Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn C ác bạn học sinh thân mến! Trong ấp ủ ước mơ, hồi bảo Đối với riêng học sinh cấp THPT ước mơ lớn khơng khác hơn, thi đậu vào trường Đại học, Cao đẳng mà mong ước, ước mơ lại có sở để trở thành thực cố gắng học tập Ước mơ nhóm biên soạn chúng tơi chẳng khác bạn Để góp phần thực ước mơ nhóm định soạn chuyên đề lấy tên “Phương trình lượng giác” Khơng phải ngẫu nhiên mà nhóm chúng tơi lại định chọn chun đề Như bạn biết, phương trình lượng giác mảng khơng thể thiếu kì thi Đại học Cao đẳng Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Chương I: Các cơng thức lượng giác cần nhớ Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Các đẳng thức lượng giác : • • • • • • sin α + cos α = sin α π tan α = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α cos α cot α = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin α π tan α + = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α cot α + = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin α kπ tan α cot α = ( với ∀α ≠ ,k ∈ Z ) Cung k2π kπ : • • sin ( x + k 2π ) = sin x cos ( x + k 2π ) = cos x tan ( x + kπ ) = tan x • cot ( x + kπ ) = cot x • Cung đối : • • • • sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x Cung bù : • • • • sin ( π − x ) = sin x cos ( π − x ) = − cos x tan ( π − x ) = − tan x cot ( π − x ) = − cot x Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Cung phụ : π  sin  − x ÷ = cos x 2  π  tan  − x ÷ = cot x 2  Cung π/2 : π   2 ÷  2  π   cos  + x ÷ = − sin x 2  π  tan  + x ÷ = − cot x 2  π  cot  + x ÷ = − tan x 2  π  •cossin  − x+ x ữ = cos x = sin x ã • • π  cot  − x ÷ = tan x 2  Cung π : • • • • sin ( π + x ) = − sin x cos ( π + x ) = − cos x tan ( π + x ) = tan x cot ( π + x ) = cot x Cơng thức cộng : • • • sin ( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x ( ∀x, y ∈ ¡ ) cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y ( ∀x, y ∈ ¡ ) tan x ± tan y  π   ∀x, y, x ± y ≠ + kπ ÷ mtan x tan y   cot x cot y m1 cot ( x ± y ) = ( ∀x, y, x ± y ≠ kπ ) cot y ± cot x tan ( x ± y ) = • Công thức nhân đôi : • • • • sin x = 2sin x cos x cos x = cos x − sin x = 2cos x − = − 2sin x tan x π   tan x = =  ∀x, x ≠ + kπ ÷ − tan x cot x − tan x   cot x − cot x − tan x cot x = = ( ∀x, x ≠ kπ ) 2cot x Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Cơng thức chia đơi : • • • x =± x cos = ± x tan = ± sin − cos x + cos x − cos x − cos x = + cos x sin x Công thức nhân ba : • • • • sin x = 3sin x − 4sin x cos3 x = 4cos x − 3cos x 3tan x − tan x  π  tan x =  ∀x,3 x ≠ + kπ ÷ − 3tan x   cot x = cot x − 3cot x ( ∀x,3x ≠ kπ ) 3cot x − Cơng thức hạ bậc : • • • • • ( − cos x ) cos x = ( + cos x ) − cos x  π  tan x =  ∀x ≠ + kπ ÷ + cos x   + cos x cot x = ( ∀x ≠ kπ ) − sin x 3sin x − sin x sin x = 3cos x + cos x sin x = Cơng•thức theo = cos x : Cơng thức theo t = tan • • x : 2t 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 sin x = Cơng thức biến đổi tích thành tổng : • tan x = 2t  x π  ∀x, ≠ + kπ ÷  1− t  2  Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Cơng thức biến đổi tích thành tổng : sin ( x + y ) + sin ( x − y )  ( x > y )  2 • cos y sin x = sin ( x + y ) − cos ( y − x )  ( y > x )  2 Cơng • cos x cos ytổng  cos ( xtích ): + cos ( x − y )  thức biến đổi = thành + y  2 sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y )   2 • • sin x cos y = Công thức biến đổi tổng thành tích : • • • • • • x+ y x− y cos 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 sin ( x ± y )  π  tan x ± tan y =  ∀x, y ≠ + kπ ÷ cos x cos y   sin x + sin y = 2sin cot x ± cot y = sin ( y ± x ) ( ∀x, y ≠ kπ ) sin x sin y Các kết thường dùng : Chuyên đề Phương trình lượng giác • • • • • • • • • • 10 Toán π π   sin x + cos x = sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = sin  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   π  tan x + cot x = −2cot x  ∀x ≠ k ÷ 2   π tan x − cot x =  ∀x ≠ k ÷ sin x  2 sin x + cos x = + cos x 4 sin x + cos x = + cos x 8 π x  + sin x = cos  − ÷  2 π x  − sin x = 2sin  − ÷  2 π  cos  x − ÷ 4  + tan x = cos x π  sin  − x ÷ 4  − tan x = cos x Các đẳng thức tam giác : • • • • • • • A B C cos cos 2 A B C cos A + cos B + cos C = + 4sin sin sin 2 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = cos A + cos B + cos C = − 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = + 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin 2C = 4sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C = 4cos Chuyên đề Phương trình lượng giác • • • 10 Tốn cos A + cos B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Chương II: Phương trình lượng giác 10 Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 46 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 47 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Ví dụ 1: Ví dụ 2: 48 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 49 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 50 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn VI.Phương trình lượng giác khơng mẫu mực Ví dụ 1: Ví dụ 2: 51 Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Ví dụ 1: 52 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Ví dụ 2: 53 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Ví dụ 1: Ví dụ 2: 54 Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Ví dụ 1: 55 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Ví dụ 2: 56 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 57 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Chân dung sồ nhà toán học: Pierre de Fermat -Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 Pháp – 1665) học giả nghiệp dư vĩ đại, nhà toán học tiếng cha đẻ lý thuyết số đại Xuất thân từ gia đình giả, ông học Toulouse lấy cử nhân luật dân làm chánh án Chỉ trừ gia đình bạn bè tâm giao, chẳng biết ông vô say mê toán Mãi sau Pierre de Fermat mất, người trai in dần cơng trình cha kể từ năm 1670 Năm 1896, hầu hết tác phẩm Fermat ấn hành thành tập dày Qua đó, người đời vơ ngạc nhiên khâm phục trước sức đóng góp dồi ông Chính ông người sáng lập lý thuyết số đại, có định lý bật: định lý nhỏ Fermat định lý lớn Fermat (định lý cuối Fermat) Trong hình học, ơng phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng đường cong bậc chứng minh đường cong thiết diện cơnic Trong giải tích, ơng nêu quy tắc lấy đạo hàm hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân hàm mũ với số mũ phân số số mũ âm Nguyên lý Fermat truyền sáng lại định luật quan trọng quang học Dù hoạt động khoa học kiên trì giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành to lớn vậy, éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu tốn làm nghề thức 58 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn JOHN C FIELDS Trong tốn học bạn nghe qua huy chương Fields mà người ta thường coi giải Nobel cho toán học, đề xướng nhà toán học Canada John C Fields, tiếc ông trước hai huy chương Fields trao Sinh thời bạn thân Mittag-Leffler, ông vận động gây quỹ nhiều cho toán học, noi theo gương Mittag-Leffler (năm 1895 trao hết gia sản cho hiệp hội thành lập viện tốn Mittag-Leffler) ơng cố cơng xây dựng Royal Canadian Institute thành trung tâm nghiên cứu khoa học Quỹ Fields không nhiều (khi Fields để lại 47 ngàn la Canada để góp vơ) nên ban đầu có huy chương, trao năm lần vào dịp Đại hội toán học quốc tế cho nhà toán học 40 tuổi Từ 1969 người ta thêm vào hai huy chương nữa, từ có đến người trao huy chương Và có giải Nobel trao cho nhà toán học, năm 1990 huy chương Fields trao cho nhà vật lý mà cơng trình nghiên cứu thuyết siêu sợi (superstring theory) có nhiều đóng góp lớn cho tốn học Huy chương Fields khác với giải Nobel chỗ hạn chế tuổi, phần lớn muốn khuyến khích luồng nghiên cứu nhà toán học trẻ 59 ... Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 41 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 42 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 43 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn V .Phương trình lượng giác. .. 2 2 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn Chương II: Phương trình lượng giác 10 Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Tốn I Phương trình lượng giác đưa dạng Trong lượng giác có phương trình Dù... Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 23 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn 24 Chun đề Phương trình lượng giác 10 Tốn III .Phương trình bậc theo sin cos Ví dụ 1: 25 Chun đề Phương trình lượng