CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 1 CHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n 1 cách chọn ñối tượng A 1 . n 2 cách chọn ñối tượng A 2 . A 1 ∩ A 2 = ∅ ⇒ Có n 1 + n 2 cách chọn một trong các ñối tượng A 1 , A 2 . 2) Quy tắc nhân: Có n 1 cách chọn ñối tượng A 1 . Ứng với mỗi cách chọn A 1 , có n 2 cách chọn ñối tượng A 2 . ⇒ Có n 1 .n 2 cách chọn dãy ñối tượng A 1 , A 2 . 3) Hoán vị: − Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử. − Số hoán vị: P n = n!. 4) Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. − Số các chỉnh hợp: k n n! A (n k)! = − 5) Tổ hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. − Số các tổ hợp: k n n! C k!(n k)! = − − Hai tính chất k n k n n C C − = k 1 k k n 1 n 1 n C C C − − − + = 6) Nhị thức Newton n n k n k k n k 0 0 n 1 n 1 n n n n n (a b) C a b C a C a b C b − = − + = = + + + ∑ − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): k n k k k 1 n T C a b − + = − ðặc biệt: n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C xC x C x C + = + + + + CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 2 II / MỘT SỐ VÍ DỤ 1. Bài toán ñếm. 1.1 ðếm các số tự nhiênñược thành lập. Ví dụ 1 . Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho a) Các chứ số ñều khác nhau. b) Chữ số ñầu tiên là 3. c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4. Giải a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau ñược thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử ⇒ Có 5 7 A = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số ñàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn b, c, d, e ñều có 7 cách chọn ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số. c) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4) a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số. Ví dụ 2 .(ðH An ninh 97) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập ñược bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau Giải Gói số cần thiết lập là abcde Xét hai trường hợp + Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn Khi ñó a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số. + Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn Khi ñó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 3 ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số Vậy có 360 + 900 = 1260 số Ví dụ 3 . Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5. Giải Cách 1 : Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 ⇒ Có 3 6 A = 120 số Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí ñể xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 5. ⇒ Có 120.4 = 480 số. Cách 2 : − Số cần tìm có 1 trong bốn dạng 5bcd,a5bc,ab5d,abc5 − Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3. Giải Xét các trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0 ⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0 Chọn chữ số ñầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2 Chữ số còn lại có 2007 vị trí ñể ñặt, còn các vị trí khác ñặt số 0 ⇒ Có 2.2007 = 4014 số + Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0 Chọn chữ số ñầu tiên là 1 Chọn 2 trong 2007 vị trí ñể ñặt chữ số 1 ⇒ có 2 2007 C = 2007.1003 = 2013021 Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số Ví dụ 5 (ðHQG TPHCM 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt ñúng hai lần, chữ số ba có mặt ñúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Giải + Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt ñầu bằng 0). Khi ñó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí Chọn 2 trong 7 vị trí ñể xếp chữ số 2: có 2 7 C cách Chọn 3 trong 5 vị trí còn lại ñể xếp chữ số 3: có 3 5 C cách CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 4 Chọn 2 trong 8 chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ñể ñặt vào 2 vị trí còn lại có 2 8 A cách ⇒ Có 2 7 C . 3 5 C . 2 8 A = 11 760 cách. + Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 ñứng ñầu. Lập luận tương tự cho 6 vị trí ⇒ có 2 6 C . 3 4 C . 1 7 A = 420 số Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số. 1.2 ðếm số phương án. Ví dụ 6 : (ðH Thái nguyên 99) Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách: a) Chọn 3 học sinh bất kì. b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ. c) Chọn 3 học sinh trong ñó có ít nhất 1 nam. Giải a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là: 3 40 C 9880 = cách. b) Chọn 1 nam có 1 25 C 25 = cách Chọn 2 nữ có 2 15 C 105 = cách ⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn c) Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách Chọn 3 học sinh nữ có 3 15 C 455 = cách ⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam. Ví dụ 7 : (ðHSP Quy Nhơn 97) Cho hai ñường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 ñiểm phân biệt, trên b lấy 20 ñiểm phân biệt. Tính số tam giác có các ñỉnh là 3 trong số 37 ñiểm ñã chọn ở trên. Giải Cách 1 Mỗi tam giác ñược hình thành bởi ba ñiểm không thẳng hàng Số bộ ba ñiểm từ 37 ñiểm trên là: 3 37 C Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên a là: 3 17 C Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên b là: 3 20 C Vậy số tam giác tạo thành là: 3 37 C − 3 17 C − 3 20 C = 11 340 tam giác Cách 2 : CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 5 Mỗi tam giác ñược tạo thành bởi một ñiểm trên ñường thẳng này và hai ñiểm trên ñường thẳng kia. Xét 2 trường hợp + TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 ñiểm trên a và 2 ñiểm trên b: có 2 20 17.C + TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 ñiểm trên a và 1 ñiểm trên b: có 2 17 20.C ⇒ Số tam giác là: 2 20 17.C + 2 17 20.C = 11 340 Ví dụ 8 : (ðH Cảnh sát nhân dân) Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 ñường thẳng song song với AB, 5 ñường thẳng song song với BC và 6 ñường thẳng song song với CA trong ñó không có ba ñường thẳng nào ñồng quy. Hỏi các ñường thẳng trên tạo ñược bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành). Giải a) Mỗi tam giác ñược tạo thành bởi ba ñường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau ⇒ Số tam giác là 4.5.6 = 120 b) Mỗi hình thang không phải hình bình hành ñược tạo thành bởi hai ñường thẳng thuộc nhóm này và một ñường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại ⇒ Số hình thang là 2 1 1 1 2 1 1 1 2 4 5 6 4 5 6 4 5 6 C .C .C C .C .C C .C .C 720 + + = hình thang 2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ ñại số tổ hợp Ví dụ 1: (CðSP TPHCM99) Tìm k thỏa mãn: k k 2 k 1 C C 2C 14 14 14 + + + = Giải ðK k N k 12 ∈   ≤  Phương trình tương ñương với 14! 14! 2.14! k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)! + = − + − + − ⇔ 1 1 2 (14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k) + = − − + + + − ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k) ⇔ k 2 − 12k + 32 = 0 ⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8 Ví dụ 2 : (ðH Hàng hải 99) CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 6 Giải bất phương trình: n 3 C 1 n 1 4 14P A 3 n 1 − − > + Giải ðK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương n 3 C 1 n 1 4 14P A 3 n 1 − − > + ⇔ . n 3 4 14.P C A 3 n 1 n 1 > − − + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 ! 14.3! n 1 .n. n 1 . n 2 n 3 !2! − > + − − − ⇔ 2 n n 42 0 + − < ⇔ ( ) ( ) n 6 . n 7 0 − + < ⇔ −7 < n < 6 Kết hợp với ðk n≥ 3 ñược tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}. Ví dụ 3 : (ðHBK HN2001) Giải hệ phương trình: y y 2.A 5.C 90 x x y y 5.A 2.C 80 x x    −   + = = Giải ðK: x, y ∈ N * , y ≤ x ðạt y y x x u A , v C = = ⇒ u, v ∈N * ta có hệ u 2.u 5.v 90 5. 2.v 80   −  + = = ⇔ u 20 v 10    = = Thay vào ta có y A 20 x y C 10 x      = = ⇔ x! (x y)! x! y!(x y)! 20 10   −     −  = = ⇔ y! 2 x! (x y)! 20 =     −  = ⇔ y 2 x! (x 2)! 20 =     −  = ⇔ x(x 1) 20 y 2 − =   =  ⇔ x 5,x 4 y 2 = = −   =  Kết hợp ñiều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm x 5 y 2 =   =  3) Xác ñịnh một số hạng của khai triển Newuton. Ví dụ 1 : (ðH Kinh tế quốc dân, 1997) CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 7 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của 12 1 x x       + Giải Số hạng tổng quát k k 12 k k 12 2k k 1 12 12 1 T C .x C .x x − − +   = =     . Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6. ðáp số :số hạng không chứa x phải tìm là: 12.11.10.9.8.7 6 0 C .x 924 12 1.2.3.4.5.6 = = Ví dụ 2 :(ðH và Cð, khối A, 2003). Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn của n 1 5 x 3 x         + , biết rằng ( ) n 1 n C C 7 n 3 n 4 n 3 + − = + + + Giải Ta có ( ) (n 4)! (n 3)! n 1 n C C 7 n 3 7(n 3) n 4 n 3 (n 1)!.3! (n)!.3! + + + − = + ⇔ − = + + + + ⇔ (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3) + + + − + + + = + ⇔ (n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42 + + − + + = ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 Số hạng tổng quát 12 k 5k k 36 3k 1 k 5 k 2 T C . x C .x 12 12 k 1 3 x               − − + = = + . Số hạng chứa x 8 tương ứng với 5k 36 3k 8 2 − + = ⇔ 11k = 88 ⇔ k = 8. ðáp số :Hệ số của số hạng chứa x 8 phải tìm là: 8 C 495 12 = CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 8 Ví dụ 3: Khai triển ña thức: P(x) = ( ) 12 1 2x + thành dạng : ( ) 12 0 1 2 12 P x a a x a x a x = + + + + Tìm max ( ) 1 2 12 a ,a , ,a Giải Số hạng tổng quát ( ) k k 2x . k k k T C . C .2 x 12 12 k 1 = = + . Xét hai hệ số liên tiếp k k a C .2 12 k = và k 1 k 1 a C .2 12 k 1 + + = + . Giả sử a k < a k + 1 ⇔ k k 1 k k 1 C .2 C .2 12 12 + < + ⇔ 12! 12! k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)! .2 < − + − ⇔ 23 k 8 3 < < Vậy a 0 < a 1 < … < a 8 . Tương tự như trên ⇒ a 8 > a 9 > … > a 12 . Vậy hệ số lớn nhất là: 8 8 8 a C 2 126720 12 = = 4) Tính tổng hoặc chứng minh ñẳng thức. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng ∀ n, k ∈ N * và n ≥ k ≥ 1 thì: k k 1 n n 1 kC nC − − = Giải Thật vậy ∀ n, k ∈ N * và n ≥ k ≥ 1 ta có: k n n! n(n 1)! kC k k!(n k)! (k 1)!(n k)! − = = − − − = (n 1)! n (k 1)!(n k)! − − − = 1 1 k n nC − − (ñpcm) Lưu ý :(ðây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh ñẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ ñạo hàm và tích phân) Ví dụ 2 : (ðH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997) Tính tổng 6 7 8 9 10 11 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C = + + + + + Giải Do 6 5 7 4 11 11 11 11 C C ,C C , = = nên 5 4 3 2 1 0 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C 2S C C C C C = + + + + + → = + + + + (1) Áp dụng khai triển Niu tơn ( ) n n k k n k 0 x 1 C .x = + = ∑ với x = 1, n = 11 ñược ( ) 11 11 k 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 11 k 0 1 1 C C C C C C = + = = + + + + + ∑ (2) Từ (1), (2) suy ra 11 10 2S 2 S 2 1024. = → = = CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 9 ðáp số : 10 S 2 1024 = = Ví dụ 3 : (ðH Bách Khoa Hà Nội, 1999) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng : 1 2 3 4 n 1 n S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C n n n n n − = − + − + + − Giải Cách 1: (Sử dụng kết quả ví dụ 1) Áp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: 0 2 1 n 1 n n 1 n 1 n n n 1 C .C n n 1 2.C .C n n 1 ( 1) n.C ( 1) .C n n 1 − − − = = − = − − − − − − Cộng theo vế các ñẳng thức trên ta ñược 0 1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n(C C C C ,,, ( 1) C ) n(1 1) 0 1 2 3 4 n 1 n S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C n n n n n − − − − − − − − = − + − + + − = − = − = − + − + + − Cách 2 : (Sử dụng ñạo hàm) Xét khai triển n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C xC x C x C + = + + + + ⇒ n 1 1 2 n 1 n n n n n.(1 x) C 2xC nx C − − + = + + + Chọn x = − 1 ⇒ n 1 1 2 n n n n n n.(1 1) C 2C ( 1) .nC − − = − + + − Vậy : S = 0 Ví dụ 4 : (ðHDL Duy Tân, khối A, 2001) Tính tổng sau : 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 1 n 1 1 S .C .C C C C 1 2 3 4 + = + + + + + Giải Cách 1 ( Sử dụng kết quả ví dụ 1) Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: k k 1 n n 1 kC nC − − = ⇔ k 1 k n 1 n (k 1)C (n 1)C + + + = + ⇔ k k 1 n n 1 1 1 C C k 1 n 1 + + = + + Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 10 0 1 n n 1 1 2 n n 1 2 3 n n 1 n n 1 n n 1 1 1 C C 1 n 1 1 1 C C 2 n 1 1 1 C C 3 n 1 1 1 C C n 1 n 1 + + + + + = + = + = + = + + 0 1 2 3 n n n n n n 1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 1 (C C C C ) n 1 1 (2 1) n 1 1 S .C .C C C C 1 2 3 4 + + + + + + + = + + + + + = − + ⇒ = + + + + + Vậy n 1 1 (2 1) n 1 S + − + = Cách 2 : (Sử dụng tích phân) Xét khai triển n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n (1 x) C xC x C x C x C + = + + + + + 1 1 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 (1 x) dx (C xC x C x C x C )dx ⇒ + = + + + + + ∫ ∫ Ta có: 1 0 1 n 1 n 1 n 0 (1 x) 2 1 (1 x) dx n 1 n 1 + + + − + == = + + ∫ n 1 2 1 n 1 + − ⇒ = + 0 0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1 n n n n n 1 1 1 x n 1 1 .C .x C x C x C x C 1 2 3 4 +     +   + + + + + 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 n 1 1 .C .C C C C 1 2 3 4 = + + + + + + Vậy Vậy n 1 1 (2 1) n 1 S + − + = Ví dụ 5 : Chứng minh ñẳng thức sau: 7 7 3 2 7 6 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 .C .C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 − = + + + + + + Giải Xét khai triển 6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 (2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C + = + + + + + + [...]... n ( n − 1) 2n− 2 T Toán 15 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 1 b) Ch ng minh: ( Cn0 ) + ( Cn ) + + ( Cnn ) = C2nn 2 2 2 6 1  lg x +1 12  + x  có s h ng th 4 b ng 200 48) Tìm x ñ trong khai tri n:  x   17  1  49) Trong khai tri n  3 2 + 4 x3  Tìm s h ng không ch a x c a khai tri n  x  50) (ðH-D-2004) Tìm s h ng không ch a x trong khai... 2005 2 65) (ðH-B-2003) 0 Cn + Cho n là s nguyên dương Tính t ng: 2 −1 1 2 −1 2 2n +1 − 1 n Cn + Cn + + Cn 2 3 n +1 2 3 66) (ðH-D-2002) Tìm s nguyên dương n sao cho: n C + 2C + 4C + + 2 Cn = 243 0 n 1 n 2 n 67) (ðH-D-2005) n 3 An4+1 + 3 An Tính giá tr c a bi u th c: M = , bi t r ng: ( n + 1)! 2 2 2 Cn2+1 + 2Cn + 2 + 2Cn +3 + Cn + 4 = 149 T Toán ( n là s nguyên dương ) 17 Trương THPT Lương Tài ... n ch s khác nhau T Toán 13 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn a) Có bao nhiêu s nh hơn 5000 ? b) Có bao nhiêu s ch n nh hơn 7000 ? 21) M t l p h c có 30 h c sinh Trong ñó có 12 n , c n thành l p m t t công tác g m 8 ngư i Có bao nhiêu cách l p sao cho trong t có ñúng 2 n 22) Trong không gian cho m t t p h p g m 9 ñi m trong ñó không có 4 ñi m nào ñ... bao nhiêu cách ch n n u: a) H i ñ ng này có ñúng m t c p v ch ng? b) H i ñ ng này không th g m c v l n ch ng ( n u có )? T Toán 14 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 32) Tính s ñư ng chéo c a m t ña giác l i có n c nh Tìm ña giác có s c nh b ng s ñư ng chéo 33) (ðH-B-2002) Cho ña giác ñ u A1 A2 A2 n (n ≥ 2, n ∈ Z ) n i ti p ñư ng tròn (O) Bi t r ng... nhau ñư c l y t các s ñã cho, sao cho: a) S ñó ch n b) S ñó chia h t cho 5 c) Luôn có m t ch s 1 và 3 T Toán 12 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 10) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6,7 Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 5 ch s khác nhau ñư c l y t các ch s ñã cho sao cho các s l luôn ñ ng li n nhau 11) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có th l p ñư c bao nhiêu s g... 2n ñi m A1 , A2 , , A2 n , tìm n? 34) (ðH-B-2004) Trong m t môn h c, th y giáo có 30 câu h i khác nhau g m 5 câu h i khó, 10 câu h i trung bình, 15 câu h i d T 30 câu h i ñó có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra, m i ñ g m 5 câu h i khác nhau, sao cho trong m i ñ nh t thi t ph i có ñ 3 lo i câu h i ( khó, trung bình, d ) và s câu h i d không ít hơn 2? 35) (ðH-B-2005) M t ñ i thanh niên tình nguy n có... 57) (ðH-D-2003) V i n là s nguyên dương, g i a3n −3 là h s c a x3n −3 trong khai tri n thành ña th c c a ( x 2 + 1) ( x + 2 ) Tìm n ñ a3n −3 = 26n n 58) (ðH-A-2006) n Tìm h s c a s h ng ch a x 26 trong khai tri n nh th c n 1 1 Newton c a:  4 + x 7  , bi t r ng: C2 n +1 + C22n +1 + C23n+1 + + C2nn+1 = 220 − 1 ( n là s   x  nguyên dương, x > 0 )  a + 59) Trong khai tri n:  3  b  T Toán 21... c a a và b như nhau   Trương THPT Lương Tài 16 CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 1 60) Tìm giá tr l n nh t trong các giá tr : Cn0 , Cn , Cn2 , , Cnn 61) Tìm h s có giá tr l n nh t c a khai tri n: ( a + b ) , bi t r ng t ng các h s b ng 4096 n Cho khai tri n: (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + + an x n Trong ñó n ∈ N * và n 62) (ðH-A-2008) các h s a0 , a1, , an th a mãn h th... b) Bi t r ng ba ñư ng chéo không cùng ñi qua m t ñ nh thì không ñ ng quy, hãy tính s các giao ñi m ( không ph i là ñ nh ) c a các ñư ng chéo y 30) M t t tr c g m 8 nam sinh và 6 n sinh Giáo viên tr c mu n ch n m t nhóm 5 h c sinh Có bao nhiêu cách ch n n u nhóm này ph i có ít nh t m t n sinh? 31) Giám ñ c m t công ty mu n ch n m t nhóm 5 ngư i vào h i ñ ng tư v n Trong công ty có 12 ngư i h i ñ ñi u... 2 + A2 x 2 + Tính A7 Tìm h s c a x8 trong khai tri n c a bi u th c: 53) (ðH-A-2004) 1 + x 2 (1 − x )    8 54) Tìm h s c a x3 trong khai tri n c a bi u th c: P( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) 2 3 4 5 7  1  55) Trong khai tri n:  3 2 + x  Tìm s h ng ch a x 2 c a khai tri n ñó  x    56) (ðH-A-2003) Tìm h s c a s h ng ch a x8 trong khai tri n nh th c n 1 +1 Newton c a: . CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 1 CHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy. nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3. Giải Xét các trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0 ⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0). 88 ⇔ k = 8. ðáp số :Hệ số của số hạng chứa x 8 phải tìm là: 8 C 495 12 = CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 8 Ví dụ 3: