Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – 1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 2013-2014 năm học tiếp tục thực vận động “ Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục " với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thơng tin vào q trình dạy học " Do q trình dạy học địi hỏi thầy giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em 1.2 Lý chọn đề tài: Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng tốn liên quan tới nội dung thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình chun tốn lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, nhận thấy dạng toán dãy số toán tìm số hạng tổng quát Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng qt dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác toán thực dễ với học sinh Xuất phát từ lí tơi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số xây dựng toán dãy số ” Qua nội dung ví dụ đề tài nhằm giúp em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần đáp ứng việc học chuyên đề lớp 11 chuyên toán việc ôn thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm giảng dạy từ trước đến lớp 11A1, 11A2 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài “Chương III: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 ban nâng cao 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung mơn Đại số Giải tích 11 nói riêng 1.5 Điểm kết nghiên cứu: Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng un < un+1 , ∀n ∈ ¥ * * * Dãy số ( un ) gọi dãy số giảm un > un+1 , ∀n ∈ ¥ * Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) dãy số tăng * Nếu un+1 − un < 0, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) dãy số giảm * * Nếu tồn số M cho un ≤ M , ∀n ∈ ¥ ( un ) bị chặn * * Nếu tồn số m cho un ≥ m , ∀n ∈ ¥ ( un ) bị chặn * Nếu dãy số ( un ) bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , d số khơng đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng tổng S n = u1 + u2 + + un = n ( u1 + un ) d) Cấp số nhân * Dãy số ( un ) cấp số nhân ⇔ un+1 = un q với ∀n ∈ ¥ * , q số khơng đổi gọi cơng bội cấp số nhân n−1 * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân un = u1.q * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân vơi q ≠ 1, q ≠ tổng − qn S n = u1 + u2 + + un = u1 1− q e) Một số đinh lí giới hạn - Nếu q < lim q n = - Nếu q > lim q n = +∞ * - Nếu dãy số an ≤ bn ≤ cn , ∀n ∈ ¥ lim an = lim cn = L lim bn = L - Nếu dãy số ( un ) tăng bị chặn ( un ) có giới hạn Nếu dãy số ( un ) giảm bị chặn ( un ) có giới hạn 2.2 Nội dung nghiên cứu đề tài A Phơng trình sai phân tuyến tính cấp Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình sai phân dạng : u1 = , a.un+1 + b.un = f n , n ∈ N * a,b, số ,a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho tríc Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , a.un +1 + b un = (1.1) ®ã a, b, α cho tríc n ∈ N * Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = để tìm Khi un = qλ n (q lµ h»ng sè ) , q đợc xác định biết u1 = Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Trng THPT Trn Hng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 Bài giải Ta có un +1 = un , u1 = (1.2) Phơng trình đặc trng có nghiÖm λ = VËy un = c.2n Tõ u1 = suy c = un = 2n Dạng Do Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = α , aun+1 + bun = f n , n ∈ N * (2 1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải * Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un + un Trong * ®ã un nghiệm phơng trình (1.1) un nghiệm riêng tuỳ ý phơng trình không (2.1) Vậy un = q. n q số đợc xác định sau * Ta xác ®Þnh un nh sau : * 1) NÕu λ #1 un đa thức bậc với f n * 2) NÕu λ =1 th× un = n.g n với g n đa thức bậc với f n * * Thay un vào phơng trình, đồng hệ số ta tính đợc hệ số un Bài toán 2: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 2; un +1 = un + 2n, n N * (2.2) * Bài giải Phơng trình ®Ỉc trng λ − = cã nghiƯm λ = Ta cã un = un + un ®ã * * un = c.1n = c, un = n ( an + b ) Thay un vµo phơng trình (2.2) ta đợc ( n + 1) a ( n + 1) + b  = n ( an + b ) + 2n   (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau 3a + b = a = ⇔  5a + b = b = −1 Do ®ã un = n ( n − 1) * Ta cã un = un + un = c + n ( n 1) Vì u1 = nên = c + 1( − 1) ⇔ c = Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – VËy un = + n ( n − 1) , hay un = n − n + D¹ng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , a.un +1 + bun = v.µn , n ∈ N * (3.1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải * Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta cã un = un + un Trong * ®ã un = c.λ n , c lµ h»ng sè cha đợc xác định , un đợc xác định nh sau : 1) NÕu λ # µ 2) NÕu λ = * un = A.à n * un = A.n.à n * * Thay un vào phơng trình (3.1) đồng hệ số ta tính đợc c¸c hƯ sè cđa un BiÕt * u1 , tõ hÖ thøc un = un + un , tính đợc c Bài toán 3: Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn u1 = 1; un +1 = 3.u n + n , n ∈ N * (3.2) * Bài giải Phơng trình đặc trng = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un + un * ®ã un = c.3n , un = a.2n * Thay un = a.2n vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2a = 3a + ⇔ a = −1 Suy un = −2n Do ®ã un = c.3n 2n u1 = nên c=1 Vậy un = 3n 2n Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , a.un +1 + bun = f1n + f n , n N * (4.1) Trong f1n đa thøc theo n vµ f n = v.µ n Phơng pháp giải * Ta có un = un + u1*n + u2 n Trong un nghiệm tổng quát phơng trình * aun+1 + bun = , un nghiệm riêng phơng trình không Trng THPT Trn Hng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – * nhÊt a.un+1 + b.un = f1n , u2n nghiệm riêng phơng trình không a.un+1 + b.un = f n Bài toán 4: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; un +1 = 2un + n + 3.2n , n N * (4.2) * Bài giải Phơng trình ®Ỉc trng λ − = cã nghiƯm λ = Ta cã un = un0 + u1*n + u2 n * * ®ã un = c.2n , un = a.n + b.n + c , u2 n = An.2n * Thay un vào phơng trình un+1 = 2.un + n , ta đợc a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình 2a c = a = −1   ⇔ b = −2 a − b − c = 2a + 2b + c = −9 c = −3   * VËy u1*n = − n − 2n − thay u2n vào phơng trình un+1 = 2.un + 3.2n Ta ®ỵc A ( n + 1) 2n+1 = An.2 n + 3.2n ⇔ A ( n + 1) = An + ⇔ A = VËy * u2 n = n.2n = 3n.2n −1 n n −1 Do ®ã un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 Ta cã u1 = nªn = 2c − + ⇔ c = VËy un = 3n.2n−1 − n − 2n − B Ph¬ng trình sai phân tuyến tính cấp hai Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai phơng trình sai phân d¹ng u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N * a,b,c, , h»ng sè , a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho tríc Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = α , u2 = β , aun +1 + bun + c.un −1 = 0, n N * (5.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = tìm Khi 1) Nếu , hai nghiệm thực khác un = A.1n + B.2n , A B đợc xác ®Þnh biÕt u1 , u2 n 2) NÕu λ1 , λ2 lµ hai nghiƯm kÐp λ1 = λ2 = λ th× un = ( A + Bn ) λ , A B đợc xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn sau u0 = 1, u1 = 16, un + = 8.un+1 16.un (5.1) Bài giải Phơng trình đặc trng + 16 = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã un = ( A + B.n ) n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình u0 = = A A =1  ⇔  u1 = ( + B ) = 16  B =  n VËy un = ( + 3n ) D¹ng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , u2 = β , a.un+1 + b.un + c.un−1 = f n , n ≥ 2, (6.1) ®ã a # 0, f n đa thức theo n cho trớc Phơng pháp giải Trng THPT Trn Hng o - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = để tìm Khi ta cã * un = un + un , un nghiệm tổng quát phơng trình thuÇn nhÊt * a.un+1 + b.un + c.un −1 = un nghiệm tuỳ ý phơng tr×nh a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n * Theo dạng ta tìm đợc un , hệ số A, B cha đợc xác định , un đợc xác định nh sau : * 1) Nếu #1 un đa thức bậc víi f n * 2) NÕu λ = lµ nghiệm đơn un = n.g n , g n đa thức bậc với f n * 3) Nếu = nghiệm kép un = n.2 g n , g n đa thức bËc víi f n , * * Thay un vµo phơng trình , đồng hệ số, tính đợc c¸c hƯ sè cđa un BiÕt u1 , u2 * tõ hÖ thøc un = un + un tính đợc A, B Bài toán 6: Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2u n + u n−1 = n + 1, n (6.2) Bài giải Phơng trình đặc trng λ − 2λ + = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã * * un = un + un ®ã un = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un = n ( a.n + b ) * Thay un vào phơng trình (6,2) , ta đợc ( n + 1)  a ( n + 1) + b  − 2n ( a.n + b ) + ( n − 1)  a ( n − 1) + b  = n +     Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình a= ( 2a + b ) − ( a + b ) =   ⇔  9 ( 3a + b ) − ( 2a + b ) + ( a + b ) = b =    VËy n 1 * un = n  + ÷ 6 2 Do ®ã n 1 * un = un + un = A + Bn + n  + ÷ 6 2 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – Mặt kh¸c 1  A = A + B + + =1   ⇔  −11 1 1 B=  A + 2B +  + ÷=    3 2  VËy un = − 11 n 1 n + n2 + ữ Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , u2 = β , au n+1 + bun + c.u n−1 = d n , n (7.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = để tìm Khi ta cã * un = un + un , un đợc xác định nh dạng hệ số A B cha đợc xác định, * un đợc xác định nh sau * 1) Nếu # un = k n * 2) Nếu = nghiệm đơn un = k nµ n * 3) NÕu λ = µ nghiệm kép un = k n.2 n * Thay un vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng thức hệ số tính đợc hệ * sè k BiÕt u1 , u2 tõ hệ thức un = un + un tính đợc A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2u n + u n−1 = 3.2n , n ≥ Bµi giải Phơng trình đặc trng + = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã * un = un + u1*n ®ã un = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un = k 2n * Thay un vào phơng trình , ta đợc k 2n+1 2k 2n + k 2n −1 = 3.2 n ⇔ k = Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – * * VËy un = 6.2n = 3.2n+1 Do ®ã un = un + un = A + bn + 3.2n +1 (1) Thay u1 = 1, u2 = vào phơng trình (1) ta thu đợc = A + B + 12 A = ⇔  0 = A + B + 24  B = −13 VËy un = − 13n + 3.2n +1 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n ≥ (8.1) ®ã a # , f n đa thức theo n g n = v.à n Phơng pháp giải * Ta cã un = un + u1*n + u2 n un nghiệm tổng quát phơng trình * nhÊt aun +1 + bun + c.un−1 = , u1n nghiệm riêng tùy ý phơng trình không * aun +1 + bun + c.un = f n u2n nghiệm riêng tùy ý phơng trình không aun +1 + bun + c.un = g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + 2n , n ≥ (8.2) Bài giải Phơng trình đặc trng − = cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = Ta cã * un = un + u1*n + u2 n ®ã * un = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2 n = k 2n n * Thay u1n vào phơng trình un+1 2un 3un1 = n , ta đợc a ( n + 1) + b − ( an + b ) −  a ( n − 1) + b  = n ⇔ ( 4a + 1) n − ( a − b ) =   VËy a=b=− 10 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – Do ®ã * un = −1 ( n + 1) * Thay u2n vào phơng trình un+1 2un 3un = 2n , ta đợc k 2n+1 2.k 2n = 3.k 2n −1 = 2n ⇔ k = − Do ®ã * u2 n = − 2n = − 2n+1 3 VËy * un = un + u1*n + u2 n = A ( −1) + B.3n − n 1 ( n + 1) − 2n+1 (8.3) Ta thay u1 = 1, u2 = vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình 61 A + 3B − − =  A = −    48 ⇔   A + 9B − − =  B = 25   48   VËy un = − 61 25 1 n ( −1) + 3n − ( n + 1) − n+1 48 48 C Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba phơng trình sai phân dạng u1 = , u2 = β , u3 = γ , a.un + + bun+1 + c.un + d un−1 = f n , n ≥ (a.1) ®ã a,b,c, d, , , số , a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Phơng pháp giải 11 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Nm hc: 2013 Nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng * un = un + un , ®ã un nghiệm tổng quát phơng trình tuyến tính nhất, * un nghiệm riêng phơng trình tuyến tính không Xét phơng trình đặc trng aλ + bλ + cλ + d = (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba thn nhÊt a) NÕu (a.2) cã ba nghiƯm thùc λ1 , , phân biệt un = a1 λ1n + a2 λ2n + a3 λ3n b) NÕu (a.2) cã mét nghiƯm thùc béi vµ mét nghiƯm đơn (1 = # ) un = (a1 + a2 n)λ1n + a3 λ3n c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi (λ1 = λ2 = λ3 ) th× un = (a1 + a2 n + a3 n )1n * 2) Xác định nghiệm riêng un phơng trình (a.1) ã Xét f n đa thức n ta có * a) Nếu #1 un đa thức bậc víi f n * b) NÕu λ = (nghiƯm đơn ) un = n.g n , g n đa thức bậc với f n * c) NÕu λ = (béi ) th× un = n g n g n đa thức bËc víi f n * d) NÕu λ = (béi 3) th× un = n3 g n g n đa thức bậc với f n n ã XÐt f n = v.µ ta cã * a) NÕu # un = k n.à n * b) Nếu = (nghiệm đơn ) un = k µ n * c) NÕu λ = µ (nghiƯm béi s ) th× un = k n s n Bài toán 9: Tìm dÃy số (un ) biÕt r»ng u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− + 5.un −3 , n ≥ (9.1) 12 Trường THPT Trần Hưng o - Sỏng Kin Kinh Nghim 2014 Bài giải Xét phơng trình đặc trng + 11λ − = cã nghiÖm thùc λ1 = λ2 = 1, λ3 = VËy un = c1 + c2 n + c3 5n Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc c1 = − , c2 = , c3 = 16 16 VËy un = − + ( n − 1) + 5n −1 16 16 D Bài tập áp dụng Bài toán 10: Cho dÃy số (an ) đợc xác định theo c«ng thøc sau a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1, n ≥ (10.1) Chøng minh sè A = 4.an an+ + số phơng Bài giải Ta có an+1 = 2an − an−1 + (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta đợc an = 2an −1 − an −2 + (10.3) Trõ c¸c vÕ (10.1) cho (10.2) ta thu đợc an+1 3an + 3an1 an = (10.4) Phơng trình đặc trng (10.4) + 3λ − = cã nghiÖm λ = nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát phơng trình (10.4) an = (c1 + c2 n + c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc 13 Nm hc: 2013 Trng THPT Trn Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – 0 = c1 c1 =   ⇔ 1 = c2 + c2 + c3 3 = c + 2c + 4c c2 = c3 = Ta thu đợc an = n ( n + 1) từ ta cã A = 4an an + + = ( n + 3n + 1) §iỊu chứng tỏ A số phơng Bài toán 11: Cho dÃy số ( xn ) đợc xác định theo công thức sau x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = xn + xn −1 − 1975 ( n ≥ ) (11.1) Chøng minh x1996 M1997 Bài giải Xét dÃy số ( yn ) víi y1 = 7, y2 = 50 vµ yn +1 = yn + yn −1 + 22 ( n ≥ ) (11.2) DÔ thÊy yn ≡ xn ( mod1997 ) Do cần chứng minh y1996 ( mod1997 ) Đặt zn = yn + 11 suy z1 = 39, z2 = 211 NhËn xÐt r»ng zn +1 = yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = zn + 20 yn−1 + 55 Ta l¹i cã zn −1 = yn −1 + 11 suy 20 yn−1 = zn−1 − 55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta đợc zn +1 = zn + zn−1 Suy zn +1 − zn zn1 = (11.5) Phơng trình đặc trng (11.5) = cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = Nghiệm tổng quát (11.1) zn = ( −1) α + 5n β n Ta cã 14 (11.3) Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 –  α=   z1 = −α + 5β = 39  ⇔   z2 = α + 25β = 211  β = 25   Do ®ã ta nhËn ®ỵc 25 n zn = ( −1) + 5n 3 (11.6) Tõ (11.6) ta suy z1996 + 25.51996 = Ta cÇn chøng minh z1996 ≡ 11( mod1997 ) Do 51996 − M1997  1996 5 − M Nªn 51996 − 1M3.1997 Tõ ®ã , ta cã 51996 = 3n.1997 + , 25 ( 3n.1997 + 1) z1996 = + = 25.n.1997 + 11 3 VËy z1996 11( mod 1997 ) E Bài tập tơng tự Bài 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + − 9n , ∀n ∈ N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ = −8.xn+1 + xn 3) x0 = 1, x1 = 3, xn+ − xn+1 + xn = −n − 2n + 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − xn + xn −1 = n − 6n + 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + − xn+1 + xn = Bµi 2: Cho d·y sè (an ) thoả mÃn điều kiện 15 Trng THPT Trn Hng o - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 an = an −1 + 2.an −2  a1 = a2 = Năm học: 2013 – ( n ≥ 3) n∈ N Chøng minh an số lẻ Bài 3: Cho dÃy số (bn ) xác định bn = 2.bn1 + bn −2  b1 = 1, b2 = n∈ N ( n ≥ 3) n 5 Chøng minh r»ng bn ≤  ÷ , ∀n ∈ N 2 Bài 4: Cho dÃy số (un ) thoả mÃn điều kiÖn un + − 2.un+1 + un = n∈ N  u0 = 1, u1 =  ( n ≥ 2) Chøng minh r»ng un lµ mét số phơng Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 Toán 11 Lần thứ VIII 2002 NXB giáo dục ) Cho dÃy số (un ) thoả m·n nh sau un ∈ Z + , ∀∈ N  u0 = 1, u1 = u = 10.u − u ∀n ∈ N , n ≥ n −1 n−2  n Chøng minh : ∀k ∈ N , k ≥ 1) uk2 + uk2−1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 M va 3.uk2 − 1M ( M kÝ hiÖu chia hÕt ) Bµi 6: Cho d·y sè (un ) thoả mÃn điều kiện un + = 2un +1 + 2un − un −1 , n ∈ N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M + 4.an+1an số phơng Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi TrỴ sè 356) 16 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – Cho dÃy số (ai ) ( i=1,2,3,4)đợc xác định a1 = 1, a2 = −1, an = −an −1 − 2an , n = 3,4, Tính giá trị cđa biĨu thøc 2 A = 2.a2006 + a2006 a2007 + a2007 Cho dÃy số nguyên dơng (un ) thoả mÃn điều kiện Bài 8: u0 = 20, u1 = 100, un + = 4.un +1 + 5.u n + 20, n N * Tìm số nguyên d¬ng h bÐ nhÊt cã tÝnh chÊt an+ h − an M1998 , n N F Xây dựng to¸n vỊ d·y sè truy håi NhËn xÐt : Néi dung đề tài giúp bạn đọc tìm công thức tổng quát lớp dÃy số có tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt, gióp Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dÃy số Dới số ví dụ xây dựng thêm toán dÃy số có tính quy luật mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dÃy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phơng trình ( 1) ( λ + ) = ⇔ λ + = (12.1) phơng trình (12.1) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo công thức sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cã thÓ cho u0 = 2, u1 = −8 Ta cã thể phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau 17 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014  xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = Nm hc: 2013 n N Xác định công thức xn Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = n N Tính giá trị biÓu thøc A = x2006 − 5.x2007 + VÝ dụ 2: Xuất phát từ phơng trình ( 1) = ⇔ λ − 2λ + = (12.2) phơng trình (12.2) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo công thức sau un+ 2.un +1 + un = cã thÓ cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật toán xác định đợc công thức tổng quát dÃy sè xn = ( n − 1) Ta cã thể phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau xn + − xn+1 + xn = n∈ N x0 = 1, x1 = Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau  xn + − xn+1 + xn = n∈ N  x0 = 1, x1 =  Chøng minh r»ng xn lµ mét sè chÝnh phơng Bài toán 3: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + xn+1 + xn = n∈ N  x0 = 1, x1 = Xác định số tự nhiên n cho xn+1 + xn = 22685 18 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài tơi tìm đọc nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung để làm bật nội dung cần phân tích 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2013 – 2014 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 11A1, 11A2 làm kiểm tra 45 phút với đề tương tự phần khảo sát thực tiễn thay đổi mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết thu Trong lớp 11A1 lớp thực nghiệm q trình triển khai đề tài cịn lớp 11A2 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài Sau chấm kiểm tra tơi thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh) Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh) Điểm Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 – 6,5 – 8,59 9– 10 Lớp 11A1 0% 2% 18% 20% 60% Lớp 11A2 4% 28% 52% 14% 2% Căn vào kết kiểm tra Đối chiếu so sánh kết làm lớp thực nghiệm lớp lại không tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 11 có nhìn bao qt cách giải tốn dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chuyên giúp em tự tin đứng trước tốn dãy số đồng thời góp 19 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – phần làm cho học sinh thấy hứng thú với mơn Tốn thường có phép tuyệt đẹp suy luận rất logic 20 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 – KẾT LUẬN 3.1 Những học kinh nghiệm: Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt mơn học người giáo viên phải có số kỹ sau: * Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề * Kỹ giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc * Kỹ trình bày lời giải 3.2 Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 3.3 Khả ứng dụng, triển khai: Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm nối bậc phương pháp giảng dạy phương pháp đặt vấn đề phận tích hướng dẫn học sinh giải vấn đề 3.4 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt với môn học, thân có kiến nghị với phịng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung số tài liệu tham khảo thường xuyên tổ chức buổi thảo luận chuyên đề toán học nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014 Người Viết Đào Hữu Trang 21 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm 2014 Năm học: 2013 Tài liệu tham khảo 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dÃy số , Nhà xuất Giáo Dục - 2003 22 ... trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo công thức sau un+ 2.un +1 + un = cã thÓ cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật toán xác định đợc công thức tổng quát dÃy sè xn... thể phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau xn + − xn+1 + xn = n∈ N x0 = 1, x1 = Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau  xn + −... dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng un