Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi Giải phương trình sau: a) x -2 + 4- x = c) x + (1 - x )5 = b) x + x = x + Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x + x + = m b) 16 - x + + x - (2 - x )(2 + x ) = m + x + - x - (3 + x )(6 - x ) = m d) - x + + x - (7 - x )(2 + x ) = m Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x Ỵ R: c) a) x + x + > m b) m x + < x + m c) mx - x + m ³ Baøi Cho bất phương trình: x - x + x - + m < a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2] Bài Tìm m để bất phương trình sau: a) mx - x - £ m + có nghiệm b) (m + 2) x - m ³ x + có nghiệm x Ỵ [0; 2] c) m( x - x + 1) £ x + x + nghiệm với x Ỵ [0; 1] Trang 14 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: Điểm U ( x0 ; f ( x0 ) ) đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a; x0) (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị cịn khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Tính chất: · Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f¢¢(x0) = f¢¢(x) đổi dấu x qua x0 U ( x0 ; f ( x0 ) ) điểm uốn đồ thị hàm số · Đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) ln có điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Bài Tìm điểm uốn đồ thị hàm số sau: a) y = x - x + x + b) y = x - x - x + c) y = x - x + x4 - 2x2 + e) y = x - 12 x + 48 x + 10 f) y = x - x + x - Bài Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra: d) y = x3 + (m - 1) x + (m + 3) x - ; I(1; 3) 3 ỉ2 d) y = x - mx + nx - ; I ỗ ; -3 ữ ố3 ứ a) y = x - x + 3mx + 3m + ; I(1; 2) b) y = c) y = mx + nx + ; I(1; 4) x3 e) y = - + 3mx - ; I(1; 0) f) y = mx + 3mx + ; I(–1; 2) m Bài Tìm m để đồ thị hàm số sau có điểm uốn: x5 4 x + mx - - x + (4m + 3) x3 + x - b) y = x2 + Baøi Chứng minh đồ thị hàm số sau có điểm uốn thẳng hàng: a) y = a) y = d) y = g) y = 2x +1 x2 + x + 2x +1 x2 + x - 3x b) y = e) y = x +1 x2 + x x2 + x2 + 3x h) y = x2 - 3x + x2 + Bài Tìm m, n để đồ thị hàm số: c) y = f) y = i) y = x - 3x x2 + x2 + x + x2 - x +1 x3 x2 - x + a) y = x - x - x + mx + m - có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) x3 - x + mx + có điểm uốn đường thẳng y = x + 3 c) y = - x + mx + n có điểm uốn Ox b) y = - Trang 15 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: · Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim + f ( x ) = +¥ ; lim + f ( x ) = -¥ ; lim - f ( x ) = +¥ ; lim - f ( x ) = -¥ x® x0 x® x0 x® x0 x® x0 · Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) = y0 ; lim f ( x ) = y0 x đ+Ơ x ®-¥ · Đường thẳng y = ax + b, a ¹ đgl đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim x đ+Ơ [ f ( x ) - (ax + b)] = ; lim x đ-Ơ [ f ( x ) - (ax + b)] = Chú ý: a) Nếu y = f ( x ) = P( x ) hàm số phân thức hữu tỷ Q( x ) · Nếu Q(x) = có nghiệm x0 đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 · Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) đồ thị có tiệm cận ngang · Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + đồ thị có tiệm cận xiên b) Để xác định hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau: f ( x) ; a = lim b = lim [ f ( x ) - ax ] x đ+Ơ x x đ+Ơ hoc a = lim x đ-Ơ f ( x) ; x b = lim x đ-Ơ [ f ( x ) - ax ] Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: 2x - 10 x + b) y = x -1 1- 2x x - 4x + ( x - 2)2 d) y = e) y = x +1 1- x Baøi Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y = a) y = d) y = x x2 - x + x2 + 3x + b) y = 2+x - x2 x3 + x + e) y = x2 + x + x2 + Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: 4x + a) y = x - x b) y = x2 - Trang 16 2x + 2- x 7x2 + x + f) y = - 3x c) y = c) y = f) y = c) y = x2 + x + x2 - x4 - x + x3 - 1 x2 - 4x + Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số x -1 e) y = x - x x +1 Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: d) y = x f) y = x - 3x + x-2 e x - e- x c) y = ln( x - x + 6) x 2 -1 Baøi Tìm m để đồ thị hàm số sau có hai tiệm cận đứng: a) y = a) y = d) y = 2x + b) y = ln x + 2(2 m + 3) x + m - x -3 b) y = + x2 x + 2(m + 1) x + x -1 c) y = x +3 x + x +m-2 e) y = f) y = x + mx + m - x + 2(m + 2) x + m + x + 2(m - 1) x + m2 - Bài Tìm m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận xiên: x + (3m + 2) x + m - mx + (2 m + 1) x + m + a) y = b) y = x+5 x+2 Bài Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau chắn hai trục toạ độ: 3x2 + x + -3 x + x - x2 + x - b) y = c) y = a) y = x -1 x+2 x -3 Bài Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S ra: x + (2m - 1) x - m + x + mx - y= a) y = ;S=8 b) ;S=8 x +1 x -1 x + 2(2 m + 1) x + 4m - x + mx - c) y = ; S = 16 d) y = ;S=4 x +1 x -1 Baøi Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến hai tiệm cận số: a) y = x2 - x + x -1 b) y = x2 + 5x - x +3 Trang 17 c) y = x2 + x - x -3 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số · Tìm tập xác định hàm số · Xét biến thiên hàm số: + Tính y¢ + Tìm điểm đạo hàm y¢ khơng xác định + Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số · Vẽ đồ thị hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y¢¢ – Tìm điểm y¢¢ = xét dấu y¢¢ + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) : · Tập xác định D = R · Đồ thị ln có điểm uốn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng · Các dạng đồ thị: a>0 y’ = có nghiệm phân biệt y Û ’ = b2 – 3ac > a0 a x y x ax + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) : cx + d ì dü · Tập xác định D = R \ ớ- ý ợ cỵ Hm s nht biến y = d a tiệm cận ngang y = Giao điểm c c hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số · Các dạng đồ thị: · Đồ thị có tiệm cận đứng x = - y y 0 x ad – bc > x ad – bc < ax + bx + c (a.a ' ¹ 0, tử không chia hết cho mẫu) : a' x + b' ì b'ü · Tập xác nh D = R \ ớ- ý ợ a'ỵ Hàm số hữu tỷ y = · Đồ thị có tiệm cận đứng x = - b' tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm a' cận tâm đối xứng đồ thị hàm số · Các dạng đồ thị: a.a¢ > Trang 19 a.a¢ < Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng y¢ = có nghiệm phân biệt y y¢ = vơ nghiệm y x x Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y = x - x - x + b) y = x + x + x + x3 - x2 + 3 Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: d) y = ( x - 1)2 (4 - x ) a) y = x - x - e) y = b) y = x - x + d) y = ( x - 1)2 ( x + 1)2 e) y = - x + x + Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: x +1 2x +1 a) y = b) y = x -1 x +2 1- 2x 3x - d) y = e) y = 1+ 2x x -3 Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: x2 + x + a) y = x +1 x -1 Baøi Vẽ đồ thị hàm số: d) y = - x + + a) y = x - x + d) y = x +1 x -1 x2 + x + b) y = x -1 e) y = x2 1- x b) y = - x + x - e) y = x2 - x + x -1 Trang 20 c) y = - x + x - f) y = - x3 - x - x + x4 c) y = - 3x2 + 2 f) y = -2 x + x + 3- x x -4 x -2 f) y = 2x +1 c) y = x2 + x - c) y = x +1 f) y = x2 - 2x x +1 c) y = x - x - f) y = x2 + 3x + x+2 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) cắt trục hoành điểm phân biệt Û Phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt Û Hàm số y = ax + bx + cx + d có cực đại, cực tiểu yCĐ yCT < Bài Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số sau: ì x2 y=+ 3x ï ï 2 a) í x ïy = + ï 2 ỵ ì 2x - ïy = b) í x -1 ïy = - x2 + x + ỵ ì c) í y = x - x ỵy = - x + 2 ì ïy = x f) í x -1 ï y = -3 x + ỵ Bài Biện luận theo m số giao điểm đồ thị hàm số sau: ì x3 x2 ì + - 2x ïy = ì y = x3 - x - ïy = - x + 3x ï b) í c) í a) í ỉ y = m( x - 2) ợ ù y = m ỗ x + ö + 13 ï y = m( x - 3) ữ ợ ù ố ứ 12 î ìy = x - x + ï d) í ïy = x - î ì y = x - x + 10 x - ï e) í ïy = x - x + ỵ ì 2x +1 ïy = d) í x+2 ïy = x + m ỵ ì x +1 ïy = e) í x -1 ï y = -2 x + m ỵ ì ïy = x - x + f) í x+2 ïy = x - m ỵ ì ïy = - x + + g) í 1- x ï y = mx + ỵ ì ïy = x - 3x + h) í x -2 ï y = mx - m - î ì y = x3 - x + ï i) í ï y = m( x - 1) ỵ Bài Tìm m để đồ thị hàm số: ( x + 2)2 - ; y = mx + cắt hai điểm phân biệt x+2 x - 3x + m y= ; y = x + m cắt hai điểm phân biệt x -1 mx + x + m y= ; y = mx + cắt hai điểm có hồnh độ trái dấu x -1 x2 + x + y= ; y = mx + cắt hai điểm có hoành độ trái dấu x+2 ( x - 2)2 y= ; y = mx + cắt hai điểm thuộc hai nhánh khác 1- x a) y = b) c) d) e) Trang 21 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng mx + x + m cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ dương x -1 Bài Tìm m để đồ thị hàm số: f) y = a) y = x + x + mx + 2m; y = - x + cắt ba điểm phân biệt b) y = mx + 3mx - (1 - m) x - cắt trục hoành ba điểm phân biệt c) y = ( x - 1)( x - mx + m - 3) cắt trục hoành ba điểm phân biệt d) y = x + x - x + m - 1; y = x - x + cắt ba điểm phân biệt e) y = x + x - m2 x + 3m; y = x + cắt ba điểm phân biệt Bài Tìm m để đồ thị hàm số: a) y = x - x - 1; y = m cắt bốn điểm phân biệt b) y = x - m(m + 1) x + m3 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt c) y = x - (2m - 3) x + m2 - 3m cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt Bài Tìm m để đồ thị hàm số: 3x + a) y = ; y = x + m cắt hai điểm phân biệt A, B Khi tìm m để đoạn AB x-4 ngắn 4x -1 b) y = ; y = - x + m cắt hai điểm phân biệt A, B Khi tìm m để đoạn AB 2- x ngắn x2 - x + ; y = mx + - m cắt hai điểm phân biệt A, B Khi tính AB x -2 theo m Bài Tìm m để đồ thị hàm số: c) y = a) y = x - 3mx + mx - cắt trục hồnh ba điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng b) y = x - x - x + 1; y = x + m cắt ba điểm A, B, C với B trung điểm đoạn AC c) y = x - (2m + 4) x + m cắt trục hoành bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng d) y = x - (m + 1) x - (m - 1) x + m - cắt trục hồnh ba điểm có hồnh độ lập thành cấp số nhân e) y = x + (2m + 2) x + 9mx + 192 cắt trục hồnh ba điểm có hoành độ lập thành cấp số nhân Trang 22 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ · Cơ sở phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm phương trình (1) = Số giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) Nghiệm phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) · Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) đồ thị ta biến đổi (*) dạng sau: Dạng 1: F(x, m) = Û f(x) = m (1) y Khi (1) xem phương trình hồnh độ (C) c giao điểm hai đường: (d) m A c : y = m yCĐ (C): y = f(x) c d: y = m · d đường thẳng phương với trục hoành xA x · Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm yCT (C) d Từ suy số nghiệm (1) Dạng 2: F(x, m) = Û f(x) = g(m) (2) Thực tương tự trên, đặt g(m) = k Biện luận theo k, sau biện luận theo m F(x, m) = Û f(x) = kx + m (3) (k: không đổi) Khi (3) xem phương trình hồnh độ giao điểm hai đường: (C): y = f(x) d: y = kx + m · Vì d có hệ số góc k khơng đổi nên d phương với đường thẳng y = kx cắt trục tung điểm A(0; m) · Viết phương trình tiếp tuyến d1, d2, … (C) có hệ số góc k · Dựa vào tung độ gốc m, b1, b2, … d, d1, d2, … để biện luận y d1 Dạng 4: F(x, m) = Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4) Khi (4) xem phương trình y hồnh độ giao điểm hai đường: d3 (C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0 y0 M · d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0) d1 · Viết phương trình tiếp tuyến d1, d2, … (C) qua M0 · Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận y = kx d c b1 Dạng 3: d2 M1 O m A (C) x M2 b2 m = +¥ c M2 I m>0 (C) M (+) d m=0 (–) x0 IV m < x Chú ý: d2 · Nếu F(x, m) = có nghiệm thoả điều kiện: a £ x £ b ta vẽ đồ m =(C): y = f(x) với thị –¥ a £ x £ b · Nếu có đặt ẩn số phụ ta tìm điều kiện ẩn số phụ, sau biện luận theo m Trang 23 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) ta biến đổi (*) dạng trên, lưu ý y = f(x) hàm số khảo sát vẽ đồ thị Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: a) y = x - x + 1; x - x + - m = b) y = - x + x - 1; x - x + m + = c) y = x - x + 1; x - x - m - m - = d) y = - x + x - 1; x - x + m + = x4 e) y = + x + 2; x - x - + m = f) y = x - x + 2; x - x - m + = Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x2 - 5x + a) y = ; x - (m + 5) x + 3m + = x -3 2x - 4x + b) y = ; x - 2(m + 2) x - 3m + = 2x + x +1 ; (m - 1) x + x - = c) y = x x2 - 2x + ; d) y = x - 2(m + 1) x + 4(m + 1) = 2x - Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x2 ; 2x -1 x - 3x y= b) ; x -2 x2 + 3x + c) y = ; x+2 a) y = 2sin a + 2m cos a - m - = (0 £ a £ p ) cos 2a - (m + 3) cos a + m + = (0 £ a £ p ) cos2 a + (3 - m) cos a + - m = (0 £ a £ p ) d) y = x - x + 6; cos3 x - 3cos2 x + - m = Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x2 - 5x + ; 2t + (3m + 7)2 -t = m + x -3 x + x -1 b) y = ; 2t + (m - 1)2 -t = m - x -1 2 x - 5x + c) y = ; 2e2 t - (5 + m )et + + m = x -1 x2 - 5x + d) y = ; e2t - (5 + m)et + = x Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Từ đồ thị (C) suy đồ thị (T) Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm phương trình: a) y = a) (C ) : y = x - 3x + x - 3x + x2 - 3x + ; (T ) : y = ; - 2m = x -1 x -1 x -1 Trang 24 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số x2 - 5x + x2 - 5x + x2 - 5x + b) (C ) : y = ; (T ) : y = ; -m+2 = x x x c) (C ) : y = x - x + 6; (T ) : y = x - x + ; x - x + - m + = 3 d) (C ) : y = x - x + 12 x - 4; (T ) : y = x - x + 12 x - 4; x - x + 12 x + m = e) (C ) : y = ( x + 1)2 (2 - x ); (T ) : y = ( x + 1)2 - x ;( x + 1)2 - x = (m + 1)2 (2 - m ) x2 +1 x2 + ; (T ) : y = ; (m - 1) x + x - = x x x+2 Baøi Cho hàm số y = f ( x ) = x -1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng x - y = c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình: f) (C ) : y = x - (m + 2) x + m + = x +1 x -1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng x - y = c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: Baøi Cho hàm số y = f ( x ) = x - (m + 1) x + m + = x2 x -1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(0; 1) c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: Bài Cho hàm số y = f ( x ) = (1 - m ) x - (1 - m ) x + = VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm phương trình bậc ba đồ thị Cơ sở phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = (a ¹ 0) (1) Gọi (C) đồ thị hàm số bậc ba: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d Số nghiệm (1) = Số giao điểm (C) với trục hoành Dạng 1: Biện luận số nghiệm phương trình bậc · Trường hợp 1: (1) có nghiệm Û (C) Ox có điểm chung é f cực trị (h.1a) Û ê ì f có cực trị (h.1b) êí ê ỵ yCĐ yCT > ë y y (C) (C) yCĐ A x0 O (h.1a) A x0 x Trang 25 yCT x1 o x2 (h.1b) x Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng · Trường hợp 2: (1) có nghiệm Û (C) tiếp xúc với Ox ì f có cực trị Û í î yCÑ yCT = (h.2) y y (C) (C) yCĐ A x0 o yCĐ (H.2) A B x1 x'0 x B x2 x0 x1 x'0 o yCĐ C x"0 x (H.3) (yCT = f(x0) = 0) · Trường hợp 3: (1) có nghiệm phân biệt Û (C) cắt Ox điểm phân biệt ì f có cực trị Ûí (h.3) ỵ yCĐ yCT < Dạng 2: Phương trình bậc ba có nghiệm dấu · Trường hợp 1: (1) có nghiệm dương phân biệt Û (C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương ì f có cực trị ï y y < ï Û í CĐ CT ï xCĐ > 0, xCT > ï ỵa f (0) < (hay ad < 0) y y a>0 (C) yCĐ yCĐ o A yCT B x2 xA x1 xB a (hay ad > 0) a>0 y a