ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Hàm sinh Kim Đình Sơn, 12A1,THPT Chuyên Vĩnh Phúc Giới thiệu Xét dãy số( ) hàm số ( )= + + +⋯+ +⋯ Khi ( ) đươcj gọi hàm sinh cho dãy ( ) , ta nói hàm ( ) mang đầy đủ thông tin dãy ( ) ∈ Hệ số số hạng dãy.Nếu biết đặc điểm hàm ( ) ta hoàn tồn biết số hạng dãy cách tổng quát Ví dụ dãy số thỏa mãn phương trình sai phân + + = ta có hàm sinh cho dãy thỏa mãn ( ( )− )+ − ( ( )− )+ ( )=0 Hay +( 1+ ( )= Nếu , hai nghiệm phương trình đặc trưng +( ( )= (1 − ) = (1 − ) VÍ DỤ 1.Tìm cơng thức tổng qt cho dãy ( = + (1 − , ) , ≥ 0) với = ( + ≥ Trong , = = xác định + + ∞ ( + ) ∞ = + = 1− + Suy ( )= ) , ∀ ≥ , ∞ ( )= + + Từ suy số hạng tổng quát dãy : theo Giải Xét ( ) = ∑∝ + ∞ ) + )(1 − ) + + (1 − )(1 − ) = − ∞ 1− − 1− = − − ( ) ℳừng xuân Canh Dần 2010 Do = ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ,∀ VÍ DỤ Chứng minh số ∞ − = Giải Dãy = 0, thỏa mãn = ∞ ∞ ∞ ( )= = Suy VÍ DỤ ( ℎ , ∀ ≥ Đặt , − ∞ ∞ ∞ − = Để ý hàm sinh cho dãy + − = Xét hàm sinh ( ) = ∑∝ = ( + 1) = = =0= 1− , − =1= , ∀ Ta có điều cần chứng minh ) Chứng minh − − = +1 Các phép toán hàm sinh Cho dãy ∑∞ , …và = ∑∞ ( )là hàm sinh dãy số Khi hàm sinh cho dãy = ( ) Ta có pháp nhân , , … Tiếp theo, giả sử hai dãy { } à{ } có hai hàm sinh A(x) B(x) Khi ∞ ( dãy { + } có hàm sinh ∑ + ) = ∑∞ + ∑∞ = ( )+ ( ), ta có phép cộng Nếu thêm đằng trước dãy , số ta có hàm sinh co dãy 0,0, … ,0, ∑∞ = ( ), ta có phép nhân , , … ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Bây ta xét hàm ( ) = ( ) ∙ ( ) = ∑∞ ∑ , đặt =∑ Ta có hàm sinh cho dãy { } hàm G(x) Ta gọi quy tắc “phép xoắn” hay quy tắc “xoắn”(ta có hai dãy { } à{ } ghép cặp số hạng kiểu ) VÍ DỤ Chứng minh số cách chèn dấu ∗ vào tích n+1 nhân tử số +1 Giải Ta nhận thấy số cách chèn dấu ∗ vào tích + nhân tử lại Do = Xét hàm sinh ∞ ∞ ( )= Khi ( ) − = ∑∞ ( ) − = ( ) Suy = ∑∞ =1+ ∑ , theo quy tắc xoắn ta có ( )= − √1 − Ta có ∞ √1 − = (1 − ) ∞ = = 1 2∙ 2−1 ∞ =1−2 −2 (−4 ) 1 −2 … 2− ! (2 − 2)! ( − 1)! ( − 1)! Vậy ta có điều phải chứng minh +1 ∞ = (−4 ) +1 − nhân tử ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh VÍ DỤ Chứng minh đẳng thức sau với số nguyên dương + (Cơng thức = , , − ) VÍ DỤ Cho dãy { } xác định =1 + + ⋯+ = Tìm cơng thức tổng qt cho Xây dựng hàm sinh Để biết thông tin dãy số ta xét hàm sinh cho dãy số Đối với tốn địi hỏi cơng thức tường minh cho số hạng dãy chứng minh đẳng thức dãy tức ta cần “nắm bắt thông tin “( quan trọng) dãy, ta cần xét hàm sinh cho biến Vậy “thông tin”? Ta gán cho thơng tin ứng với biến Ví dụ, với phần tử dãy ta có hai lựa chọn chọn khơng chọn, biểu diễn hàm sinh cho + = + ta có hàm sinh cho dãy gồm phần tử chọn (1 + ) Ở thông tin xuất phần tử dãy VÍ DỤ 7( 3? 2003) Có số có chữ số từ tập hợp {2,3,7,9} chia hết cho Giải Ta có số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Như u cầu tốn tương đương với việc tìm số số có chữ số mà tổng chữ số chia hết cho Ta có chữ số số thỏa mãn có giả trị số 2,3,7 ℎ ặ Do hàm sinh cho chữ số + + + Xét hàm sinh ℱ( ) = ( Trong số số có Xác định = ≠1 1+ + / + + + ) = + + + ⋯+ chữ số từ {2,3,7,9} mà có tổng chữ số nghiệm nguyên thủy bậc ba Unity ( phương trình = ( − 1)/( − 1) = Khi ℱ (1) = + ℱ( ) = + ℱ( ) = + + + Khi + +⋯ + + + + +⋯ + + +⋯ = 1), ta có ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( ) = + (1 + + ) = 3( + + + ⋯ ) = + (1 + + ) +3 +⋯ Vậy ta có số cần tính = ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( ) = ((1 + + + 1) + ( + + + 1) + ( + + + 1) ) = (4 + 2) _ Nói thêm hàm sinh.Như phần giới thiệu, ta cần biết xác cơng thức dãy, thơng thường ta tính hệ số giá trị hàm sinh điểm (như đủ).Cũng ta đưa số đại lượng cần tính việc tính hệ số hàm sinh Tuy nhiên ví dụ lại khác Đại lượng cần tính lại tổng vài số hạng dãy, loại hàm sinh ta cần xét dãy số mũ hàm sinh Như vậy, ta có hai lọai hàm sinh thường gặp( ứng với biến –một thông tin) loại thứ hai ( )= Trong dãy ( ) ∈ + + +⋯ dãy hữu hạn vô hạn , , … , , , , … , , với ≥ thỏa mãn Chứng minh lũy thừa VÍ DỤ Cho số nguyên dương phân biệt + |1 ≤ < ≤ = + |1 ≤ < ≤ Giải Xét hai hàm sinh ( )= + + + ⋯+ ( )= + + +⋯+ Và Suy ta có ( ) =∑ + 2∑ ( ) =∑ ( ) − ( Hay ( ) − ( ) = ( )− ( )= ( ) − ( ( ) ( )+ ( ) = ( ( ) ) ) Mặt khác (1) = (1) = ( ) − ( ) = ( − 1) Dođó( − 1) +2∑ − 1) ( ), ( (1) ≠ ),i.e, ( ) + ( ) = ( + 1) nên ta viết ( ) Vậy ℳừng xuân Canh Dần 2010 Với = 1, ta có = hay ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh =2 lũy thừa Vậy Ngoài ra, việc xây dựng hàm sinh không dựa biến (vì biến cho ta thơng tin nhất!) Đối với tốn địi hỏi nhiều thông tin ta cần xét hàm sinh với nhiều biến Nhưng trước đến với ví dụ đo ta xét bốn định lý sau Định lý Trong ví dụ 7, ta thấy phương pháp giải tốn dạng có kết hợp với số phức để tính (như báo thầy Đặng Hùng Thắng tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ: “dùng ảo đếm thực”) Trong / = ĐỊNH LÝ Xác định với số nguyên dương Khi đa thức ℱ( ) = + + +⋯ xác định + + +⋯= > ℱ Ta có tổng ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ ( n ) , = nên =1+ = Trong trường hợp khác ta có ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ ( )= + + ( +⋯+ ≠ + Nếu ) = +⋯ = ( ) ( Chứng minh Ta xét chứng minh dựa vào tổng chia hết = Ta có + + ⋯) Định lý chứng minh VÍ DỤ ( 1995 {1,2,3, … } thỏa mãn (i) (ii) 6) Cho số nguyên tố lẻ Tìm số tập có phần tử Tổng tất phần tử của tập chia hết cho Giải Bài tốn có hai thơng tin cần biết: số phần tử tập hợp tổng phần tử tập hợp Đến ta có hai hướng giải sau Hướng Rõ ràng với , ≤ ≤ ta góp vào với hàm tích 1+ Khơng thể tập có p phần tử Vì ta phải xét hàm sinh + =1+ ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( , ) = (1 + )(1 + ) … (1 + )= , , Trong , {1,2,3, … } thỏa mãn (i)| | = − số tập =∑ Vì ta cần tính | , / = Đặt ={ , Ta tính tổng ∑ ∈ Đầu tiên ta có ∑ ∑ ∈ (ii) ( ) = nghiệm nguyên thủy Unity ,…, = 1} , ( , ) theo hai cách ∈ ( , ) = ( , 1) + ∑ ( , 1) = ( + 1) Mặt khác với Do ∈ \{ } ( , ) = ( , 1) + ∑ Ta có ta có {1,2, … , } = {1 ⋅ , ⋅ , … , ∙ } ≢0 + , = + Hay + Xét ( ) = ( − )( − ) = −( + 1) suy )…( − = + )= − 1, ta có ( , ) = ( + 1) (− ) = (−1) ( + )( + + ( − 1)( )…( + + 1) ∈ ( , )= ∈ ∈ [( + 1) + ( − 1)( + 1) ] = ∈ ( + 1) ∈ = + ( − 1) = , , + ( − 1) ∑ + ( − 1) = 2+ + ( − 1) ∈ ∈ + 1) ∈ = Bây ta tính ∑ ( ∈ ∈ = + ( − 1) ( †) +4 −2 ∈ ( , ) theo cách khác Để ý ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ế ế = ∈ ∤ | Do ( , )= ∈ ∈ ∈ = = , ∈ ∙ , ∈ = , , | , ∙ ∈ , ∙ , ∈ , | ∙ , | ∈ ∙ ( + 2) ( = = , ℎơ í ℎ ườ ℎợ =0 = 0) (††) Từ (†) (††) suy = −2 +2 Hướng Từ giả thiết ta thấy đại lượng cần tính gồm “the side and the sum” tập Vì hàm sinh có dạng ( , )= , , Trong , số tập k phần tử {1,2, … ,2 } với tổng phần tử n Khi ta cần tính = , + + ⋯ Để tìm dạng tổng quát cho ( , ) ta cần xác định tập gồm k phần tử có tổng phần tử n Với ≤ ≤ ta có m chọn m thuộc vào tập con, ngược lại m khơng chọn m khơng thuộc vào tập Do hàm sinh cho m + =1+ Suy ( , ) = (1 + Đặt = / )(1 + )(1 + ) … (1 + ) Khi theo định lý , = [ (1, ) + ( , ) + ⋯ + ( , )] (⋆) , | Ta tính ( , ), với ≤ ≤ − Xét = 0, (1, ) = (1 + ) Với ≤ có gcd( , ) = nên {1,2, … , } = {1 ⋅ , ⋅ , … , ∙ } ( ) Suy ≤ − Ta ℳừng xuân Canh Dần 2010 ( , ) = (1 + ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh )(1 + = (1 + = (1 + )(1 + )(1 + )(1 + ) … (1 + )(1 + )(1 + ) ) … (1 + ) … (1 + ) ) = (1 + ) Vậy , = ((1 + ) + ( − 1)(1 + ) ) , | Ta cần tính = =[ , ] ((1 + ) + ( − 1)(1 + ) )= + 2( − 1) | Đó đáp số cần tính VÍ DỤ 10 Cho số ngun tố lẻ số nguyên dương không chia hết cho Tìm số , ,…, gồm − số tự nhiên không lớn − cho tổng + + ⋯ + ( − 1) ≡0( ) Đáp số ( + − 1)/ VÍ DỤ 11 ( ℎ 1999)Với tập , xác đinh ( ) tổng phần tử thuộc ( ) = | | = ) Gọi = {1,2, … ,1999} = 0,1,2,3, … ,6 xác định ={ | Với ∈ ( )≡ , ( = 7} tính | | Trước đến với ví dụ 12 ta xét định lý sau ĐỊNH LÝ Đạo hàm hàm số ℋ( ) = ∏ biến ) ℋ ( ) = ℋ( ) ∙ ( ) ( ( ) hàm khả vi với ′( ) ( ) Định lý chứng minh đơn giản quy nạp theo , với đạo hàm hàm tích hai hàm số Bây ta xét toansau = ta áp dụng quy tắc tính VÍ DỤ 12 ( 1989) Cho phân hoạch ≥ số nguyên, nghĩa n biểu diễn thành tổng nhiều số nguyên dương biểu diễn tong phải theo ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh thứ tự khơng giảm (ví dụ = phân hoạch + + + 1, + + 2, + 3, + 2, ) Với phân hoach xác định ( ) sso số xuất ( ) xác định số số nguyên dương phân biệt xuất (ví dụ = 13 phân hoạch + + + + + 5, ( ) = ( ) = ) cố định , ta có Chứng minh với ( )= â ( ) ủ â ủ Giải Đặt ∑ ℬ( ) = ∑ â ( )= ∑ â ủ ta chứng minh ( ) = ℬ( ), từ suy ủ ( )= Xét ( ) = ∑ = ,∀ Với ≥ hàm sinh cho + + + ⋯ Với = 1, chọn lần ứng với ta có , nhiên để biết thêm số lần xuất ta gán thêm biến , chọn lần xuất lần , hàm sinh cho = + + + ⋯ Xét ℱ( , ) = , = (1 + + ⋯ )(1 + + + + ⋯ )(1 + + + ⋯)… , Trong ta dùng biến cho tổng phân hoach số lần xuất hiên phân hoạch, , số phân hoạch có số Chú ý xuất lần ta có , lần số xuất phân hoạch Do = , + + , , +⋯= , Do ( )= = , Ta có ℱ = , , Khi chọn = 1, ta có 10 ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ℱ = = , ( ) , Mà ℱ( , ) = (1 − )(1 − )(1 − )… Do ( )= 1− 1− (⋆) Ta thiết lập hàm ℬ ( ) cách tương tự Xét ( , )= , , = (1 + = + ⋯ )(1 + + 1+ + ⋯ )(1 + + + + ⋯)… 1− Trong , số phân hoạch với phần tử phân biệt Biến biểu diễn cho tổng phần tử phân hoạch biến số lần xuất phần tử phân hoạch Tương tự ta suy ℬ( ) = , = Ta có = ( , ) Với ( )=1+ ,⟶ ( )= ( ) ( ) ta có ( ) = ( ) Suy ℬ( ) = = ( , 1) 1− = (1 − ) (1 − 11 )… (⋆⋆) ℳừng xuân Canh Dần 2010 Từ (⋆) (⋆⋆) suy ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( ) = ℬ( ), = ,∀ CHÚ Ý Bài tốn giải cách sử dụng ngun lý , ĐỊNH LÝ Giả sử số nguyên dương , = ta có lời giải gọn! > Khi −1 ế −1 ế | ∤ Tiếp mtheo ta có đinh lý sau mà lời giải ví dụ 11 sử dung( Thực chất hệ định lý 3) ĐỊNH LÝ Nếu = / , số nguyên tố = ế ế | ∤ VI DỤ 14 Cho số nguyên dương , đo + chia hêt cho Tính số bốn số nguyên dương ( , , , ) cho tổng + + + chia hết cho ≤ , , , ≤ ( sử dụng định lý 3) VÍ DỤ 15 Cho số nguyên tố lẻ số nguyên dương khơng vượt q − Tìm số tập phân tử {1,2, … , }, cho ttongr phần tử tập chia hết cho Các toán áp dụng Bài toán 1( ℎ 1998) Cho ( ) ∈ ℕ, số tự nhiên,là dãy số không giảm cho số tự nhiên biểu diễn cách dạng + + với , , khơng thiết phân biệt Bài tốn 2( 1996) Xác định ( kèm chứng minh) tập tập sơ ngun với tính chất sau: số ngun có nghiệm phương trình + = với , ∈ Bài toán Cho số nguyên dương, đặt 12 ℳừng xuân Canh Dần 2010 ( )= Chứng minh [ ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh (1 + ) (1 − ) ] ( ) = với số ngun dương Bài tốn Tính tổng − + ⋯ + (−1) Bài toán Chứng minh −2 −1 (−1) =0 Bài toán ( đồng thức Euler) Đặt ( )= (1 − ) ế = Khi [ ] ( )= (−1) , ươ ± ℎợ ℎá Bài toán 7( ℎ 1996) Cho số nguyên dương Tìm số đa thức ( ) với hệ số thuộc tập {0,1,2,3} thỏa mãn (2) = Bài tốn 8( thứ tự Ví dụ 1957) Gọi ( ) số cách biểu diễn n thành tổng gồm 2, xếp theo 4= 1+1+2 = 1+2+1 = 2+1+1= 2+2= 1+1+1+1 ( ta có (4) = 5) Gọi ( ) số cách biểu diễn dụ = + = + = + = + + ta có ( + 2) thành tổng số nguyên lớn Ví (6) = Chứng minh ( ) = Bài toán 9( ℎ 2007) Tìm tất số nguyên dương cho tập S= {1,2, … , } tơ màu đỏ xanh thỏa mãn tính chất sau: tập chứa 2007 có thứ tự ( , , ) cho (i) (ii) , , màu + + chia hết cho 13 ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( đáp số 69 84 ) Bài toán 10( 2008) Cho tập = {1,2, ,2008} tô ba màu xanh, đỏ vàng Gọi số ba ( , , ) ∈ cho , , màu 2008 ℎ ℎế + + Gọi tập ba ( , , ) ∈ cho , , đôi khác màu 2008 ℎ ℎế + + Chứng minh > ∗ Bài toán 11 Gọi , , … , , , … tập thỏa mãn ≠ ∅, = {0} = { + 1| ∈ }, = ⋂ , với số nguyên dương Xác định tất sô ⋃ − nguyên dương để = {0} ( đáp số : lũy thừa 2, đẻ chứng minh trước hết ta hay giải hai bổ đề sau BỔ ĐỀ Nghiệm dãy hàm ( ) thỏa mãn phương trình ( )= ( )+ ( ) với ( )=1 ℎẵ , ∀0 < < −1− ( )= BỔ ĐỀ Số tự nhiên ( ) = ,ℎ ( )= lũy thừa ộ =2 ) _ 14 ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇ LỜI KẾT Hàm sinh khơng có ứng dụng toán đếm hay chứng minh tổ hợp mà cịn có nhiều ứng dụng khác toán thống kê, xác suất, lĩnh vực tin học, …Qua ví dụ ta thấy dường chúng giải hàm sinh Từ ta thấy ý nghĩa tầm quan trọng hàm sinh toán tổ hợp Xuân Canh Dần 2010, 16 tháng năm 2010 Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc 15 ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇ Tài Liệu Tham Khảo [1] A path to Combinatirics for Undergraduates, Counting Strategies, Andreescu,T.; Feng Z , Bikhauser, 2004 [2] Chuyên đề chọn lọc,Tổ hợp toán rời rạc, NXBGD 2008 [3] Hàm sinh, Trần Nam Dũng, nguồn http://forum.mathscope.org [4] Hàm sinh áp dụng ( topic), Biến phức áp dụng, Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) [5] Multivariate Generating Function and Other Tidbits, Zachary R Abel, Mathematical Reflections, vol 2, 2006 [6] Shortlisted IMO 2007/ IMO Group, www://imomath.com [7] Putnam and Beyond, Andreescu,T [8] 102 Problems in Algebrafrom the Trainingof the USA IMO Team, Andreescu,T.; Feng Z , Bikhauser, 2002 16 ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh 17 ⋇franciscokison⋇ ... khơng có hàm sinh Từ ta thấy ý nghĩa tầm quan trọng hàm sinh toán tổ hợp Xuân Canh Dần 2010, 16 tháng năm 2010 Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc 15 ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇... phép toán hàm sinh Cho dãy ∑∞ , …và = ∑∞ ( )là hàm sinh dãy số Khi hàm sinh cho dãy = ( ) Ta có pháp nhân , , … Tiếp theo, giả sử hai dãy { } à{ } có hai hàm sinh A(x) B(x) Khi ∞ ( dãy { + } có hàm. .. lượng cần tính lại tổng vài số hạng dãy, loại hàm sinh ta cần xét dãy số mũ hàm sinh Như vậy, ta có hai lọai hàm sinh thường gặp( ứng với biến –một thông tin) loại thứ hai ( )= Trong dãy ( ) ∈ +