Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 27 Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: a) 32 23(1)620 xmxmx -++-= b) 32 33(1)130 xxmxm -+-++= c) 32 236(1)3120 xmxmxm -+ += d) 32 63(4)480 xxmxm +-= e) 32 23(1)6(2)20 xmxmxm +-+-+-= f) 3 320 xmxm -+= Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: a) 322 (1)(232)2(21)0 xmxmmxmm -+ ++-= b) 3 320 xmxm -+= c) 32 (21)(31)(1)0 xmxmxm -+++-+= d) 32 33(1)130 xxmxm -+-++= Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3222 33(1)(1)0 xmxmxm -+ = b) 32 63(4)480 xxmxm +-= c) 32 23(1)6(2)20 xmxmxm +-+-+-= d) 3 1 0 3 xxm -+= Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: a) 3222 33(1)(1)0 xmxmxm -+ = b) 32 63(4)480 xxmxm +-= c) 32 157 40 326 xxxm -+++= d) 32 (21)20 xmxmxm -++ = Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt: a) 32 23(1)6(2)20 xmxmxm +-+-+-= b) 3222 33(1)(1)0 xmxmxm -+ = c) 32 390 xxxm +-+= d) 32 1820 xxmxm -+-= Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 28 3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG. 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ( ) 000 ;() Mxfx . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ) 000 ;() Mxfx là: y – y 0 = f ¢(x 0 ).(x – x 0 ) (y 0 = f(x 0 )) 2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: ()() '()'() fxgx fxgx ì = í = î (*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 3. Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau Û phương trình 2 axbxcpxq ++=+ có nghiệm kép. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm ( ) 000 ; Mxy : · Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 ). Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0 . · Tính y ¢ = f ¢ (x). Suy ra y ¢ (x 0 ) = f ¢ (x 0 ). · Phương trình tiếp tuyến D là: y – y 0 = f ¢ (x 0 ).(x – x 0 ) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. · Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Tính f ¢ (x 0 ). · D có hệ số góc k Þ f ¢ (x 0 ) = k (1) · Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ). Từ đó viết phương trình của D . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. · Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m. · D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: () '() fxkxm fxk ì =+ í = î (*) · Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D . Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau: + D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tan a + D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a + D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1 a - + D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì tan 1 ka ka - = + a Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm (;) AA Axy . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. · Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y ¢ 0 = f ¢ (x 0 ). · Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y 0 = f ¢ (x 0 ).(x – x 0 ) · D đi qua (;) AA Axy nên: y A – y 0 = f ¢ (x 0 ).(x A – x 0 ) (2) · Giải phương trình (2), tìm được x 0 . Từ đó viết phương trình của D . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. · Phương trình đường thẳng D đi qua (;) AA Axy và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A ) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 29 · D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ()() '() AA fxkxxy fxk ì =-+ í = î (*) · Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D . Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): 32 371 yxxx = + tại A(0; 1) b) (C): 42 21 yxx =-+ tại B(1; 0) c) (C): 34 23 x y x + = - tại C(1; –7) d) (C): 2 1 21 yx x =+- - tại D(0; 3) Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): 2 33 2 xx y x -+ = - tại điểm A có x A = 4 b) (C): 3(2) 1 x y x - = - tại điểm B có y B = 4 c) (C): 1 2 x y x + = - tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. d) (C): 2 221 yxx =-+ tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. e) (C): 3 31 yxx =-+ tại điểm uốn của (C). f) (C): 42 19 2 44 yxx = tại các giao điểm của (C) với trục hoành. Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: a) (C): 32 2394 yxxx =-+- và d: 74 yx =+ . b) (C): 32 2394 yxxx =-+- và (P): 2 83 yxx =-+- . c) (C): 32 2394 yxxx =-+- và (C’): 32 467 yxxx =-+- . Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): 511 23 x y x + = - tại điểm A có x A = 2 . b) (C): 2 726 yxx =-+ tại điểm B có x B = 2. Baøi 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước: a) (C): 2 1 xm y x + = - tại điểm A có x A = 2 và S = 1 2 . b) (C): 3 2 xm y x - = + tại điểm B có x B = –1 và S = 9 2 . c) (C): 3 1(1) yxmx =+-+ tại điểm C có x C = 0 và S = 8. Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra: a) (C): yxx 32 235 =-+ ; k = 12 b) (C): 21 2 x y x - = - ; k = –3 c) (C): 2 34 1 xx y x -+ = - ; k = –1 d) (C): 2 43 yxx =-+ ; k = 2 Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước: Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 30 a) (C): 3 2 231 3 x yxx =-++ ; d: y = 3x + 2 b) (C): 21 2 x y x - = - ; d: 3 2 4 yx =-+ c) (C): 2 23 46 xx y x = + ; d: 250 xy +-= d) (C): 42 13 3 22 yxx =-+ ; d: y = –4x + 1 Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): 3 2 231 3 x yxx =-++ ; d: 2 8 x y =-+ b) (C): 21 2 x y x - = - ; d: yx = c) (C): 2 3 1 x y x + = + ; d: y = –3x d) (C): 2 1 2 xx y x +- = + ; d: x – 2 Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a: a) (C): 3 20 24;60 3 x yxx=-+-= a b) (C): 3 20 24;75 3 x yxx=-+-= a c) 0 32 ():;45 1 x Cy x - == - a Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a: a) (C): 3 20 24;:37;45 3 x yxxdyx=-+-=+= a b) (C): 3 20 1 24;:3;30 32 x yxxdyx=-+-=-+= a c) 0 43 ():;:3;45 1 x Cydyx x - === - a d) 0 37 ():;:;60 25 x Cydyx x - ==-= -+ a e) 2 0 3 ():;:1;60 2 xx Cydyx x -+ ==-+= - a Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): 2 (21)2 1 xmxm y x ++-+ = + tại điểm A có x A = 0 và d là tiệm cận xiên của (C). b) (C): 2 21 3 xmx y x +- = - ; tại điểm B có x B = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 . Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước: a) (C): 2 (31) (0) mxmm ym xm +-+ =¹ + tại điểm A có y A = 0 và d: 10 yx =- . Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra: a) (C): 3 32 yxx =-+- ; A(2; –4) b) (C): 3 31 yxx =-+ ; B(1; –6) c) (C): ( ) 2 2 2 yx =- ; C(0; 4) d) (C): 42 13 3 22 yxx =-+ ; 3 0; 2 D æö ç÷ èø e) (C): 2 2 x y x + = - ; E(–6; 5) f) (C): 34 1 x y x + = - ; F(2; 3) g) (C): 2 33 2 xx y x -+ = - ; G(1; 0) h) 2 2 1 xx y x -+ = - ; H(2; 2) Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 31 VN 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc 1. iu kin cn v hai ng (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x) tip xỳc nhau l h phng trỡnh sau cú nghim: ()() '()'() fxgx fxgx ỡ = ớ = ợ (*) Nghim ca h (*) l honh ca tip im ca hai ng ú. 2. Nu (C 1 ): y = px + q v (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thỡ (C 1 ) v (C 2 ) tip xỳc nhau phng trỡnh 2 axbxcpxq ++=+ cú nghim kộp. Baứi 1. Tỡm m hai ng (C 1 ), (C 2 ) tip xỳc nhau: a) 32 12 ():(3)2;(): CyxmxmxCtruùchoaứnh =++++ b) 32 12 ():2(1);(): CyxxmxmCtruùchoaứnh = + c) 3 12 ():(1)1;():1 CyxmxCyx =+++=+ d) 32 12 ():221;(): CyxxxCyxm =++-=+ Baứi 2. Tỡm m hai ng (C 1 ), (C 2 ) tip xỳc nhau: a) 422 12 ():21;():2 CyxxCymxm =++=+ b) 422 12 ():1;(): CyxxCyxm =-+-=-+ c) 422 12 19 ():2;(): 44 CyxxCyxm =-++=-+ d) 222 12 ():(1)(1);():2 CyxxCyxm =+-=+ e) 2 12 (21) ():;(): 1 mxm CyCyx x == - f) 2 2 12 1 ():;(): 1 xx CyCyxm x -+ ==+ - VN 3: Lp phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th (C 1 ): y = f(x) v C 2 ): y = g(x) 1. Gi D : y = ax + b l tip tuyn chung ca (C 1 ) v (C 2 ). u l honh tip im ca D v (C 1 ), v l honh tip im ca D v (C 2 ). ã D tip xỳc vi (C 1 ) v (C 2 ) khi v ch khi h sau cú nghim: ()(1) '()(2) ()(3) '()(4) fuaub fua gvavb gva ỡ =+ ù ù = ớ =+ ù = ù ợ ã T (2) v (4) ị f  (u) = g  (v) ị u = h(v) (5) ã Th a t (2) vo (1) ị b = j (u) (6) ã Th (2), (5), (6) vo (3) ị v ị a ị u ị b. T ú vit phng trỡnh ca D . 2. Nu (C 1 ) v (C 2 ) tip xỳc nhau ti im cú honh x 0 thỡ mt tip tuyn chung ca (C 1 ) v (C 2 ) cng l tip tuyn ca (C 1 ) (v (C 2 )) ti im ú. Baứi 1. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th: a) 22 12 ():56;():511 CyxxCyxx =-+=-+- b) 22 12 ():56;():14 CyxxCyxx =-+= Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 32 c) 23 12 ():56;():310 CyxxCyxx =-+=+- VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước · Gọi M(x 0 ; y 0 ) Î (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f ¢ (x 0 ). · Vì D // d nên f ¢ (x 0 ) = k d (1) hoặc D ^ d nên f ¢ (x 0 ) = 1 d k - (2) · Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 . Từ đó tìm được M(x 0 ; y 0 ) Î (C). Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): 2 36 1 xx y x ++ = + ; d: 1 3 yx = b) (C): 2 1 1 xx y x ++ = + ; d là tiệm cận xiên của (C) c) (C): 2 1 1 xx y x +- = - ; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). d) (C): 2 1 xx y x -+ = ; d: y = x Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho trước: a) (C): 32 10 yxxx =+++ ; d: 2 yx = b) (C): 2 1 xx y x -+ = ; d: y = –x VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x M ; y M ) Î d. · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M · D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: ()()(1) '()(2) MM fxkxxy fxk ì =-+ í = î · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f ¢ (x) + y M (3) · Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3) Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): a) 32 ():32 Cyxx =-+- b) 3 ():31 Cyxx =-+ Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): a) 1 (): 1 x Cy x + = - ; d là trục tung b) 2 2 (): 1 xx Cy x ++ = - ; d là trục hoành c) 2 2 (): 1 xx Cy x + = + ; d: y = 1 d) 2 33 (): 2 xx Cy x ++ = + ; d: x = 1 e) 3 (): 1 x Cy x + = - ; d: y = 2x + 1 Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 33 Baứi 3. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ớt nht mt tip tuyn vi (C): a) 2 69 (): 2 xx Cy x -+ = -+ ; d l trc tung b) 2 33 (): 1 xx Cy x ++ = + ; d l trc tung c) 21 (): 2 x Cy x + = - ; d: x = 3 d) 34 (): 43 x Cy x + = - ; d: y = 2 Baứi 4. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c hai tip tuyn vi (C): a) 2 2 (): 2 xx Cy x +- = + ; d l trc honh b) 2 1 (): 1 xx Cy x = + ; d l trc tung c) 2 33 (): 2 xx Cy x ++ = + ; d: y = 5 Baứi 5. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ba tip tuyn vi (C): a) 32 ():32 Cyxx =-+- ; d: y = 2 b) 3 ():3 Cyxx =- ; d: x = 2 c) 3 ():32 Cyxx =-++ ; d l trc honh d) 3 ():1212 Cyxx =-+ ; d: y = 4 e) 42 ():2 Cyxx = ; d l trc tung e) 42 ():21 Cyxx =-+- ; d l trc tung Baứi 6. T im A cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C): a) 32 ():9172 Cyxxx =-++ ; A(2; 5) b) 32 144 ():234;; 393 CyxxxA ổử =-++ ỗữ ốứ c) 32 ():235;(1;4) CyxxA =+ Baứi 7. T mt im bt kỡ trờn ng thng d cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C): a) 32 ():691 Cyxxx =-+- ; d: x = 2 b) 3 ():3 Cyxx =- ; d: x = 2 VN 6: Tỡm nhng im m t ú cú th v c 2 tip tuyn vi th (C): y = f(x) v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau Gi M(x M ; y M ). ã Phng trỡnh ng thng D qua M cú h s gúc k: y = k(x x M ) + y M ã D tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim: ()()(1) '()(2) MM fxkxxy fxk ỡ =-+ ớ = ợ ã Th k t (2) vo (1) ta c: f(x) = (x x M ).f  (x) + y M (3) ã Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3) cú 2 nghim phõn bit x 1 , x 2 . ã Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau f  (x 1 ).f  (x 2 ) = 1 T ú tỡm c M. Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tip im nm v hai phớa vi trc honh thỡ 12 (3)2 ().()0 coựnghieọmphaõnbieọt fxfx ỡ ớ < ợ Baứi 1. Chng minh rng t im A luụn k c hai tip tuyn vi (C) vuụng gúc vi nhau. Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ú: a) 2 1 ():231;0; 4 CyxxA ổử =-+- ỗữ ốứ b) 2 1 ():;(1;1) 1 xx CyA x ++ =- + c) 2 22 ():;(1;0) 1 xx CyA x ++ = + d) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 34 Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: a) 32 ():32 Cyxx =-+ ; d: y = –2 b) 32 ():3 Cyxx =+ ; d là trục hoành c) 2 21 (): 1 xx Cy x ++ = + ; d là trục tung d) 2 21 (): 1 xx Cy x -+ = - ; d là trục tung e) 2 32 (): xx Cy x -+ = ; d: x = 1 Baøi 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: a) 2 (): 2 xxm Cy xm -+- = + ; d: y = –1 b) 2 8 (): xmx Cy xm +- = - ; d là trục hoành c) 2 2 (): xmxm Cy xm -+ = + ; d là trục hoành Baøi 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành; a) 2 ():;(0;) 1 x CyAm x + = - b) VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến Baøi 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất. a) 21 (): 1 x Hy x - = - b) 1 (): 1 x Hy x + = - c) 45 (): 23 x Hy x - = -+ Baøi 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi. 2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất. a) 2 34 (): 22 xx Hy x -+ = - b) 2 33 (): 1 xx Hy x -+ = - c) 2 22 (): 1 xx Hy x ++ = + Baøi 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng S: a) 23 ():;8 mx HyS xm + == - Baøi 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B sao cho DOAB vuông cân: a) 2 1 (): 1 xx Hy x ++ = - b) 2 25 (): 2 xx Hy x + = + c) 2 33 (): 2 xx Hy x ++ = + Baøi 5. Cho (C): 2 21 1 xx y x -+ = - . Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 0 . Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 35 Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S cho trước: a) 1 ():;4 CyxS x =+= b) 3 11 ():; 2 x CyS x + == Kho sỏt hm s Trn S Tựng Trang 36 4. H TH Cho h ng (C m ): y = f(x, m) (m l tham s). M(x 0 ; y 0 ) ẻ (C m ) y 0 = f(x 0 , m) (1) Xem (1) l phng trỡnh theo n m. Tu theo s nghim ca (1) ta suy ra s th ca h (C m ) i qua M. ã Nu (1) nghim ỳng vi mi m thỡ mi th ca h (C m ) u i qua M. Khi ú, M c gi l im c nh ca h (C m ). ã Nu (1) cú n nghim phõn bit thỡ cú n th ca h (C m ) i qua M. ã Nu (1) vụ nghim thỡ khụng cú th no ca h (C m ) i qua M. VN 1: Tỡm im c nh ca h th (C m ): y = f(x, m) Cỏch 1: ã Gi M(x 0 ; y 0 ) l im c nh (nu cú) ca h (C m ). M(x 0 ; y 0 ) ẻ (C m ), " m y 0 = f(x 0 , m), " m (1) ã Bin i (1) v mt trong cỏc dng sau: ã Dng 1: (1) Am + B = 0, " m ã Dng 2: (1) 2 0 AmBmC ++= , " m 0 0 A B ỡ = ớ = ợ (2a) 0 0 0 A B C ỡ = ù = ớ ù = ợ (2b) ã Gii h (2a) hoc (2b) ta tỡm c to (x 0 ; y 0 ) ca im c nh. Chỳ ý: Cỏc h (2a), (2b) l cỏc h phng trỡnh cú 2 n x 0 , y 0 . Cỏch 2: ã Gi M(x 0 ; y 0 ) l im c nh (nu cú) ca h (C m ). M(x 0 ; y 0 ) ẻ (C m ), " m y 0 = f(x 0 , m), " m (1) ã t F(m) = f(x 0 , m) thỡ F(m) = y 0 khụng i. ị F  (m) = 0 (3) ã Gii (3) tỡm c x 0 . Thay x 0 vo (1) tỡm c y 0 . T úsuy ra c cỏc im c nh. Baứi 1. Tỡm cỏc im c nh ca h th (C m ) cú phng trỡnh sau: a) (1)21 ymxm = + b) 2 2(2)31 ymxmxm =+ + c) 32 (1)2(2)21 ymxmxmxm =+ ++ d) 2 (12)(31)52 ymxmxm = +- e) 32 99 yxmxxm =+ f) 3 (2)2 ymxmx = + g) 42 241 ymxxm = + h) 42 5 yxmxm =+ i) (1)2 (1,2) mx ymm xm =ạ-ạ- - k) 31 (2)4 xm y mxm +- = ++ l) 2 572 2 3 xmx ym mx ổử -+ =ạ ỗữ - ốứ m) 2 2(2) (0) 2 xmxm ym xm -+++ =ạ - n) 2 2 (1) 221 xmxm y xmxm +-+ = +++ o) 2 2 264 2(52)6 xxm y xmx ++ = +++ Baứi 2. Chng minh rng h th (C m ) cú 3 im c nh thng hng. Vit phng trỡnh ng thng i qua 3 im c nh ú: a) 32 (3)3(3)(61)1 ymxmxmxm =+-+-+++ b) 32 (2)3(2)421 ymxmxxm =+-+-+- c) 32 (4)(624)12718 ymxmxmxm = +- [...]... m b) y = c) y = mx 2 + 2(1 - m ) x + 1 + m (m ạ 0) d) y = x 2 - m 3 x + m 2 - 2 e) y = 2 x3 + 3mx 2 - m 3 - 5m 2 - 4 f) y = mx 3 - m 2 x 2 - 4 mx + 4 m 2 - 6 m2 + m + 1 x+ m2 + m + 1 (3m + 1) x - m 2 + m (m - 2) x - m 2 + 2 m - 4 h) y = x+m x -m x 2 + mx + 8 - m x 2 - 2 mx + m + 2 i) y = k) y = x -1 x-m 2 2 x + mx - 2m + 4 x + (3m - 1) x - 10 l) y = m) y = 2 x + 2x + 5 x 2 - 3x + 2 Baứi 2 Tỡm cỏc im... y = - x 2 + mx - m 2 ; k = 2 x-m c) (Cm): xy - 2my - 2mx + m 2 x - 4 m = 0 ; k = 1 Baứi 2 Tỡm cỏc im thuc (L) sao cho cú ỳng k th ca h (Cm) i qua: a) (Cm): y = x 3 + (m 2 + 1) x 2 - 4 m ; (L): x = 2; k = 1 b) (Cm): y = x 3 + (m 2 + 1) x 2 - 4 m ; (L): x = 2; k = 2 c) (Cm): y = x 3 + (m 2 + 1) x 2 - 4 m ; (L): x = 2; k = 3 Baứi 3 Chng minh rng cỏc im thuc (L) cú ỳng k th ca h (Cm) i qua: mx 2 - (m... im c bit ca h th ó cho a) (Pm): y = 2 x 2 - (m - 2) x + 2m - 4 Tỡm tp hp cỏc nh ca (Pm) b) (Cm): y = x 3 - 3mx 2 + 2 x - 3m - 1 Tỡm tp hp cỏc im un ca (Cm) c) (Cm): y = 2 x3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 Tỡm tp hp cỏc im cc i ca (Cm) (m - 1) x + 1 Tỡm tp hp cỏc tõm i xng ca (Hm) mx - 1 2 x 2 - 3mx + 5m e) (Hm): y = Tỡm tp hp cỏc im cc i ca (Hm) x -2 Baứi 2 Cho (C) v (CÂ) Tỡm tp hp trung im... = 3 Baứi 3 Chng minh rng cỏc im thuc (L) cú ỳng k th ca h (Cm) i qua: mx 2 - (m 2 + m - 1) x + m 2 - m + 2 ; (L): x > 1; k = 2 x-m (m + 1) x 2 - m 2 b) (Cm): y = ; (L): x > 0; k = 2 x-m a) (Cm): y = c) (Cm): y = x 4 - 2 mx 2 + m 2 + 1 ; (L): y = 1; k = 1 d) (Cm): y = x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m3 - 3m + 2) x + 2 m(2m - 1) ; (L): x = 1, y > 2; k = 2 Trang 38 Trn S Tựng Kho sỏt hm s 5 TP HP IM Bi toỏn: Tỡm... 10 l) y = m) y = 2 x + 2x + 5 x 2 - 3x + 2 Baứi 2 Tỡm cỏc im thuc (L) m khụng cú th no ca h (Cm) i qua: g) y = a) (Cm): y = mx 3 - m 2 x 2 - 4 mx + 4 m 2 - 6 ; (L) l trc honh b) (Cm): y = 2 x 3 - 3(m + 3) x 2 + 18mx + 6 ; (L): y = x 2 + 14 c) (Cm): y = x 2 - mx + m 2 - m + 1 ; (L) l trc tung mx + m 2 + m + 1 (m + 1) x 2 + m 2 x + 1 d) (Cm): y = ; (L): x = 2 x+m m2 x 2 + 1 e) (Cm): y = ; (L): y =... B 2) Tỡm tp hp cỏc trung im I ca on thng AB d) (Hm): y = a) (C): y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 v (C): y = x 3 + 2 x 2 + 7 b) (C): y = x 2 - mx + 3 v (CÂ): y = mx + 2 x -1 v (CÂ): 2 x - y + m = 0 x +1 ( x - 2)2 d) (C): y = v (CÂ) l ng thng i qua A(0; 3) v cú h s gúc m 1- x c) (C): y = Trang 39 ... (m + 1) x3 - (2 m + 1) x - m + 1 VN 2: Tỡm im m khụng cú th no ca h th (Cm): y = f(x, m) i qua ã Gi M(x0; y0) l im m khụng cú th no ca h (Cm) i qua M(x0; y0) ẽ (Cm), "m y0 = f(x0, m) vụ nghim m (1) ã Bin i (1) v mt trong cỏc dng sau: ỡA = 0 ã Dng 1: (1) Am + B = 0 vụ nghim m ớ (2a) ợB ạ 0 ộỡ A = B = 0 ờ ớC ạ 0 (2b) ã Dng 2: (1) Am 2 + Bm + C = 0 vụ nghim m ờ ợ ờỡ A ạ 0 ờ ớ B2 - 4 AC < 0 ởợ... x = f (m) Trng hp 3: M ớ ợ y = b (haống soỏ ) Khi ú im M nm trờn ng thng y = b 3) Gii hn qu tớch: Da vo iu kin (nu cú) ca m ( bc 1), ta tỡm c iu kin ca x hoc y tn ti im M(x; y) ú l gii hn ca qu tớch 4) Kt lun: Tp hp cỏc im M cú phng trỡnh F(x, y) = 0 (hoc x = a, hoc y = b) vi iu kin ca x hoc y ( bc 3) Dng 2: Trong trng hp ta khụng th tớnh c to ca im M theo tham s m m ch thit lp c mt h thc cha to . a) (C): 32 23 94 yxxx =-+ - và d: 74 yx =+ . b) (C): 32 23 94 yxxx =-+ - và (P): 2 83 yxx =-+ - . c) (C): 32 23 94 yxxx =-+ - và (C’): 32 46 7 yxxx =-+ - . Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn. nhau: a) 42 2 12 ():21;():2 CyxxCymxm =++=+ b) 42 2 12 ():1;(): CyxxCyxm =-+ - =-+ c) 42 2 12 19 ():2;(): 44 CyxxCyxm =-+ + =-+ d) 222 12 ():(1)(1);():2 CyxxCyxm = +-= + e) 2 12 (21) ():;(): 1 mxm CyCyx x . a) (C): 3 20 24; :37 ;45 3 x yxxdyx =-+ -= += a b) (C): 3 20 1 24; :3;30 32 x yxxdyx =-+ - =-+ = a c) 0 43 ():;:3 ;45 1 x Cydyx x - === - a d) 0 37 ():;:;60 25 x Cydyx x - = =-= -+ a e) 2 0 3 ():;:1;60 2 xx Cydyx x -+ = =-+ = - a