Chương RỐI BIỂN 4.1.CÁC ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ĐỘNG RỐI 4.1.1.Sự biến đổi đại lượng trung bình Phương trình khuyếch tán biển Trong khi mơ tả trạng thái hệ biển, khí nhằm mực đích dự báo biến động nó, người ta trọng tới đại lượng trung bình không sâu vào đặc trưng nhiễu động chúng Như chấp nhận, đặc trưng hệ đợc phân tách thành hai phần trung bình nhiễu động Đối với chu kỳ lấy trung bình giá trị trung bình nhiễu động 0: =0 Nếu ta lấy trung bình phương trình tiến triển dạng tổng quát ( y ⎞ ⎛ ∂y y + ∇.⎜ y v ⎟ =ψ + ∇ α ∇y ⎟ ⎜ ∂t ⎠ ⎝ ) (4.1) y = 1, vj, b, ρ∗, ta thấy nhiếu động bị triệt tiêu số hạng tuyến tính, tồn số hạng phi tuyến Trung bình đại lượng ∇.(yv) cho ta hai thành phần, thành phần đầu tích đại lượng trung bình, cịn thành phần thứ hai trung bình tích nhiễu động Ta viết tách riêng phương trình thành hai phần, cho đại lượng trung bình cho nhiễu động Có thể thể biến vận tốc, lực áp suất giả dịnh dạng sau đây: v = u+v’ , b = a+b’ q = p+r Các phương trình viết cho đại lượng trung bình là: ∇.u=0 ∂ uα ∂t (4.2) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ∇.⎜ u uα ⎟ = ⎝ ⎠ (4.3) ⎡ ⎤ ν ⎢ − Ω ∧ u + a − ∇p ⎥ + ∇.( ∇ uα ) − ∇ ⎣ ⎦α ∂a ∂t ( ) ' v vα b ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ + ∇.⎜ u a ⎟ =ψ + ∇ κ∇ a − ∇ ⎠ ⎝ ' vb 62 ' ' (4.4) Phương trình tương tự biến vơ hướng ∂ μ∗ ∂t ∗⎞ ⎛ + ∇.⎜ u μ ⎟ = ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ S ∗+ I ∗ (4.5) ∗ ∗ ∗ ∗ − ∇.⎛ m μ ⎞ + ∇.⎛κ ∇ μ ⎞ − ∇ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ' v ρ∗ ' với ρ∗=μ∗+ ρ∗′ Các phương trình tương ứng nhiễu động thu cách trừ hai vế tương ứng phương trình tổng quát phương trình ∇.v’=0 (4.6) ∂ v' ⎞ ⎟= ⎟ ⎠ ⎛ ' ' ' + ∇.⎜ u v ' + v uα + v v ' − v v ' ⎜ α α α ∂t ⎝ ⎤ ⎡ ' ' = ⎢− Ω ∧ v + b − ∇r ⎥ + ∇ ν∇ v ' α ⎦α ⎣ α ( ∂b ' ⎛ ' ' ' ' + ∇.⎜ u b + v a + v b − ⎜ ∂t ⎝ =ψ − b ∂ ) ρ∗ ∂t ψ b ( + ∇ κ∇ b ' ' vb ' ) (4.7) ⎞ ⎟= ⎟ ⎠ (4.8) ' ' ' ∗ ⎛ ' + ∇.⎜ u ρ ∗ + v μ + ' ρ ∗ − ⎜ v ⎝ ' v ρ∗ ' ⎞ ⎟= ⎟ ⎠ (4.9) ' ' ⎛ ∗ ⎞ ⎛ ∗ ⎞ − ∇.⎜ m ρ ∗ ⎟ + ∇.⎜κ ∇ ρ ∗ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = S ∗+ I ∗ − S ∗+ I ∗ Từ phương trình ta thu phương trình động chuyển động trung bình Es = (1/2)u2 nhiễu động k = ∂ Es u ⎡ ⎤ + ∇.⎢u E s ⎥ = Q + ∇ ν∇ E s − ∇ ∂t ⎣ ⎦ [ ] ⎛ '⎞ ' ⎜u v ⎟ v ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ (4.10) Bằng cách nhân vơ hướng hai vế phương trình vận tốc trung bình nhiễu động với vận tốc tương ứng ta thu được: w ∂k + ∇.⎡u k ⎤ = Q + ∇.[ν∇k ] − ∇ ⎢ ⎥ ∂t ⎣ ⎦ v (k + r ) ' (4.11) Trong ⎧ Q = ∑∑ ⎪ vα v β ⎨ α β u ⎪ ⎩ ' ' ∂ uα ∂ xβ −ν ∂ uα ∂ u α ⎫ ⎛ ⎪ ⎬ + a u − ∇.⎜ u ⎜ ∂ xβ ∂ xβ ⎪ ⎝ ⎭ 63 ⎞ p⎟ ⎟ ⎠ (4.12) Q w ⎧ ⎪ = ∑∑ ⎨ α β ⎪ ⎩ ' vα v β ' ∂ uα ∂ xβ −ν ∂ v' ∂ v' α α ∂ xβ ∂ xβ ⎫ ⎪ ⎬+ ⎪ ⎭ b v' ' (4.13) Các phương trình viết dạng tổng quát sau đây: ( ) y ⎞ ⎛ ∂y y + ∇.⎜ y u ⎟ = Q + ∇ λ ∇y − ∇ ⎟ ⎜ ∂t ⎠ ⎝ j y (4.14) Phương trình gọi phương trình khuyếch tán, ý nghĩa thành phần khái quát bảng Thực tế cho thấy thông lượng rối gây nên khuyếch tán rối tương tự khuyếch tán phân tử có bậc đại lượng lớn nhiều lần Bảng 3.2 Các thành phần phương trình tổng quát 4.14 ∇.(yu) Q y ∇.(λy∇ y) ∇.jy Bình lưu dịng trung bình; Nguồn cục (hoặc phân huỷ) trung bình kết thăng, giáng ngồi tương tác hệ có tương tác dịng trung bình nhiễu động; Khuyếch tán phân tử (λy∇y thông lượng phân tử) Thành phần liên quan tới thông lượng rối jy từ chuyển động trung bình nhiễu động gây nên Tương tự thông lượng phân tử, thông lượng rối biểu diễn qua tích hệ số rối gradien đại lượng trung bình: j y y y ⎧ y ⎫ ~ ∂y ~ ∂y ⎪ ~ ∂y ⎪ = −⎨ + + e1 α ∂ e2 α ∂ e3⎬ ⎪α ∂ x1 x2 x3 ⎪ ⎩ ⎭ (4.15) hệ số rối lại hàm không gian thời gian cần xác định Trong nhiều trường hợp người ta ký hiệu hệ số rối tương tự hệ số phân tử với dấu ”~” đầu 4.1.2.Các lý thuyết rối Lý thuyết Prandtl Như nhận xét đây, thơng lượng rối đóng vai trị định trình khuyếch tán biển khí Khuyếch tán nhiễu động xuất chuyển động trung bình bao gồm xốy có kích cỡ thời gian tồn khác nhau, chúng lấy nguồn lượng từ động chuyển động trung bình Prandtl đưa tần số M đặc trưng cho trình trao đổi lượng trình khuyếch tán rối phụ thuộc trực tiếp vào tần số Trong trường hợp chất lỏng không phân tầng, lượng rối hồn tồn có nguồn gốc học phụ thuộc chủ yếu vào gradien vận tốc trung bình 64 Có thể xuất phát từ biểu thức lượng ⎧ ∂ ⎫ ⎪ ⎪ ∑∑ ⎨ vα v β ∂ uα ⎬ = − v v α β ⎪ xβ ⎪ ⎩ ⎭ ' ' ' ' ⎞ ⎞⎛ ⎞ ~⎛ ⎛ ⎜ ∇ u ⎟ =ν ⎜ ∇ u ⎟.⎜ ∇ u ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ (4.16) với tần số đặc trưng gọi tần số Prandtl M ~ ∇u (4.17) Prandtl cho hệ số nhớt rối phụ thuộc trực tiếp vào M ~ ν = lm M (4.18) lm khoảng cách gọi quãng đường xáo trộn Lý thuyết nêu áp dụng cho tất hướng không gian Cho rằng: ⎧ ∂ uα ∂ uα ⎫ ⎪ ⎪ M = ⎨∑∑ ⎬ ∂ xβ ∂ xβ ⎪ ⎪α β ⎩ ⎭ ta viết: ~ ~ ~ ν =ν =ν = l m M (4.19) lm quảng đường xáo trộn trình bày Lý thuyết Konmogorov Trong phân tích đặc trưng chuyển động rối đại lượng trung bình u nhiễu động v’, phụ thuộc vào khoảng thời gian lấy trung bình ϑ mà đại lượng đặc trưng cho trình có thời gian đặc trưng lớn ϑ (hình 4.1), cịn nhiễu động lại có thời gian đặc trưng nhỏ Việc phân tách tương tự tiến hành với trường lực nổi: b = a +b’ E(f) Hình 4.1 Các đặc trưng rối (năng lượng rối) phụ thuộc vào chu kỳ lấy trung bình 65 Năng lượng nhiễu động lấy từ trường trung bình u (và số điều kiện cụ thể từ a) xốy phản ánh tính khơng dừng, bất đồng dị hướng trường trung bình Năng lượng truyền tiếp cho xốy có kích thước nhỏ hơn, bậc thang lượng ln gắn liền với tượng ‘xa rời khứ”, nghĩa kích thước ta xem xốy rối có tính thống kê dừng, đồng đẳng hướng Người ta xác định kích thước tới hạn xốy lH mà tính thống kê dừng thể Kích thước phụ thuộc vào kích thước đặc trưng cho biến động trường trung bình, vào khoảng cách tới biên (tường, vách) L đại lượng bé số kích thước đặc trưng lH 0, ' ' Lực Acshimed đóng vai trị nguồn phát sinh động (chuyển động) rối Ngược lại N (z) >0 hay phân tầng ổn định đại lượng lượng rối chịu tổn thất phải chống lại lực Acshimed Cịn thành phần cuối phương trình vận tốc tản mát lượng rối: 71 lượng chuyển thành nhiệt tiêu tán nhớt phân tử Trên tầng mặt đại dương, dịng trung bình thường có hướng ngang rối xem đồng theo hướng vng góc với trục lấy hướng x, điều kiện phương trình có dạng sau: ⎤ ⎡ ⎛ ∂ ⎞⎛ ⎞ ∂ ⎢ ⎛ p v i ⎞⎥ ⎜ ⎟ = − w ∂ U i + bw − ε , i = 1,2 (4.35) w + ⎜ ⎟⎜ v i ⎟ + vi ∂z ⎝ ∂t ⎠⎝ ⎠ ∂z ⎢ ⎜ ρ ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ Trong phương trình trên, đại lượng thăng giáng khơng viết kèm dấu ‘ cho đại lượng bao gồm phần trung bình A thăng giáng a So sánh thành phần bên vế phải cho thấy, phân tầng mật độ ổn định giới hạn phần lượng lực Acsimet lớn nguồn động nhận từ dòng trung bình, đặc trưng rối bảo tồn trường hợp có ngn lượng bổ sung khác từ bên Như vậy, điều kiện tồn phát triển rối biểu diễn thông qua tương quan hai thành phần kể sau: bw (4.36) ≥1 ∂U α − vα w ∂z Nếu sử dụng khái niệm hệ số trao đổi rối cho động lực đẩy ứng suất Reinolds: ∂U α ∂B − vα w = K M , ∂z ∂z Biểu thức (4.36) biến đổi dạng sau: bw = K b R f ∂B ∂z K K ⎛ ∂U α ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ = b = M − = (4.37) K =K R K ⎛ ∂U α ⎞ K ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ b b i M (4.38) g ∂ρ ρ ∂z ≥1 M Đại lượng Rf gọi số Richardson động lực hay số Richardson thông lượng sử dụng đồng thời với số Richardson Ri thông thường Công thức (4.38) thể điều kiện suy giảm hay không cho rối phát triển biển Nếu sử dụng khái niệm tần số Brunt- Vaisalia N tần số Prandtl M: 72 (N ( z ) ) ⎛ ∂B ⎞ ⎛ g ∂ ρ ⎞ ⎟, = ⎜ ⎟ = ⎜− ⎝ ∂z ⎠ ⎜ ρ ∂z ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ ∂U α ⎞ ⎟ M =⎜ ⎝ ∂z ⎠ 2 số Richardson Ri viết đơn giản hơn, thể tương quan nguồn chi thu động chuyển động rối biển: Ri = N M 2 Trong bảng 4.1 thể ảnh hưởng phân tầng mật độ lên phát triển rối biển Tồn hai giá trị số Richardson tới hạn, giá trị đầu Rf = 1, biến đổi động theo thời gian bị triệt tiêu, chuyển động rối vắt đầu giảm số Richardson tăng Đối với giá trị tới hạn thứ hai Rf>>1 rối khơng cịn tồn Bảng 4.1 Điều kiện phát triển rối biển Điều phân tầng kiện Không ổn Trung gian ổn 0 >0 =0 1 không tồn Hệ số trao đổi rối biển Khi tìm cách giải tốn thuỷ nhiệt động lực học biển người ta thừa kế lý thyết rối khác nhau, hệ số rối xem đặc điểm có tính định Hệ số cho ta mức độ phụ thuộc thông lượng vật chất, lượng, v.v với trường trung bình yếu tố vật lý nhiệt độ, độ muối, vận tốc, v.v Công thức 3.11 thí dụ hệ số Nghiên cứu ảnh hưởng phân tầng mật độ lên chế độ rối người ta thu mối tương quan hệ số trao đổi động lượng Km nhiệt rối Kθ vào số Richardson, ví dụ: Kθ = Kθ0 (1+βTRi)-3/2 , KM= KM0 (1+βvRi)-1/2, 73 Kθ0 = KM0 , Ri =0 βT= 3,33, βv = 10 Những kết luận nêu nói chung trường hợp yếu tố động lực không đổi Khi yếu tố động lực mạnh xáo trộn rối xảy ra, điều kiện phân tầng ổn định Những q trình gây nên xáo trộn rối động lực mạnh sóng gió, dịng chảy biển, tượng sóng dài thuỷ triều Nghiên cứu phân bố vận tốc tản mát lượng rối trung bình lớp xáo trộn sóng cho thấy tản mát lượng ε vào khoảng 10-2cm2/s3 Đối với lớp nước xáo trộn sóng, Kitaigorotxki tìm mối tương quan hệ số trao đổi rối đặc trưng sóng sau: K Mw = β δ γ V (4.39) g ⎯δ = h/λ - độ dốc trung bình sóng, ⎯γ =⎯c/V - tuổi sóng, V-vận tốc gió, h -độ cao sóng, λ - độ dài sóng,⎯c - vận tốc truyền sóng β = 0,002 Có thể sử dụng biểu thức biến đổi hệ số K theo độ sâu dạng sau đây: ⎛δ K ( z ) = 8κ ( z + ah) ⎜ ⎜τ ⎝ ⎞ − 2πz ⎟e λ ⎟ ⎠ (4.40) đó: a = 0,2 , κ = 0,4 ,⎯τ - chu kỳ sóng Trong trường hợp dịng chảy nhân tố hệ số K viết dạng sau (Suleikin): κ V0 K= 2ω e − (i +1) z ω z k z ωz -vận tốc quay đất theo hướng z, V0 -vận tốc dòng chảy mặt biển, k- số sóng: k=1/(⎯τ) 74 ... trình (4 .2 6) (4 .2 8) dạng phương trình lượng Đối với động toàn phần E: E = ρ vα vα , phương trình (4 .2 6) cho i = j ta có: [ )] ( ∂E ∂ + E + p vα − v β σ βα = ∂t ∂ xα vα = (? ? vα (4 .2 9) X ? ?)+ ε ε -. .. ⎛δ K ( z ) = 8κ ( z + ah) ⎜ ⎜τ ⎝ ⎞ − 2πz ⎟e λ ⎟ ⎠ (4 .4 0) đó: a = 0,2 , κ = 0 ,4 ,⎯τ - chu kỳ sóng Trong trường hợp dịng chảy nhân tố hệ số K viết dạng sau (Suleikin): κ V0 K= 2ω e − (i + 1) z ω... v a + v b − ⎜ ∂t ⎝ =ψ − b ∂ ) ρ∗ ∂t ψ b ( + ∇ κ∇ b '' '' vb '' ) (4 . 7) ⎞ ⎟= ⎟ ⎠ (4 . 8) '' '' '' ∗ ⎛ '' + ∇.⎜ u ρ ∗ + v μ + '' ρ ∗ − ⎜ v ⎝ '' v ρ∗ '' ⎞ ⎟= ⎟ ⎠ (4 . 9) '' '' ⎛ ∗ ⎞ ⎛ ∗ ⎞ − ∇.⎜ m ρ ∗ ⎟ + ∇.⎜κ ∇