Tập hợp - Giải tích tổ hợp Bài Giảng Mơn học Xác Suất Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày tháng năm 2011 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp - Giải tích tổ hợp Khái niệm tập hợp • Khái niệm tập hợp khái niệm khơng có định nghĩa, tương tự khái niệm điểm, đường thẳng hình học • Tập hợp hiểu tổng quát tựu tập số hữu hạn hay vô hạn đối tượng Các đối tượng gọi phần tử tập hợp • Ta thường dùng chữ in hoa A, B, C , để kí hiệu tập hợp Nếu a phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a khơng thuộc A ta kí hiệu a ∈ A / • Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Kí hiệu ∅ Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp Có hai cách xác định tập hợp: • Liệt kê phần tử Ví dụ Tập hợp số tự nhiên nhỏ A = {0, 1, 2, 3, 4} Tập hợp số tự nhiên chẵn từ đến 100 B = {0, 2, 4, , 98, 100} Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp • Chỉ tính chất đặc trưng phần tử Khơng phải tập hợp liệt kê rõ ràng phần tử Tuy nhiên ta dùng tính chất đặc trưng để mơ tả nó, từ xác định phần tử có thuộc tập hợp hay khơng Ví dụ Tập hợp số thực lớn bé C = {x|x ∈ R ≤ x ≤ 1} Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quan hệ tập hợp • Tập hợp Cho tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B, ta nói tập hợp A tập hợp B kí hiệu A ⊂ B B ⊃ A Ta viết A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) • Tập hợp Cho tập hợp A B Nếu phần tử A thuộc B ngược lại, phần tử B thuộc A ta nói hai tập hợp A B kí hiệu A = B Ta viết A = B ⇔ (A ⊂ B B ⊂ A) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép tốn tập hợp • Giao hai tập hợp Giao hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp này, kí hiệu A ∩ B Ta viết x ∈A∩B ⇔ x ∈A x ∈B Tập hợp - Giải tích tổ hợp • Hợp hai tập hợp Hợp hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp này, kí hiệu A ∪ B Ta viết x ∈A∪B ⇔ x ∈A x ∈B Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép tốn tập hợp • Hiệu hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử thuộc A mà không thuộc B, kí hiệu A \ B Ta viết A \ B = {x|x ∈ A x ∈ B} / Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép tốn tập hợp Tính chất • Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A • Tính kết hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép tốn tập hợp Tính chất (tt) • Tính phân phối A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) • Cơng thức De Morgan A∪B =A∩B A∩B =A∪B Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc nhân Giả sử để hồn thành cơng việc phải thực k giai đoạn Giai đoạn thứ có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, , giai đoạn thứ k có nk cách thực Khi ta có n = n1 n2 nk cách hồn thành cơng việc Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc nhân Ví dụ Giả sử từ A đến C ta bắt buộc phải qua B Có đường khác từ A đến B có đường khác từ B đến C Vậy có n = 3.2 = cách khác để từ A đến C Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất nhóm (bộ) k phần tử • Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí phần tử khác nhóm ta nhận nhóm khác • Nhóm khơng có thứ tự Khi đổi vị trí phần tử khác nhóm ta khơng nhận nhóm khác • Nhóm có lặp Các phần tử nhóm có mặt nhiều lần nhóm • Nhóm khơng lặp Các phần tử nhóm có mặt lần nhóm Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất nhóm (bộ) k phần tử Ví dụ Từ số 0, 1, 2, 3, lập số có chữ số • Các chữ số có lặp Cơng việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = cách chọn Cơng việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = cách chọn Cơng việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = cách chọn Vậy có n = 4.5.5 = 100 số • Các chữ số khơng lặp Cơng việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = cách chọn Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = cách chọn Cơng việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = cách chọn Vậy có n = 4.4.3 = 48 số Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Gọi Ak số chỉnh hợp chập k n phần tử Khi đó, n Ak = n.(n − 1) (n − k + 1) = n n! (n − k)! Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Ví dụ Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự Hỏi có cách chọn lớp trưởng lớp phó? Bài giải Một cách chọn lớp trưởng lớp phó nhóm có hai phần tử có thứ tự khơng lặp Nên có A2 = 12.11 = 132 12 cách chọn thỏa yêu cầu Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hốn vị Định nghĩa Hốn vị n phần tử nhóm có thứ tự khơng lặp có đủ n phần tử cho Số hoán vị n phần tử Pn = n! Quy ước 0! = Ví dụ Mỗi cách xếp học sinh ngồi vào bàn có chỗ ngồi hoán vị phần tử Do số cách xếp P4 = 4! = 24 cách Nhận xét Hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp Pn = An n Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi phần tử có mặt nhóm khơng q lần Nếu bỏ điều kiện này, ta có chỉnh hợp lặp Định nghĩa Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử cho, phần tử có mặt lần nhóm Gọi Ak số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Khi đó, n Ak = n k n Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Ví dụ Từ số tập hợp A = {1, 2, 3}, ta lập A5 = 35 số có chữ số Nhận xét Vì phần tử xuất nhiều lần chỉnh hợp lặp nên k lớn n Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho k Gọi Cn số tổ hợp chập k n phần tử Khi đó, k Cn = n! k!(n − k)! Ví dụ Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập C25 = 25! = 2300 3!22! đề thi Vì đề thi nhóm có câu hỏi có tính chất khơng có thứ tự khơng lặp Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Tổ hợp có tính chất sau: • Quy ước 0! = k n−k • Cn = Cn k−1 k k • Cn = Cn−1 + Cn−1 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton n (a + b)n = k Cn an−k bk k=0 Các hệ số nhị thức Newton xác định từ tam giác Pascal ... phép tốn tập hợp Tính chất (tt) • Tính phân phối A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) • Cơng thức De Morgan A∪B =A∩B A∩B =A∪B Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc... / Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép tốn tập hợp Tính chất • Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A • Tính kết hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Tập hợp - Giải tích... đó, n Ak = n.(n − 1) (n − k + 1) = n n! (n − k)! Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Ví dụ Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự Hỏi có cách chọn lớp trưởng lớp phó? Bài giải Một cách