http://toancapba.com,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ toancapba@gmail.com 1 NGDNGTCHPHNTNHTHTCHVTTHTRềNXOAY 1)DNG1: Hỡnh phng ( ) ( ) : y f x S x a x b a b = ỡ ù = ớ ù = ợ p quayquanhtrcOx,to thnhvtthtrũn xoaycúthtớch : ( ) 2 b a V f x dx p = ũ Vớd1: Tớnh thtớch vtth trũn xoaytothnh khiquayquanh Ox hỡnhphnggii hnbi cỏcng sau: ln , 0, 1y x x y x x e = = = = Gii: Tacú thờtớch vtthl: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ln ln e e V x x dx x x dx p p = = ũ ũ Tatớnh tớch phõntrờnbngPPtngphn t ( ) ( ) 2 3 2 2 ln ln 3 dx du x u x x x dv x dx v ỡ = ù ỡ = ù ù ị ớ ớ = ù ù ợ = ù ợ pdngcụngthc tớch phõntngphn tacú: ( ) 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 ln ln ln 3 3 3 3 e e e x e V x x xdx x xdx p p p ộ ự = - = - ờ ỳ ở ỷ ũ ũ TiptcPPtngphõntacú: t: 1 1 2 3 1 1 ln 3 dx du u x x dv x dx x v ỡ = ù = ỡ ù ị ớ ớ = ợ ù = ù ợ Vy : 3 3 2 1 1 2 ln 1 3 3 3 3 e e e x x V x dx p p ộ ự = - - ờ ỳ ở ỷ ũ ( ) 3 3 3 3 1 1 2 ln 5 3 3 3 3 9 27 e e e x x x V e p p p ộ ự = = - - = - ờ ỳ ở ỷ Vớd2: 2 3 2 : 0 y x x S y ỡ = - + ớ = ợ quayquanhtrcOx (Dng1,nhngkhuyt x=avx=b) Honh giaoim cath vi trchonh : 2 1 3 2 0 2 x x x x = ộ - + = ờ = ở Vy : ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 3 2 1 1 3 1 9 1 6 2 6V x x dx x x x x x dx p p = - + = + + - + - ũ ũ ( ) 2 5 4 3 2 4 3 2 2 1 1 3 11 6 11 6 1 3 1 5 2 3 x x x x x dx x x x p p ổ ử = - + - + = - + - + = ỗ ữ ố ứ ũ Bitõp: Tớnh Vcavtthto thnh khiquaycỏchỡnh phnggii hn bi cỏcngsauõyquanh Ox a) , 0, 1 2 x y xe y x x = = = = b) tan 0 3 y x y x o x p = = = = c) 4 4 1 sin cos , 0 , 2 y x x y x x p p = + + = = = d) , 0, 0, 1 x y xe y x x = = = = http://toancapba.com,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ toancapba@gmail.com 2 2)DNG2: Hỡnh phng ( ) ( ) ( ) : y f x y g x S x a x b a b = ỡ ù = ù ớ = ù ù = ợ p (trongúúth haihm s ( ) ( ) ,y f x y g x = = nmvcựngmtphớa i vi trcquay ox ) quayquanhtrc Ox,to thnhvtthtrũn xoaycúthtớch : ( ) ( ) 2 2 b a V f x g x dx p = - ũ Nutrờnkhong(ab)hai th khụngctnhau,v ( ) y f x = nmngoi ( ) y g x = sovi trcquay Ox, thỡ cụngthctrờntr thnh : ( ) ( ) 2 2 b a V f x g x dx p ộ ự = - ở ỷ ũ Vớd1: ( ) 2 2 4 6 2 6 y x x S ox y x x ỡ = - + ù ớ = - - + ù ợ (Dng2,khuyta,b) Gii: Honh giaoim cahai th 2 2 0 4 6 2 6 1 x x x x x x = ộ - + = - - + ờ = ở Trờn on [01],tathy ( ) ( ) 2 2 2 6 4 6 0,f x x x g x x x = - - + = - + f f Doúhai th unm trờntrchonh,v ( ) y f x = nm ngoi ( ) y g x = sovi trc ox. Vy tacú: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 2 6 4 6V x x x x dx p ộ ự = - - + - - + ờ ỳ ở ỷ ũ Ddngtớnh c: 3V p = Vớd2: ( ) 2 2 1 1 2 y x S ox x y ỡ = ù ù + ớ ù = ù ợ Gii: Honh giaoim cahai th : 2 4 2 2 1 1 2 0 1 1 2 x x x x x x = - ộ = + - = ờ = + ở Trờn on [ ] ( ) ( ) 2 2 1 11 : 0 1 2 x f x g x x - = = + f (munbithmsnolnhntath1giỏtrbtkỡcaxtrongkhong(11), õytathx=0thỡ ( ) ( ) 0 1 0 0f g = = f ) Vytacú: ( ) 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 2 4 1 x dx x V dx dx x x p p p - - - ổ ử ổ ử ổ ử ỗ ữ = - = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ + ố ứ ố ứ + ố ứ ũ ũ ũ *Tớnh: 1 4 5 1 1 1 1 4 20 10 x x A dx - = = = - ũ *Tớnh : ( ) 1 2 2 1 1 dx B x - = + ũ t tanx t = vi 2 2 t p p ổ ử ẻ - ỗ ữ ố ứ suyra: 2 1 cos dx dx x = 1 4 x t p = - ị = - , 1 4 x x p = ị = http://toancapba.com,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ toancapba@gmail.com 3 Vy ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 1 cos 1 cos2 2 1 tan cos dt B tdt t dt t t p p p p p p - - - = = = + + ũ ũ ũ 1 sin 2 1 4 2 2 4 2 4 t t p p p ổ ử = + = + ỗ ữ ố ứ - Vy 1 4 4 2 10 4 5 V p p p p p ổ ử ổ ử = + - = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Bitp: Tớnh Vkhiquayhỡnhsauquanh Ox 1) 2 2 4 , 2y x y x = - = + 2) 2 ,y x y x = = 3)DNG3: Hènh phng ( ) ( ) y f x y f x S x a x b = ỡ ù = - ù ớ = ù ù = ợ quayquanhtrcOx. Khiúcụngthcthtớchl: ( ) 2 b a V f x dx p = ũ Nhnxột:Mtsngcong (ngtrũn,elip,hypebol,parabol)cúthcoinhlhpcahai thhms *ngtrũn : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 y b R x a x a y b R y b R x a ộ = + - - ờ - + - = ờ = - - - ờ ở Trongúnatrờn ngconglth cahm s(1) Nadi lth cahm s(2) *Elip: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 b y a x x y a b a b y a x a ộ = - ờ + = ờ ờ = - - ờ ở Vớd1: Tnh thtớchvtthtrũn xoaykhiquayhỡnh phnggiihn bi ngtrũn ( ) 2 2 1 1x y + - = quay quanhtrcOx Gii :Tacúngtrũn trờnlhpcahai th hm s 2 2 1 1 , 1 1y x y x = - - = + - Vy ngtrũnlhỡnhphnggii hnbihai th hm strờn 2 2 1 1 : 1 1 y x S y x ỡ = - - ù ớ = + - ù ợ Hai th ny nmvmtphớai vi trcOx (vhỡnh ) (dng2,khuytx=a,x=b) Honh giaoim cahai th trờnl: 2 2 1 1 1 1 1x x x - - = + - = Vy thtớchl: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1V x x dx p - ộ ự = + - - - - ờ ỳ ở ỷ ũ 1 2 1 4 1 x dx p - = - ũ ,tatớnh tớch phõnnybngppi bin sin , 2 2 x t t p p ộ ự = ẻ - ờ ỳ ở ỷ 4)DNG4: Hỡnhphnggiihnbinhiuthhms.Taphõnchiahỡnhphngthnhcỏchỡnh thangcong,tamgiỏccong (theocỏcngiquagiaoim,vuụnggúcvitrcquay) ,vtỡnhthtớch catnghỡnhthangcong,tamgiỏccong úquayquanhtrc http://toancapba.com,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ toancapba@gmail.com 4 Vớd1: ( ) 2 : 2 y x S y x = ỡ ù ớ = - ù ợ .Tớnh thtớch vtth trũn xoaykhiquayhỡnh phngtrờn a)Quanhtrc Ox b)QuanhtrcOy Gii : a)QuanhtrcOx: Honhgiaoim cahai th (2)v(3)l: ( ) 2 2 2 5 4 0 1, 4x x x x x x = - - + = = = Trờn on [ ] 14 ,hai th nynm trờntrchonh.(vỡ ( ) 2 2 0x x - ,nờnvrasthy )(Thucdng2) Vy : ( ) [ ] ( ) 4 4 2 2 2 1 1 4 2 4 4 2 4 18 1 V x x dx x dx x x p p p p ộ ự = - - = - = - = ở ỷ ũ ũ b)QuayquanhtrcOy: (Vitcỏchm sdng ( ) x f y = Hỡnh phnggiihnbi cỏcth hm s(theotrcOy): 2 2 x y x y x y ỡ = ù = - ớ ù = + ợ Tunggiaoim cacỏcngtrờnl: 2 1 2 x y y y y x y = ỡ ù ị = - = ớ = - ù ợ , 2 4 2 x y y y y x y = ỡ ù ị = + = ớ = + ù ợ 2 2 2 0 2 x y y y y x y ỡ = - ù ị - = + = ớ = + ù ợ Phõnchiahỡnhphngthnh 2hỡnh (xemhỡnhv): 1 2 2 2 : , : 2 x y y y S S x y x y ỡ = + ỡ = + ù ù ớ ớ = = - ù ù ợ ợ Vy : ( ) ( ) ( ) 1 4 2 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2V V V y y dy y y dy p p ộ ự ộ ự = + = + - - + + - ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ở ỷ ũ ũ Vớd2: Tớnh thtớch khiquayhinhsauquanhtrcOy: 2 3 2 : 0 0 y x x S y x ỡ = - + ù = ớ ù = ợ Tachuyn sanghm sdng ( ) x f y = 2 2 3 2 3 2 0y x x x x y = - + - + - = (coi õylpTbchai n x,ylthams)tacú: ( ) 9 4 2 1 4y y D = - - = + 3 1 4 3 1 4 , 2 2 y y x x - + + + = = Davohỡnhvtacú: 2 2 2 0 2 1 2 1 0 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 2 2 2 y y y V V V dy dy p p - ộ ự ổ ử ổ ử ổ ử + + - + - + ờ ỳ = + = - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ờ ỳ ố ứ ố ứ ố ứ ở ỷ ũ ũ Vớd3 Tớnh Vkhiquayhỡnh phnggii hn bi th hm s 1 1 x y x - = + vhaitrc taquanhtrcOy 1 1 1 1 1 x y y yx y x x x y - + = + = - = + - , 2 0 1 1 1 y V dy y p - ổ ử + = ỗ ữ - ố ứ ũ http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí  toancapba@gmail.com 5  BÀITẬPLUYỆNTẬP  1) ( ) ln , 0, 1, 2y x y x x Ox = = = = 2) ( ) 2 8 , 2 ,y x x Ox Oy = = 3) ( ) ( )( ) 2 2 2 0x y b a a b Ox + - = £ p 4) , 0, 0, 1 x y xe y x x = = = = 5) ( ) 6 6 sin cos , 0, 0, 2 y x x y x x Ox p = + = = = 6) ( ) 2 4 , , 2 ,y x oy y Ox Oy = = 7) [ ] 2 3 2, , ,y x x Ox Oy Ox Oy = - - - 8) [ ] ln , , x y ox x e Ox x = = 9) [ ] 2 3 2 , , 3 x x y ox oy Oy x - + = - 10) [ ] 2, ,y x ox oy Oy = + . 1 NGDNGTCHPHNTNHTHTCHVTTHTRềNXOAY 1)DNG1: Hỡnh phng ( ) ( ) : y f x S x a x b a b = ỡ ù = ớ ù = ợ p quayquanhtrcOx,to thnhvtthtrũn xoaycúthtớch : ( ) 2 b a V f x dx p = ũ Vớd1: Tớnh thtớch vtth trũn xoaytothnh. haihm s ( ) ( ) ,y f x y g x = = nmvcựngmtphớa i vi trcquay ox ) quayquanhtrc Ox,to thnhvtthtrũn xoaycúthtớch : ( ) ( ) 2 2 b a V f x g x dx p = - ũ Nutrờnkhong(ab)hai th khụngctnhau,v ( ) y. 2 2 2 1 b y a x x y a b a b y a x a ộ = - ờ + = ờ ờ = - - ờ ở Vớd1: Tnh thtớchvtthtrũn xoaykhiquayhỡnh phnggiihn bi ngtrũn ( ) 2 2 1 1x y + - = quay quanhtrcOx Gii :Tacúngtrũn trờnlhpcahai