Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình lý thuyết đồ thị về đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị Xây dựng đồ thị đối ngẫu và tô màu các bản đồ Tìm sắc của các đồ thị Tìm số đỉnh, cạnh và miền của các đồ thị Vẽ đồ thị phẳng liên thông Tô màu đồ thị
1 TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ 2 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Bài toán Tìm cách làm cho các con đường đi dẫn từ 3 ngôi nhà tới 3 cái giếng sao cho không có 2 con đường nào cắt nhau? Mô hình bài toán Đỉnh: các gia đình và giếng nước Cạnh: đường đi từ nhà đến các giếng Có thể vẽ đồ thị mà không có 2 cạnh nào cắt nhau? 3 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau ở điểm không phải là điểm mút của mỗi cạnh. Hình vẽ như vậy được gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị. 4 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Ví dụ Đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không? 5 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Ví dụ Đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không? 6 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Ví dụ Chứng minh K 3,3 không phẳng. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 v 2 v 4 v 5 R 2 R 1 R 21 v 3 R 1 R 22 v 5 v 4 v 2 v 1 7 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Công thức Euler Tất cả biểu diễn phẳng của cùng một đồ thị có số miền bằng nhau Định lý 1 Trong đơn đồ thị phẳng, liên thông thì r = e – v + 2 r: số miền e: số cạnh v: số đỉnh 8 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Chứng minh Xây dựng dãy đồ thị con của G G1 ≡ e 1 G i = G i-1 ∪ e i (i = 2,3, …, e) G ≡ G e Quy nạp Định lý đúng với G 1 Giả sử G n phẳng thỏa r n = e n − v n + 2 Xét đồ thị phẳng G n+1 G n+1 = G n ∪ (a n+1 , b n+1 ) 9 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Chứng minh Xét đồ thị phẳng G n+1 G n+1 = G n ∪ (a n+1 , b n+1 ) Nếu a n+1 , b n+1 đều thuộc G n a n+1 , b n+1 nằm trên miền biên của miền chung r n+1 = r n + 1 e n+1 = e n + 1 v n+1 = v n ⇒ r n+1 = e n+1 − v n+1 + 2. a n+1 b n+1 10 Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Chứng minh Xét đồ thị phẳng G n+1 G n+1 = G n ∪ (a n+1 , b n+1 ) Nếu b n+1 (hoặc a n+1 ) không thuộc G n Chỉ có a n+1 nằm trên miền biên của miền chung r n+1 = r n e n+1 = e n + 1 v n+1 = v n + 1 ⇒ r n+1 = e n+1 − v n+1 + 2. a n+1 b n+1 [...]... c e Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị d f e 16 Tô màu đồ thị Bài toán Tô màu một bản đồ 2 miền có chung biên giới được tô bằng 2 màu tùy ý, miễn là khác nhau Xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu một bản đồ sao cho hai miền kề nhau có màu khác nhau Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 17 Tô màu đồ thị Bài toán Tô màu một bản đồ Mô hình hóa bài toán Đỉnh:... Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị D C 23 Tô màu đồ thị Một số định lý về tô màu đồ thị Định lý 3 Một đơn đồ thị G = (V, E) có thể tô bằng 2 màu khi và chỉ khi nó không có chu trình độ dài lẻ Chứng minh Nhận xét χ (Cn) = 2 nếu n chẵn (n≥ 3) χ (Cn) = 3 nếu n lẻ (n≥ 3) Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 24 Tô màu đồ thị Một số định lý về tô màu đồ thị Định lý 4... + 1 Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 21 Tô màu đồ thị Một số định lý về tô màu đồ thị Định lý 1 Mọi chu trình độ dài lẻ đều có sắc số là 3 Chứng minh Quy nạp Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 22 Tô màu đồ thị Một số định lý về tô màu đồ thị Định lý 2 Nếu G có chứa một đồ thị con đẳng cấu với Kn thì χ (G) ≥ n A Ví dụ: Tìm sắc số của đồ thị sau E B F... số Thuật toán chỉ cho ta kết quả chấp nhận được Bài toán tìm sắc số là một bài toán khó! Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 27 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell Ví dụ 1: Tô màu cho đồ thị sau với số màu ít nhất có thể được v1 v6 v5 v2 v3 v4 G Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 28 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell Ví dụ 2: Tô màu cho đồ thị sau với số màu ít nhất... Sắc số (Chromatic number) Số màu tối thiểu cần thiết để tô màu G Ký hiệu: χ (G) Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 19 Tô màu đồ thị Định nghĩa Ví dụ Tìm sắc số của đồ thị sau: Số màu cần tô: 4 v1v3v6v4 đôi một kề nhau v1 v2 ⇒χ(G) = 4 v3 v4 v6 Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị v5 v7 20 Tô màu đồ thị Định lý Mọi đơn đồ thị đầy đủ đều có: χ(Kn) = n Chứng... miền ⇒ 4r ≤ 2e (*) Theo định lý Euler: r = e – v + 2 Thay vào (*) ta có: e ≤ 2v − 4 (đpcm) Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 13 ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Hệ quả 2 Ví dụ: Chứng minh K3,3 không phẳng Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 14 ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Hệ quả 3 Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh Khi đó V có ít nhất... ≤ 5 Định lý 2 Cho G là một đơn đồ thị phẳng với e cạnh, v đỉnh và có k thành phần liên thông Gọi r là số miền (regions) trong biểu diễn phẳng của G Khi đó: v − e + r = k + 1 Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 15 ĐỒ THỊ PHẲNG Định lý Kuratowski Đồ thị G là không phẳng khi và chỉ khi G chứa một đồ thị con đồng phôi với K3,3 hoặc K5 Ví dụ: Chứng minh các đồ thị sau không phẳng a... dần Dùng một màu để tô đỉnh đầu tiên và cũng dùng màu này để tô màu các đỉnh liên tiếp trong danh sách mà không kề với đỉnh đầu tiên Bắt đầu trở lại đầu danh sách, tô màu thứ hai cho đỉnh chưa được tô và lập lại quá trình trên cho đến khi tất cả các đỉnh đều được tô màu Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 26 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell Chú ý Kết quả của thuật toán có thể...ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Ví dụ Tính số miền trong một đơn đồ thị phẳng liên thông có 8 đỉnh và mỗi đỉnh đều có bậc 3 Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 11 ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Hệ quả 1 Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh; v ≥ 3 Khi đó: e ≤ 3v − 6 Chứng minh: Trong một đồ thị phẳng Mỗi miền được bao ít nhất... tô màu đồ thị Định lý 4 (Định lý 4 màu) Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4 Định lý được chứng minh bởi Appel và Haken Đây là định lý đầu tiên được chứng minh với sự trợ giúp của máy tính Ta có thể chứng minh định lý yếu hơn: Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 5 Chương 2 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 25 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell Sắp xếp