Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT A-MỞ ĐẦU – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đường tròn là một trong những phương trình đường cong hay gặp nhất trong môn toán ở nhà trường phổ thông. Khái niệm về đường tròn và phương trình đường tròn không nhiều, nhưng hệ thống bài tập thì đa dạng và phong phú vô cùng. Những ứng dụng quan trọng của nó là giải bất phương trình, tìm GTLN,GTNN của biểu thức, biện luận số nghiệm của hệ phương trình … Đó chính là công việc “hình học hóa môn đại số”. Sử dụng được phương pháp này lời giải rất “đẹp,dễ nhớ và thoáng”. Đứng trước bài toán biện luận hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN của biểu thức phải xác định được phương pháp giải của nó. Có nhiều tác giả nghiên cứu về các dạng bài tập nhiều cách giải khác nhau; dùng định lý thuận, đảo dấu tam thức bậc hai; tách ghép đánh giá; dùng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpski…Song khai thác triệt để và có hệ thống việc sử dụng phương trình đường tròn vào việc biện luận hệ phương trình thì chưa có. Rất nhiều bài toán nhờ ứng dụng phương pháp đường tròn được giải quyết một cách ngắn gọn dễ dàng. Thông qua đề tài này chúng ta có thể : - Cung cấp cho học sinh một phương pháp hay về việc giải một số bài toán đại số. - Phát triển sự tư duy sáng tạo cho học sinh. - Giúp học sinh một cách nhìn rất logic trong chương trình toán phổ thông. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài : - Các dạng phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán phổ thông: phương trình đại số, phương trình siêu việt. - Phương trình đường thẳng, đường tròn. Nghiên cứu trong phạm vi cả chương trình toán phổ thông. Vì những lý do trên tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng của đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT ” Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 1 1 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT B – CƠ SỞ LÝ LUẬN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG 1. Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0 ( A 2 +B 2 ≠ 0) 2. Dạng tổng quát của phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R có phương trình : ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = 3. Điều kiện để phương trình : 2 2 x y 2ax 2by c 0+ + + + = là phương trình đường tròn là : a 2 + b 2 - c > 0 4. Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng (d) có phương trình : Ax + By + C = 0 ( A 2 +B 2 ≠ 0) ( ) 2 2 Ax By C d M,d A B + + = + 5. Điều kiện để đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tâm I(a;b) bán kính R là : d(I;d)=R. 6. Sự tương giao của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x).Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình : f(x)=g(x). 7. Sự biểu diễn các đường cong trên mặt phẳng tọa độ,cách xác định miền đường thẳng hoặc đường tròn thỏa mãn bất phương trình,hệ bất phương trình. 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn ( C ) : ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = và Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 2 2 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT đường tròn ( C’) : ( ) ( ) 2 2 2 x a ' y b' R '− + − = • ( ) ( ) C C'∩ • ( ) ( ) ( ) ( ) C C' C' C ⊂   ⊂   • ( ) ( ) C C'∩ tại một điểm duy nhất. • ( ) ( ) C C'∩ tại hai điểm phân biệt. 9. Phương tích của điểm M(x 0 ;y 0 ) đối với đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = tâm I(a;b) bán kính R là : P( M/ (C) )= ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 MA.MB IM R x a y b R= − = − + − − Nếu M nằm trên hoặc ngoài đường tròn ta có : P( M/ (C) )= MT 2 (với MT là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm T) 10. Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm : ( C ) : ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = ( C’) : ( ) ( ) 2 2 2 x a ' y b' R '− + − = a a' b b' ≠     ÷  ≠    Phương trình trục đẳng phương của (C) và (C’) là : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a a ' x 2 b b' y a a' b b' R ' R 0− + − − − − − + − = Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 3 3 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT C – NỘI DUNG ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 1.Ứng dụng đường tròn để giải phương trình. 1.1.Cơ sở lý thuyết : Một số phương trình đại số sau một số bước biến đổi sẽ xuất hiện dạng giao điểm của các đường cong nên ta có thể xét sự tương giao của các đường cong để giải phương trình ban đầu. 1.2.Phương pháp:  Bước 1: Biểu diễn phương trình ban đầu dưới sự tương giao của các đường cong.  Bước 2 : Biểu diễn các đường cong xuất hiện ở bước 1 trên mặt phẳng tọa độ.  Bước 3 : Xét sự tương giao của các đường cong : - Nếu hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình đã cho vô nghiệm. - Nếu hai đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì phương trình đã cho có bấy nhiêu nghiệm. 1.3.Bài toán áp dụng. Bài toán 1: Giải và biện luận theo m phương trình : ( ) m x m x m 1+ + − = Giải: + Nếu m < 0 ⇒ Phương trình (1) vô nghiệm. + Nếu m = 0 ⇒ x x 0 + − = TXĐ : x 0 x 0 x 0 ≥  ⇔ =  − ≤  ⇒ x=0 là một nghiệm của phương trình. Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 4 4 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT + Nếu m > 0 Đặt 2 2 2 2 m x u m x u m x v u v 2m m x v u,v 0 + =   + =   ⇒ − = ⇒ + =   − =    ≥  (1) trở thành ( ) 2 2 x v m u v 2m 2 u 0 v 0 + =   + =   ≥   ≥  Nghiệm của (2) chính là giao điểm của hai đường thẳng : Đường thẳng (d) : u+v=m và cung » AB của đường tròn (C) : u 2 +v 2 =2m tâm O(0;0) và bán kính R 2m= . Từ hình vẽ trên ta thấy (2) có nghiệm ( ) OH d O;d R 2m ⇔ ≤ ≤ = Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 5 5 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 2 m m 2m 2 2m m 2m. 2 2m m 4m 2 m 4 ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Khi đó : u 2 +(m-u) 2 =m 2 2 2 1,2 2u 2mu m 2 0 m 4m m u 2 ⇔ − + − = ± − ⇔ = 2 2 2 1,2 1,2 2 m 4m m x u m m 2 m 4m m 2   ± − ⇒ = − = −  ÷  ÷   − = ± Vậy : + Nếu : m 4 m 0 >   <  phương trình (1) vô nghiệm. + Nếu m=0 phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=0. + Nếu 2 m 4≤ ≤ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : 2 1,2 m 4m m x 2 − = ± * Mở rộng bài toán : Các bài toán sau có thể sử dụng sự tương giao của hai đồ thị để giải. ( ) 1) A x B x C 2) A f x B f (x) C − ± + = − ± + = Trong đó A,B,C là các biểu thức chứa tham số m hoặc 1 trong 3 đại lượng trên chứa tham số. Bài toán 2: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 6 6 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 2 2 cos x 2 cos x cos x. 2 cos x m+ − + − = Cơ sở: Xuất hiện hai đại lượng đối nhau là cosx và 2 2 cos x− vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ theo 2 ẩn u,v sau đó xét sự tương giao của đường thẳng và đường tròn để giải phương trình đã cho. Lời giải: • Đặt ( ) 2 2 2 2 2 2 2 u cosx u 1;1 v 2 v 2 cos x u cos x u v 2 v 2 cos x =   ≤ ≤ ≤  = −   =  ⇒ ⇒ + =  = −  Khi đó phương trình (1) trở thành : ( ) 2 2 2 2 2 1 u v uv m u v u v 2 m 2 u v 2 u v 2 1 u 1 1 u 1 1 v 2 1 v 2    + + = + + + − =       + =   + = ⇔   − ≤ ≤   − ≤ ≤   ≤ ≤  ≤ ≤   ( ) 2 2 2 u v 2(u v) 2m 2 0 u v 2 1 u 1 1 v 2  + + + − − =   + = ⇔  − ≤ ≤   ≤ ≤  ( ) 2 2 3 u v 1 2m 3 m * 2 u v 2 1 u 1 1 v 2    + = − ± + ≥ −  ÷      + = ⇔   − ≤ ≤  ≤ ≤   Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 7 7 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT u v O A B C 1 1 -1 -1 d2 d'1 d1 d":1 Coi (*) là giao điểm của 3 đường cong : ( C ) : u 2 +v 2 = 2 với 1 u 1 ; 1 v 2− ≤ ≤ ≤ ≤ Đường thẳng (d 1 ) : u v 1 2m 3+ = − + + Đường thẳng (d 2 ) : u v 1 2m 3+ = − − + Ta có (d 1 ) và (d 2 ) là hai đường thẳng song song với nhau và cùng song song với ( ) ∆ . Đường tròn ( C ) : u 2 +v 2 = 2 thỏa mãn 1 u 1 ; 1 v 2− ≤ ≤ ≤ ≤ là cung tròn ¼ ABC trên hình vẽ. Mà (d 2 ) luôn nằm cùng phía hoặc trùng với ( ) ∆ cón (d 1 ) luôn nằm ở phía trên hoặc trùng với ( ) ∆ ( ) ¼ 2 d ABC⇒ ∩ Vậy để hệ có nghiệm thì : ( ) ¼ 1 1 d ABC (d ) ∩ ⇒ chạy trong miền từ (d 1 ) qua A Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 8 8 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT và // ( ) ∆ đến (d 1 ’’) qua B và // ( ) ∆ . 0 1 2m 3 2 1 2m 3 3 1 m 3 ⇒ ≤ − + + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ (Thỏa mãn điều kiện 3 m 2 ≥ − ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm : 1 m 3− ≤ ≤ • Mở rộng bài toán : Các bài toán sau có thể sử dụng sự tương giao của các đường cong để giải để giải. 1. x A x x A x m+ − + − = (A là hằng số) 2. f (x) A f (x) f(x) A f(x) m+ − + − = (A là hằng số) 3. f (x) A f (x) f(x) A f(x) B+ − + − = (A_const,B_chứa tham số) 4. Tất cả các bài toán trên có thể chuyển thành bài toán khác như sau : 5. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm,có 1 nghiệm,có 2 nghiệm : a) x A x x A x m+ − + − = (A là hằng số) b) f (x) A f (x) f(x) A f(x) m+ − + − = (A là hằng số) Bài toán 3 : Cho phương trình : ( ) ( ) 1 x 8 x 1 x 8 x a+ + − + + − = a) Giải phương trình khi a=3. b) Xác định a để phương trình đã cho có nghiệm. Cơ sở : Xuất hiện hai đại lượng đối là x và –x nên có thể chuyển phương trình đã cho về hệ phương trình với 2 ẩn là u và v,khi đó làm mất biến x ta thu được một phương trình của hệ có dạng phương trình của đường tròn.Vận dụng xét sự tương giao để giải hệ từ đó để giải phương trình đã cho. Lời giải: TXĐ ( ) ( ) 1 x 0 x 1 8 x 0 x 8 1 x 8 1 x 8 1 x 8 x 0  + ≥ ≥ −    − ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤     − ≤ ≤ + − ≥   Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 9 9 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT ( ) ( ) ( ) 1 1 x 8 x 1 x 8 x a⇔ + + − + + − = Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 u 1 x u 0 u 1 x u v 9 v 8 x v 8 x v 0  = + ≥ = +   ⇔ ⇒ + =   = − = − ≥    Khi đó phương trình (1) trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 u v uv a u v u v 9 a 2 u v 9 u v 9 u 0 u 0 v 0 v 0 u v 2 u v 9 2a 0 u v 9 u 0 v 0 u v 1 2 5 a a 5 u v 9 * u 0 v 0    + + = + + + − =       + =   + = ⇔   ≥   ≥   ≥  ≥    + + + − − =   + = ⇔  ≥   ≥   + = − + + ≥ −   + = ⇔  ≥   ≥  Với a=3 ( ) ( ) 2 2 u v 9 u v 5 * ** u v 3 u 0 v 0 + =   + = −     ⇔ + =    ≥   ≥  Coi (**) là giao điểm của các đường sau : (C) là cung tròn : u 2 +v 2 =9 với u 0;v 0≥ ≥ Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 10 10 [...]... Giao của (C) và (d) là nghiệm của hệ phương trình : Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 19 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 20  y = 8 − 2x   2  y = − x + 6x − 5  v m=8 m=2 2 O 3 1 4 5 u d d0 d1 Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 20 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 21 y ≥... Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 13 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 14 Từ hình vẽ trên ta thấy : Đường thẳng (d1) và (d4) là 2 tiếp tuyến của đường tròn (C) ứng với hệ số góc m=0 và m=-4/3 Đường thẳng (d2) đi qua điểm A(2 ;0) ứng vói hệ số góc m=-2 và (d 3) đi qua điểm B(-2 ;0) ứng vói hệ số góc m=2/3 Vậy từ hình ta có đường thẳng (d) với hệ số góc... Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 24 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 25 Mở rộng bài toán Thay bằng việc tìm a để hệ (I) có 2 nghiệm phân biệt bằng tìm a để hệ có nghiệm duy nhất,hệ vô nghiệm Thay bởi việc cho đường thẳng thay đổi (phương trình đường thẳng chứa tham số m) ta cho đường tròn có bán kính chứa tham số m khi đó ta cũng được một lớp bài toán. .. Bài toán 1: Giải và biện luận theo a bất phương trình sau: a+ x + a− x ≤2 ( 1) • Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 15 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT • • 16 Cơ sở : Xuất hiện hai đại lượng đối nhau là a + x và a − x do đó có thể đặt ẩn phụ đẻ đưa bất phương trình trên về một hệ bất phương trình sau đó sử dụng ứng dụng của đường tròn để giải. .. tham số) Bài toán 4 : Giải và biện luận phương trình: 4 − x 2 − mx = 2 − m Cơ sở lý luận Xuất hiện đại lượng A − x 2 ở một vế của phương trình do đó ta có thể chuyển vế và coi phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của hai đồ thị mà một tổng hai Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 12 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 13 đồ thị đó là cung tròn. .. 3.4.Bài tập tương tự bài toán ứng dụng đường tròn để giải hệ phương trình ( x + y ) 2 = 4  Bài 1 : Tìm m để hệ sau có 4 nghiệm phân biệt  2 2  x + y = 2(m + 1)  Bài 2 : Biện luận theo tham số a số nghiệm của hệ phương trình : x + y = a  2 2 x + y = 1 Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 32 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 33 (2m + 1)x +... 3 Với a=3 thì phương trình có 2 nghiệm x=8 và x=-1 Khi đó (*) là giao điểm của các đường sau : (C) : là cung tròn u2+v2=9 với u ≥ 0; v ≥ 0 Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 11 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 12 (d’1) : là đường thẳng có phương trình : u + v = −1 + 2 ( 5 + a ) (d’2) : là đường thẳng có phương trình : u + v = −1 − 2 ( 5... m ≠ −1 Nếu  Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 30 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 31 khi đó (1) là phương trình đường tròn ( C) tâm I(1;-2) bán kính R=m,(2) là phương t trình đường tròn tâm I’(0;1),bán kính R’=m+1 Từ vị trí tương đối của hai đường tròn thì để hệ có nghiệm duy nhất thì (C ) phải tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài với (C’)... a) Giải bất phương trình khi m=3 b) Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀x ∈ [ −2;4 ] Bài 4 : Cho bất phương trình : Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 21 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT −4 ( 4 − x) ( 2 + x) 22 ≤ − x 2 − 2x + a − 18 a) Giải bất phương trình khi a=6 b) Tìm a để (1) nghiệm đúng ∀x ∈ [ −2;4 ] 3 Ứng dụng đường tròn để giải. .. trình đường thẳng vì 12+a2>0 Phương trình (2) của hệ có dạng phương trình đường tròn. Do đó có thể biểu diễn hệ đã cho trên mặt phẳng tọa độ để xét sự tương giao của chúng Lời giải Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 22 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT 23 a) Xét tập hợp các điểm hệ các điểm M(x;y) thỏa mãn hệ (I).Chính là giao điểm của các đường . “ Ứng dụng của đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT ” Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 1 1 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải. đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT C – NỘI DUNG ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 1 .Ứng dụng đường tròn để giải phương trình. 1.1.Cơ sở lý thuyết. hai đường tròn ( C ) : ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = và Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin .Trường THPT Khoái Châu 2 2 Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT đường