Đại số gia tử mở rộng Th.S. Nguyễn Văn Long Bộ môn Toán - ĐH GTVT Tóm tắt: Trong bi báo ny chúng tôi tiếp tục mở rộng đại số gia tử bằng cách đa vo 2 toán tử , với định ý l infimium v supremus của 2 tập giá trị LH(X) sản sinh bởi phần tử x. Điều đó chỉ ra rằng với mỗi một phần tử của miền giá trị đợc sản sinh từ các phần tử nguyên thuỷ. Summarry: This paper continues our investigation on hedge algebras [2]. We extend hedge albebras by two additional operations correspending to infimum and supremum of the so-called concept category of an element x, i.e, the set which is generated from x by means of the hedge operations. It is shown that every extended hedge algebra with a lattice of the primary generators is a lattic. 1. Mở đầu v các khái niệm Xét đại số gia tử mở rộng AX = (X, G, LH, ) trong đó X là tập cơ sở, G là tập các phần tử sinh, LH là dàn phân phối các gia tử sinh tự do từ H qua các phép toán , và là quan hệ thứ tự bộ phận trên X. Ta biết rằng LH(x) là tập tất cả các phần tử sinh đợc từ x nhờ tác động liên tiếp các toán tử một ngôi trong LH. Nhìn chung ta cha biết tập LH(x) có tồn tại cận trên và cận dới đúng hay không. Đặc biệt nếu tập LH(x) là vô hạn thì chắc chắn chúng không tồn tại trong X. Nh vậy xuất hiện một nhu cầu tự nhiên giải bài toán làm đầy đủ đại số gia tử AX để thu đợc đại số AX = (X, G, LH, , , ) sao cho với mỗi phần tử trong x X, tập LH(x) có cận trên và cận dới đúng trong X. Tuy nhiên động cơ thúc đẩy việc bổ sung các phần tử giới hạn nh vậy xuất phát từ yêu cầu nghiên cứu ngữ nghĩa định lợng của các khái niệm ngôn ngữ hay các khái niệm mờ. Giả sử AX là một đại số gia tử mở rộng tuyến tính. Khi đó một ánh xạ f: X -> [0, 1] thoả mãn các điều kiện đã nêu trong [2] gọi là một ánh xạ ngữ nghĩa định lợng của AX, tức là của biến ngôn ngữ tơng ứng. Nhờ ánh xạ này chúng ta có thể định nghĩa đợc khái niệm rất khó xác định và khó lợng hoá trong lý thuyết tập mờ: tính mờ của một khái niệm xX đợc xác định bởi đờng kính của tập ảnh f(LH(x)) và ký hiệu là (x). Để thấy sự cần thiết phải bổ sung phần tử cận trên đúng và cận dới đúng chẳng hạn ta hãy xét hai phần tử sinh nguyên thuỷ của một biến ngôn ngữ. Trong [2] ta phải buộc chấp nhận giả thiết rằng (c - ) + (c + ) = 1, với ý nghĩa trực quan là ta ngầm định mà cha chứng minh rằng supremum f(LH(c - )) = infimum f(LH(c + )) = (c - ). Giả thiết này cũng bắt nguồn từ một trực cảm là tập f(LH(c - )) f(LH(c + )) trù mật trong đoạn [0,1] (phần tham khảo [2]). Cũng giống cách tiếp cận giải quyết vấn đề này trong [1], ta sẽ bổ sung thêm phần tử vào X bằng cách nhúng AX vào đại số AX = (X, G, LH, , , ) với việc thêm hai toán tử một ngôi , mà ngữ nghĩa định ý của nó là (x) là cận trên đúng của tập LH(x) và (x) là cận dới đúng của tập LH(x). Trong bài báo này chúng tôi sẽ đa ra một hệ tiên đề để đảm bảo đợc ngữ nghĩa mong muốn của hai toán tử , và nghiên cứu những tính chất cơ bản làm rõ các mối quan hệ thứ tự giữa các phần tử trong tập X. Đây là vấn đề quan trọng vì theo các tiếp cận của đại số gia tử, ngữ nghĩa của các khái niệm của một biến ngôn ngữ đợc biểu thị qua quan hệ thứ tự của các phần tử. Giả sử H là tập các gia tử đợc phân hoạch thành hai tập H + và H - sao cho H + + I và H - + I tạo thành các dàn MODULAR với các phần tử đơn vị (phần tử lớn nhất) tơng ứng là V, L và I là toán tử thoả mãn Ix = x với mọi x X, đợc gọi là toán tử đồng nhất (hay còn gọi là toán tử không). Đặt UOS = {V, L}. Để tránh lặp lại trong phát biểu các tính chất hay trong trình bày ta ký hiệu H c hiểu chung là H + hoặc H - . Để thuận tiện chúng ta nhớ lại một số ký hiệu và khái niệm: Giả sử rằng H c là dàn modular có độ dài hữu hạn đợc phân bậc bởi hàm độ cao. Khi đó mỗi H Đối với mọi h LH, tồn tại các phân tử đơn vị h c có thể phân thành nhiều lớp dựa theo hàm độ cao và ký hiệu là H i c , ở đây i chỉ độ phân bậc của lớp H i c , trong trờng hợp số phần tử của H i c lớn hơn 1 nghĩa là CardH i c >1, ta ký hiệu tập các chỉ số i này là SI c , tức là SI Đối với mỗi x X, nếu hx < kx và không tồn tại i SI c = {i: Card H i c > 1}. Đồng thời mỗi i SI c thì các tập H c i+1 , H c i-1 chỉ có một phần tử duy nhất, Card H c i+1 = Card H c i-1 = 1. Gọi LH i c là dàn phân phối sinh tự do từ H i c nhờ các toán tử , . Ký hiệu LH c = LH = c N 1i i c trong đó N c là độ phân bậc tối đa trong LH c , c = {+, -}, LH c hiểu chung là LH + hoặc LH - . Đặt LH = LH + LH - . Các toán tử V, L trong H + + I, H - + I cũng là các toán tử đơn vị trong LH + + I, LH - + I tơng ứng. Cấu trúc đại số AX = (X, G, LH, ) thoả mãn hệ tiên đề đã giới thiệu trong [3] gọi là đại số gia tử. Xét một cấu trúc đại số Đối với h, k LH c , h đợc gọi là không lớn hơn k (ký hiệu là h k) nếu hoặc là x hx kx hoặc là x hx kx, với X. Hai gia tử h và k đợc gọi là ngợc nhau nếu: hx x khi và chỉ khi kx x. Hai gia tử h, k là tơng thích nếu: hx x khi và chỉ khi kx x với x X. Nếu x hx kéo theo hx khx và x hx kéo theo hx khx với x X thì k đợc gọi là positive đối với h. Nếu x hx kéo theo hx khx và x hx kéo theo hx khx với x X thì k đợc gọi là negative đối với h. Đối với h, k H ta nói rằng: hx < kx nếu m, n N, h', k' UOS ta có: V m hhx V n kkx. Biểu diễn x = h n h 1 u đợc gọi là biểu diễn chính tắc của x đối với u nếu: h i h 1 u h i-1 h 1 u với i N mà i n Để thuận tiện cho việc tham khảo các chứng minh sau này chúng ta nhắc lại các định lý sau đây: Định lý 1-1 (chỉ dẫn bi báo có chứng minh) Với h LH, tồn tại các toán tử đơn vị h - và h + sao cho h - là negative và h + là possitive đối với h sao cho mọi h 1 , h n LH, x X, ta có các bất đẳng thức sau đây: V n h - hx h n h 1 hx V n h + hx, nếu hx x V n h + hx h n h 1 hx V n h - hx, nếu hx x Hệ quả + và h - tơng ứng là possitive và negative đối với gia tử h, đồng thời đối với mọi h 1 , H n LH, mọi x X ta có: h n h 1 hx V n h + x nếu hxx Định lý 2-1 (chỉ dẫn bi báo có chứng minh) c sao cho h, k cùng thuộc LH i c thì với mọi , LH* ta có bất đẳng thức sau đây: hx < 'kx. 2. Tiên đề hoá đại số gia tử mở rộng đầy đủ AX = (X, G, LH e , ) nh đã đề cập ở trên với LH e = LH {, }, nghĩa là tập các toán tử đợc bổ xung thêm hai toán tử mới và . Nh đã trình bày ở trên, ta ký hiệu UOS = {V, L} là tập các toán tử đơn vị tơng ứng của LH + và LH - . Để cho dễ hiểu, các phần tử trong UOS đợc ký hiệu là o hay o với chỉ số nếu cần. Vì G là tập các phần tử sinh (generators) nên ta giả định LH e (G) = X. Ký hiệu Lim (X) là tập tất cả các phần từ giới hạn của LH(G), nghĩa là Lim (X) = X\LH(G). Sau này ta sẽ chứng tỏ rằng các phần tử trong Lim(X) có dạng u hoặc u với u LH(G). Bây giờ ta sẽ đa ra một cách tiên đề hoá đại số gia tử mở rộng đầy đủ (complete hedge algebra). Định nghĩa 2.1 Cấu trúc đại số AX = (X, G, LH e , ) đợc gọi là đại số gia tử mở rộng đầy đủ nếu (LH(G), G, LH, ) là đại số gia tử và AX thoả mãn những tiên đề sau: (L1) đối với x X và mọi k LH, x kx x. Đặc biệt đối với mọi k, k, h, h LH ta có kx kox và hox hx (L2) đối với mọi x X và mọi o UOS, x ox ox x (L3) nếu với mọi z X và x LH(x) ta có x z thì x z. Ngợc lại nếu với mọi z X và x LH(x) ta có x z thì x z. (L4) nếu h là phần tử attom trong LH c (tức là phần tử nhỏ nhất trong dàn tơng ứng) thì: hx x kéo theo hx = x và hx x kéo theo hx = x (L5) đối với mọi h, k mà h LH i c , k LH c i+1 nếu x, x Lim(X) thì hx kx kéo theo hx = kx và hx kx kéo theo hx = kx x v Để dễ theo dõi chúng ta nêu lên một số cách hiểu trực giác của một số tiên đề trên. Tiên đề (L1) theo một nghĩa nào đó thể hiện rằng , có hiệu quả tác động mạnh hơn bất kỳ toán tử nào khác trong LH. Vì x ox và ox x nên tiên đề (L2) phản ánh tính kế thừa ngữ nghĩa của hai toán tử mới và . Định lý 2 Tiên đề (L3) cho ta một cảm nhận nh sau: Theo tiên đề (L1) x đã là cận trên của LH(x), kết hợp điều này với tiên đề (L2) cho ta cảm nhận x là cận trên bé nhất của LH(x). Hai tiên đề (L4) và (L5) nêu lên đợc tính trù mật của miền giá trị X. 3. Các tính chất cơ bản Định lý 1 Giả sử AX = (X, G, LH e , ) là đại số gia tử mở rộng đầy đủ. Khi đó với mọi x X, ta có: (i) (x) x x (ii) x = supremum LH(x); x = infimumLH(x) Điều này có nghĩa là với mọi x X, tập LH(x) có cận trên đúng và cận dới đúng trong X và nó chính là phần tử x và x. Chứng minh (i) do h bất kỳ nên trong tiên đề (L1) chọn h sao cho x hx khi đó x hx x nên x x, tơng tự ta có x x. (ii) trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức LH(x) x: Thật vậy, xét phần tử bất kỳ y LH(x). Trong trờng hợp y = x, theo (i) ta có y = x x. Trong trờng hợp y x , nghĩa là y = hx, ta xét hai khả năng sau: (a) hx x: khi đó trong đại số gia tử mở rộng, ta luôn có LH(hx) x, và do đó kết hợp với chứng minh trên với mọi y LH(hx) ta có y x x. (b) hx x - giả sử y đợc viết lại y = h n h 1 hx. Theo định lý (1-1) ta có y = h n h 1 hx V n h + x. Mặt khác áp dụng liên tiếp n+1 lần tiên đề (L2) ta có: x h + x vh + x v n h + x Và do đó theo khẳng định (i) ta thu đợc: n h + x y với y LH(hx) Nh vậy ta đã chứng minh đợc rằng: LH(x) x Theo tiên đề (L3) nếu z LH(x) thì z x nên (ii) đã đợc chứng minh cho toán tử . Đẳng thức đối với trong (ii) đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự. (i) nếu x là điểm bất động của h LH thì nó cũng là điểm bất động của và và do đó ta có thể sử dụng thuật ngữ điểm bất động chung mà không cần nói của toán tử nào. (ii) với mọi x Lim(X), x là điểm bất động. Chứng minh (i) do là điểm bất động của h LH nên x là điểm bất động của mọi k LH. Vì vậy LH(x) = {x} nên ta có x = infimum LH ( x ) = x và x = supremumLH(x) = x. Vậy (i) đợc chứng minh. (ii) trớc hết ta xét trờng hợp x lim(X) và có dạng x = u hoặc x = u với u LH(G). Ta chỉ chứng minh cho trờng hợp x = u là đủ. Chọn h LH sao cho x hx = hu. áp dụng liên tiếp tiên đề (L2) đối với h và h ta thu đợc: x hou hou ou (ta có thể chọn đợc h sao cho hou ou) Mặt khác: ou Vou V n ou với n và o UOS Vậy với y = h m h 1 u LH(u), y sẽ thoả mãn bất đẳng thức sau: y = h m h 1 u V m-1 h +1 u Và do đó ta thu đợc y hx x. Theo (L3), điều này chứng tỏ x = u hu x. Nghĩa là hx = x hay x là điểm bất động với x = u và u LH(G). Ta xét trờng hợp còn lại. Vì x limX, x phải có dạng y = k m k 1 a với a G (vì LH e (G) = X), trong đó có ít nhất một k i {, }. Gọi j là phần tử nhỏ nhất sao cho k j {, }. Theo chứng minh trên thì k j-1 k 1 a là điểm bất động và k j-1 k 1 a là điểm bất động, và do đó: x = k m k j k 1 a = k j-1 k 1 a là điểm bất động. Nh vậy ta đã chứng minh đợc rằng x LimX đều là điểm bất động và có dạng u hoặc u. Ta có: hu u kéo theo x u Định lý 3 Đối với mọi y LH(x), x X, ta có các bất đẳng thức sau đây: y x và y x Chứng minh Xét giá trị bất kỳ y LH(x). Khi đó y biểu diễn đợc dới dạng y = x, trong đó là một dãy các toán tử trong LH. Lấy một phần tử bất kỳ y LH(y) tức là y LH(x). Khi đó y có dạng biểu diễn sau: y = x, nghĩa là y LH(x). Điều này chứng tỏ LH(y) LH(x), và do đó ta có: Tài liệu tham khảo supremumLH(y) supremumLH(x) infimumLH(y) infimumLH(x) áp dụng định lý 1, điều này có nghĩa là: y x và y x Điều phải chứng minh. Định lý 4 Đối với mọi h, k LH c , mọi u X, LH*, và x, y biểu diễn dới dạng x = hu, y = ku, ta có hu ku kéo theo x y. (Tính chất tịnh tiến) Định lý 5 Đối với mọi h LH i c , k LH j c với i < j và đối với mọi giá trị u X; mọi xâu , LH* và x, y biểu diễn dới dạng: x = hu, y = ku. Ta có: hu ku kéo theo x y. Định lý 6 Đối với mọi giá trị x X mà tập LH(x) là hữu hạn thì x LH(x). Định lý 7 Đối với mọi giá trị x X, mọi h, k LH i c nào đó mà hx LH(hx). kx LH(kx) (nghĩa là hx Lim(X), kx Lim(X)) ta có đẳng thức sau: [7] N. Cat Ho and H. Van Nam. A theory of refinement structure of hedge algebras and its application to linguistic-valued fuzzy logic. In D. Niwinski & M. Zawadowski (Eds), Logic, Algebra and Computer Science, Banach Center Publications Vol. 46 (PWN - Polish Scientific Publishers 1999) hx = kx Định lý 8 Đối với mọi giá trị u X, mọi h LH c , mọi xâu LH* mà x biểu diễn dới dạng x = hu, khi đó ta có các khẳng định sau: Ta có: hu u kéo theo x u Kết luận Bài báo này đã làm cơ sở để xây dựng hàm lợng hoá ngữ nghĩa miền giá trị của một biến ngôn ngữ. Đồng thời nó cũng làm tiền đề để ứng dụng trong việc lập luận xấp xỉ mờ. [1] N. Cat Ho and W. Wechler. Extended hedge algebras and their application to Fuzzy logic. Fuzzy Sets and Systems 52(1992), pp 259-281. [2] Nguyễn Cát Hồ, Huỳnh Văn Nam. Ordered Structure-Based Semantics of Linguistic Terms of Linguistic Variables and Approximate Reasoning, Hội nghị Quốc tế về các hệ phòng ngừa tính toán tổ chức tại Liege, Bỉ từ 9-14 tháng 8 năm 1999 (nhận đăng trong AIP Conference Proceedings of Ame- rican Institute of Physics, USA distributed by Springer - Verlag). [3] N. Cat Ho and W. Wechler. Hedge algebras: an algebraic approach to structures of sets of linguistic domains of linguistic truth variable, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 35,3, pp 281-293 (1990). [4] Nguyen Cat Ho, Tran Thai Son. On distance between values of linguistic variable based on the structure of hedge algebras. Journal of Informatics and Cybernetics. Vol.11,1 (1995) (in Vietnamese). [5] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam. A refinement structure of Hedge Algebras, Procceding of NCST of Vietnam, in printed. [6] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam. Lattice character of the refinement structure of Hedge Algebras, submitted for publication in Journal of Informatics and Cybernetics. . Đại số gia tử mở rộng Th.S. Nguyễn Văn Long Bộ môn Toán - ĐH GTVT Tóm tắt: Trong bi báo ny chúng tôi tiếp tục mở rộng đại số gia tử bằng cách đa vo 2 toán tử , với định. generators is a lattic. 1. Mở đầu v các khái niệm Xét đại số gia tử mở rộng AX = (X, G, LH, ) trong đó X là tập cơ sở, G là tập các phần tử sinh, LH là dàn phân phối các gia tử sinh tự do từ H qua. nghĩa 2.1 Cấu trúc đại số AX = (X, G, LH e , ) đợc gọi là đại số gia tử mở rộng đầy đủ nếu (LH(G), G, LH, ) là đại số gia tử và AX thoả mãn những tiên đề sau: (L1) đối với x X và mọi