm nên đợc thay đổi bằng cách chuyển dịch đờng thẳng hàm mục tiêu về bên phải của đờng 5x 1 - x 2 =0, Ngay lập tức, giá trị của lợi nhuận thực chuyển sang dơng và tăng liên tục khi đờng này đợc chuyển xa về phía phải. Tuy nhiên, đờng này không thể dịch chuyển sang phải một cách vô hạn kể cả khi nó liên tục làm tăng lợi nhuận thực. Nh có thể nhận thấy, sau khi vợt qua điểm C, đờng thẳng hàm mục tiêu không chứa một nghiệm khả thi nào. Trong ví dụ này, có thể kết luận rằng, cặp x 1 , x 2 tại điểm C, (6,2), là nghiệm tối u của bài toán. Lợi nhuận thực có thể đạt đợc của nhà xuất là 5 (6) - 1 (2) = 28 nghìn đô la Phơng pháp đồ giải chỉ áp dụng đợc cho những bài toán có chứa hai biến quyết định. Đối với các bài toán có nhiều hơn hai biến quyết định, hình dạng của các hàm mục tiêu và các phơng trình ràng buộc có dạng các mặt đa diện lồi trong không gian n-chiều. 3.2.2. Các điểm cực trị (điểm góc) khả thi Trong ví dụ minh họa vừa rồi, nghiệm tối u của bài toán QHTT tìm đợc khi sử dụng phơng pháp đồ nằm tại một điểm góc của miền nghiệm (gọi là điểm khả thi cực trị). Cần nhấn mạnh rằng, không có gì là đặc biệt 83 và trùng hợp về ví dụ này và dẫn đến một kết quả nh vậy. Thực tế, đối với tất cả các bài toán QHTT nghiệm tối u luôn rơi vào biên của miền nghiệm. Các điểm cực trị khả thi trong một bài toán QHTT có ba tính chất quan trọng. ý nghĩa của nó đối với kỹ thuật giải đại số sẽ đợc mô tả ở phần sau. Những tính chất sau đây đợc đa ra không kèm với chứng minh toán học. Những chứng minh này có thể tìm thấy ở các sách QHTT hay sách quy hoạch toán (Dantzig, 1963, Bradley, Hax và Magrati, 1977; và Taha, 1987). Tính chất 1a: Nếu mô hình QHTT chỉ có duy nhất một nghiệm tối u, nghiệm này phải nằm tại một điểm cực trị khả thi. Tính chất 1b. Nếu bài toán có nhiều nghiệm tối u, ít nhất hai trong số các nghiệm tối u nằm tại hai điểm cực trị khả thi cạnh nhau. Nh đã đợc minh hoạ trong hớng tiếp cận đồ giải, mỗi bài toán chỉ có một nghiệm tối u duy nhất, chúng ta luôn có thể nâng lên hay hạ xuống đờng hàm mục tiêu (hay mặt đa diện) cho đến khi nó tiếp xúc với điểm đó, điểm tối u, tại một góc của miền nghiệm. Có thể tởng tợng ra rằng các nghiệm tối u đa nghiệm xảy ra khi đờng thẳng hàm mục tiêu (hay mặt đa diện) song song với một trong số các biên của miền nghiệm. Đối với bài toán hai chiều, nếu đa nghiệm xảy ra, hai điểm cực trị khả thi tối u nằm cạnh nhau. Đối với các bài toán nhiều chiều hơn, có nhiều hơn hai điểm cực trị khả thi tối u nằm cạnh nhau. ý nghĩa của tính chất này là, trong khi đi tìm nghiệm tối u cho một bài toán QHTT, sự chú ý có thể tập trung vào các điểm cực trị khả thi, chứ không phải là vùng bên trong của miền nghiệm. 84 Hình 3.2 Một miền nghiệm của ví dụ sản xuất xử lí nớc thải. Tính chất 2: Chỉ có một số hữu hạn các điểm khả thi cực trị. Xét một mô hình QHTT có dạng chính tắc với m phơng trình và n biến quyết định cha biết (n>m). Đối với hệ các phơng trình trên, số các nghiệm có thể là nCm = n!(n-m)! và là hữu hạn. Tuy nhiên, số nghiệm này cung cấp giới hạn trên của số các điểm khả thi cực trị bởi vì rất nhiều trong số các nghiệm này là không khả thi hay không tồn tại. Tính chất này có thể gợi ý rằng nghiệm tối u có thể thu đợc bằng cách liệt kê và xem xét tất cả các điểm cực trị khả thi. Tuy nhiên, điều này thờng là không khả thi vì số các điểm khả thi có thể rất lớn để có thể liệt kê và xem xét một cách hiệu quả. Hơn thế nữa, nghiệm tối u không thể xác định đợc trớc khi tất cả các điểm cực trị khả thi đợc liệt kê và xem xét. Tính chất 3: Nếu một điểm cực trị khả thi tốt hơn (đánh giá với x 0 ) tất cả các điểm khả thi bên cạnh nó thì nó cũng tốt hơn tất cả các điểm cực trị khả thi còn lại (có nghĩa là nó là một điểm tối u toàn cục.) Từ tính chất này ta không phải đi liệt kê và xem xét tất cả các điểm cực trị khả thi để tìm đợc nghiệm tối u của bài toán. Thay vào đó, vị trí của một điểm cực trị khả thi đang xem xét có thể đợc khẳng định đơn giản bằng việc so sánh nó với các điểm cạnh nó. Nếu tính chất 3 đợc thỏa mãn, 85 điểm cực trị khả thi mà ta đang xét là nghiệm tối u toàn cục của bài toán QHTT. Nên nhấn mạnh rằng yêu cầu cơ bản cho tính chất này tồn tại là miền nghiệm là lồi. Nếu không, nghiệm tối u thu đợc sẽ không đợc đảm bảo là nghiệm tối u toàn cục mà chỉ là nghiệm tối u cục bộ. Hiện tợng này đặc biệt thờng xuyên xảy ra trong các bài toán quy hoach phi tuyết tính. May mắn là miền nghiệm của các bài toán QHTT hầu nh là luôn luôn lồi. 3.2.3. Thuật giải cho các bài toán quy hoạch tuyến tính ở mục này ba tính chất quan trọng của điểm cực trị khả thi thảo luận trớc đây sẽ đợc ứng dụng vào một bài toán QHTT và một thuật giải sẽ đợc thiết kế để giải bài toán QHTT này. Chúng ta quay lại bài toán sản xuất, xử lí chất thải trớc đây. Nh đợc mô tả ở hình 3.2.1, mô hình QHTT có bốn điểm cực trị khả thi. Đầu tiên, ta phải xác định điểm xuất phát cho việc tìm kiếm nghiệm tối u. Hiển nhiên là nếu điểm xuất phát gần với điểm tối u, ta có thể hy vọng việc tìm kiếm nghiệm sẽ nhanh hơn. Tuy nhiên, nhìn chung là rất khó có thể xác định ngay từ đầu một điểm xuất phát tốt, đặc biệt là cho các bài toán nhiều chiều. Do vậy, sẽ là hợp lý nếu bắt đầu việc tìm kiếm từ điểm ở gốc tọa độ (x 1 , x 2 ) = (0,0) vì điểm gốc là một điểm cực trị khả thi, chú ý rằng trong công việc tìm kiếm nghiệm tối u, luôn cần thiết bắt đầu với một nghiệm khả thi. Khi đã xác định đợc điểm xuất phát cực trị khả thi, giá trị của hàm mục tiêu tơng ứng x 0 sẽ đợc tính để làm cơ sở cho các bớc so sánh tiếp theo. Trong trờng hợp này, tại điểm (0,0), giá trị x 0 tơng ứng bằng 0, Bớc tiếp theo là tìm một nghiệm tốt hơn bằng cách so sánh các giá trị của các hàm mục tiêu tại các điểm cực trị khả thi bên cạnh. Hai điểm cực trị khả thi bên cạnh điểm (0, 6) là B (2, 4) và D (5, 0) với các giá trị tơng ứng của hàm mục tiêu lần lợt là 6 và 25. Kết quả này chỉ ra rằng sự dịch chuyển từ điểm A đến D đạt đợc sự cải thiệt tốt hơn so với từ A đến B. Do vậy, điểm D trở thành điểm cực trị khả thi cơ sở. Tại điểm D, quá trình so sánh đợc lập lại bằng cách xác định các điểm cực trị khả thi nằm bên cạnh điểm D. Trong trờng hợp này, hai điểm A và C là hai điểm tiếp giáp. Tuy nhiên từ so sánh trớc đây, giá trị hàm mục tiêu tại A không tốt hơn giá trị tại điểm hiện tại D. Do vậy điểm C là điểm cực trị khả thi cần đợc so sánh với điểm D. Tại điểm C (6, 2) giá trị x 0 bằng 5(6) - 1(2)=28. Do giá trị này lớn hơn 25 tại điểm D, điểm cực trị khả thi cơ sở đợc thay bằng điểm C. Tại điểm cực trị khả thi cơ sở C, không còn điểm cực trị khả thi tiếp giáp nào để so sánh (điểm B đã đợc so sánh và loại bỏ bởi điểm D trong bớc trớc đây). Giá trị của x 0 tại điểm C là tốt hơn so với tất cả các điểm CTKT bên cạnh (điểm B và D). Từ tính chất thứ ba của các điểm CTKT thảo luận trớc đây, ta có thể kết luận rằng nghiệm [...]... 0 -1 0 0 0 2 0,4 -2 -1 1 0 5 0 1 -0 ,8 -1 0 0 1 1 v0 1 2 0,4 -2 -1 0 0 5 v1 0 2 0,4 -1 -1 1 0 5 u2 0 1 -0 ,8 -1 0 0 1 1 v0 1 0 2 0 -1 0 -2 3 v1 0 0 2 0 -1 1 -2 3 y1 0 1 -0 ,8 -1 0 0 1 1 v0 1 0 0 0 0 -1 0 0 y2 0 0 1 0 -0 ,5 0,5 -1 1,5 y1 (d) 0 u2 (c) 1 v1 (b) v0 0 1 0 -1 -0 ,4 0,4 0,2 2,2 0 Pha II: Min y0 = 10 y1 + 4y2 (e) y0 1 -1 0 -4 0 0 0 0 y2 1 0 -0 ,5 0,5 -1 1,5 1 0 -1 -0 ,4 0,4 0,2 2,2 y0 1 0 0 -1 0 -6 ... hàm mục tiêu Bảng 3. 3.4 Minh hoạ các biến đổi hàng x2 s1 s2 s3 x0 x1 1 -5 1 0 0 0 0 2 -1 1 0 0 0 0,4 0,8 0 1 0 0 -2 1 0 0 1 Nghiệm 0 10 4 0 Bảng 3. 3.5 Kết quả của bước lặp 1 Cơ sở x0 x1 X2 x0 1 0 -1 ,5 s1 0 1 -0 ,5 s2 0 0 1 s3 0 0 0 Biến đổi hàng (+ )( x )( 5 ) ( )( 2 ) (+ )( x )( - . 4) (+ )( x )( 2 ) s1 2,5 0,5 -0 ,2 1 s2 0 0 1 0 s3 0 0 0 1 Nghiệm 25 5 2 10 Trong tính toán thực tế, không cần tính toán các phần tử trong... -1 0 s1 0 0 0 1 1 0 -1 10 s2 0 0 1 0,2 0 1 -0 ,2 4 x1 (c) 0 0 1 -0 ,5 -0 ,5 0 0 0,5 0 Pha 2 x0 0 0 0 s1 0 0 0 1 1 0 10 0 0 1 0,2 0 1 4 0 1 -0 ,5 -0 ,5 0 0 0 1 0 -1 ,5 -2 ,5 0 0 0 s1 0 0 0 1 1 0 10 s2 0 0 1 0,2 0 1 4 x1 0 1 -0 ,5 -0 ,5 0 0 0 x0 1 0 -1 ,5 0 2,5 0 25 s3 0 0 0 1 1 1 10 s2 0 0 1 0 -0 ,2 1 2 x1 0 1 -0 ,5 0 0,5 0 5 x0 1 0 0 0 2,2 1,5 28 s3 0 0 0 1 1 0 10 x2 0 0 1 0 -0 ,2 1 2 x1 (g) 0 x0 (f) 1 x1 (e) -5 ... ứng với min (- , 2/1,10/ 0) = min (- , 2 ,) = 2 là biến ra trong vòng lặp thứ hai của phương pháp đơn hình Hàng chính là hàng s2 và phần tử chính là 1 Sau các biến đổi hàng, bảng đơn hình mới được cập nhật trên bảng 3. 3.6 Điểm cực trị khả thi liên quan tới bảng này là (x1, x 2) = (6 , 2) và giá trị của hàm mục tiêu tương ứng, x0, là 28, và lớn hơn giá trị trước đó bằng 25 Xem xét các hệ số mục tiêu ở hàng x0 của... buộc thứ 3 biểu thị lượng rác thải được xử lí, biến ảo s3 10 thực sự là lượng rác thải tối ưu để được xử lí Bảng 3. 4.1 Bài toán nhà máy xử lí chất thải giải bằng phương pháp hai pha Pha 1 Biến cơ sở r0 X1 x2 x3 s1 s2 r3 Soln r0 1 0 0 0 0 0 -1 0 s1 0 2 -1 0 1 0 0 10 s2 0 0,4 0,8 0 0 1 0 4 r3 0 2 -1 -1 0 0 1 0 r0 1 2 -1 -1 0 0 0 0 s1 0 2 -1 0 1 0 0 10 s2 0 0,4 0,8 0 0 1 0 4 (a) (b) 101 r3 2 -1 -1 0 0... 2 x1 -1 0 Ràng buộc 2: x2 = 2 + 0,2 s1 - s 2 Nếu x1 và x2 >0 thì s1 =0 Nếu x1 và x2 >0 thì s 2 =0 x2 Ràng buộc 3: =2 0 x1 + 0 x2 + 0 +0 s2 + s3 = 10, do đó s3 = 10 Thay x2 =2 từ ràng buộc 2 vào ràng buộc 1, x2 = 2 x1 -1 0, ta có x1 =6 Đối với hàm mục tiêu ta thay x2 2 vào, có: 3 5 x0 (2 0, 2 s1 s2 ) s1 0 s2 0 s3 25 2 2 3 5 x0 3 0, 3s1 s2 s1 0 s2 0 s3 25 2 2 3 x0 2, 2 s1 s2 0 s3 28... bởi hệ số của biến nhân tạo này trong dòng x0 tối ưu sau khi bỏ dấu 3. 8 Dạng ma trận của một thuật toán bảng đơn hình Mục này đưa ngân sách quốc gia tới một số sự vận dụng đại số quan trọng của các thuật toán tối ưu hóa phi tuyến được trình bày trong Chương 4 Xét dạng ma trận của một formulation quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc Max (hoặc Min) x0 c T x (3 .8.1a) (A.I) x = b (3 .8.1b) x 0 (3 .8.1c) Với... 0s1 + 0 + s3 = 4 x1 = 10 Bây giờ chúng ta đi kiểm tra ràng buộc 1 và 3 Ràng buộc 1: 2(1 0) - 0 + s1 + 0s2 + 0s3 = 10 s1 = -1 0 Ràng buộc 3: - 2(1 0) + 0 + 0s1 + 0s2 + s3 = 0 s3 = 20 Đối với ràng buộc 1, x1 = 10 là quá lớn vì biến ảo s1 mang giá trị âm (s1 = -1 0) Tiếp theo, xét ràng buộc 2 và tìm giá trị x1 với x2 = 0 và s3 = 0, Ràng buộc 3: -2 x1 + 0s1 + 0s2 + 0 = 0 x1 = 0 Điều này nói lên rằng nó không di... ưu và vẫn tồn tại ít nhất một biến nhân tạo trong tập hợp biến cơ sở tại một mức dương Bảng 3. 6.1 Nghiệm của bài toán nhà máy sản xuất nhà máy xử lí rác thải trong trường hợp không có các ràng buộc chất lượng nước Max với ràng buộc x0 = 5x1 - x2 2x1 - x2 10 2x1 - x2 > 0 105 Cơ sở x0 x1 x2 s3 s1 Nghiệm r3 X0 -5 2 0 0 M 0 s1 0 2 -1 0 1 0 10 R3 a) 1 0 2 -1 -1 0 1 0 1 -5 2 M 0 0 0 -2 M +M X0 b) s1 0 2 -1 ... giảm ( ối với điểm nghiệm đang xét) Điều kiện khả thi đảm bảo rằng, bắt đầu với một nghiệm khả thi cơ sở, chỉ có các nghiệm khả thi cơ sở được xem xét trong suốt quá trình tính toán Bảng 3. 3.1 Các điểm cực trị khả thi của bài toán sản xuất và xử lí chất thải (x1 x2 s1 s2 s 3) A (0 , 0, 10, 4, 0) B (2 , 4, 10, 0, 0) C (6 , 2, 0, 0, 1 0) D (5 , 0, 0, 2, 1 0) Bảng 3. 3.2 Bảng đơn hình của bài toán sản xuất và xử . hàm mục tiêu. Bảng 3. 3.4 Minh hoạ các biến đổi hàng x 0 x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 Nghiệm Biến đổi hàng 1 -5 1 0 0 0 0 (+ )( x )( 5 ) 0 2 -1 1 0 0 10 ( )( 2 ) 0 0,4 0,8 0 1 0 4 (+ )( x )( . Ax b (3 .1.3b) x 0 (3 .1.3c) Với C là véc tơ cột (n x 1) của các hệ số hàm mục tiêu, x là vec tơ cột (n x 1) của các biến quyết định, A là ma trận (m x n) của các hệ số công nghệ, b là. (+ )( x )( 4) 0 -2 1 0 0 1 0 (+ )( x )( 2 ) Bảng 3. 3.5 Kết quả của bớc lặp 1 Cơ sở x 0 x 1 X 2 s 1 s 2 s 3 Nghiệm x 0 1 0 -1 ,5 2,5 0 0 25 s 1 0 1 -0 ,5 0,5 0 0 5 s 2 0 0 1 -0 ,2