Đang tải... (xem toàn văn)
đơn ánh, tòan ánh và song ánh trong các bài tóan về phương trình hàm tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đ...
1 A.PHẦNLÝTHUYẾT 1.Ánhxạ 1.1.Địnhnghĩa.MộtánhxạftừtậpXđếntậpYlàmộtquytắcđặttươngứngmỗi phầntửxcủaXvớimột(vàchỉmột)phầntửcủaY.Phầntửnàyđượcgọilàảnh củaxquaánhxạfvàđượckíhiệulàf(x). (i)TậpXđượcgọilàtậpxácđịnhcủaf.Tập hợpY đượcgọilàtập giátrịcủaf. (ii)ÁnhxạftừXđếnY đượckíhiệ ulà :f X Y ® ( ) x y f x = a (iii)KhiX vàYlàcáctậpsốthực,ánhxạfđượcgọilàmộthàmsốxácđịnhtrên X (iv)C ho ,a X y Y Î Î .Nếu ( ) f a y = thìtanóiylàảnhcủaavàalànghịchảnhcủay quaánhxạ f. (v)Tậphợp ( ) { } ,Y y Y x X y f x = Î $ Î = gọilàtậpảnhcủaf.Nóicáchkhác,tậpảnh ( ) f X làtậphợptấtcảcác phẩntửcủaYmàcónghịchảnh. 2.Đơnánh,toànánh,songánh 2.1. Định nghĩa.Ánhxạ :f X Y ® được gọilàđơnánhnếuvới ,a X b X Î Î mà a b ¹ thì ( ) ( ) f a f b ¹ ,tứclàhaiphầntửphânbiệtsẽcóhaiảnhphânbiệt. Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với ,a X b X Î Î mà ( ) ( ) f a f b = ,taphảicó a b = . 2.2.Địnhnghĩa.Ánhxạ :f X Y ® đượcgọilàtoànánhnếuvớimỗiphầntử y Y Î đềutồntạimộtphầntử x X Î saocho ( ) y f x = .Nhưvậyflàtoànánhnếuvàchỉ nếu ( ) Y f X = . www.laisac.page.tl Đ Đ Ơ Ơ N N Á Á N N H H , , T T O O À À N N Á Á N N H H V V À À S S O O N N G G Á Á N N H H T T R R O O N N G G C C Á Á C C B B À À I I T T O O Á Á N N V V Ề Ề P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H H H À À M M TRẦNNGỌCTHẮNG 2 2.3. Định nghĩa.Ánhxạ :f X Y ® đượcgọilàsongánhnếunóvừalàđơnánh vừalàtoànánh.Nhưvậyánhxạ :f X Y ® làsongánhnếuvàchỉnếuvớimỗi y Y Î ,tồntạivàduynhấtmộtphầntử x X Î để ( ) .y f x = 3.Ánhxạngượccủamộtsongánh 3.1.Địnhnghĩa.Ánhxạngượccủaf,đượckíhiệubởi 1 f - ,làánhxạtừYđếnX gánchomỗiphầntử y Y Î phầntửduynhất x X Î saocho ( ) y f x = .Nhưvậy ( ) ( ) 1 f x y f x y - = Û = 3.2.Chúý.Nếufkhôngphả ilàsongánhthìtakhôngthểđịnhnghĩađượcánhxạ ngượccủaf.Dođóchỉnóiđếná nhxạngượckhi flàsongánh. 4.Ánhxạhợp 4.1.Địnhnghĩa.Nếu :g A B ® và :f B C ® và ( ) g A B Ì thìánh xạhợp :f g A C ® o đượcxácđịnhbởi ( )( ) ( ) ( ) .f g a f g a = o Kíhiệu n n p p p p = o o o 14243 . 5.Mộtsốkíhiệu ¥ :Tậpcácsốtựnhiên * ¥ :Tậpcácsốnguyêndương ¤ :Tậpcácsốhữutỷ + ¤ :Tậpcácsốhữutỷdươ ng ¢ :Tậpcácsốnguyên + ¢ :Tậpcá csốnguyênd ương ¡ :Tậpcácsố thực + ¡ :Tậpcácsốthựcdương. B.PHẦNBÀITẬPMINHHỌA BÀIT11/409(THTT,THÁNG072011).Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ ,liên tụctrên¡ vàthỏamãn điềukiện ( ) ( ) ( ) ( ) , , .f xy f x y f xy x f y x y + + = + + " Ρ (1) 3 LIGII Thay 1y = vo(1)tac: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ,f x f x f x f x + + = + " ẻĂ (2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1f x f x f x f ị + + - = ị ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 2f x f x f x f f x f x f x + + - = = + + + - + ị ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ,f x f x f x f x x + - = + - " ẻ Ă. Doútathuc : ( ) ( ) 2 2 2 , 1 2 2 2 2 k k x x x x f x f x f f f f k ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử + - = + - = = + - " ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 lim 2 2 0 2 2 k k k x x f x f x f f f f đ+Ơ ổ ử ổ ử ổ ử ị + - = + - = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ .Túsuyra: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 ,f x f x f f x + - = - " ẻĂ (3) Vinlsnguyờndngvngthc(3)tathuc: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0f x n f x n f f + - + - = - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0f x n f x n f f + - - + - = - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0f x f x f f + - = - Cngtngvcỏcngthctrờnta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 , 1,f x n n f f f x n x + = - + " ẻĂ (4) Tngttacú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 1 , 1,f x n n f f f x n x + + = - + + " " ẻĂ (5) Thay 2y n = vo(1)vkthpvingthc(4)ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2f n x f n f nx f x n f n x f nx f x n f n + + = + + + - = + - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 0 1 2 0 1f n x f nx n f f f x n f f f ị + - = - + + - - - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0f n x f nx f x f ị + - = - (6) Tngttacú ngthc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1f nx f n x f x f - - = + - (7) Tcỏcngthc(6)v(7)tacú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1f nx f n x f x f - - = + - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 0f n x f n x f x f - - - = - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1f x f x f x f - = + - Cngtngvcỏcngthctrờnta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 0f nx f x n f x f n f x f - = + - + - - 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 0f nx n f x f x f n f ị = + + - - - .Kthpvingthc(2)ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 ,f nx nf x n f x = - - " ẻĂ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ,f nx nf x n f x ị = - - " ẻĂ (8) Trong(8)thay 2, 1n x = = tac: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 2 1 0 2 0 0 1 1 2 0 1f f f f f f f f f f f f = - - = - = - - ị - = - t ( ) ( ) ( ) 1 0 0a f f b f = - = .Khiúvimisnguyờndngnvtngthc (8)tac: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0f n nf n f an b = - - = + ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 0f n nf n f f a b n n n n ổ ử ổ ử ổ ử = - - ị = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 0f n nf n f f a b n n n n - ổ ử ổ ử ổ ử = - - - ị - = - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ Vimishut r ẻÔ luụnbiudindidng m r n = ,trongú * ,m n ẻ ẻ Ơ  nờn theongthc(8)vcỏcngtrờntac: ( ) ( ) ( ) 1 1 . 1 0 m f r f m mf n f a b ar b n n n ổ ử ổ ử = = - - = + = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ( ) f r ar b ị = + (9) Vimi xẻĂ ,tntidóyshut { } n x hitn x nờntngthc(9)vt ớnh liờ ntcca f suyra ( ) f x ax b = + .Thlithythamón. Bi1(IMO1988).Tỡmttccỏchm * * :f đ Ơ Ơ thamón ngt hc: ( ) ( ) ( ) f f m f n m n + = + , vimi * ,m nẻƠ . Ligii. Thay m n = vongthctrờntac ( ) ( ) 2 2f f n n = (1),vtngthc nytacú:nu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2f n f n f f n f f n n n n n = ị = ị = ị = haysuyra f lnỏnh. Tacú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1n n n n n f f n f n f f n f n = - + + = + ị - + + = + ,vdo f ln ỏnhnờn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 , 2f n f n f n n - + + = " (2). Tngthc(2)tacú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1f n f n f n f n f f a - - = - - - = = - = , suyra ( ) ( ) ( ) 1 1f n f n a an b = + - = + trongú ( ) 1b f a = - . Thay ( ) f n an b = + vophngtr ỡnhban utac 1, 0a b = = . Vy ( ) * ,f n n n = " ẻƠ . Nhnxột.Bngcỏchlmtngtbitrờntagi iccỏc bitpsau: 5 Bài2(Canada2008).Tìmtấtcảcáchàm số :f ® ¤ ¤ thỏamãn đẳngthức: ( ) ( ) ( ) 2 2f f x f y x y + = + , Vớimọi , .x y Τ Bài3 (MởrộngCanada2008).Tìmtấtcảcáchà msố :f + + ® ¤ ¤ thỏamãnđẳng thức: ( ) ( ) ( ) 2 2f f x f y x y + = + , Vớimọi , .x y + Τ Bài4 (BalkanMO2009).Kíhiệu * ¥ làtậphợpcácsốnguyêndương.Tìmtấtcả cáchàm * * :f ® ¥ ¥ thỏa mãn đẳngthức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2f f m f n m n + = + , Vớimọi * , .m nÎ¥ Lờigiải.Nếu * 1 2 ,m m Î¥ saocho ( ) ( ) 1 2 f m f m = Þ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2f f m f n f f m f n m n m n + = + Þ + = + , suy ra 1 2 m m = hay f làđơnánh. Dếthấyvớimọi * , 3n n Î ³ ¥ tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1n n n n + + - = - + + . Từđẳngthứckếthợpvớiphươngtr ình đãchotađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1f f n f n f f n f n + + - = - + + , do f làđơnánhnêntacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1f n f n f n f n + + - = - + + (1) Từđẳngthức(1)tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 . f n f n f n f n f n f n f f f a + - + + = + - + - = = - + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 f n f n f n f n a f n f n f n f n a f n f n f f a n f n f n f f a n Þ - - = - - - + - - - = - - - + Þ - - = - + - - - - = - + - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1f f f f - = - Cộngtừngvếcủacácđẳngthứctrênta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 a n n f n f n f f - - - = - - + (2) 6 Từđẳngthức(2)tasuyra ( ) 2 f n códạng: ( ) 2 2 .f n bn cn d = + + (3) Mặt khácphươngt rìnhban đầucho m n = tađược: ( ) ( ) 2 2 3 3f f n n = (4) Từ(3)và(4)tathuđược 1, 0b c d = = = .Vậy ( ) f n n = ,vớimọi * nÎ ¥ . Nhậnxét.Bằngcáchlàmtươngtựtagiảiđượcbàitoánsau: Bài5(HSGLớp10VĩnhPhúc2011).Kíhiệu ¥ chỉtậphợpcácsốtựnhiên.Giả sử :f ® ¥ ¥ làhàmsốthỏamãncácđiềukiện ( ) 1 0f > và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2f m n f m f n + = + , vớimọi ,m nÎ ¥ .Tínhcácgiátrịcủa ( ) 2f và ( ) 2011f . Bài6(IndonesiaTST2010).Xácđịnhtấtcả cácsốthực a saochocómộthàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn: ( ) ( ) ( ) ,x f y af y f x + = + vớimọi ,x y Ρ . Lờigiải. Dễthấynếu 0a = khôngthỏamãn.Dođó 0a ¹ ,thay 0y = vàođẳngthứctrênta được: ( ) ( ) ( ) 0x f f f x a + = (1) Từđẳngthức(1)suyra f làmộttoànánhnêntồntại x Ρ saocho ( ) 0f x = .Khi đótừphươngtr ìnhban đầutacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1x f y af y x a f y + = Û = - ,vớimọi y Ρ (2) Từđẳngthức(2)thìsẽxẩyra 1a = hoặc ( ) f y const º . +)Nếu ( ) f y const º thìkhôngthỏamãnphươngtrìnhban đầu. +)Nếu 1a = thì lấy ( ) f x x = ,vớimọi x Ρ thỏamãnbàitoán.Vậy 1a = . Bài7(MEMO2009).Tìmtấtcả cáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn đẳngthức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f xf y f f x f y yf x f x f y + + = + + , Vớimọi ,x y Ρ . Lờigiải +)Nếu ( ) 0f x = vớimọi x Ρ ,thửvàophươngtrình đãchota thấythỏamãn. 7 +)Nếutồntại a Ρ saocho ( ) 0f a ¹ .Khiđóvới 1 2 ,y y Î ¡ saocho ( ) ( ) 1 2 f y f y = , từphươngtrìnhtrênthay x bởia và y lầnlượtbởi 1 2 ,y y tađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 f af y f f a f y y f a f a f y + + = + + (1) và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f af y f f a f y y f a f a f y + + = + + (2). Từ(1)và(2)tađược ( ) ( ) 1 2 1 2 y f a y f a y y = Þ = .Vậy f làmộtđơnánh. Thay 0, 1x y = = vào phương trình ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1f f f f f f f + + = + , sửdụng f làđơ nánhtađược ( ) 0 0f = . Mặt khácthay 0y = vàphươngtrìnhvàsửdụng ( ) 0 0f = tađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0. 0 , f xf f f x f f x f x f f f x f x f x x x + + = + + Û = Û = " Î ¡ Vậy ( ) 0,f x x = " Ρ hoặc ( ) ,f x x x = " Ρ. Bài8(T11/407THTTtháng52011).Tìmtấtcảcáchàmsố f xácđịnhtrêntập ¡ ,lấygiátr ịtrong ¡ vàthỏamãnphươngtrình ( ) ( ) ( ) ( ) 2f x y f y f f x y + + = + , vớimọisốthực ,x y . Lờigiải. +)Cho 0y = tađược ( ) ( ) ( ) ( ) 0f f x f x f = + (1) +)Tachứngminh f làđơnánh.Thậtvậynếu 1 2 ,y y saocho ( ) ( ) 1 2 f y f y = (2). Từ(1)và(2)tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0f f y f f y f y f f y f = Þ + = + (3). Cho ( ) 0 ( )x f f y = - thayvàophươngtrìnhđãchotađược ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 (4) f f f y y f y f f f f y y f y f f f f f y y - + + = - + Û + = - + Từ(4)lầntha y y bởi 1 2 ,y y tađược ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 2 0 0 2 f y f f f f f y y f y f f f f f y y + = - + + = - + Từhaiđẳngthứcnàykếthợpvới(2)và(3)tađược 1 2 y y = . Vậy f làmộtđơ nánh. Dođótừ(1)tacó ( ) ( ) 0f x x f = + thửlạithấythỏamãn. Bài9(IRANTST2011).Tìm tấtcảcácsongánh : f ® ¡ ¡ saocho: 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2f x f x f y f x f y + + = + , Vimi ,x y ẻĂ .(42) Ligii. Do f lmttonỏnhnờnvimi xẻĂ tnti t ẻĂ saocho ( ) ( ) 2 x f x f t x + = - + . Khiúthayvop hngtrỡnhban utac: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0f x f x f t f t = + = (1) Thay 2x y t = = vophngtrỡnhhmban uvkthpvi (1)tac: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 4 0f t f t f t f t f t + + = = (2) T(1),(2)vdo f lnỏnhnờntacú: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 0 0 2 x f x f t f t t t t x f x x + = = = - + = = . Vy ( ) f x x = ,vimi x ẻĂ . Bi10.Xộtttccỏ chmnỏnh :f đ Ă Ă thamón iukin: ( ) ( ) 2f x f x x + = , vimi xẻĂ .Chngminhrnghms ( ) f x x + lmtsongỏnh.(19) Ligii. t ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x x f x g x x = + ị = - .Khiútphngtrỡnhban utac: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2g x f x x f x x g g x g x x + - + = - = . Doútacú ( ) ( ) ( ) 2 ,g g x g x x x - = " ẻĂ (1) +)Tachngminh g lnỏnh.Thtvyvi 1 2 ,x x ẻĂ saocho ( ) ( ) 1 2 g x g x = suyra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 g g x g x g g x g x x x - = - = hay g lnỏnh. +)Tachngminh g ltonỏnh.Thtvyvimi xẻĂ tacú: ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 2 2 2 f x f x f x f x f f ổ ử ổ ử = = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ vkthpvi f lmtnỏnhtathuc: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f x f x f x x f g ổ ử ổ ử = + = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ .ngthcnychngt g lmttonỏnh. Doú g lmtsong ỏ nhhay ( ) f x x + lmtsongỏnh. Bi11. Xộtttccỏchm , , :f g h đ Ă Ă saocho f lnỏnhv h lso ngỏnh thamón iukin ( ) ( ) ( ) f g x h x = ,vimi xẻĂ . Chngminhrng ( ) g x lmthmsongỏnh. 9 Lờigiải. +)Tachứng minh ( ) g x làđơnánh.Thậtvậyvới 1 2 ,x x Ρ saocho ( ) ( ) 1 2 g x g x = suyra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 f g x f g x h x h x x x = Û = Û = (do h làmộtsongánh).Từđó suyra g làmộtđơ nánh. +)Tachứngminh ( ) g x làtoànánh.Thậtvậyvớimọi xΡ vàdo h làmộtsong ánhnêntồntại y Ρ saocho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h y f g y x g y = = Þ = (do f làđơnánh).Từđósuyra g là mộttoàn ánh. Vậy ( ) g x làmộthàmsongánh. Bài12.Xéttấtcảcá chàm { } : 0f + ® ¡ U ¡ thỏamãn đồ ngthờihaiđiềukiệnsau: (i) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y + = + ,vớimọi { } , 0x y + Ρ U (ii)Sốphầntửcủatậphợp ( ) { } { } 0, 0x f x x + = Ρ U làhữuhạn. Chứngminhrằng f làmộthàmđơnánh.(25) Lờigiải. Bằngp hươngphápquynạptadễdàngchỉrađược ( ) ( ) { } * , , 0f nx nf x n x + = " Î " Î ¥ ¡ U (1) Thay 0x y = = vàophươngtrìnhban đầutađược ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0f f f f + = + Û = . Giảsử { } 1 2 , 0x x Ρ U saocho ( ) ( ) 1 2 f x f x = .Khôngmấttínhtổngquáttacóthểgiả sử 1 2 x x ³ .Khiđótheođiềukiện( i) tađược: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 0f x x f x f x f x x - + = Þ - = (2) Từ(1)và(2)tathuđược: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0f n x x nf x x - = - = ,vớimọi * nÎ ¥ .Từđókết hợpvớiđiềukiện(ii)tasuyra 1 2 x x = .Vậy f làmộthàmđơnánh. Bài13(ShortlistIMO2002).Tìmtất cảcác hàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện: ( ) ( ) ( ) ( ) 2f f x y x f f y x + = + - , vớimọi , .x yÎ ¡. Lờigiải. +)Tachứngminh f làtoànánh.Thậtvậy,tha y ( ) y f x = - vàophươngtrìnhban đầutađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2f x f f f x x f f f x x f x = + - - Û - - = - , suyra f làtoànánh. +)Do f làtoànánhnêntồntại aΡ saocho ( ) 0.f a = 10 +)Thay x a = vàophươngtr ìnhban đầutađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2f y a f f y a f f y a a f y a = + - Û - + = - (1) +)Do f làtoànánhnênvớimọi x Ρ tồntại y Ρ saocho ( ) x a f y + = .Dođótừ đẳngthức(1)tathuđược: ( ) ( ) ,x f x a f x x a x = + Û = - " Ρ .Thửlạitathấythỏa mãn điềukiện.Vậy ( ) .f x x a = - Bài14.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2f f x f y f x y f y + = + + , vớimọi ,x y Ρ .(17) Lờigiải. Với 1 2 ,y y Ρ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2f y f y f f x f y f f x f y = Þ + = + suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 f x y f y f x y f y y y + + = + + Þ = .Dođó f làmộtsongánh. Thay ( ) y f x = - vàophương trìnhban đầutađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f f x f f x f f x f x f f x f x + - = - Þ + - = - ( ) ( ) ( ) ,f f x f x x Þ - = - " Ρ (1) Thay ( ) x f y = - vàophươngtrìnhban đầutađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , y f f f y f y f f y y f y f f y f y y f y y - + = - + + Þ = - + + = " Ρ Suyra f làmộttoànánh. Dođóvớimọi xΡ thìtồntạit Ρ saocho ( ) x f t = .Từđẳngthức (1)tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ,f f t f t f x x x - = - Û - = - " Ρ .Vậ y ( ) ,f x x x = " Ρ . Bài14.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đồ ngthờicácđiề ukiệnsau: (i) ( ) ( ) ( ) f f x y x f y + = + ,vớimọi ,x y Ρ (ii)Vớ imọi x + Î ¡ tồntại y + Ρ saocho ( ) .f y x = (27) Lờigiải. Với 1 2 ,x x Ρ saocho ( ) ( ) 1 2 f x f x = nêntừđiềukiện(i)tađược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 f f x y f f x y x f y x f y x x + = + Þ + = + Þ = suyra f làđơnánh. Thay 0x y = = vàophươngtrình ởđiềukiện(i)tađược: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0.f f f f = Þ = (1) Thay 0y = vàophươngtrình ởđiềukiện(i)vàkếthợp với(1)ta được: [...]... Vy f ( x )= x, "x ẻ Ă Bi14(France1995).Chohms f :Ơ* đ Ơ* lmtsongỏnh.Chngminhrng tntibasnguyờndng a, b,c saocho a < b . = gọilàtậpảnhcủaf.Nóicáchkhác,tậpảnh ( ) f X làtậphợptấtcả các phẩntửcủaYmàcónghịchảnh. 2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 2.1. Định nghĩa. Ánh xạ :f X Y ® được gọilà đơn ánh nếuvới. . www.laisac.page.tl Đ Đ Ơ Ơ N N Á Á N N H H , , T T O O À À N N Á Á N N H H V V À À S S O O N N G G Á Á N N H H T T R R O O N N G G C C Á Á C C B B À À I I T T O O Á Á N N V V Ề Ề P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H H H À À M M TRẦNNGỌCTHẮNG 2 2.3. Định nghĩa. Ánh xạ :f X Y ® đượcgọilà song ánh nếunóvừalà đơn ánh vừalàtoàn ánh. Nhưvậy ánh xạ :f X Y ® là song ánh nếu và chỉnếuvớimỗi y Y Î ,tồntại và duynhấtmộtphầntử. suyra f là đơn ánh. Thay 0x y = = vào phương trình ởđiềukiện(i)tađược: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0.f f f f = Þ = (1) Thay 0y = vào phương trình ởđiềukiện(i) và kếthợp với(1)ta