Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành TÀI LIỆU ÔN TẬP TÚ TÀI (phần lý thuyết) c B iê n so ạn : H P hạ m T nh N gô n Tài liệu ôn tập tú tài soạn cho học sinh lớp 12, chủ yếu tóm tắt lý thuyết tổng hợp phương pháp giải toán dạng toán thường gặp Composed with TEXMaker on MiKTEX version 2.7 c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Phương trình - Bất phương trình Bất phương trình bậc ax + b > 0(< 0, 0, 0) với a = Cách giải: Biến đổi ax + b > ⇐⇒ ax > −b Sau chia hai vế cho a (chú ý đổi chiều bất pt a < 0) Bảng xét dấu nhị thức bậc −b/a ax + b trái dấu a +∞ dấu a 0, 0) (a = 0) N Bất pt bậc hai ax2 + bx + c > 0(< 0, n −∞ gô x nh Cách giải: Lập bảng xét dấu vào chiều bất pt để lấy tập nghiệm Ta có trường hợp sau đây: a Biệt thức ∆ > x1 ax2 + bx + c dấu a trái dấu a b Biệt thức ∆ = dấu a c Biệt thức ∆ < so ạn : −∞ ax2 + bx + c +∞ dấu a b 2a +∞ dấu a ax2 + bx + c x − −∞ H x x2 T −∞ P hạ m x +∞ dấu a iê n Chú ý: Cho f (x) = ax2 + bx + c Nếu hệ số a có chứa tham số (m) ta phải xét trường hợp a = c B Với a = 0, ta có trường hợp sau:  a > f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆  a > f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ <  a < f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆  a > f (x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Ngồi ta cịn có điều kiện hẹp mạnh Với a > f (x) = ax2 + bx + c Với a < f (x) = ax2 + bx + c 0 S b = − ∈ (α, β) ([α, β]) / 2a (khơng cần biết dấu a) nh S b = − ∈ (α, β) ([α, β]) / 2a T  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) 0 P hạ m f (x) = ax2 + bx + c n  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) gô f (x) = ax2 + bx + c Với N Với  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β)  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) (không cần biết dấu a) Phương trình, bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Các dạng thường gặp |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B so ạn : H Cách giải chung: Lập bảng xét dấu cho biểu thức nằm dấu trị tuyệt đối để khử dấu trị tuyệt đối Trong ta lưu ý: • |A| = |B| ⇔ A2 = B ⇔ A=B A = −B c B iê n • |A| > |B| ⇔ A2 > B ⇔ A2 − B > ⇔ (A − B)(A + B) >  B     B ⇔ • |A| = B ⇔ A=B  A2 = B    A = −B • |A| < B ⇔ −B < A < B • |A| > B ⇔ Chú ý: |A| = A>B A < −B A A −A A Phương trình, bất phương trình chứa thức Cách giải chung: Đặt điều kiện cho thức có nghĩa, sau bình phương (nâng lũy thừa) để khử thức Trong ta lưu ý: c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ơn tập • • • √ √ √ A= THPT Trần Văn Thành √ A=B⇔ A> √ A B A=B B⇔ B A = B2 B⇔ B A>B P hạ m Chú ý: √ A có nghĩa A T nh N gô n   B <     A √ • A>B⇔     B  A > B  B    √ • A hay < 0) để kết luận • Đạo hàm: y = (cx + d)2 cho y , từ lập bảng biến thiên, nêu rõ làm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số • Tìm thêm điểm đặc biệt Chú ý đến giao điểm đồ thị với trục tọa độ Hàm hữu tỷ bậc bậc y = c Hồ Phạm Thanh Ngôn ax2 + bx + c (dành cho chương trình nâng cao) dx + e Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành • TXĐ: D = R \ − e d • Tiệm cận: M Chia tử cho mẫu y ta viết lại y dạng: y = Ax + B + dx + e e Khi đó: Tiệm cận đứng x = − Tiệm cận xiên y = Ax + B d • Đạo hàm: y = a b a c b c x2 + x+ d e d e (dx + e)2 = adx2 + 2aex + be − cd (dx + e)2 gô n • Giải y = ⇔ adx2 + 2aex + be − cd = Từ lập bảng bthiên nêu rõ cực trị có nêu rõ làm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số c B iê n so ạn : H P hạ m T nh N • Cho thêm điểm đặc biệt vẽ đồ thị c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Một số toán liên quan đến việc khảo sát hàm số (C) : y = f (x) Đồng biến - nghịch biến a Hàm số y = f (x) đồng biến miền D ⇔ y 0, ∀x ∈ D b Hàm số y = f (x) nghịch biến miền D ⇔ y 0, ∀x ∈ D (y = hữu hạn giá trị x.) Chú ý: Đối với hàm y = n biến) ax + b ta buộc điều kiện y > (đồng biến) y < (nghịch cx + d gô Cực trị N a Điều kiện chung: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm x = x0 nh • y = f (x) có cực trị ⇐⇒ y đổi dấu P hạ m T • y = f (x) có cực trị x0 ⇒ f (x0 ) = (phải thử lại)  f (x ) = 0 • y = f (x) có cực đại x0 ⇔ f (x0 ) <  f (x ) = 0 • y = f (x) có cực tiểu x0 ⇔ f (x0 ) > b Điều kiện cụ thể hai cực trị CĐ CT ⇔ y = có hai H • Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có nghiệm phân biệt ax2 + bx + c có dx + e so ạn : • Hàm số y = hai cực trị CĐ CT ⇔ y = có hai nghiệm phân biệt iê n thuộc tập xác định ax + b • Hàm số y = khơng có cực trị cx + d • Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực trị a.b > 0, có cực trị a.b < c B c Đường thẳng qua điểm cực trị Khi hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có hai cực trị, viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị đó? • Chia đa thức y cho y ta được: y = (Ax + B).y + mx + n  y (x ) = 0 • Gọi (x0 , y0 ) điểm cực trị ta có: y(x0 ) = (Ax0 + B).y (x0 ) + mx0 + n ⇒ y(x0 ) = mx0 + n Vậy phương trình đường thẳng qua cực trị y = mx + n 2 sử dụng phải trình bày phần chứng minh lại c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành ax2 + bx + c có hai cực trị, viết phương trình đường dx + e thẳng qua hai cực trị đó? u(x) u (x).v(x) − v (x).u(x) • Đặt y = , ta có y = v(x) v (x) • Do y đạt cực trị x = x0 nên d Khi hàm hữu tỷ y = y (x0 ) = ⇔ u(x0 ) u (x0 ) 2ax0 + b u (x0 ).v(x0 ) − v (x0 ).u(x0 ) =0⇔ = = v (x0 ) v(x0 ) v (x0 ) d 2ax0 + b d 2ax + b Vậy phương trình đường thẳng qua cực trị y(x) = d Chú ý: Nếu tìm cụ thể điểm cực trị A(xA , yA ) B(xB , yB ) đường thẳng qua cực trị A B đường thẳng AB nh N gô n ⇒ y(x0 ) = Giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hàm số y = f (x), tìm giá trị lớn nhỏ hàm số miền D T a Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhỏ y = f (x) đoạn [a, b] P hạ m • Tính y giải y = tìm nghiệm Giả sử có nghiệm x1 , x2 ∈ [a, b] • Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ) so sánh để kết luận b Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhỏ y = f (x) khoảng (a, b), nửa khoảng [a, b), nửa khoảng (a, b] H • Tính y lập bảng biến thiên miền xác định tương ứng (là (a, b), [a, b) hay (a, b]) so ạn : • Căn vào bảng biến thiên để kết luận c Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhỏ y = f (x) (đề khơng nói thêm) • Tìm tập xác định hàm số • Tính đạo hàm y lập bảng biến thiên hàm số để kết luận iê n Tìm giao điểm hai đồ thị B a Cho y = f (x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C ), tìm giao điểm (C) (C )? c • Hồnh độ giao điểm (C) (C ) nghiệm pt: f (x) = g(x) (*) • Số giao điểm (C) (C ) số nghiệm (*)  f (x) = g(x) b (C) (C ) tiếp xúc ⇔ Hệ có nghiệm f (x) = g (x) Phương trình tiếp tuyến hàm số y = f (x) có đồ thị (C) a Phương trình tiếp tuyến M0 (x0 , y0 ) ∈ (C) (biết tọa độ tiếp điểm) Phương trình có dạng: sử dụng phải trình bày phần chứng minh lại c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành y = f (x0 ).(x − x0 ) + y0 (f (x0 ) hệ số góc tiếp tuyến; f (x0 ) đơi viết y (x0 )) b Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k cho trước • Gọi (x0 , y0 ) tọa độ tiếp điểm • Giải f (x0 ) = k tìm x0 , thay x0 vào (C) có y0 = f (x0 ) ⇒ có tọa độ tiếp điểm Chú ý: N gơ n Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b f (x0 ) = a; tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b f (x0 ) = − a c Phương trình tiếp tuyến qua (kẻ từ) M1 (x1 , y1 ) y = k.(x − x1 ) + y1  f (x) = k.(x − x ) + y f (x) = k ⇒ tìm k T • Dùng điều kiện tiếp xúc nh • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M1 (x1 , y1 ) & có hệ số góc k là: P hạ m Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Cho phương trình F (x, m) = (x : ẩn, m : tham số) Biện luận theo m số nghiệm pt H • Viết pt cho dạng f (x) = g(m) (*), f (x) hàm có đồ thị vẽ (1 dạng) (thường vẽ), y = g(m) đường thẳng song song Ox so ạn : • Số nghiệm (*) số giao điểm hai đồ thị : (C) : y = f (x) đường thẳng y = g(m) Tương quan (giao điểm) đồ thị hàm số bậc với trục tọa độ (Ox Oy) n Cho y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C) Khi c B iê a (C) cắt trục hoành Ox điểm phân biệt y có cực trị hai giá trị cực trị trái dấu • Bước 1: Tính y , xét pt bậc y = có nghiệm phân biệt x1 , x2 (chỉ xét điều kiện ∆ > 0, khơng tính cụ thể x1 , x2 ) • Bước 2: Chia đa thức y cho y ta y = (Ax + B).y + kx + h  y(x ) = kx + h 1 Khi y(x2 ) = kx2 + h Hai giá trị cực trị trái dấu y(x1 ).y(x2 ) < ⇔ (kx1 + h)(kx2 + h) < ⇔ k x1 x2 + kh(x1 + x2 ) < (∗) c b Áp dụng Viét x1 x2 = ; x1 + x2 = − , thay vào (∗) a a c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành b (C) cắt trục Ox điểm hai giá trị cực trị dấu (y(x1 ).y(x2 ) > 0) y rơi vào trường hợp :vô nghiệm/nghiệm kép ⇒ ∆ Chú ý: • Hai cực trị nằm hai phía so với trục Oy x1 x2 < • Hai cực trị nằm phía so với trục Oy x1 x2 > • Hai cực trị nằm hai phía so với trục O y(x1 ).y(x2 ) < • Hai cực trị nằm phía so với trục O y(x1 ).y(x2 ) > N gơ n • Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = có nghiệm dễ tìm (nghiệm hữu tỷ) ta nên xét số nghiệm phương trình để suy số giao điểm (C) trục hoành Ox nh Khoảng cách Cho M (xM , yM ), N (xN , yN ), P (x0 , y0 ) đường thẳng ∆ : Ax + By + C = Khi đó: (xN − xM )2 + (yN − yM )2 |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B P hạ m d(P, ∆) = T MN = Chú ý: • Khoảng cách từ M (x0 , y0 ) đến trục hồnh |y0 | • Khoảng cách từ M (x0 , y0 ) đến trục tung |x0 | H Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f (x) cho A, B đối xứng qua ∆ : y = ax+b f (x) = − x + m a n so ạn : • Gọi d đường thẳng vng góc với ∆, d có dạng: y = − x + m a • Giao điểm d (C) A, B có hồnh độ nghiệm phương trình: iê • Ta lập luận tìm điều kiện tồn A B c B • Gọi I trung điểm AB, tính đối xứng nên ta có I ∈ ∆, từ tìm m suy tọa độ A, B ∆ (C) : y = f (x) A I B d c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 10 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ ∆   đi qua A đi qua B Giả sử d1 : d2 : có véctơ phương a có véctơ phương b Khi ta xét theo sơ đồ sau: d1 ≡ d2 =0 d1 //d2 =0 nh N =0 gô n − → Tính [a, AB] =0 =0 P hạ m − → Tính [a, b].AB T Tính [a, b] =0 d1 cắt d2 d1 chéo d2 so ạn : H Chú ý: Để tìm giao điểm hai đường thẳng biết rõ chúng cắt ta giải hệ gồm phương trình ∆ ∆ Trước hết cần đưa ∆, ∆ dạng: tham số tắc   x = x + a t x = x + at       • Nếu ∆ : y = y0 + bt    z = z0 + ct (t ∈ R) ∆ : y = y0 + b t    z = z + c t (t ∈ R) c B iê n Ta giải hệ sau (bằng cách rút t theo t từ phương trình, sau vào phương trình cịn lại giải hệ pt hai ẩn t, t ):  x + at = x + a t    y + bt = y0 + b t    z0 + ct = z + c t (t, t ∈ R) Khi hệ có nghiệm t, t ; t vào ∆ t vào ∆ tính x, y, z Ta kết luận ∆ cắt ∆ A(x, y, z) x − x0 y − y0 z − z0 x − x0 y − y0 z − z0 • Nếu ∆ : = = ∆ : = = a b c a b c Ta tuyển từ dấu = hệ ptrình ẩn số x, y, z, giải hệ (thường dùng máy tính) giá trị x, y, z kết luận c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 32 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x = x + at    Giả sử cho đường thẳng ∆ : y = y0 + bt    z = z0 + ct (t ∈ R) cho mp α : Ax+By+Cz+D = Thế ∆ vào α: A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = (∗) n • Nếu (*) có nghiệm t = t0 , ta t = t0 vào ∆, tính x, y, z Khi ta kết luận ∆ cắt α M (x, y, z) gơ • Nếu (*) vơ số nghiệm ta kết luận ∆ nằm α N • Nếu (*) vơ nghiệm ta kết luận ∆ song song α nh Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên mp α T Giả sử cho điểm M (x0 , y0 , z0 ) mp α : Ax + By + Cz + D = Để tìm h.chiếu vgóc M lên α ta làm theo bước sau đây: P hạ m • Viết pt đường thẳng d qua M d⊥α Khi d nhận nα = (A, B, C) làm VTCP (tức ad = nα ) nên d có dạng:  x = x + At    y = y0 + Bt    z = z0 + Ct H d: so ạn : • Tìm giao điểm I d α Khi I hình chiếu M lên α  d Giải hệ tìm tọa độ I α d ∆ M (x0 , y0 , z0 ) c B iê n M (x0 , y0 , z0 ) d I α I α Chú ý: Nếu yêu cầu tìm hình chiếu M lên α theo phương đường thẳng ∆ cho trước ta viết pt đường thẳng d qua M song song với ∆ (khi ad = a∆ ) Tìm điểm đối xứng M M qua mp α c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 33 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành • Tìm hình chiếu vng góc I M lên α (xem lại mục 3) • Gọi M điểm đối xứng M qua α I trung điểm M M , ta có x + x  M  M x = 2x − x = xI M I M =⇒ =⇒ M yM + yM  yM = 2yI − yM = yI d gô n M (x0 , y0 , z0 ) N I nh α M P hạ m T Tìm hình chiếu vng góc M (x0 , y0 , z0 ) lên đường thẳng d có VTCP ad = (a, b, c) H • Viết pt mp α qua M α⊥d, nα = ad =⇒ α : a(x−x0 )+b(y−y0 )+c(z−z0 ) =  d • Gọi M hình chiếu M lên d M = d ∩ α Giải hệ tìm M α so ạn : d M c B iê α n M Tìm điểm đối xứng M M qua đường thẳng d • Tìm hình chiếu vng góc M M lên d (xem lại mục 5) • Gọi M điểm đối xứng M qua d M trung điểm M M c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 34 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành d M M M n α gơ Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mp α N a Cách 1: nh • Lấy điểm phân biệt A, B ∈ d • Lần lượt tìm hình chiếu vng góc A, B lên mp α hai điểm A , B (xem lại mục 3) ∆ H b Cách 2: B A α P hạ m T • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A , B Khi ∆ hình chiếu d lên α B d A so ạn : • Viết pt mp (β) chứa đường thẳng d vng góc với mp α Khi VTPT β nβ = [ad , nα ] • Hình chiếu d lên α giao tuyến β α Gọi hình chiếu d n • Viết dạng tham số d B iê Viết phương trình hình chiếu song song d đường thẳng d lên mp α theo phương đường thẳng ∆ c • Lấy điểm phân biệt A, B ∈ d • Lần lượt tìm hình chiếu song song A, B theo phương ∆ lên mp α Cách làm sau: – Viết phương trình đường thẳng d1 qua A song song với ∆ (ad1 = a∆ ) – Viết phương trình đường thẳng d2 qua B song song với ∆ (ad2 = a∆ ) – Tìm A = d1 ∩ α B = d2 ∩ α A , B hình chiếu song song A, B theo phương ∆ lên α • Viết phương trình đường thẳng d qua A , B d hình chiếu song song theo phương ∆ lên mp α c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 35 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành d2 d1 ∆ B A A α d d B gô n Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d d t, t T • Có t, t , trở lại d, d tìm tọa độ M, M nh N • Lấy M ∈ d, M ∈ d Sau biễu diễn tọa độ M theo t, M theo t với t, t tham số pt d, d   −→ −→ − − ⊥a − − a = MM MM d d • Buộc điều kiện − − ⇔ −− −→ xem t, t ẩn, giải tìm −→ −→ M M ⊥ad M M ad = d d P hạ m • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M, M ∆ đường vng góc chung d d ad so ạn : H M ∆ iê n ad M c B 10 Cho d, d chéo điểm A không nằm d d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A đồng thời cắt d d • Lấy M ∈ d, M ∈ d Sau biễu diễn tọa độ M theo t, M theo t với t, t tham số pt d, d −→ − −→ − • Buộc điều kiện AM phương AM −→ xem t, t ẩn, giải tìm t, t Chú ý: Khi giải hai giá trị t hai giá trị t Phải thử lại để loại giá trị cho kết điểm M M trùng điểm A c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 36 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành d d M A M gơ n ∆ N HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Quan hệ song song nh a Hai đường thẳng song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung b Đường thẳng d song song với mp (P ) d không nằm (P ) d song song với đường thẳng a nằm (P ) (P ) & d//a ⊂ (P ) T d//(P ) ⇐⇒ d P hạ m c Hai mặt phẳng (P ) (Q) song song tồn (P ) hai đường thẳng cắt a, b, tồn (Q) hai đường thẳng a , b cắt nhau, đồng thời thỏa mãn a//a , b//b  a//a , b//b , a cắt b    ⇒ (P )//(Q) H a cắt b    a, b ⊂ (P ); a , b ⊂ (Q) so ạn : Quan hệ vng góc a Hai đường thẳng d d vng góc góc chúng 900 c B iê n b Đường thẳng d vng góc với mp (P ) d vng góc với hai đường thẳng a b cắt nằm (P )  d⊥a, d⊥b    a cắt b    a, b nằm (P ) ⇒ d⊥(P ) Tính chất: • Đường thẳng a vng góc với mp (P ) a vng góc với đường thẳng nằm (P ) a⊥(P ) ⇒ a⊥d, ∀d ⊂ (P ) • (Định lý đường vng góc) Cho đường thẳng a có hình chiếu mp (Q) đường thẳng a Khi đó, đường thẳng b nằm mp (Q) vng góc với a b vng góc với a Tức là: a⊥b ⊂ (Q) ⇐⇒ a ⊥b c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 37 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành c Hai mp (P ) (Q) vng góc với mp có đường thẳng vng góc với mp Tính chất: Hai mp (P ) (Q) vng góc với cắt theo giao tuyến ∆; a đường thẳng nằm (P ) a vuông góc với ∆ Khi đó, a vng góc với (Q)  (P )⊥(Q)    ⇒ a⊥(P ) n (P ) ∩ (Q) = ∆    a ⊂ (P ) & a⊥∆ gơ Góc N a Góc hai đường thẳng nh Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a b cắt song song (hoặc trùng) với a b b Góc đường thẳng mp Góc đường thẳng d mp α góc d hình chiếu d d α H H so ạn : c Góc hai mp H α ϕ I P hạ m d T (d, α) = (d, d ) với d hình chiếu d lên α d • Cách 1: Góc hai mp góc hai đường thẳng vng góc với hai mp ∆ α∩α =∆ a⊥∆, b⊥∆ a, b, ∆ đồng quy I Khi (α, α ) = (a, b) c B iê n • Cách 2: a I α c Hồ Phạm Thanh Ngôn (α, β) = (a, b) với a⊥α, b⊥β b α Trang số – 38 Tài liệu ơn tập THPT Trần Văn Thành HÌNH CHĨP - HÌNH LĂNG TRỤ Hình chóp - Khối chóp: Thể tích khối chóp phần ba diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao V = B.h B diện tích đa giác đáy, h chiều cao khối chóp Sau dạng hình chóp thường gặp gơ n a Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy đa giác tất cạnh bên N Trong hình chóp thì: • Hình chiếu đỉnh xuống mặt đáy trùng với tâm đa giác đáy nh • Các mặt bên tam giác cân • Các cạnh bên hợp với mặt đáy góc P hạ m Các bước vẽ hình chóp đều: T • Các mặt bên hợp với mặt đáy góc • Vẽ đáy đa giác (nên vẽ tất nét nét đứt, sau điều chỉnh lại) • Xác định tâm đáy (đa giác vừa vẽ) • Trên đường thẳng đứng vẽ từ tâm đáy, chọn đỉnh hình chóp so ạn : Chú ý: H • Nối đỉnh hình chóp với đỉnh đáy B iê n (i) Tứ giác hình vng, ta thường vẽ hình bình hành, tâm giao điểm hai đường chéo (ii) Đối với tam giác ta vẽ tam giác thường tâm giao điểm hai đường trung tuyến √ √ 3 diện tích S = a2 (iii) Tam giác cạnh a có đường cao h = a b Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy c Ví dụ hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) Ta có: • SA đường cao hình chóp • (SAB)⊥(ABCD); (SAD)⊥(ABCD) • Gọi H hình chiếu A CD, SHA = ((SCD), (ABCD)) c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 39 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành S h A D B gô n ϕ c Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy nh Ví dụ cho hình chóp S.ABCD có (SAD)⊥(ABCD) N C h P hạ m T Dựng đường cao SH tam giác SAD SH đường cao hình chóp S D H H Lăng trụ so ạn : A C B - Thể tích lăng trụ diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao V = Bh iê n B diện tích đa giác đáy, h chiều cao lăng trụ B - Các tính chất chung: c • Các cạnh bên song song • Các mặt bên mặt chéo hình bình hành • Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song a Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Trong lăng trụ đứng: • Các cạnh bên đường cao • Các mặt bên hình chữ nhật nằm mp vng góc với đáy b Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy đa giác Trong lăng trụ đều, mặt bên hình chữ nhật c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 40 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành c Hình hộp • Hình hộp lăng trụ có đáy hình bình hành • Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với đáy • Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật • Hình lập phương hình hộp chữ nhật có kích thước Chú ý: n ♥ Tất đường chéo hình hộp chữ nhật cho công thức d2 = a2 + b2 + c2 với a, b, c kích thước √ ♥ Với hình lập phương cạnh a d = a c B iê n so ạn : H P hạ m T nh Ta có sơ đồ sau N ♥ Thể tích hình lập phương cạnh a: V = a3 gơ ♥ Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 41 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành LĂNG TRỤ * Đáy đa giác * Mặt bên tam giác có chung đỉnh * Đường cao đoạn vng góc vẽ từ đỉnh xuống đáy * Sxq = tổng diện tích mặt bên * V = B.h (B : diện tích đáy, h : chiều cao) * Các cạnh bên song song * Các mặt bên mặt chéo hình bình hành * Hai đáy đa giác có cạnh tương ứng ssong N gô n KHỐI CHÓP P hạ m Tất cạnh bên LĂNG TRỤ ĐỨNG * Đường cao cạnh bên * Mặt bên hình chữ nhật nằm mp vgóc với đáy so ạn : H Đáy đa giác T nh Cạnh bên vng góc với đáy Đáy đa giác KHỐI CHÓP ĐỀU c B iê n * Đáy đa giác * Mặt bên tam giác cân * Đường cao: Đoạn nối đỉnh tâm đáy * Các mặt bên tạo với đáy góc * Các cạnh bên tạo với đáy góc c Hồ Phạm Thanh Ngơn LĂNG TRỤ ĐỀU * Có đáy đa giác * Các mặt bên hình chữ nhật Trang số – 42 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành HÌNH HỘP HÌNH HỘP ĐỨNG * Lăng trụ có đáy hình bình hành * Mặt bên hình bình hành * Đcao: đoạn vgóc nối hai đáy * V = Bh Cạnh bên vuông góc với đáy Cạnh bên vgóc với đáy H P hạ m T Đáy: hình chữ nhật nh N gơ n * Đáy: hình bình hành * Mặt bên: hình chữ nhật * Đường cao: cạnh bên * V = Bh so ạn : H.HỘP CHỮ NHẬT HÌNH LẬP PHƯONG * mặt hình vng * Đường cao: cạnh bên * V = a3 c B iê n * Đáy: hình chữ nhật * Mặt bên: hình chữ nhật * Đường cao: cạnh bên * V = abc kích thước c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 43 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Mặt trịn xoay Hình trụ - Khối trụ Cho hình trụ (khối trụ) có chiều cao h bán kính đáy R Khi Sxq = 2πRh V = πR2 h Hình nón - Khối nón gơ n Cho hình nón (khối nón) có chiều cao h, đường sinh l, bán kính mặt đáy R Khi nh V = πR2 h N Sxq = πRl T Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp P hạ m Trục đường trịn đa giác • Cho tam giác ABC có I tâm đường trịn ngoại tiếp trục đường tròn tam giác ABC đường thẳng ∆ vng góc với (ABC) I H • Cho tứ giác ABCD có I tâm đường trịn ngoại tiếp trục đường trịn tứ giác ABC đường thẳng ∆ vng góc với (ABCD) I so ạn : Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng α mp trung trực đoạn thẳng AB α α vng góc với AB trung điểm I đoạn AB Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp • K tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K cách đỉnh khối chóp c B iê n • K tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K giao điểm trục đường trịn đa giác đáy khối chóp mặt phẳng trung trực cạnh bên khối chóp c Hồ Phạm Thanh Ngơn Trang số – 44 THPT Trần Văn Thành P hạ m T nh N gô n Tài liệu ôn tập Hình 1: Hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD MẶT CẦU so ạn : H Phương trình Điều kiện a2 + b2 + c2 − d > n x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = R I(a, b, c) R= O(0, 0, 0) √ a2 + b2 + c2 − d R iê x2 + y + z = R Bán kính I(a, b, c) (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Tâm B Vị trí tương đối mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = mặt cầu (S) tâm I(a, b, c), bán kính R c Tính: d = d(I, α) = |Aa + Bb + Cc + D| √ A2 + B + C a Nếu d(I, α) > R mp α mặt cầu (S) khơng có điểm chung: α ∩ (S) = ∅ b Nếu d(I, α) = R mp α mặt cầu (S) tiếp xúc nhau; α gọi mặt phẳng tiếp xúc (tiếp diện) mặt cầu (S) c Nếu d(I, α) < R mp α mặt cầu (S) cắt theo đường tròn giao tuyến có tâm H, bán kính r, đó: • H = ∆ ∩ α với ∆ qua tâm I mặt cầu vng góc với α c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 45 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành • r= √ R2 − d2 với d = d(I, α) Vị trí tương đối đường thẳng ∆ qua M , có VTCP u∆ mặt cầu (S) tâm I, bán kính R Tính khoảng cách từ I đến ∆: d = d(I, ∆) a Nếu d(I, ∆) > R ∆ mặt cầu (S) khơng có điểm chung: ∆ ∩ (S) = ∅ b Nếu d(I, ∆) = R ∆ mặt cầu (S) tiếp xúc nhau; ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu (S) n c Nếu d(I, ∆) < R ∆ mặt cầu (S) cắt gô Mặt phẳng tiếp xúc (tiếp diện) với mặt cầu (S) tâm I, bán kính R nh N Điều kiện chung: Mp α tiếp xúc mặt cầu (S) tâm I, bán kính R d(I, α) = R Trong ta lưu ý trường hợp sau: Mp α tiếp xúc với (S) điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) nằm (S) T −→ − • α có véctơ pháp tuyến nα = IM0 = (a1 , a2 , a3 ), qua M0 (x0 , y0 , z0 ) P hạ m • α có phương trình a1 (x − x0 ) + a2 (y − y0 ) + a3 (z − z0 ) = Diện tích mặt cầu - Thể tích khối cầu H so ạn : b Thể tích khối cầu a Diện tích mặt cầu Chú ý: S = 4πR2 V = πR3 n • Chu vi đường trịn bán kính r 2πr c B iê • Diện tích đường trịn bán kính r πr2 c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 46 ... iê • tan2 a = Công thức cộng c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 17 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Cơng thức tổng thành tích • sin a + sin b = sin a+b a−b cos 2 Công thức tích thành tổng a+b... sin nxdx a c B iê n Ta áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 16 Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Công thức lượng giác Cơng thức nhân đơi Cơng thức • sin... đảm hai vế không âm (hoặc dấu) c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d • TXĐ: D = R • Sự biến thi? ?n (i) Tính