Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9

27 4K 10
Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNA. KIẾN THỨC CƠ BẢN:I. Một số phương pháp thường vận dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên1. Phương pháp đưa về phương trình tích: Các ví dụ:VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y =2Giải: Viết PT về dạng: (x – 1 )(y – 1 ) =3Do x, y Z nên (x1), (y1) Z và x1, y1 là ước của 3 Do vai trò của x,y như nhau nên không mất tính tổng quát gs x y

GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP Phơng trình nghiệm nguyên A Kiến thức bản: I Một số phơng pháp thờng vận dụng giải phơng trình nghiệm nguyên Phơng pháp đa phơng trình tích: Các ví dụ: VD1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: xy x y =2 Giải: Viết PT dạng: (x )(y – ) =3 Do x, y ∈ Z nªn (x-1), (y-1) ∈ Z vµ x-1, y-1 lµ íc cđa Do vai trò x,y nh nên không mÊt tÝnh tỉng qu¸t g/s x ≥ y  x − =  x =    y − = ⇔  y = ⇒ x −1 ≥ y −1 ⇒   x − = −1  x =     y − = −3   y = Vậy phơng trình có nghiƯm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0) VD2: T×m nghiệm nguyên phơng trình: x2+x+6=y2 (2) Giải: Phơng trình ®· cho t¬ng ®¬ng víi x + x + 24 = y ⇔ ( y ) − ( x + 1) = 23 2 ⇔ ( y + x + ) ( y − x + ) = 23 y + 2x +1 > ⇒ y − 2x +1 >  x =   y =   x = −6   y + x + = 23  y = 12   y = −6   Ta cã: y + x + > y − x + nªn  ⇔ ⇔  y − 2x +1 =  x + = 11   x =     y = −6     x = −6 y = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6) Đa phơng trình tổng: Các ví dụ: VD1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x2 4xy +5y2=169 Giải: Pt tơng đơng với: (x – 2y)2 +y2 =169 =132+02=122+52  x − y =     y = 13   x − 2y =  Mµ y ∈ Z+ ; x − y ∈ N ⇒     y = 12    x − y = 12    y = Từ tìm đợc nghiệm nguyên dơng cđa PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5) VD2: T×m nghiƯm nguyên dơng phơng trình: Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x+ y+ Gi¶i: z = 10 10 1 = 1+ ⇒ x+ = 1+ Ta cã 1 2+ y+ 2+ z Vì phân tích nên ta có x=1;y=2;z=3 Nhận xét ẩn số: VD: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 1+x+x2+x3=y3 Giải: Ta có x2+x+1>0 5x2+11x+7>0 với x Nên (1+x+x2+x3) – (x2+x+1)< 1+x+x2+x3 c => a > c c, TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > => an > bn a > b an > bn víi n lỴ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thøc C«si : a+b ≥ ab Víi sè dơng a , b ta có : Dấu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thøc Bunhiac«pxki : Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy a b = x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a + b a+b Dấu đẳng thức xảy : ab phần ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp : Dùng định nghĩa - KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A - B > - Lu ý : A2 ≥ víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = - VÝ dơ : Bµi : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ víi mäi x => H ≥ víi mäi x, y, z (y - 1)2 ≥ víi mäi y (z - 1)2 ≥ víi mäi z Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y x = y = z = Bµi : Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Cho a, b, c, d, e số thực : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiƯu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a a a a = ( − b )2 + ( − c )2 + ( − d )2 + ( − e )2 a a Do( − c )2 ≥ víi mäi a, c a Do ( − d )2 ≥ víi mäi a, d a Do ( − e )2 ≥ víi mäi a, e Do ( − b )2 ≥ víi mäi a, b => H ≥ víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y b = c = d = e = a Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2  a + b  ≥    Gi¶i : 2 XÐt hiÖu : H = a + b −  a + b      2 2 = 2(a + b ) − (a + 2ab + b ) 1 = (2a + 2b − a − b − 2ab) = (a − b) ≥ Víi mäi a, b 4 DÊu '' = '' x¶y a = b Phơng pháp ; Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh ®óng VÝ dơ : Bµi : Cho a, b hai số dơng có tổng Chøng minh r»ng : Gi¶i: 1 + ≥ a +1 b +1 Dùng phép biến đổi tơng ®¬ng ; 3(a + + b + 1) ≥ 4(a + 1) (b + 1)  ≥ 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)  ≥ 4ab +  4ab (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh 10 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Víi a, b > , a b + ≥2 b a Các ví dụ : Bài : Giả sử a, b, c số dơng , chứng minh r»ng: a b c + + >2 b+c c+a a+b Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ≥ a (b + c) Tơng tự ta thu đợc : b 2b ≥ c+a a+b+c , a 2a ≥ b+c a+b+c c 2c a+b a+b+c Dấu ba BĐT đồng thời xảy , cã : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = ( tr¸i víi giả thiết a, b, c số dơng ) Tõ ®ã suy : a b c + + >2 b+c c+a a+b Bµi 2: Cho x , y số thực thoả mÃn : x + y2 = x − y + y − x Chøng minh r»ng : 3x + 4y Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã : (x2 + y2)2 = ( x − y + y − x )2 ( x ≤ ; y ≤ ) ≤ (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x2 + y2 ≤ Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 ≤ (32 + 42)(x2 + y2) ≤ 25 => 3x + 4y ≤  2 x + y = Đẳng thức xảy  x > 0, y >  x y  3=4  §iỊu kiƯn : ≤ x ≤ 2  x =  y =  5 Bµi 3: Cho a, b, c ≥ ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, a + b + b + c + c + a ≤ b, a + + b + + c + < 3,5 Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã : ( => ( ) a+b + b+c + c+a => ( a+b + b+c + c+a ≤ a + b + b + c + c + a ≤ (1 + + 1)  a + b   ) ) +( b+c ) +( ) c+a    ≤ 3.(2a + 2b + ac) = 13 Sinh viªn: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta cã : (a + 1) + a = +1 2 b c b +1 ≤ +1 ; c +1 ≤ +1 2 a +1 ≤ T¬ng tự : Cộng vế bất đẳng thức ta đợc : a +1 + b +1 + c +1 ≤ a+b+c + = 3,5 DÊu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = VËy : a + + b + + c + < 3,5 Bµi : Cho số dơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a b c Gi¶i : a b + >0 ,a,b>0 b a 1 1 1 1 Ta cã : + + = ( + + ) = ( + + ) (a + b + c) a b c a b c a b c a a b b c c =1 + + + + + + + + b c a c a b a b b c c a = 3+( + )+( + )+( + ) ≥ + + + = b a c b a c 1 => + + ≥ a b c DÊu ''='' x¶y : a = b = c = Ta cã : Bµi a, Cho x , y > Chøng minh r»ng : 1 + ≥ x y x+ y b, Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c độ dài cạnh cđa tam gi¸c ) Chøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≥2( + + ) p−a p −b p −c a b c Gi¶i a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x + y ≥ xy 1 + ≥ x y xy 14 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 1 + )≥ x y 1 => + ≥ x y x+ y b+c−a b, Ta cã : p - a = >0 => (x + y)( T¬ng tù : p - b > ; p - c > ; áp dụng kết câu a , ta đợc ; 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a ) + ( p − b) c 1 + ≥ p−b p−c a 1 + ≥ p−a p−c b 1 1 1 + + ) ≥ 4( + + ) => 2( p−a p−c p−c a b c Tơng tự : => đIều phải chứng minh DÊu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi ®ã tam giác ABC tam giác Phơng pháp ; Dùng tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng tính chất đà đợc học để vận dụng vào giải tập Các ví dụ : Bài : Cho số x , y thoả mÃn điều kiện : x + y = Chøng minh r»ng : x4 + y4 Giải Theo tính chất bắc cầu ta cã : (x2 - y2) ≥  x4 + y4 ≥ 2x2y2  2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2 ≥  x2 + y2 ≥ 2xy  2(x2 + y2 ) ≥ (x +y)2 2(x2 + y2 ) ≥ V× : x + y =  x + y2 ≥ (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 ≥ DÊu '' = '' x¶y x = y = Bµi 2: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab 15 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b T¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Phơng pháp : Chứng minh ph¶n chøng - KiÕn thøc : Gi¶ sư ph¶i chứng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất dẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức đà biết giả thiết đề để suy điều vô lý Điều vô lý trái với giả thiết , điều trái nhợc , từ suy đẳng thức cần chứng minh Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều + Phủ định suy hai đIều tràI ngợc + Phủ định suy kết luận Các ví dụ : Bài : Cho < a,b,c,d 3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Gi¶i: 16 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Gi¶ sử ngợc lại bốn đẳng thức Nh©n tõng vỊ ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a(1 − a )][ b(1 − b)][ c(1 − c)][ d (1 − d )] > 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : a +1− a = 2 T¬ng tù : b(1 - b) ≤ c(1 - c) ≤ d(1 - d) ≤ a (1 − a ) ≤ => a(1 - a) Nhân bất đẳng thức ; ta cã : [ a(1 − a)][ b(1 − b)][ c(1 − c)][ d (1 − d )] > 256 (2) Từ (1) (2) suy vô lý Điều vô lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai Bài : ( Phủ định suy hai điều trái ngợc ) Chứng minh số dơng a, b, c thoả mÃn ba bất đẳng thức sau : a + c ; b+ Híng dÉn : t¬ng tù nh : 17 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP Bài :( Phủ định suy trái với điều ) Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b ≤ Gi¶i : Gi¶ sư : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = ) Chia hai vế cho số dơng a, b ta ®ỵc : ab > a2 - ab + b2 VËy : a + b => > (a - b)2 Vô lý Phơng pháp : Đổi biến số - Kiến thức : Thực phơng pháp đổi biến số nhằm đa toán đà cho dạng đơn giản , gọn , dạng toán đà biết cách giải Các ví dụ : Bµi : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a b c + + ≥ b+c c+a b+a Gi¶i: §Ỉt : b +c = x , c + a = y , a + b = z x+ y+z y+z−x z+x− y x+ y−z => a = , b= , c= 2 => a + b + c = Khi ®ã : y+z−x z+x− y x+ y−z a b c + + = + + 2x 2y 2z b+c c+a b+a y x z x z y 3 = ( + ) + ( + ) + ( + ) − ≥ 1+1+1− = x y x z y z 2 VT = Bµi : Chøng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta có bất đẳng thức : Giải: ( x − y )(1x y ) ≤ ≤ (1 + x ) (1 + y ) Đặt : a = => ab = x2 − y2 (1 + x )(1 + y ) vµ b = 1− x2 y2 (1 + x )(1 + y ) ( x − y )(1 − x y ) (1 + x ) (1 + y ) 18 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Ta cã dƠ thÊy víi mäi a, b : Mà : (a - b) = 1 − 22   x + 1   1 (a − b) ≤ ab ≤ (a + b) 4 2   (a + b) = 1 −   y + 1 1 Suy : ≤ ab ≤ 4 2 Bµi : Cho a, b, c > ; a + b + c ≤ Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > , x + y + z ≤ Cøng minh r»ng : 1 + + ≥9 x y z Ta chøng minh ®ỵc : (x + y + z)( 1 + + )9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z nªn suy 1 + + ≥9 x y z PhÇn iii : øng dơng cđa bÊt đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trÞ - KiÕn thøc : NÕu f(x) ≥ m f(x) có giá trị nhỏ m Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M Ta thờng hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý : A + B ≥ A+ B X¶y dÊu '' = '' AB 19 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP A ≥ DÊu ''= '' x¶y A = VÝ dơ : Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a b thoả mÃn : a + b = Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta cã : 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 = => a2 + b2 ≥ VËy B = a = b = 2 Bµi 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - ≥ - DÊu b»ng x¶y : t =  x2 + x - = (x - 2)(x + 2) =  x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ; b, Tơng tự Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, C = x − + x − b, D = x + x + + x + x − c, E = x − + x − + x + x Giải : a, áp dơng B§T : A + B ≥ A + B DÊu '' = ''x¶y AB ≥ => C = x − + − x ≥ x − + − x = − = DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x) ≥ VËy minC =  ≤x≤ 2 ≤x≤ 2 b, T¬ng tù : minD = : -3 ≤ x ≤ c, minE = : ≤ x ≤ Bµi : Cho a < b < c < d , t×m : Minf(x) = x − a + x − b + x − c + x d 20 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a b ≤ x c Bài : Cho ba số dơng x , y , z thoả mÃn : Tìm giá trị lớn tích : P = xyz Giải : 1 + + ≥ 1+ y 1+ x 1+ z y 1 z yz )+(1)= + ≥ (1 ≥ 1+ y 1+ y 1+ x 1+ z 1+ z (1 + y )(1 + z ) T¬ng tù : zx ≥ 1+ y (1 + x)(1 + z ) xy ≥ 1+ z (1 + x)(1 + y ) Tõ ®ã suy : P = xyz ≤ 1 MaxP = x = y = z = Bµi : Cho sè dơng a, b, c thảo mÃn : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : a b c F = (a + ) + (b + ) + (c + ) Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 + + )+6 a b c Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 ≥ 1 1 1 + + 2) a b c a b c 1 1 1 1 Mặt khác : + + = ( + + ).1 = ( + + )(a + b + c) a b c a b c a b c a b b c c a =3+( + )+( + )+( + ) ≥ 3+2+2+2=9 b a c b a c 1 => + + ≥ a b c 1 => ( + + ) ≥ 81 a b c 1 => ( + + ) ≥ 27 a b c F ≥ + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = T¬ng tù : ( + + ) ( 21 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 1 : a = b = c = 3 yz x − + zx y − + xy z − Bài : Cho G = xyz Vậy MinF = 33 Tìm giá trị lớn G : Giải : Tập xác định : x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Ta cã : G = x −1 + x y−2 + y Theo BĐT Cơsi ta có : z −3 z x −1+1 x −1 ≤ => y−2 ; ≤ y 2 1 + + => G ≤ 2 2 z −3 ≤ z T¬ng tù : VËy MaxG = x −1 x 1 + + đạt đợc x = ; y = ; z = 2 2 Bµi a, Tìm giá trị nhỏ H = x x với x > b Tìm giá trị lín nhÊt cđa K = x − x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi làm tơng tự nh : II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biÕn ®ỉi hai vÕ ( VT , VP ) phơng trình sau suy luận để nghiệm phơng trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mÃn TXĐ) => phơng trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => phơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài : Giải phơng trình : 13 x + x + = 16x Giải: Điều kiện : x (*) Cách : áp dụng bất đẳng thøc C«si ta cã : 13 x − + x + = 13.2 x − + 3.2 x +1 2 22 Sinh viªn: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP ≤ 13( x - + DÊu '' = '' x¶y   x −1 =   x +1 =  x= ) + 3(x + + ) = 16x 4 tho¶ m·n (*) Phơng trình (1) có nghiệm dấu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiƯm x = Bài 2: a, Tìm giá trị lớn L = b Giải phơng trình : 2x − + 2x − + − 2x − x - x2 + 4x - = (*) Giải : a Tóm tắt : ( x − + − x )2 ≤ 2(2x - + - 2x) =  2x − + − 2x ≤ => MaxL = x = b TX§ : (*)  ≤x≤ 2 2x − + − x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + ≥ , dÊu '' = '' x¶y x = => víi x = ( thoả mÃn TXĐ ) VT = VP = => phơng trình (*) có nghiệm x = Bài : Giải phơng trình : − x + x + = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x ≤ VP = (x - 3)2 + ≥ DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = ( − x + x + 1)2 ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT ≤ , dÊu '' = '' x¶y 6− x = x+2 x=2 => giá trị x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm Bài : Giải phơng trình : 3x − 12 x + 16 + HD : 3x − 12 x + 16 ≥ ; y − y + 13 = y − y + 13 ≥ => VT ≥ x − = x =  y − = y = DÊu '' = '' xảy : => phơng tr×nh cã nghiƯm : x = ; y = 23 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Ngày soạn :1/10/2008 Buổi 9: TèM GTLN V GTNN C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: Dạng I: Các tốn mà biểu thức đa thức Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: b / g ( x) = x( x − 5) a / f ( x) = x + 3x + Giải  3 a / f ( x) = x + 3x + = x + x + + =  x +  + 4  2 2 3 3   Ta có  x +  ≥ 0, nên  x +  2 2   Vậy: f(x) đạt GTNN + 3 ≥ 4 3  x +  = ⇔ 4  x=− Cách giải chung toán là: Ta biến đổi đa thức cho dạng: [ h( x ) ] + a đá a số Vì [ h( x ) ] ≥ nên [ h( x ) ] + a ≥ a Do GTNN biểu thức cho a h(x) =0 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức sau: a / f ( x) = − x − x + 14 b / g ( x) = x − x a / f ( x) = − x − x + 14 = −( x + 1) + 15 Ta có ( x + 1) ≥ nên − ( x + 1) ≤ ⇒ Giải − ( x + 1) + 15 ≤ 15 Vậy: f(x) đạt GTLN 15 ( x + 1) = ⇔ x = −1 Cách giải chung toán là: Ta biến đổi đa thức cho dạng: − [ h( x ) ] + a đá a số Vì [ h( x ) ] ≥ nên − [ h( x ) ] + a ≤ a Do GTLN biểu thức cho a h(x) =0 2/ Bài tập tự giải: f ( x ) = −2 x + x + Bài tập 1: Tìm GTLN biểu thức sau: Đáp số: f(x) đạt GTLN 17 x = 24 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIO N CHI TIT BI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x x − −1 37 Đáp số: g(x) đạt GTNN − x = 36 Bài tập 3: a/ Tìm GTNN biểu thức sau: f ( x) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) Bài tập2 : Tìm GTNN biểu thức sau: g ( x) = Đáp số: f(x) đạt GTNN − x1, = −5± b/ Giải phương trình f(x)=3 Đáp số: Phương trình có nghiệm x1, = − ± 13 Bài 4: Cho phương trình ( m + m + 1) x − ( m + 8m + 3) x − = Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tìm GTLN GTNN biểu tổng S= x1 + x Đáp số: S đạt GTLN 13 S đạt GTNN − m = 13 − 3 − 13 13 + m = − 3 + 13 13 Bài 5: Cho x y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = a/ Tìm GTNN biểu thức: M = 3x + y 1 x = ; y = 4 Đáp số: M đạt GTNN b/ Tìm GTLN biểu thức: N = 2xy Đáp số: N đạt GTLN Dạng II: 1 x = ; y = 6 Các toán mà biểu thức phân thức Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức A = F ( x) Biểu thức A đạt GTLN G ( x) F(x) đạt GTLN G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN F(x) đạt GTNN G(x) đạt GTLN 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức: A = x − 18 x + 35 x − x + 10 Giải A= 3x − 18 x + 35 5 = 3+ = 3+ x − x + 10 x − x + 10 ( x − 3) + A đạt GTLN ( x − 3) + đạt GTNN, mà ( x − 3) + ≥ Vậy GTLN A = + = ( x − 3) = ⇔ x=3 Cách giải chung toán là: Ta thấy bậc tử thức bậc mẫu thức, ta thực phép chia để đưa biểu thức dạng A = M + N (M, N số) Do biểu thức A đạt GTLN biểu thức f(x) f (x ) t GTNN 25 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN LỚP Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: A = 2x + x2 ( x ≠ 0) Giải x + x + x + − x ( x + 1) − x  x +  A= = = =  −1 x2 x2 x2  x  Ta viết:  x + 1 A +1 =    x  Do đó: 2 Dấu “=” xảy ⇒ A +1 ≥ ⇔ x +1 =0 ⇔ x A ≥ −1 x +1 = ⇔ x = −1 Vậy biểu thức A đạt GTNN -1 x=-1 Cách giải chung toán là: Ta thấy bậc tử thức nhỏ bậc mẫu thức, ta thực phép biến đổi để đưa   f ( x)   + K (K số) Do biểu thức A đạt GTNN K biểu thức dạng A =  F      g ( x )  f ( x) biểu thức =0 g ( x) 2/ Bài tập tự giải: x2 ( x ≠ 0) x4 +1 Đáp số: f(x) đạt GTLN x = ±1 Bài 1: Tìm GTLN hàm số: f ( x) = Bài 2: Cho x>0 Tìm giá trị x để biểu thức M = x ( x + 2009) đạt GTLN Bài 3: Cho biểu thức: M = a/ Rút gọn M x − x + 2009 x3 : ( x − 1) ( x − 2) x − 3x + x x − x + 2009 Đáp số: M = x2 b/ Tìm GTNN M Bài 4: Cho biểu thức: N = a/ Rút gọn N Đáp số: M đạt GTLN Đáp số: M đạt GTNN x − x x − x + 12 x − : 3x + x + 2( x + 1) x Đáp số: N = x +4 x=2009 4.2009 ( x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 0) 2008 x = 2009 2009 2  x ≠ ;x ≠ −  3  b/ Tìm GTNN GTLN N Đáp số: N đạt GTNN − x = −2 x = 1 + + =2 Bài 5: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: 1+ a 1+ b 1+ c Đáp số: N đạt GTLN Tìm GTLN ca biu thc abc: 26 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Đáp số: abc đạt GTLN 1 a = b = c = Dạng III: Các toán mà biểu thức thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: f ( x) = − x − + x Tìm giá trị x để f(x) đạt GTLN Giải Biểu thức f(x) có nghĩa khi: 2 − x ≥  1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Trong điều kiện ta có f(x) ≥ nên f(x)đạt GTLN [ f ( x ) ] đạt GTLN Ta có: [ f ( x ) ] = − x + + x + ( − x )(1 + x ) = + 2 + x − x 2 9  1 − x2 + x + = + −x −  4  2 1 Do [ f ( x ) ] đạt GTLN x − = ⇔ x = 2 1 Vậy x = GTLN biểu thức f (x) = − + + = 2 = 3+ Cách giải chung toán là: Ta cần xác điều kiện biểu thức dấu thức có nghĩa, sau tìm điều kiện để biểu thức [ f ( x ) ] đạt GTLN Điều kiện điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN Ví dụ 2: Cho biểu thức: f ( x) = x−3 x −1 − Tìm giá trị x để f(x) đạt GTNN Giải Biểu thứ f(x) có nghĩa khi: x − 1≥ x ≥ ⇔   x ≠  x−1− ≠ Ta biến đổi: f ( x) = x− x−1− = x − 1− x−1− = ( x − − )( x − + 2) x−1 = x−1+ Do đó: f ( x) = x − + nên f ( x ) đạt GTNN x − đạt GTNN mà x − ≥ nên x − đạt GTNN x = Vậy f(x) đạt GTNN x = Cách giải chung toán là: Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử sau rút gọn biểu thức cho 2/ Bài tập tự giải: 27 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 ... + d a > b vµ c < d => a - c > b - d Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac... = 23 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP Ngày soạn :1/10/2008 Buổi 9: TèM GTLN VÀ GTNN C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ... thc abc: 26 Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50 GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Đáp số: abc đạt GTLN 1 a = b = c = Dạng III: Các toán mà biểu

Ngày đăng: 07/08/2014, 18:34

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

    • Bài 5

    • Giải

    • Giải

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan