Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNA. KIẾN THỨC CƠ BẢN:I. Một số phương pháp thường vận dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên1. Phương pháp đưa về phương trình tích: Các ví dụ:VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y =2Giải: Viết PT về dạng: (x – 1 )(y – 1 ) =3Do x, y Z nên (x1), (y1) Z và x1, y1 là ước của 3 Do vai trò của x,y như nhau nên không mất tính tổng quát gs x y
GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP Phơng trình nghiệm nguyên A Kiến thức bản: I Một số phơng pháp thờng vận dụng giải phơng trình nghiệm nguyên Phơng pháp đa phơng trình tích: Các ví dụ: VD1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: xy x y =2 Giải: Viết PT dạng: (x )(y – ) =3 Do x, y ∈ Z nªn (x-1), (y-1) ∈ Z vµ x-1, y-1 lµ íc cđa Do vai trò x,y nh nên không mÊt tÝnh tỉng qu¸t g/s x ≥ y x − = x = y − = ⇔ y = ⇒ x −1 ≥ y −1 ⇒ x − = −1 x = y − = −3 y = Vậy phơng trình có nghiƯm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0) VD2: T×m nghiệm nguyên phơng trình: x2+x+6=y2 (2) Giải: Phơng trình ®· cho t¬ng ®¬ng víi x + x + 24 = y ⇔ ( y ) − ( x + 1) = 23 2 ⇔ ( y + x + ) ( y − x + ) = 23 y + 2x +1 > ⇒ y − 2x +1 > x = y = x = −6 y + x + = 23 y = 12 y = −6 Ta cã: y + x + > y − x + nªn ⇔ ⇔ y − 2x +1 = x + = 11 x = y = −6 x = −6 y = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6) Đa phơng trình tổng: Các ví dụ: VD1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x2 4xy +5y2=169 Giải: Pt tơng đơng với: (x – 2y)2 +y2 =169 =132+02=122+52 x − y = y = 13 x − 2y = Mµ y ∈ Z+ ; x − y ∈ N ⇒ y = 12 x − y = 12 y = Từ tìm đợc nghiệm nguyên dơng cđa PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5) VD2: T×m nghiƯm nguyên dơng phơng trình: Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x+ y+ Gi¶i: z = 10 10 1 = 1+ ⇒ x+ = 1+ Ta cã 1 2+ y+ 2+ z Vì phân tích nên ta có x=1;y=2;z=3 Nhận xét ẩn số: VD: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 1+x+x2+x3=y3 Giải: Ta có x2+x+1>0 5x2+11x+7>0 với x Nên (1+x+x2+x3) – (x2+x+1)< 1+x+x2+x3 c => a > c c, TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > => an > bn a > b an > bn víi n lỴ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thøc C«si : a+b ≥ ab Víi sè dơng a , b ta có : Dấu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thøc Bunhiac«pxki : Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy a b = x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a + b a+b Dấu đẳng thức xảy : ab phần ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp : Dùng định nghĩa - KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A - B > - Lu ý : A2 ≥ víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = - VÝ dơ : Bµi : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ víi mäi x => H ≥ víi mäi x, y, z (y - 1)2 ≥ víi mäi y (z - 1)2 ≥ víi mäi z Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y x = y = z = Bµi : Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Cho a, b, c, d, e số thực : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiƯu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a a a a = ( − b )2 + ( − c )2 + ( − d )2 + ( − e )2 a a Do( − c )2 ≥ víi mäi a, c a Do ( − d )2 ≥ víi mäi a, d a Do ( − e )2 ≥ víi mäi a, e Do ( − b )2 ≥ víi mäi a, b => H ≥ víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y b = c = d = e = a Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 a + b ≥ Gi¶i : 2 XÐt hiÖu : H = a + b − a + b 2 2 = 2(a + b ) − (a + 2ab + b ) 1 = (2a + 2b − a − b − 2ab) = (a − b) ≥ Víi mäi a, b 4 DÊu '' = '' x¶y a = b Phơng pháp ; Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh ®óng VÝ dơ : Bµi : Cho a, b hai số dơng có tổng Chøng minh r»ng : Gi¶i: 1 + ≥ a +1 b +1 Dùng phép biến đổi tơng ®¬ng ; 3(a + + b + 1) ≥ 4(a + 1) (b + 1) ≥ 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) ≥ 4ab + 4ab (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh 10 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Víi a, b > , a b + ≥2 b a Các ví dụ : Bài : Giả sử a, b, c số dơng , chứng minh r»ng: a b c + + >2 b+c c+a a+b Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ≥ a (b + c) Tơng tự ta thu đợc : b 2b ≥ c+a a+b+c , a 2a ≥ b+c a+b+c c 2c a+b a+b+c Dấu ba BĐT đồng thời xảy , cã : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = ( tr¸i víi giả thiết a, b, c số dơng ) Tõ ®ã suy : a b c + + >2 b+c c+a a+b Bµi 2: Cho x , y số thực thoả mÃn : x + y2 = x − y + y − x Chøng minh r»ng : 3x + 4y Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã : (x2 + y2)2 = ( x − y + y − x )2 ( x ≤ ; y ≤ ) ≤ (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x2 + y2 ≤ Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 ≤ (32 + 42)(x2 + y2) ≤ 25 => 3x + 4y ≤ 2 x + y = Đẳng thức xảy x > 0, y > x y 3=4 §iỊu kiƯn : ≤ x ≤ 2 x = y = 5 Bµi 3: Cho a, b, c ≥ ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, a + b + b + c + c + a ≤ b, a + + b + + c + < 3,5 Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã : ( => ( ) a+b + b+c + c+a => ( a+b + b+c + c+a ≤ a + b + b + c + c + a ≤ (1 + + 1) a + b ) ) +( b+c ) +( ) c+a ≤ 3.(2a + 2b + ac) = 13 Sinh viªn: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta cã : (a + 1) + a = +1 2 b c b +1 ≤ +1 ; c +1 ≤ +1 2 a +1 ≤ T¬ng tự : Cộng vế bất đẳng thức ta đợc : a +1 + b +1 + c +1 ≤ a+b+c + = 3,5 DÊu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = VËy : a + + b + + c + < 3,5 Bµi : Cho số dơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a b c Gi¶i : a b + >0 ,a,b>0 b a 1 1 1 1 Ta cã : + + = ( + + ) = ( + + ) (a + b + c) a b c a b c a b c a a b b c c =1 + + + + + + + + b c a c a b a b b c c a = 3+( + )+( + )+( + ) ≥ + + + = b a c b a c 1 => + + ≥ a b c DÊu ''='' x¶y : a = b = c = Ta cã : Bµi a, Cho x , y > Chøng minh r»ng : 1 + ≥ x y x+ y b, Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c độ dài cạnh cđa tam gi¸c ) Chøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≥2( + + ) p−a p −b p −c a b c Gi¶i a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x + y ≥ xy 1 + ≥ x y xy 14 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 1 + )≥ x y 1 => + ≥ x y x+ y b+c−a b, Ta cã : p - a = >0 => (x + y)( T¬ng tù : p - b > ; p - c > ; áp dụng kết câu a , ta đợc ; 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a ) + ( p − b) c 1 + ≥ p−b p−c a 1 + ≥ p−a p−c b 1 1 1 + + ) ≥ 4( + + ) => 2( p−a p−c p−c a b c Tơng tự : => đIều phải chứng minh DÊu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi ®ã tam giác ABC tam giác Phơng pháp ; Dùng tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng tính chất đà đợc học để vận dụng vào giải tập Các ví dụ : Bài : Cho số x , y thoả mÃn điều kiện : x + y = Chøng minh r»ng : x4 + y4 Giải Theo tính chất bắc cầu ta cã : (x2 - y2) ≥ x4 + y4 ≥ 2x2y2 2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2 ≥ x2 + y2 ≥ 2xy 2(x2 + y2 ) ≥ (x +y)2 2(x2 + y2 ) ≥ V× : x + y = x + y2 ≥ (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 ≥ DÊu '' = '' x¶y x = y = Bµi 2: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab 15 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b T¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Phơng pháp : Chứng minh ph¶n chøng - KiÕn thøc : Gi¶ sư ph¶i chứng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất dẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức đà biết giả thiết đề để suy điều vô lý Điều vô lý trái với giả thiết , điều trái nhợc , từ suy đẳng thức cần chứng minh Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều + Phủ định suy hai đIều tràI ngợc + Phủ định suy kết luận Các ví dụ : Bài : Cho < a,b,c,d 3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Gi¶i: 16 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Gi¶ sử ngợc lại bốn đẳng thức Nh©n tõng vỊ ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a(1 − a )][ b(1 − b)][ c(1 − c)][ d (1 − d )] > 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : a +1− a = 2 T¬ng tù : b(1 - b) ≤ c(1 - c) ≤ d(1 - d) ≤ a (1 − a ) ≤ => a(1 - a) Nhân bất đẳng thức ; ta cã : [ a(1 − a)][ b(1 − b)][ c(1 − c)][ d (1 − d )] > 256 (2) Từ (1) (2) suy vô lý Điều vô lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai Bài : ( Phủ định suy hai điều trái ngợc ) Chứng minh số dơng a, b, c thoả mÃn ba bất đẳng thức sau : a + c ; b+ Híng dÉn : t¬ng tù nh : 17 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP Bài :( Phủ định suy trái với điều ) Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b ≤ Gi¶i : Gi¶ sư : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = ) Chia hai vế cho số dơng a, b ta ®ỵc : ab > a2 - ab + b2 VËy : a + b => > (a - b)2 Vô lý Phơng pháp : Đổi biến số - Kiến thức : Thực phơng pháp đổi biến số nhằm đa toán đà cho dạng đơn giản , gọn , dạng toán đà biết cách giải Các ví dụ : Bµi : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a b c + + ≥ b+c c+a b+a Gi¶i: §Ỉt : b +c = x , c + a = y , a + b = z x+ y+z y+z−x z+x− y x+ y−z => a = , b= , c= 2 => a + b + c = Khi ®ã : y+z−x z+x− y x+ y−z a b c + + = + + 2x 2y 2z b+c c+a b+a y x z x z y 3 = ( + ) + ( + ) + ( + ) − ≥ 1+1+1− = x y x z y z 2 VT = Bµi : Chøng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta có bất đẳng thức : Giải: ( x − y )(1x y ) ≤ ≤ (1 + x ) (1 + y ) Đặt : a = => ab = x2 − y2 (1 + x )(1 + y ) vµ b = 1− x2 y2 (1 + x )(1 + y ) ( x − y )(1 − x y ) (1 + x ) (1 + y ) 18 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Ta cã dƠ thÊy víi mäi a, b : Mà : (a - b) = 1 − 22 x + 1 1 (a − b) ≤ ab ≤ (a + b) 4 2 (a + b) = 1 − y + 1 1 Suy : ≤ ab ≤ 4 2 Bµi : Cho a, b, c > ; a + b + c ≤ Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > , x + y + z ≤ Cøng minh r»ng : 1 + + ≥9 x y z Ta chøng minh ®ỵc : (x + y + z)( 1 + + )9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z nªn suy 1 + + ≥9 x y z PhÇn iii : øng dơng cđa bÊt đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trÞ - KiÕn thøc : NÕu f(x) ≥ m f(x) có giá trị nhỏ m Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M Ta thờng hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý : A + B ≥ A+ B X¶y dÊu '' = '' AB 19 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP A ≥ DÊu ''= '' x¶y A = VÝ dơ : Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a b thoả mÃn : a + b = Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta cã : 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 = => a2 + b2 ≥ VËy B = a = b = 2 Bµi 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - ≥ - DÊu b»ng x¶y : t = x2 + x - = (x - 2)(x + 2) = x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ; b, Tơng tự Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, C = x − + x − b, D = x + x + + x + x − c, E = x − + x − + x + x Giải : a, áp dơng B§T : A + B ≥ A + B DÊu '' = ''x¶y AB ≥ => C = x − + − x ≥ x − + − x = − = DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x) ≥ VËy minC = ≤x≤ 2 ≤x≤ 2 b, T¬ng tù : minD = : -3 ≤ x ≤ c, minE = : ≤ x ≤ Bµi : Cho a < b < c < d , t×m : Minf(x) = x − a + x − b + x − c + x d 20 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a b ≤ x c Bài : Cho ba số dơng x , y , z thoả mÃn : Tìm giá trị lớn tích : P = xyz Giải : 1 + + ≥ 1+ y 1+ x 1+ z y 1 z yz )+(1)= + ≥ (1 ≥ 1+ y 1+ y 1+ x 1+ z 1+ z (1 + y )(1 + z ) T¬ng tù : zx ≥ 1+ y (1 + x)(1 + z ) xy ≥ 1+ z (1 + x)(1 + y ) Tõ ®ã suy : P = xyz ≤ 1 MaxP = x = y = z = Bµi : Cho sè dơng a, b, c thảo mÃn : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : a b c F = (a + ) + (b + ) + (c + ) Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 + + )+6 a b c Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 ≥ 1 1 1 + + 2) a b c a b c 1 1 1 1 Mặt khác : + + = ( + + ).1 = ( + + )(a + b + c) a b c a b c a b c a b b c c a =3+( + )+( + )+( + ) ≥ 3+2+2+2=9 b a c b a c 1 => + + ≥ a b c 1 => ( + + ) ≥ 81 a b c 1 => ( + + ) ≥ 27 a b c F ≥ + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = T¬ng tù : ( + + ) ( 21 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 1 : a = b = c = 3 yz x − + zx y − + xy z − Bài : Cho G = xyz Vậy MinF = 33 Tìm giá trị lớn G : Giải : Tập xác định : x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Ta cã : G = x −1 + x y−2 + y Theo BĐT Cơsi ta có : z −3 z x −1+1 x −1 ≤ => y−2 ; ≤ y 2 1 + + => G ≤ 2 2 z −3 ≤ z T¬ng tù : VËy MaxG = x −1 x 1 + + đạt đợc x = ; y = ; z = 2 2 Bµi a, Tìm giá trị nhỏ H = x x với x > b Tìm giá trị lín nhÊt cđa K = x − x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi làm tơng tự nh : II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biÕn ®ỉi hai vÕ ( VT , VP ) phơng trình sau suy luận để nghiệm phơng trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mÃn TXĐ) => phơng trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => phơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài : Giải phơng trình : 13 x + x + = 16x Giải: Điều kiện : x (*) Cách : áp dụng bất đẳng thøc C«si ta cã : 13 x − + x + = 13.2 x − + 3.2 x +1 2 22 Sinh viªn: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP ≤ 13( x - + DÊu '' = '' x¶y x −1 = x +1 = x= ) + 3(x + + ) = 16x 4 tho¶ m·n (*) Phơng trình (1) có nghiệm dấu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiƯm x = Bài 2: a, Tìm giá trị lớn L = b Giải phơng trình : 2x − + 2x − + − 2x − x - x2 + 4x - = (*) Giải : a Tóm tắt : ( x − + − x )2 ≤ 2(2x - + - 2x) = 2x − + − 2x ≤ => MaxL = x = b TX§ : (*) ≤x≤ 2 2x − + − x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + ≥ , dÊu '' = '' x¶y x = => víi x = ( thoả mÃn TXĐ ) VT = VP = => phơng trình (*) có nghiệm x = Bài : Giải phơng trình : − x + x + = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x ≤ VP = (x - 3)2 + ≥ DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = ( − x + x + 1)2 ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT ≤ , dÊu '' = '' x¶y 6− x = x+2 x=2 => giá trị x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm Bài : Giải phơng trình : 3x − 12 x + 16 + HD : 3x − 12 x + 16 ≥ ; y − y + 13 = y − y + 13 ≥ => VT ≥ x − = x = y − = y = DÊu '' = '' xảy : => phơng tr×nh cã nghiƯm : x = ; y = 23 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Ngày soạn :1/10/2008 Buổi 9: TèM GTLN V GTNN C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: Dạng I: Các tốn mà biểu thức đa thức Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: b / g ( x) = x( x − 5) a / f ( x) = x + 3x + Giải 3 a / f ( x) = x + 3x + = x + x + + = x + + 4 2 2 3 3 Ta có x + ≥ 0, nên x + 2 2 Vậy: f(x) đạt GTNN + 3 ≥ 4 3 x + = ⇔ 4 x=− Cách giải chung toán là: Ta biến đổi đa thức cho dạng: [ h( x ) ] + a đá a số Vì [ h( x ) ] ≥ nên [ h( x ) ] + a ≥ a Do GTNN biểu thức cho a h(x) =0 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức sau: a / f ( x) = − x − x + 14 b / g ( x) = x − x a / f ( x) = − x − x + 14 = −( x + 1) + 15 Ta có ( x + 1) ≥ nên − ( x + 1) ≤ ⇒ Giải − ( x + 1) + 15 ≤ 15 Vậy: f(x) đạt GTLN 15 ( x + 1) = ⇔ x = −1 Cách giải chung toán là: Ta biến đổi đa thức cho dạng: − [ h( x ) ] + a đá a số Vì [ h( x ) ] ≥ nên − [ h( x ) ] + a ≤ a Do GTLN biểu thức cho a h(x) =0 2/ Bài tập tự giải: f ( x ) = −2 x + x + Bài tập 1: Tìm GTLN biểu thức sau: Đáp số: f(x) đạt GTLN 17 x = 24 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIT BI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x x − −1 37 Đáp số: g(x) đạt GTNN − x = 36 Bài tập 3: a/ Tìm GTNN biểu thức sau: f ( x) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) Bài tập2 : Tìm GTNN biểu thức sau: g ( x) = Đáp số: f(x) đạt GTNN − x1, = −5± b/ Giải phương trình f(x)=3 Đáp số: Phương trình có nghiệm x1, = − ± 13 Bài 4: Cho phương trình ( m + m + 1) x − ( m + 8m + 3) x − = Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tìm GTLN GTNN biểu tổng S= x1 + x Đáp số: S đạt GTLN 13 S đạt GTNN − m = 13 − 3 − 13 13 + m = − 3 + 13 13 Bài 5: Cho x y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = a/ Tìm GTNN biểu thức: M = 3x + y 1 x = ; y = 4 Đáp số: M đạt GTNN b/ Tìm GTLN biểu thức: N = 2xy Đáp số: N đạt GTLN Dạng II: 1 x = ; y = 6 Các toán mà biểu thức phân thức Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức A = F ( x) Biểu thức A đạt GTLN G ( x) F(x) đạt GTLN G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN F(x) đạt GTNN G(x) đạt GTLN 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức: A = x − 18 x + 35 x − x + 10 Giải A= 3x − 18 x + 35 5 = 3+ = 3+ x − x + 10 x − x + 10 ( x − 3) + A đạt GTLN ( x − 3) + đạt GTNN, mà ( x − 3) + ≥ Vậy GTLN A = + = ( x − 3) = ⇔ x=3 Cách giải chung toán là: Ta thấy bậc tử thức bậc mẫu thức, ta thực phép chia để đưa biểu thức dạng A = M + N (M, N số) Do biểu thức A đạt GTLN biểu thức f(x) f (x ) t GTNN 25 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN LỚP Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: A = 2x + x2 ( x ≠ 0) Giải x + x + x + − x ( x + 1) − x x + A= = = = −1 x2 x2 x2 x Ta viết: x + 1 A +1 = x Do đó: 2 Dấu “=” xảy ⇒ A +1 ≥ ⇔ x +1 =0 ⇔ x A ≥ −1 x +1 = ⇔ x = −1 Vậy biểu thức A đạt GTNN -1 x=-1 Cách giải chung toán là: Ta thấy bậc tử thức nhỏ bậc mẫu thức, ta thực phép biến đổi để đưa f ( x) + K (K số) Do biểu thức A đạt GTNN K biểu thức dạng A = F g ( x ) f ( x) biểu thức =0 g ( x) 2/ Bài tập tự giải: x2 ( x ≠ 0) x4 +1 Đáp số: f(x) đạt GTLN x = ±1 Bài 1: Tìm GTLN hàm số: f ( x) = Bài 2: Cho x>0 Tìm giá trị x để biểu thức M = x ( x + 2009) đạt GTLN Bài 3: Cho biểu thức: M = a/ Rút gọn M x − x + 2009 x3 : ( x − 1) ( x − 2) x − 3x + x x − x + 2009 Đáp số: M = x2 b/ Tìm GTNN M Bài 4: Cho biểu thức: N = a/ Rút gọn N Đáp số: M đạt GTLN Đáp số: M đạt GTNN x − x x − x + 12 x − : 3x + x + 2( x + 1) x Đáp số: N = x +4 x=2009 4.2009 ( x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 0) 2008 x = 2009 2009 2 x ≠ ;x ≠ − 3 b/ Tìm GTNN GTLN N Đáp số: N đạt GTNN − x = −2 x = 1 + + =2 Bài 5: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: 1+ a 1+ b 1+ c Đáp số: N đạt GTLN Tìm GTLN ca biu thc abc: 26 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Đáp số: abc đạt GTLN 1 a = b = c = Dạng III: Các toán mà biểu thức thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: f ( x) = − x − + x Tìm giá trị x để f(x) đạt GTLN Giải Biểu thức f(x) có nghĩa khi: 2 − x ≥ 1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Trong điều kiện ta có f(x) ≥ nên f(x)đạt GTLN [ f ( x ) ] đạt GTLN Ta có: [ f ( x ) ] = − x + + x + ( − x )(1 + x ) = + 2 + x − x 2 9 1 − x2 + x + = + −x − 4 2 1 Do [ f ( x ) ] đạt GTLN x − = ⇔ x = 2 1 Vậy x = GTLN biểu thức f (x) = − + + = 2 = 3+ Cách giải chung toán là: Ta cần xác điều kiện biểu thức dấu thức có nghĩa, sau tìm điều kiện để biểu thức [ f ( x ) ] đạt GTLN Điều kiện điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN Ví dụ 2: Cho biểu thức: f ( x) = x−3 x −1 − Tìm giá trị x để f(x) đạt GTNN Giải Biểu thứ f(x) có nghĩa khi: x − 1≥ x ≥ ⇔ x ≠ x−1− ≠ Ta biến đổi: f ( x) = x− x−1− = x − 1− x−1− = ( x − − )( x − + 2) x−1 = x−1+ Do đó: f ( x) = x − + nên f ( x ) đạt GTNN x − đạt GTNN mà x − ≥ nên x − đạt GTNN x = Vậy f(x) đạt GTNN x = Cách giải chung toán là: Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử sau rút gọn biểu thức cho 2/ Bài tập tự giải: 27 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 ... + d a > b vµ c < d => a - c > b - d Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac... = 23 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP Ngày soạn :1/10/2008 Buổi 9: TèM GTLN VÀ GTNN C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ... thc abc: 26 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Đáp số: abc đạt GTLN 1 a = b = c = Dạng III: Các toán mà biểu