Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình Cơ sở toán học
Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Sở TOáN HọC+sở+ngôn+ngữ+học.htm' target='_blank' alt='giáo trình cơ sở ngôn ngữ học' title='giáo trình cơ sở ngôn ngữ học'>giáo trình CƠ Sở TOáN HọC+sở+dân+tộc+học.htm' target='_blank' alt='giáo trình cơ sở dân tộc học' title='giáo trình cơ sở dân tộc học'>giáo trình CƠ Sở TOáN HọC+sở+toán+học+cao+cấp.htm' target='_blank' alt='cơ sở toán học cao cấp' title='cơ sở toán học cao cấp'>CƠ Sở TOáN HọC {a}{a,b,c}{a,b}{c}{b}{a,c}{b,c} huế 2005 L`O.IN´OI D-ˆA`UNh˜u.ng ngu.`o.im´o.ib˘a´td¯ˆa`u nghiˆen c´u.u to´an ho.cthu.`o.ng ca’m thˆa´y kh´o xˆaydu ng th´oi quen ph´at biˆe’umˆo.t c´ach ch˘a.t ch˜e nh˜u.ng ´y kiˆe´nmuˆo´n tr`ınh b`ay, kh´oho.ctˆa.p c´ac phu.o.ng ph´ap lˆa.p luˆa.n d¯´ung d¯˘a´n v`a kh´o n˘a´md¯u.o c c´ac kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’a to´an ho.c. Nh˜u.ng kh´o kh˘an n`ay du.`o.ng nhu.b˘a´t nguˆo`nt`u.chˆo˜:mˆo.tl`akhˆong d¯u.o c luyˆe.ntˆa.pvˆe`lˆogic to´an, mˆo.tchu’d¯ ˆe`nghiˆen c´u.u c´ach lˆa.p luˆa.n suydiˆe˜n ´ap du.ng v`ao viˆe.cch´u.ng minh c´ac d¯i.nh l´y to´an ho.c; hai l`a do thiˆe´u c´ac kh´ainiˆe.mco.ba’n v`a c´ac phu.o.ng ph´ap d`ung trong l´y thuyˆe´ttˆa.pho p m`a ng`ay naythu.`o.ng d¯u.o c ´ap du.ng trong mo.i ng`anh to´an ho.cv`ad`ung l`am co.so.’d¯ ˆe’khai ph´av`a gia’i th´ıch c´ac kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’a to´an ho.c (nhu.´anh xa., quan hˆe., .); bal`a do khˆong n˘a´md¯u.o cnh˜u.ng kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’ad¯a.isˆo´tr`u.utu.o ng, mˆo.t chu’d¯ ˆe`d¯ang ph´at triˆe’nma.nh m˜e v`a c´o a’nh hu.o.’ng d¯ˆe´nmo.i ng`anh to´an ho.c kh´ac, cu.thˆe’qua c´ac cˆa´utr´uc d¯a.isˆo´cu’a c´ac tˆa.pho psˆo´quen thuˆo.c (nhu.tˆa.p c´ac sˆo´tu nhiˆen, tˆa.p c´ac sˆo´nguyˆen, tˆa.p c´ac sˆo´h˜u.utı’,tˆa.p c´ac sˆo´thu c v`a tˆa.p c´ac sˆo´ph´u.c).D-u.o csu d¯ ˆo.ng viˆen ma.nh m˜e cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p trong c´ac Khoa To´an-Co.-Tin ho.c, Cˆong nghˆe.Thˆong tin v`a Vˆa.tl´y(Tru.`o.ng D-a.iho.c Khoa ho.c-D-a.iho.cHuˆe´), c´ac Khoa To´an v`a Tin ho.c (Tru.`o.ng D-a.iho.cSu.pha.m-D-a.iho.cHuˆe´)v`ad¯ ˘a.cbiˆe.t do nhu cˆa`uho.ctˆa.pcu’a c´ac sinh viˆen trong D-a.iho.cHuˆe´o.’c´ac Khoan´oi trˆen, ch´ung tˆoi ma.nh da.nviˆe´t gi´ao tr`ınh Co.so.’To´an ho.c, trong khi trˆen thi.tru.`o.ng s´ach c´o kh´a nhiˆe`u t`ai liˆe.u liˆen quan d¯ˆe´nho.c phˆa`n n`ay (nhu.ng d¯u.o c tr`ınhb`ay ta’nma.nv`ar`o.ira.c). D-iˆe`u m`a ch´ung tˆoi mong muˆo´n l`a c´ac kiˆe´nth´u.ccu’aho.c phˆa`n n`ay pha’id¯u.o cd¯u.a v`ao d¯ˆa`yd¯u’,cˆod¯o.ng, ch´ınh x´ac, cˆa.p nhˆa.t v`a b´ams´at theo yˆeu cˆa`u d¯`ao ta.o sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Vˆa.t l´y, Cˆong nghˆe.Thˆong tinv`a mˆo.tsˆo´ng`anh k˜y thuˆa.t kh´ac cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.iho.c v`a cao d¯˘a’ng. V´o.isu nˆo’lu chˆe´t m`ınh cu’aba’n thˆan, ch´ung tˆoi thiˆe´t ngh˜ı d¯ˆay c`on l`a t`ai liˆe.u tham kha’otˆo´t cho c´ac gi´ao viˆen gia’ng da.yho.c phˆa`n Nhˆa.pmˆonD-a.isˆo´hay Co.so.’To´an ho.cNˆo.i dung cu’a t`ai liˆe.u n`ay d¯u.o cbˆo´tr´ı trong 6 chu.o.ng. Trong c´ac phˆa`ncu’amˆo˜i chu.o.ng c´o nhiˆe`uth´ıdu.cu.thˆe’minh hoa.cho nh˜u.ng kh´ai niˆe.mc˜ung nhu.nh˜u.ng kˆe´t qua’cu’ach´ung. Cuˆo´icu’amˆo˜ichu.o.ng l`a nh˜u.ng b`ai tˆa.pd¯u.o ccho.nlo.ct`u.dˆe˜d¯ ˆe´n kh´o b´am theo nˆo.i dung cu’achu.o.ng d¯´o v`a liˆe`n sau d¯´o l`a c´ac l`o.i gia’icu’ach´ung. D-´o l`a c´ac chu.o.ng vˆe`Lˆogic to´an v`a tˆa.pho p,´Anh xa., Quan hˆe.,Sˆo´tu nhiˆen v`a sˆo´nguyˆen, Sˆo´h˜u.utı’,sˆo´thu c v`a sˆo´ph´u.c, D-ath´u.c.Ch´ung tˆoi xin chˆan th`anh c´am o.n c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p d¯ ˜a d¯ ˆo.ng viˆen v`a g´op ´ycho cˆong viˆe.cviˆe´t gi´ao tr`ınh Co.so.’To´an ho.c n`ay v`a l`o.i c´am o.nd¯˘a.cbiˆe.t xind`anh cho Khoa To´an-Co.-Tin ho.c (Tru.`o.ng D-a.iho.c Khoa ho.c-D-a.iho.cHuˆe´)vˆe`su gi´up d¯˜o.qu´y b´au v`a ta.o d¯ i ˆe`ukiˆe.n thuˆa.nlo ichoviˆe.c xuˆa´tba’n gi´ao tr`ınh n`ay.Typeset by AMS-TEX T´ac gia’mong nhˆa.nd¯u.o csu chı’gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p v`a d¯ˆo.c gia’vˆe`nh˜u.ng thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’icu’a cuˆo´n s´ach.Cˆo´D-ˆoHuˆe´,ˆA´tDˆa.uTro.ng D-ˆong (2005)Nguyˆe˜nGiaD-i.nh2 CHU.O.NG I:LˆOGIC TO´AN V`ATˆA.PHO P1.1. LˆOGIC TO´AN.1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe`v`a c´ac ph´ep to´an lˆogic:1.1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe`: Mˆe.n h d¯ ˆe`l`a mˆo.t cˆau pha’n ´anh mˆo.td¯iˆe`ud¯´ung ho˘a.c sai, ch´u.khˆong pha’iv`u.a d¯´ung v`u.a sai.Th´ıdu.:1) Sˆo´35 chia hˆe´t cho 5: mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.2) M˘a.t tr`o.i quay quanh tr´ai d¯ˆa´t: mˆe.n h d¯ ˆe`sai.3) Tam gi´ac ABC c´o 3 g´oc vuˆong: mˆe.n h d¯ ˆe`sai.4) 2 < 5: mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.C´ac cˆau ho’i, cˆau ca’m th´an, cˆau mˆe.nh lˆe.nh, . v`a n´oi chung c´ac cˆau khˆongnh˘a`m pha’n ´anh t´ınh d¯´ung sai cu’a thu ctˆe´kh´ach quan d¯ˆe`u khˆong d¯u.o c coi l`amˆe.n h d¯ ˆe`.Trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`, ta khˆong quan tˆam d¯ˆe´ncˆa´u tr´uc ng˜u.ph´ap c˜ung nhu.´y ngh˜ıa nˆo.i dung cu’amˆe.n h d¯ ˆe`m`a chı’quan tˆam d¯ˆe´n t´ınh d¯´ung sai cu’amˆo˜imˆe.nhd¯ ˆe`.D-ˆe’chı’c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`chu.a x´ac d¯i.nh, ta d`ung c´ac ch˜u.c´ai: p, q, r, . v`a go.ich´ung l`a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`.Taquyu.´o.cviˆe´t p = 1 khi p l`a mˆe.nh d¯ˆe`d¯ ´ung v`ap = 0 khi p l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai. C´ac gi´a tri.0 v`a 1 go.i l`a c´ac gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´acmˆe.n h d¯ ˆe`.George Boole d¯˜a nghiˆen c´u.uphu.o.ng ph´ap ta.o ra c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.ib˘a`ngc´ach tˆo’ho pt`u.mˆo.t ho˘a.c nhiˆe`umˆe.n h d¯ ˆe`d¯˜a c´o. C´ac mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.id¯u.o cgo.il`ac´ac mˆe.nh d¯ˆe`ph´u.cho p, ch´ung d¯u.o cta.orat`u.c´ac mˆe.nh d¯ˆe`hiˆe.nc´ob˘a`ng c´achd`ung c´ac ph´ep to´an lˆogic.1.1.1.2. Ph´ep phu’d¯ i.nh: Phu’d¯ i.nh cu’amˆe.n h d¯ ˆe`p ,k´yhiˆe.ul`ap,d¯o.c l`a “khˆongp”, l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai khi p d¯ ´ung v`a d¯´ung khi p sai.Ph´ep phu’d¯ i.nh trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`ph`uho pv´o.i ph´ep phu’d¯ i.nh trong ngˆonng˜u.thˆong thu.`o.ng, ngh˜ıa l`a ph`u ho pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’at`u.“khˆong” (“khˆong pha’i”).Th´ıdu.:1)p: “9 l`a mˆo.tsˆo´le’”(D-),p: “9 khˆong l`a mˆo.tsˆo´le’” (S).2) p: “v´o.imo.isˆo´thu c x, y, (x + y)2< 0” (S), p: “tˆo`nta.isˆo´thu cx, y, (x + y)2≥ 0” (D-).1.1.1.3. Ph´ep hˆo.i: Hˆo.icu’a hai mˆe.n h d¯ ˆe`p, q,k´yhiˆe.ul`ap ∧ q,d¯o.cl`a“p v`a q”,l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi ca’p lˆa˜n q c`ung d¯´ung v`a sai trong c´ac tru.`o.ng ho p c`onla.i.Ph´ep hˆo.i ph`u ho pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’a liˆen t`u.“v`a” cu’a ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng.Th´ıdu.:1)p: “2 l`a sˆo´nguyˆen tˆo´”(D-)v`aq: “2 l`a sˆo´ch˜an” (D-)th`ıp ∧ q: “2 l`asˆo´nguyˆen tˆo´v`a l`a ch˘a˜n” (D-).3 2) Mˆe.nh d¯ˆe`“Sˆo´π l´o.n 3 v`a l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” (S) l`a hˆo.icu’a hai mˆe.nh d¯ˆe`“Sˆo´π l´o.nho.n 3” (D-) v`a “Sˆo´π l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” (S).1.1.1.4. Ph´ep tuyˆe’n: Tuyˆe’ncu’ahaimˆe.nh d¯ˆe`p, q,k´yhiˆe.u p ∨ q,d¯o.cl`a“pho˘a.c q”, l`a mˆo.tmˆe.nh d¯ˆe`sai khi ca’p lˆa˜n q d¯ ˆe`u sai v`a d¯´ung trong mo.i tru.`o.ngho p c`on la.i.Ph´ep tuyˆe’n´u.ng v´o.i liˆen t`u.“ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıakhˆong loa.itr`u., c´o ngh˜ıa l`a mˆe.n h d¯ ˆe`“p ho˘a.c q”d¯´ung khi v`a chı’khi ´ıt nhˆa´tmˆo.ttrong hai mˆe.n h d¯ ˆe`p v`a q d¯ ´ung.Th´ıdu.:1)p: “3 nho’ho.n5”(D-)v`aq: “3 b˘a`ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho’ho.nho˘a.cb˘a`ng 5” (D-).2) p: “Paris l`a thu’d¯ ˆo n u.´o.c Anh” (S) v`a q: “6 l´o.nho.n 8” (S) th`ı p ∨ q:“Paris l`a thu’d¯ ˆo n u.´o.c Anh ho˘a.c6l´o.nho.n 8” (S).1.1.1.5. Ph´ep tuyˆe’n loa.i: Tuyˆe’n loa.icu’a hai mˆe.n h d¯ ˆe`p, q,k´yhiˆe.u p⊕ q,d¯o.cl`a “p ho˘a.c q (nhu.ng khˆong ca’hai)”, l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi chı’c´o mˆo.t tronghai mˆe.n h d¯ ˆe`p v`a q l`a d¯´ung v`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho p c`on la.i.Ph´ep tuyˆe’n loa.i´u.ng v´o.i liˆen t`u.“ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng theongh˜ıa loa.itr`u Th´ıdu.: p:“√2 l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” (S) v`a q:“√2l`amˆo.tsˆo´vˆo tı’”(D-)th`ı p ⊕ q:“√2l`amˆo.tsˆo´h˜u.utı’ho˘a.c l`a mˆo.tsˆo´vˆo tı’”(D-).1.1.1.6. Ph´ep k´eo theo: Mˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo p ⇒ q,d¯o.cl`a“p k´eo theo q”hay”nˆe´u p th`ı q”, l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`sai khi p d¯ ´ung v`a q sai v`a d¯´ung trong c´ac tru.`o.ngho p c`on la.i.Trong ph´ep k´eo theo n´oi trˆen, p d¯ u.o cgo.i l`a gia’thiˆe´t, c`on q d¯ u.o cgo.il`akˆe´tluˆa.n.V`ı ph´ep k´eo theo xuˆa´thiˆe.no.’nhiˆe`uno.i trong c´ac suy luˆa.n to´an ho.c, nˆen c´onhiˆe`u thuˆa.tng˜u.d¯ u.o cd`ung d¯ˆe’diˆe˜nd¯a.tmˆe.n h d¯ ˆe`p ⇒ q.Du.´o.i d¯ˆay l`a mˆo.tsˆo´th´ıdu.thu.`o.ng g˘a.p nhˆa´t.–“Nˆe´u p th`ı q”,–“p k´eo theo q”,–“T`u.p suy ra q”,–“p l`a d¯iˆe`ukiˆe.nd¯u’d¯ ˆe’c´o q”,–“q l`a d¯iˆe`ukiˆe.ncˆa`n d¯ ˆe’c´o p”.Th´ıdu.:1)“Nˆe´u hˆom nay tr`o.in˘a´ng, ch´ung tˆoi s˜e d¯i ra b˜ai biˆe’n” l`a mˆo.tmˆe.nhd¯ ˆe`k´eo theo v`a d¯u.o c xem l`a d¯´ung tr`u.phi hˆom nay tr`o.i thu csu n˘a´ng, nhu.ngch´ung tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai biˆe’n.2) “Nˆe´u hˆom nay l`a th´u.hai th`ı 3 + 5 = 7” l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo v`a l`ad¯ ´ung v´o.imo.i ng`ay tr`u.th´u.hai.Trong suy luˆa.n to´an ho.c, ch´ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆo.c loa.itˆo’ngqu´at ho.n trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng. Kh´ai niˆe.m to´an ho.cvˆe`ph´ep k´eo theod¯ ˆo.clˆa.pv´o.imˆo´i quan hˆe.nhˆan - qua’gi˜u.a gia’thiˆe´tv`akˆe´t luˆa.n.4 Khˆong may, cˆa´utr´uc nˆe´u - th`ı d¯u.o c d`ung trong nhiˆe`u ngˆon ng˜u.lˆa.ptr`ınhla.i kh´ac v´o.icˆa´u tr´uc d¯u.o c d`ung trong lˆogic to´an. D-asˆo´c´ac ngˆon ng˜u.lˆa.p tr`ınhch´u.anh˜u.ng cˆau lˆe.nh nhu.nˆe´u p th`ı S (if p then S), trong d¯´o p l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`c`on S l`a mˆo.t d¯oa.nchu.o.ng tr`ınh (gˆo`mmˆo.t ho˘a.c nhiˆe`ulˆe.nh cˆa`n pha’i thu chiˆe.n).Khi thu chiˆe.nmˆo.t chu.o.ng tr`ınh g˘a.pnh˜u.ng cˆa´utr´uc nhu.vˆa.y, S s ˜e d¯ u.o c thu chiˆe.nnˆe´u p l`a d¯´ung, trong khi d¯´o S s˜e khˆong d¯u.o c thu chiˆe.nnˆe´u p l`a sai.1.1.1.7. Ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng: Mˆe.n h d¯ ˆe`“p tu.o.ng d¯u.o.ng q”, k´y hiˆe.ul`ap ⇔ q,l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi p v`a q c´o c`ung gi´a tri.chˆan l´y v`a sai trong c´ac tru.`o.ngho p c`on la.i.D-i.nh ngh˜ıa cu’a ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng ph`uho pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’acu.mt`u.“khiv`a chı’khi” hay “nˆe´u v`a chı’nˆe´u” cu’a ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng. Trong to´an ho.c,mˆe.n h d¯ ˆe`“p tu.o.ng d¯u.o.ng q”c´othˆe’diˆe˜nd¯a.tdu.´o.ida.ng: “d¯iˆe`ukiˆe.ncˆa`n v`a d¯u’d¯ ˆe’c´o p l`a c´o q”.Th´ıdu.:1)D-iˆe`ukiˆe.ncˆa`n v`a d¯u’d¯ ˆe’ABC cˆan l`a hai g´oc o.’d¯´ay cu’a n´o b˘a`ngnhau.2) Dˆa´ub˘a`ng xa’y ra trong bˆa´td¯˘a’ng th´u.c Cauchyn√a1a2 .an≤a1+ a2+ ···+ annkhi v`a chı’khi a1= a2= ···= an.Sau d¯ˆay l`a ba’ng chˆan tri.cu’a c´ac ph´ep to´an lˆogic n´oi trˆen.p q p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p ⇒ q p ⇔ q0 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 1 11.1.1.8. C´ac ph´ep to´an lˆogic v`a c´ac ph´ep to´an bit: C´ac m´ay t´ınh d`ungc´ac bit d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n thˆong tin. Mˆo.t bit c´o hai gi´a tri.l`a 0 v`a 1.´Y ngh˜ıa cu’at`u.n`ay b˘a´t nguˆo`nt`u.binary digit (sˆo´nhi.phˆan). Thuˆa.tng˜u.n`ay do nh`a Thˆo´ng kˆeho.cnˆo’itiˆe´ng John Turkey d¯u.a ra v`ao n˘am 1946. Bit c˜ung c´o thˆe’d¯ u.o cd`ung d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.chˆan l´y. Ta s˜e d`ung bit 1 d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.d¯ ´ung v`a bit 0 d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.sai.Tas˜ed`ung c´ac k´yhiˆe.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ac ph´ep to´an−,∧,∨,⊕ nhu.thu.`o.ng d¯u.o c l`am trong c´ac ngˆon ng˜u.lˆa.p tr`ınh kh´ac nhau.Thˆong tin thu.`o.ng d¯u.o cbiˆe’udiˆe˜nb˘a`ng c´ach d`ung c´ac xˆau bit, d¯´o l`a d˜ayc´ac sˆo´0 v`a 1. Khi d¯˜a l`am nhu.thˆe´, c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ung c´o thˆe’d¯ u.o c d`ung d¯ˆe’thao t´ac c´ac thˆong tin d¯´o. Ta c´o thˆe’mo.’rˆo.ng c´ac ph´ep to´an bitt´o.i c´ac xˆau bit. Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit d¯ˆo´iv´o.i hai xˆau5 bit c´o c`ung chiˆe`u d`ai l`a c´ac xˆau c´o c´ac bit cu’ach´ung l`a c´ac OR, AND v`a XORcu’a c´ac bit tu.o.ng ´u.ng trong hai xˆau tu.o.ng ´u.ng.Th´ıdu.:xˆau 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0xˆau 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1OR bit 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1AND bit 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0XOR bit 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11.1.2. Su tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic cu’a c´ac cˆong th´u.c:Trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`, ngu.`o.i ta d¯u.a ra kh´ai niˆe.m cˆong th´u.c, tu.o.ng tu nhu.kh´ai niˆe.mbiˆe’uth´u.c trong to´an ho.c.1.1.2.1. D-i.nh ngh˜ıa:1) C´ac biˆe´nmˆe.n h d¯ ˆe`p, q, r, . l`a c´ac cˆong th´u.c,2) Nˆe´u P, Q l`a c´ac cˆong th´u.cth`ıP,P∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l`ac´ac cˆong th´u.c,3) Chı’chˆa´p nhˆa.n c´ac cˆong th´u.cd¯u.o c th`anh lˆa.pb˘a`ng viˆe.c ´ap du.ng mˆo.tsˆo´h˜u.uha.n c´ac quy t˘a´c 1)-2).1.1.2.2. D-i.nh ngh˜ıa: Cˆong th´u.c A go.il`ah˘a`ng d¯´ung nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri.1v´o.imo.ihˆe.gi´a tri.chˆan l´y c´o thˆe’c´o cu’a c´ac biˆe´nmˆe.n h d¯ ˆe`c´o m˘a.t trong A.Cˆong th´u.c A go.i l`a h˘a`ng sai nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri.0v´o.imo.ihˆe.gi´a tri.chˆan l´yc´o thˆe’c´o cu’a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`c´o m˘a.t trong A. Khi d¯´o ta go.i A l`a mˆo.t mˆauthuˆa’n.Mˆo.t cˆong th´u.c khˆong pha’i l`a h˘a`ng d¯´ung, c˜ung khˆong pha’i l`a mˆau thuˆa’nd¯ u.o cgo.il`atiˆe´p liˆen.1.1.2.3. D-i.nh ngh˜ıa: Hai cˆong th´u.c A v`a B d¯ u.o cgo.i l`a tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic,k´yhiˆe.u A ≡ B,nˆe´u A ⇔ B l`a mˆo.th˘a`ng d¯´ung. Hˆe.th´u.c A ≡ B c`on d¯u.o cgo.il`amˆo.td¯˘a’ng th´u.c.1.1.2.4. C´ac tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic co.ba’n:1) Luˆa.td¯ˆo`ng nhˆa´t:p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p.2) Luˆa.tnuˆo´t:p ∧ 0 ≡ 0,p∨ 1 ≡ 1.3) Luˆa.tl˜uy d¯˘a’ng:p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p.6 4) Luˆa.tphu’d¯ i.nh k´ep:p ≡ p.5) Luˆa.t giao ho´an:p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p.6) Luˆa.tkˆe´tho p:(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r).7) Luˆa.t phˆan phˆo´i:p ∧ (q ∨ r) ≡ (p∧ q) ∨ (p ∧ r),p∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).8) Luˆa.t De Morgan:p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q.9) Mˆo.tsˆo´tu.o.ng d¯u.o.ng tiˆe.n ´ıch:p ∧p ≡ 0,p∨ p ≡ 1,p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q)∧ (q ⇒ p),p⇔ q ≡p ⇔ q,(p ⇒ q) ≡ (p ∨ q),(p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p).1.1.3. Suy luˆa.n to´an ho.c:1.1.3.1. Suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch: Suy luˆa.nl`ar´ut ra mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`m´o.it`u.mˆo.thaynhiˆe`umˆe.n h d¯ ˆe`d¯˜a c´o.Phˆan t´ıch c´ac suy luˆa.n trong ch´u.ng minh to´an ho.c, ngu.`o.i ta thˆa´ymˆo˜ich´u.ngminh bao gˆo`mmˆo.tsˆo´h˜u.uha.nbu.´o.c suy luˆa.nd¯o.n gia’n. Trong mˆo˜ibu.´o.c suyluˆa.nd¯o.n gia’n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆa`m” vˆa.ndu.ng mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at d¯ˆe’t`u.c´ac mˆe.nh d¯ˆe`d¯ ˜a d¯ u.o cth`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung (tiˆen d¯ˆe`,d¯i.nh l´y, d¯i.nh ngh˜ıa, gia’thiˆe´t) c´o thˆe’r´ut ra mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`m´o.i. Ngu.`o.i ta go.i c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`xuˆa´t ph´at d¯˜ad¯ u.o cth`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung l`a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`, c`on mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.id¯u.o c r´ut ra (nh`o.vˆa.ndu.ng c´ac quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at) go.il`ahˆe.qua’lˆogic cu’a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`. Ph´epsuy luˆa.nnhu.thˆe´go.i l`a suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch hay go.it˘a´t l`a suy diˆe˜n.1.1.3.2. D-i.nh ngh˜ıa: Gia’su.’A1,A2, . ,An,B l`a nh˜u.ng cˆong th´u.c. Nˆe´utˆa´tca’c´ac hˆe.gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`c´o m˘a.t trong c´ac cˆong th´u.cd¯´ol`am cho A1,A2, . ,Annhˆa.n gi´a tri.1c˜ung d¯ˆo`ng th`o.i l`am cho B nhˆa.n gi´a tri.1,t´u.cl`aA1∧ A2∧ .∧ An⇒ B l`a mˆo.t cˆong th´u.ch˘a`ng d¯´ung, th`ı ta go.i B l`a hˆe.qua’lˆogic cu’a A1,A2, . ,An. Khi d¯´o ta c˜ung n´oi r˘a`ng c´o mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.nt`u.c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2, . ,Ant´o.ihˆe.qua’lˆogic B cu’ach´ung.7 Quy t˘a´c suy luˆa.n d¯ ´o d¯ u.o ck´yhiˆe.u l`a:A1,A1, . ,AnB.1.1.3.3. Mˆo.tsˆo´quy t˘a´c suy luˆa.nthu.`o.ng d`ung:1)pp ∨ q(Quy t˘a´ccˆo.ng).2)p ∧ qp(Quy t˘a´cr´ut go.n).3)p, p ⇒ qq(Quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n - Modus ponens).4)p ⇒ q,qp(Quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n ngu.o c - Modus tollens).5)p ⇒ q, q ⇒ rp ⇒ r(Quy t˘a´c tam d¯oa.n luˆa.n).6)p ⇒ q, q ⇒ pp ⇔ q(Quy t˘a´cd¯u.atu.o.ng d¯u.o.ng v`ao).7)p ∨ q,pq(Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n).8)p ⇒ r, q ⇒ rp ∨ q ⇒ r(Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n gia’thiˆe´t).9)p ⇒ q, p ⇒ rp ⇒ q ∧ r(Quy t˘a´chˆo.ikˆe´t luˆa.n).10)q ⇒ pp ⇒ q(Quy t˘a´c pha’nd¯a’o).11)p ⇒ q, p ⇒ qp(Quy t˘a´c pha’nch´u.ng).Th´ıdu.:1) Cho: Nˆe´u tr`o.imu.a(p) th`ı sˆan u.´o.t(q) (d¯´ung)Tr`o.i d¯ang mu.a (d¯´ung)Kˆe´t luˆa.n: Sˆan u.´o.t (d¯´ung).2) Cho: Nˆe´u hai g´oc d¯ˆo´id¯ı’nh (p)th`ıb˘a`ng nhau (q) (d¯´ung)A v`aB khˆong b˘a`ng nhau (d¯´ung)Kˆe´t luˆa.n:A v`aB khˆong d¯ˆo´id¯ı’nh (d¯´ung).3) Cho: Mo.ih`ınh vuˆong d¯ˆe`ul`ah`ınh thoi (p ⇒ q) (d¯´ung)Mo.ih`ınh thoi c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (q ⇒ r) (d¯´ung)Kˆe´t luˆa.n: Mo.i h`ınh vuˆong d¯ˆe`u c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯´ung).8 1.1.3.4. Suy luˆa.n nghe c´o l´y: Suy luˆa.n nghe c´o l´y l`a suy luˆa.n khˆong theo mˆo.tquy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at n`ao d¯ˆe’t`u.nh˜u.ng tiˆe`n d¯ ˆe`d¯˜a c´o, r´ut ra d¯u.o cmˆo.tkˆe´tluˆa.n x´ac d¯i.nh. Nˆe´u c´ac tiˆe`nd¯ˆe`d¯ ˆe`u d¯´ung th`ıkˆe´t luˆa.nr´ut ra khˆong ch˘a´cch˘a´nd¯ ´ung, m`a chı’c´o t´ınh chˆa´tdu d¯o´an, gia’thuyˆe´t.Trong to´an ho.c c´o hai kiˆe’u suy luˆa.n nghe c´o l´ythu.`o.ng d`ung, d¯´o l`a– Ph´ep quy na.p khˆong ho`an to`an,– Ph´ep tu.o.ng tu .Th´ıdu.:1)T`u.d¯ i.nh l´y trong h`ınh ho.c ph˘a’ng: “Hai d¯u.`o.ng th˘a’ng c`ung vuˆongg´oc v´o.imˆo.td¯u.`o.ng th˘a’ng th´u.ba th`ı song song v´o.i nhau”, ch´ung ta nˆeu ra mˆo.t“du d¯o´an”: “Hai m˘a.t ph˘a’ng c`ung vuˆong g´oc v´o.imˆo.tm˘a.t ph˘a’ng th´u.ba th`ı songsong v´o.i nhau”.D-ˆay l`a mˆo.tth´ıdu.vˆe`ph´ep suy luˆa.nb˘a`ng tu.o.ng tu .2) C´ac sˆo´220+1, 221+1, 222+1, 223+1, 224+ 1 l`a nh˜u.ng sˆo´nguyˆen tˆo´.Kˆe´t luˆa.n: v´o.imo.isˆo´tu nhiˆen n,sˆo´22n+ 1 l`a sˆo´nguyˆen tˆo´.D-ˆay l`a lˆo´i suy luˆa.n quy na.p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo.’i Fermat (1601-1665) sau khi d¯˜a kiˆe’m nghiˆe.mv´o.i c´ac sˆo´n =0, 1, 2, 3, 4. Nhu.ng sau d¯´o Euler d¯˜achı’ra r˘a`ng v´o.i n = 5, kh˘a’ng d¯i.nh n`ay khˆong d¯´ung, ngh˜ıa l`a 225+ 1 khˆong l`a sˆo´nguyˆen tˆo´.3) 6=3+3, 8=3+5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, Kˆe´t luˆa.n: mo.isˆo´nguyˆen du.o.ng ch˘a˜nl´o.nho.n4l`atˆo’ng cu’a hai sˆo´nguyˆen tˆo´.Mˆe.nh d¯ˆe`n`ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach. D-ˆay l`a mˆo.t trong nhiˆe`u kh˘a’ngd¯ i.nh trong to´an ho.cchu.ad¯u.o cch´u.ng minh.4) Phu.o.ng tr`ınh x3+ y3= z3khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen, phu.o.ng tr`ınhx4+ y4= z4khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen. Kˆe´t luˆa.n: phu.o.ng tr`ınh xn+ yn= znkhˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen v´o.imo.isˆo´nguyˆen n>2.Mˆe.n h d¯ ˆe`n`ay d¯u.o c nˆeu ra bo.’i Fermat n˘am 1637, go.i l`a “d¯i.nh l´y cuˆo´ic`ungcu’a Fermat”. M˜ai d¯ˆe´n th´ang 5 n˘am 1995, mˆe.nh d¯ˆe`n`ay m´o.id¯u.o c ho`an to`anch´u.ng minh xong bo.’i nh`a to´an ho.c ngu.`o.i Anh tˆen l`a Wiles.To´an ho.c l`a khoa ho.ccu’a suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tˆa´tca’c´ac vˆa´n d¯ ˆe`trong to´anho.cchı’d¯ u.o c tr`ınh b`ay b˘a`ng c´ac suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tuy nhiˆen, trong qu´a tr`ınhph´at minh, s´ang ta.o to´an ho.c, l´y luˆa.ndiˆe˜ndi.ch g˘a´nch˘a.tv´o.i c´ac suy luˆa.n nghec´o l´y. Ta d`ung quy na.p khˆong ho`an to`an hay tu.o.ng tu d¯ ˆe’nˆeu ra c´ac gia’thuyˆe´t.Sau d¯´o m´o.ich´u.ng minh c´ac gia’thuyˆe´t n`ay b˘a`ng diˆe˜ndi.ch.1.1.4. C´ac phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh:1.1.4.1. Ch´u.ng minh l`a g`ı? Trong suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch, nˆe´ut`u.c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2, . ,An, ta r´ut ra kˆe´t luˆa.n B b˘a`ng c´ach vˆa.ndu.ng nh˜u.ng quy t˘a´c suyluˆa.ntˆo’ng qu´at th`ı ta n´oi B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2, . ,Anv`asuy luˆa.n d¯´o l`a ho p lˆogic. Nˆe´utˆa´tca’c´ac tiˆe`nd¯ˆe`A1,A2, . ,And¯ ˆe`u d¯´ung th`ıta go.ikˆe´t luˆa.n lˆogic B l`a mˆo.tkˆe´t luˆa.nch´u.ng minh v`a go.i suy luˆa.n d¯´o l`a mˆo.tch´u.ng minh.9 [...]... thiˆe ´ u s´ot kh´o tr´anh kho ’ icu ’ a cuˆo ´ n s´ach. Cˆo ´ D - ˆoHuˆe ´ , ˆ A ´ tDˆa . uTro . ng D - ˆong (2005) Nguyˆe ˜ nGiaD - i . nh 2 Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Sở TOáN HọC {a} {a,b,c} {a,b} ∅ {c} {b} {a,c} {b,c} huÕ − 2005 Th´ıdu . :1)C´o bao nhiˆeu c´ach s˘a ´ pxˆe ´ pchˆo ˜ ngˆo ` icho5emho . c . Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Sở TOáN HọC