Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức và áp dụng doc

32 443 0
Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức và áp dụng doc

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 1 CHUYÊN : S PHC VÀ ÁP DNG Trc ht cn thy rng phn s phc mi đc đa vào ging dy trong chng trình THPT mt s nm gn đây nên nhng kin thc trình bày trong SGK mang tính cht ht sc đn gin và khá s sài, hc sinh có th t đc và nghiên cu đc. Trong mt s đ thi H nhng nm gn đây thì phn s phc cng đc đa vào vi nhng bài tp rt c bn, không mang tính đánh đ và ch cn nm đc kin thc trong SGK là có th làm đc. S phc có rt nhiu ng dng trong đi s, hình hc và lng giác, gii quyt đc nhiu bài toán hay và khó. Vì đi vi hs ph thông ln đu tiên tip xúc vi s phc nên cn lu ý mt s đim sau đây: Th nht: V vic xây dng tp s phc thì SGK ko trình bày( vì nhiu lý do), chúng ta ch cn hiu rng nó là mt tp m rng ca tp s thc và vì th các phép toán trong tp phc( cng, nhân) cng có nhng tính cht nh trong tp thc ( phân phi, giao hoán, kt hp,…). Chng hn vi a và b là 2 s thc thì ta có: 2 2 2 (a b) a 2ab b     và khi đó nu z và w là 2 s phc thì ta cng thu đc 2 2 2 (z w) z 2zw w     . Th hai: Tp s thc là mt tp sp thc t, tc là vi 2 s thc a và b bt k ta đu s sánh đc vi nhau ( a = b hoc a > b hoc a < b), còn tp s phc thì không nh vy: Ta ch có th nói rng hai s phc bng nhau khi phn thc và phn o tng ng bng nhau còn không h có quan h “ ln hn” hay “ nh hn” gia hai s phc. Chng hn: Ta ko th nói rng vì 2 > 1 và 4 > 3 nên 2 + 4i > 1 + 2i hay là: Vì 2 2 x 0, x z 0, z          . Mt sai lm nh th còn đc th hin trong vic gii pt: 2 2 (z 1)(z 1) 0, z      , vì 2 z 1 1 0    nên pt ch còn là: 2 z 1 0 z 1      ?!!! Th ba: Không nên s dng kí hiu đ ch cn bc hai ca mt s phc vì mi s phc w 0  thì luôn có hai cn bc hai đi nhau. Ta bit rng: 4 2  nhng vì 2 2 (2i) ( 2i) 4     nên s - 4 có hai cn bc hai là 2i  và vì th 4 2i    . Hn na nu s dng kí hiu trên thì có th mc sai lm khi tính toán: Nu s dng 1  đ ch cn bc hai ca – 1 thì ta phi có: 1  . 1  = -1. Tuy nhiên cng có th vit: 1  . 1  = ( 1).( 1) 1 1     và nh vy 1 = -1 ?!!! Th t: Vic đa ra đn v o “ s i” và có: i 2 = -1 là rt gng ép bi vi kin thc đc trang b trong SGK thì HS ko th bit đc “ i là cái gì?” và ti sao i 2 = - 1?. HS ch cn hiu rng: Khi m rng mt tp s mi, ngi ta s đnh ngha s mi đó theo mt cách khác và các phép toán áp dng cho s mi đó cng phi đc xây dng li. Tuy nhiên vì nhiu lí do, nhng kin thc đó ko trình bày trong SGK. Th nm: nh lý Viet thun và đo vn đúng trong trng hp phng trình bc 2 vi h s phc. Vic nhm nghim, phân tích thành tha s,…vn đc tin hành bình thng nh trên tp s thc. Chuyên đ trên đc chia thành 3 chuyên đ nh nh sau: Chuyên đ 1: Dng đi s ca s phc Chuyên đ 2: Dng lng giác ca s phc Chuyên đ 3: ng dng ca s phc. THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 2 CHUYÊN  1: DNG I S CA S PHC A. TÓM TT LÝ THUYT 1. Mt s phc là mt biu thc có dng a + bi, trong đó a, b là các s thc và s i tho mãn i 2 = -1. Ký hiu s phc đó là z và vit z = a + bi . i đc gi là đn v o a đc gi là phn thc ; b đc gi là phn o ca s phc z = a + bi Tp hp các s phc ký hiu là  . *) Mt s lu ý: - Mi s thc a đu đc xem nh là s phc vi phn o b = 0. - S phc z = a + bi có a = 0 đc gi là s thun o hay là s o. - S 0 va là s thc va là s o. 2. Hai s phc bng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Khi đó: z = z’  ' ' a a b b      3. Biu din hình hc ca s phc. Mi s phc đc biu din bi mt đim M(a;b) trên mt phng to đ Oxy. Ngc li, mi đim M(a;b) biu din mt s phc là z = a + bi . 4. Phép cng và phép tr các s phc. Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta đnh ngha: ' ( ') ( ') ' ( ') ( ')              z z a a b b i z z a a b b i 5. Phép nhân s phc. Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta đnh ngha: ' ' ' ( ' ' )     zz aa bb ab a b i 6. S phc liên hp. Cho s phc z = a + bi. S phc z = a – bi gi là s phc liên hp vi s phc trên. V y z = a bi  = a - bi Chú ý: +) z = z  z và z gi là hai s phc liên hp vi nhau. +) z. z = a 2 + b 2 *) Tính cht ca s phc liên hp: (1): z z  (2): ' '    z z z z (3): . ' . ' z z z z  (4): z. z = 2 2 a b  (z = a + bi ) (5): 1 1 2 2        z z z z THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 3 7. Môđun ca s phc. Cho s phc z = a + bi . Ta ký hiu z là môđun ca s phc z, đó là s thc không âm đc xác đnh nh sau: - Nu M(a;b) biu din s phc z = a + bi, thì z = OM  = 2 2 a b  - Nu z = a + bi, thì z = . z z = 2 2 a b  *) Chú ý: +) Nu z là s thc (z=a+0i), 2 | | | |   az a . Vy Môđun ca mt s thc chính là giá tr tuyt đi ca s y. +) 2 2 2 2 | | | | | |      a b a z a z ≥ a. Tng t | | | |   z b b *) Tính cht ca Môđun s phc: | | 0 0    z z ; 1 2 1 2 | | | | | |  z z z z ; 1 1 2 2 | | | |  z z z z Tht vy: 2 2 | 0 | 00 0        a b a b zz 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 | | ( )( ) ( )( ) | | | |     z z z z z z z z z z z z z z z z 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | | | | | || |     z z z z z z z z 8. Phép chia s phc khác 0. Cho s phc z = a + bi ≠ 0 (tc là a 2 +b 2 > 0 ). Ta đnh ngha s nghch đo z -1 ca s phc z ≠ 0 là s z -1 = 2 2 2 1 1 z z a b z   Thng ' z z ca phép chia s phc z’ cho s phc z ≠ 0 đc xác đnh nh sau: 1 2 ' '. . z z z z z z z    Vi các phép tính cng, tr, nhân chia s phc nói trên nó cng có đy đ tính cht giao hoán, phân phi, kt hp nh các phép cng, tr, nhân, chia s thc thông thng. B. BÀI TP VN DNG I. BÀI TP V BIN I S PHC. VD1 : Cho s phc z = 3 1 2 2 i  . Tính các s phc sau: z ; z 2 ; ( z ) 3 ; 1 + z + z 2 Hng dn Vì z = 3 1 2 2 i   z = 3 1 2 2 i  Ta có : z 2 = 2 3 1 2 2 i          = 2 3 1 3 4 4 2 i i   = 1 3 2 2 i   ( z ) 2 = 2 2 3 1 3 1 3 1 3 2 2 4 4 2 2 2 i i i i                ( z ) 3 =( z ) 2 . z = 1 3 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 i i i i i                    THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 4 Ta có: 1 + z + z 2 = 3 1 1 3 3 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 i i i         Nhn xét: Trong bài toán này, đ tính   3 z ta có th s dng hng đng thc nh trong s thc. VD2: Tìm s phc liên hp ca: 1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i      Hng dn Ta có : 3 3 5 5 (3 )(3 ) 10 i i z i i i i           . Suy ra s phc liên hp ca z là: 53 9 10 10 z i   VD3: Tìm mô đun ca s phc (1 )(2 ) 1 2 i i z i     Hng dn Ta có : 5 1 1 5 5 i z i     . Vy, mô đun ca z bng: 2 1 26 1 5 5 z          . VD4: Tìm các s thc x, y tho mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Hng dn Theo gi thit: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)I  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  3 2 1 5 x y y x x y         . Gii h này ta đc: 1 7 4 7 x y           VD5: Tính: i 105 + i 23 + i 20 – i 34 Hng dn  tính toán bài này, ta chú ý đn đnh ngha đn v o đ t đó suy ra lu tha ca đn v o nh sau: Ta có: i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = i 3 .i = 1; i 5 = i; i 6 = -1… Bng quy np d dàng chng minh đc: i 4n = 1; i 4n+1 = i; i 4n+2 = -1; i 4n+3 = -i;  n  N * Vy i n  {-1;1;-i;i},  n  N. Nu n nguyên âm, i n = (i -1 ) -n =   1 n n i i           . Nh vy theo kt qu trên, ta d dàng tính đc: i 105 + i 23 + i 20 – i 34 = i 4.26+1 + i 4.5+3 + i 4.5 – i 4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 VD6: Tính s phc sau: z = (1+i) 15 Hng dn Ta có: (1 + i) 2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i) 14 = (2i) 7 = 128.i 7 = -128.i z = (1+i) 15 = (1+i) 14 (1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 5 VD7: Tính s phc sau: z = 16 8 1 1 1 1 i i i i                  Hng dn Ta có: 1 (1 )(1 ) 2 1 2 2 i i i i i i         1 1 i i i     . Vy 16 8 1 1 1 1 i i i i                  =i 16 +(-i) 8 = 2 VD8: Tìm phn thc và phn o ca s phc 3 2 (3 2 )(2 5 ) (3 ) (4 3 ) i i z i i       Hng dn Tính liên hp ca 2+5i là 2-5i ri nhân vi 3+2i, đc 16-11i Khai trin bình phng ca 4+3i, đc 7+24i Nhân t và mu vi 7-24i, đc (-152- 461i)/25 Khai trin (3+i) 3 , đc 18+26i Thc hin phép tr, kt qu cui cùng là : Phn thc: -602/25 , phn o: -696/25  bài Hng dn áp s 1.T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc z x yi   tho¶ m·n 3 18 26 z i   . 3 2 3 2 3 3 18 18 26 3 26 x xy x yi i x y y              ( ) t y = tx x 3, y 1   2 .Cho hai sè phøc 1 2 z z , tho¶ m·n 1 2 1 2 1 3 z z z z   ; . TÝnh 1 2 z z  . 1 1 1 2 2 2 z a b i z a b i    ; . 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3               a b a b a a b b ( ) ( ) 1 2 1   z z 3.(B – 2009) :Tìm s phc z tha mãn: |z-(2+i)|= 10 và z. z =25 Rt đn gin z = 3+4i z = 5. 4.(A – 2010): Cho 3 (1 i 3) z 1 i    . Tìm môđun ca s phc: z iz  Làm bình thng 8 2 5. (D – 2010): Tìm s phc z sao cho z 2  và z 2 là s thun o ( hay o) Rt nh nhàng 1 i   ( có 4 s) 6.Tìm s phc z bit z 2 + |z| = 0 R t đn gin z= 0; z = i; z = -i 7.Tìm s thc x, y tha mãn đng thc : x(3+5i) + y(1-2i) 3 = 9 + 14i Rt nh nhàng II. BÀI TP V CHNG MINH Trong dng này ta gp các bài toán chng minh mt tính cht, hoc mt đng thc v s phc.  gii các bài toán dng trên, ta áp dng các tính cht ca các phép toán cng, tr, nhân, chia, s phc liên hp, môđun ca s phc đã đc chng minh. THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 6 VD9: Cho z 1 , z 2   . CMR: E = 1 2 1 2 . z z z z    Hng dn Nhng bài toán dng này thng có 2 cách gii. *) Cách s 1: Chn ra phn t đi din. 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 z a b i E z z z z (a b i)(a b i) (a b i)(a b i) 2a a 2b b E z a b i                      Tuy nhiên cách trên đôi khi quá dài dòng, mang tính cht tính toán và bin đi quá nhiu. Quá lm dng s nh hng ko tt đn vic rèn luyn t duy. *) Cách s 2: S dng mt tính cht quan trng ca s phc liên hp đó là: z    z = z Ta có E = 1 2 1 2 1 2 1 2 . z z z z z z z z    = E  E   ( Tht tuyt vi phi ko?) VD10: Chng minh rng: a) E 1 =     7 7 2 5 2 5 i i     b) E 2 = 19 7 20 5 9 7 6 n n i i i i                    Hng dn a) Ta có: 1 E =             7 7 7 7 7 7 1 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 i i i i i i E              E 1           2 19 7 (9 ) 20 5 (7 6 ) 19 7 20 5 ) 9 7 6 82 85 164 82 170 85 2 2 82 85                                                         n n n n n n n n i i i i i i b E i i i i i i  2 2 E E   E 2   VD11: Cho z   . CMR: 1 1 2 z   hoc |z 2 + 1| ≥ 1 Hng dn Ta chng minh bng phn chng: Gi s 2 1 1 2 1 1 z z          . t z = a+bi  z 2 = a 2 – b 2 + 2a + bi 2 1 1 2 1 1 z z           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 2( ) 4 1 0 2 ( ) 2( ) 0 (1 ) 4 1 a b a b a a b a b a b a b                          Cng hai bt đng thc trên ta đc: (a 2 + b 2 ) 2 + (2a+1) 2 < 0  vô lý  đpcm VD12: Cho sè phøc 0 z  tho¶ m·n 3 3 1 2 z z   . Chøng minh r»ng: 1 2 z z   . Hng dn THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 7 DÔ chøng minh ®- îc r»ng víi hai sè phøc 1 2 z z , ta cã 1 2 1 2 z z z z    ( c gi chng minh) Tõ 3 3 3 1 1 1 3z z z z z z                  , suy ra 3 3 3 1 1 1 1 3 2 3z z z z z z z z         §Æt 1 a z z   ta ®- îc 3 2 3 2 0 2 1 0 2 a a a a a          ( )( ) (®pcm).  bài Hng dn 8 * .Chng minh rng nu |z| = |z’| = |z’’| =1 thì : |z+z’+z’’| = |zz’+z’z’’+z’’z| Cách chng minh này vn dng nhiu tính cht ca s phc liên hp, môđun s phc. |z.z’.z’’| = |z|.|z’|.|z’’| = 1. Suy ra . '. '' 1 z z z  . Chú ý thêm tích ca s phc trên và liên hp ca nó thì bng 1 (bình phng môđun). | ' '' | | ' '' | . | . '. '' | | . . '. '' '. '. . '' ''. ''. . ' |         z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z | '. '' ''. . '| | '. '' ''. . ' | | '. '' ''. . ' |          z z z z z z z z z z z z z z z z z z 9. Chng minh rng: Nu |z 1 | = |z 2 | = 1, z 1 .z 2  1 thì A = 1 2 1 2 1 z z z z     Khá nh nhàng 10.CMR : 1 2 1 2 1 2 z z z z z z      Bài 8 ( SGK _ GT 12 – Tr 190) 11.CMR : 1 2 1 2 1 2 z z z z z z      Xem bài 10 12.CMR : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z z z 2( z z )      Sdng : 2 z.z z  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z (z z ).z z (z z )(z z ) OK           13.CMR : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 z z z z (1 z )(1 z )       Xem bài 12 14.CMR : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z 1 z z (1 z )(1 z )       Xem bài 13 15 * .Gi   H z : z x 1 xi, x        . CMR : Tn ti duy nht s phc z tho mãn : z H : z w , w H     Ch cn ch ra rng có duy nht x sao cho vi mi y ta đu có : 2 2 2 2 (x 1) x (y 1) y      là OK 16 * .Cho a > 0 và gi * 1 V z : z a z            CMR : z V   thì : 2 2 a a 4 a a 4 z 2 2            2 2 4 2 2 2 2 1 1 1 a z (z )(z ) z z z z (a 2) z 1 (z z) 0 z z OK                    THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 8 III. BÀI TP V PHNG TRÌNH - H PHNG TRÌNH NGHIM PHC. Nói chung v phng pháp gii cng ging nh phng trình và h phng trình thông thng, ch có đim khác bit là thêm mt s phép bin đi liên quan đn s phc mà thôi. Mt khác, trên tp thc thì pt dng đa thc thì có th vô nghim, tuy nhiên trên tp phc thì điu đó ko còn đúng na, vì th mà nói chung các bài toán v pt, h pt trên tp phc thng ‘ dài’ hn trên tp thc. 1. Cn bc hai ca s phc và phng trình bc hai. a) Cn bc hai ca s phc. Bài toán: Cho s phc w = a + bi . Tìm cn bc hai ca s phc này. Phng pháp: +) Nu w = 0  w có mt cn bc hai là 0 +) Nu w = a > 0 (a   )  w có hai cn bc hai là a và - a +) Nu w = a < 0 (a   )  w có hai cn bc hai là ai  và - ai  +) Nu w = a + bi (b  0) Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w  z 2 = w  (x+yi) 2 = a + bi  2 2 2 x y a xy b        tìm cn bc hai ca w ta cn gii h này đ tìm x, y. Mi cp (x, y) nghim đúng phng trình đó cho ta mt cn bc hai ca w. Chú ý: Có rt nhiu cách đ gii h này, sau đây là hai cách thng dùng đ gii. *) Cách 1: S dng phng pháp th: Rút x theo y t phng trình (2) th vào pt (1) ri bin đi thành phng trình trùng phng đ gii. *) Cách 2: Ta bin đi h nh sau: 2 2 2 x y a xy b            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 x y a x y a xy b x y a b xy b xy b                          T h này, ta có th gii ra x 2 và y 2 mt cách d dàng, sau đó kt hp vi điu kin xy=b/2 đ xem xét x, y cùng du hay trái du t đó chn đc nghim thích hp. Nhn xét : Mi s phc khác 0 có hai cn bc hai là hai s đi nhau. VD13:Tìm các cn bc hai ca mi s phc sau: a) 4 + 6 5 i; b) -1-2 6 i Hng dn a) Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w = 4 + 6 5 i Khi đó: z 2 = w  (x+yi) 2 = 4 + 6 5 I  2 2 2 2 3 5 (1) 4 45 2 6 5 4 (2) y x y x xy x x                    (2)  x 4 – 4x 2 – 45 = 0  x 2 = 9  x = ± 3  x = 3  y = 5 ; x = -3  y = - 5 THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 9 Vy s phc w = 4 + 6 5 i có hai cn bc hai là: z 1 = 3 + 5 i và z 2 = -3 - 5 i b) Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w = -1-2 6 i Khi đó: z 2 = w  (x+yi) 2 = -1-2 6 i  2 2 2 2 6 (1) 1 6 2 2 6 1 (2) y x y x xy x x                        (2)  x 4 + x 2 – 6 = 0  x 2 = 2  x = ± 2 . x = 2  y = - 3 x = - 2  y = 3 Vy s phc w = 4 + 6 5 i có hai cn bc hai là: z 1 = 2 - 3 i và z 2 = - 2 + 3 i b) Phng trình bc hai Bài toán: Gii phng trình bc hai: Az 2 +Bz +C = 0 (1) , (A, B, C   , A  0) Phng pháp: Tính  = B 2 – 4AC *) Nu   0 thì phng trình (1) có hai nghim phân bit z 1 = 2 B A    , z 2 = 2 B A    (trong đó  là mt cn bc hai ca ,  đây  có 2 cn bc hai, ta chn cn bc hai nào cng đc). *) Nu  = 0 thì phng trình (1) có nghim kép: z 1 = z 2 = 2 B A  VD14: Gii các phng trình bc hai sau: a) z 2 + 2z + 5 = 0 b) z 2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 Hng dn a) Xét phng trình: z 2 + 2z + 5 = 0 Ta có:  = -4 = 4i 2  phng trình có hai nghim: z 1 = -1 +2i và z 2 = -1 – 2i. b) Ta có:  = (1-3i) 2 +8(1+i) = 2i. Bây gi ta phi tìm các cn bc hai ca 2i. Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w = 2i  2 2 2 2 1 1 1 0 1 2 2 1 0 1 x y y x y x xy x x x y                                      Vy s phc 2i có hai cn bc hai là: 1+i và -1 –i  Phng trình có hai nghim là: z 1 = 3 1 1 2 2 i i i     ; z 2 = 3 1 1 1 2 i i i       Nhn xét: Ngoài phng pháp tìm cn bc hai nh  trên, đi vi nhiu bài ta có th phân tích  thành bình phng ca mt s phc. Chng hn: 2i = i 2 + 2i + 1 = (i+ 1) 2 t đó d dàng suy ra hai cn bc hai ca 2i là 1 + i và -1 – i. Tuy nhiên nu khó nhm quá thì ta s dng pp tìm cn bc hai ca s phc nh trên. Mt điu lu ý na là: ptbc 2 vi h s thc thì tìm nghim rt đn gin THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 10 ( xem VD14a) vì luôn d dàng phân tích đc thành mt tng bình phng. Còn pt bc hai h s phc thì tu tng bài ta s la chn pp phù hp. Tìm cn bc hai ca s phc hoc gii pt bc hai sau Hng dn áp s 17. 2 8 1 63 16 0 z i z i      ( ) Nh nhàng 1 5 12 z i   ; 2 3 4 z i   18. 2 z z  Bình thng 1 3 0 1 2 2 z z z i     ; ; 19. 2 z (cos isin )z icos sin 0         Nh nhàng z cos ;z isin     20. z 1 i   Rt d 2)Phng trình quy v phng trình bc hai Trong mc này ta ch xét mt s dng c bn và quen thuc nh: Phng trình trùng phng, phng trình bc 3, phng trình phn thng, phng trình dng 4 4 (z a) (z b) c     và mt s dng đn gin khác. VD15: Gii phng trình sau: 4 2 z z 20 0    . Hng dn t 2 t z  ( Liu có đt điu kin cho t là t 0  không nh???) có pt: 2 2 2 z 2 t 4 z 4 t t 20 0 t 5 z i 5 z 5                          VD16: Gii phng trình: 2 2 2 (z z) 4(z z) 12 0      Hng dn t 2 t z z   , ta có pt: 2 2 2 z 1 t 2 z z 2 t 4t 12 0 z 2 t 6 z z 6 1 i 23 z 2                                   VD17: Cho phng trình sau: z 3 + (2 – 2i)z 2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) a) Chng minh rng (1) nhn mt nghim thun o ( tc là nghim o hay nghim phc mà có phn thc bng 0) b) Gii phng trình (1). Hng dn a) t z = yi vi y   Phng trình (1) có dng: (iy) 3 + (2i-2)(yi) 2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0  -iy 3 – 2y 2 + 2iy 2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i ng nht hoá hai v ta đc: 2 3 2 2 4 0 2 5 10 0 y y y y y              . Gii h này ta đc nghim duy nht y = 2 [...]... -1 V Chỳ ý: Ta cú th Gi (2) -2 |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 V Nh ỡnh c) Xột: 2 z z 2 (3) Gi T 4x + 2y + 3 = 0 |2+x+yi| > |x+yi-2| n ờn ph (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2 x > 0 x > 0 14 Giothoimai2003 THPT CHUYấN LO CAI : Ta cú th Nh (3) |z- (-2 )| >|z-2| G -2 v 2, t A (-2 ;0), B(2;0) V T n d) Xột h z 4i z 4i ờn ph 10 Xột F1, F2 (4) -4 i t F1 (0;4) v F2 =(0 ;- MF1 + MF2 = 10 (M = M(z))... 1+2i 1 2i; 3-i 2 i; -1 -3 i 1 3i; 2-i 2 i; 1+3i Lm bỡnh th 5 2i 1+3i; -2 +i z1 z2 z3 34** z1 z2 z3 1 1 Bi 4.23 Sỏch BTGT12 Tr 180 6 no l 6 hoỏn v ; i ; -i) z1 z2 z3 1 35 36 z w i iz w=1 z w - zw = 8 z 2 + w 2 = -1 R d z w 1 1 i Bỡnh th 13 Giothoimai2003 THPT CHUYấN LO CAI IV BI T Trong d bi y, ta g i toỏn bi ỡnh h ũn g ón m Gi ) Ta cú: OM = x2 tỡm t h h ờn ờn m y2 = z S ỡm m ờn h yt ý: - V z = R bi... bỏn kớnh R - Cỏc s z ũn (O;R) - Cỏc s z ũn (O;R) VD23: Gi Tỡm t ờn m ón m a) z 1 i =2 b) 2 z a) Xột h 1 i c) 2 z z 2 d) z 4i z 4i e)1 10 z 1 i 2 z 1 i =2 (1) ) z 1 + i = (x 1) + (y + 1)i ( x 1)2 ( y 1) 2 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4 2 ph ón (1) l b) Xột h 2 z T ờn m ũn cú tõm t -1 ) v bỏn kớnh R = 2 z i (2) y (2) z ( 2) G bi (A (-2 ;0); B(0;1)) z i (*) 2 -2 , cũn B l 1 B A -2 (z)A = M(z)B x O -1 1 2 -1 V Chỳ... Giothoimai2003 THPT CHUYấN LO CAI 1 - (VD19 thỡ z 2 pt cú d 5 =0 2 y+ 1 3i 2 +) V 1 ,t z z- y 2y2 2y + 5 = 0 1 1 3i = z 2 ỡnh (2) cú 2 nghi 1 3i 2 1 3i 2 1 3i 2 2z2 (1+3i)z 2 = 0 (2) z- 1 1 3i = z 2 1 = 1+i; z2 = 1 1 + i 2 2 2z2 ( 1-3 i)z 2 = 0 (3) = ( 1-3 i)2 + 16 = 8 -6 i = (3-i)2 Ta cú : ỡnh (3) cú 2 nghi V y ?) = (1+3i)2 + 16 = 8 +6i = (3+i)2 Ta cú : +) V ỡ lm nờn s 3 = 1-i; z4 = 1 1 - i 2 2 ỡnh ó cho cú 4... z 1 z i cú pt: 1 sao 1 , z2 , z3 t z1 z2 z1 z3 z3 = 3 (1+i) ho z1 z2 ycbt z2 z3 = - 3 (1-i) z3 G ;|z - 2| = 3 2 2 (a-2) + b = 9 (*) G 43.Tỡm t theo x,y: |z - 2| = 3 a (2 x y ) / 5 b (2 y x 5) / 5 (2x + y -1 0)2 + + (2x y - 5)2 = 225 Thay vo (*) l OK a; b; c: D dng 44.Tỡm cỏc bi d) ón m a)|z-2| = 3; b)|z+i| 3 d) z 1 z 2 ; e)Re 1 z z 2 =0; f) z z 1 45 (B 2010): Tỡm qu tớch i món:... Xột h T ờn (E) cú i tr z 1 i 1 2 - ỡnh c z ( 1 i) hỡnh vnh kh V x2 E) l: 9 y2 16 1 2 cú tõm t -1 ;1) v cỏc bỏn kớnh l nh 2 v 1 Cỏch 2: Gi 1 k -1 )i| ón Gi 2+3i| = T 2+3i| = 3 2 ón |(x-2) +(y+3)i|= ó cho l ch M1 l giao c Ta cú: OI = K 1H M 1H 3 OM 1 OI M1H = 3 2 3 tỡm s 2 (x-2)2 + (y+3)2 = 9 4 ũn tõm I(2 ;-3 ) v bỏn kớnh 3/2 ũn v g M trựng v ũn 4 9 13 Ox 13M 1 H V + (y-1)2 ờn VD24: Trong cỏc s L 2 1... = 0 z2 V ỡnh ó cho cú 4 nghi nh trờn ỡnh: z4 -2 z3 z2 2z + 1 = 0 (1) VD19: Gi Do z = 0 khụng l nghi ỡnh cho z2 chia hai v 2 z2 - 2z 1 - 2 1 1 + 2 = 0 z z V =z+ -1 V =z+ V 1 =3 z z= z= 3 zz z + 1 z 1 1 1 + + 2 =0(T 2 z z 1 z (z- )2 (z- ) + y2 2y 3 = 0 y y 1 3 5 2 ỡnh: z4 z3 + nghi ỡnh cú d 1 i 3 2 ỡnh ó cho cú 4 nghi Do z = 0 khụng ph nh 1 z 1 = -1 z VD20 : Gi (1) 4 0 z 1 z 3 z 2i z 2i nh trờn... CHUYấN LO CAI VD30: Gi ỡnh: z6 = -6 4 (1) Ta cú: -6 4 = 64(cos + isin ) Gi s : z r(cos z6 = -6 4 + isin6 )= 64(cos + isin V cos6 r6 (cos6 + isin6 = cos + isin 6 = isin ) r6 = 64 ) +2k V z0 = 2 cos V z1 = 2 cos V z2 = 2 cos 5 6 isin 5 6 z3 = 2 cos 7 6 isin 7 6 z4 = 2 cos 3 2 isin 3 2 z5 = 2 cos 11 6 ( k = 6 gi nh TH k = 0 k = 7 gi 2k 6 6 (L k = 0, 1, 5) = -2 i V = = - 3 -i V Z) = - 3+ i V (k r=2 isin 6 2 = 6... = 2 Hai Lm bỡnh th y= |z + z + 1 - i| = 2 39.Tỡm qu tớch cỏc i M(z)trong mp ph bi di s ph z tho món k: th 1 3 2 ón h Parabol y = Lm bỡnh th Hai hyperbol cú pt : xy = 1 v xy = -1 z =1+i 1 z 3i z i 42.Cho z1 = 1+i; z2 = -1 -i Tỡm z3 x2 4 Lm bỡnh th |z2 z 2| = 4 o cú pt: Lm bỡnh th 40.Tỡm qu tớch cỏc i M(z)trong mp ph bi di s ph z tho món k: 41.Tỡm s 7 2 th 2|z-i| = |z - z +2i| z 1 z i cú pt: 1 sao 1... z1 z2 z3 1 Ta cú z1, z2 , z3 l cỏc nghi (3) ỡnh: (z z1)(z z2)(z-z3) = 0 ( Sao th z3 (z1+z2+z3)z2 +(z1z2 +z2z3 + z3z1 )z - z1z2z3 = 0 V ng trỡnh ó cho cú 6 nghi Gi 33 5 5i 1 i ỡnh (4) cú hai nghi z1 32 z3 w 3 (1) z w 3(1 i ) z.w 5i z, w l cỏc nghi 31 3(1 i ) 3zw(z + w) = 9 (-1 +i) (3) 3 9zw(1+i) = 9 (-1 +i) 3(1+3i+3i2+i3) zw(1+i) = -1 + i V z w z v w z3 z2 + z 1 = 0 hoỏn v z = 1 v z = i i) ỡnh . 7+24i Nhân t và mu vi 7-2 4i, đc (-1 5 2- 461i)/25 Khai trin (3+i) 3 , đc 18+26i Thc hin phép tr, kt qu cui cùng là : Phn thc: -6 02/25 , phn o: -6 96/25  bài Hng dn áp s 1.T×m. |x+yi-2|  (x+2) 2 +y 2 > (x-2) 2 +y 2  x > 0.  Tp hp các đim M(z) là na mt phng  bên phi trc tung, tc là các đim (x;y) mà x > 0. -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y A B O THPT CHUYÊN.  . Xét đim A (-1 ;1) là đim biu din s phc -1 + i. Khi đó 1≤ MA ≤ 2. Vy tp hp các đim M(z) là hình vành khn có tâm ti A (-1 ;1) và các bán kính ln và nh ln lt là 2 và 1 Cách 2:

Ngày đăng: 30/07/2014, 11:21

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan