Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 6 potx

50 735 5
Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 6 potx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

312 CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VI.1. 1) 3 sin cos 2 x x− = 3 1 2 sin cos 2 2 2 sin sin cos cos cos 3 3 4 (cos cos sin sin ) cos 3 3 4 cos( ) cos 3 4 cos( ) cos 3 4 3 cos( ) cos 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 4 3 3 2 4 3 5 2 12 x x x x x x x x x x k x k x k x k x k x π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ + = − ⇔ + =  + = +  ⇔   + = − +    = − +  ⇔   = − − +   = + ⇔ = ( ) 13 2 12 k k π π   ∈   − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 5 13 2 , 2 ,( ). 12 12 x k x k k π π π π = + = − + ∈ ℤ 2) cos 2cos 2 1 x x + = 2 4cos cos 3 0 cos 1 3 cos 4 2 3 arccos( ) 2 ,( ) 4 3 arccos( ) 2 4 x x x x x k x k k x k π π π π ⇔ + − = = −   ⇔  =    = +   ⇔ = + ∈    = − +  ℤ 313 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 3 3 2 , arccos( ) 2 , arccos( ) 2 ,( ). 4 4 x k x k x k k π π π π = + = + = − + ∈ ℤ 3) 2 cos4 2cos 0 x x + = 2 2 1 cos2 2cos 2 1 2( ) 0 2 2cos 2 cos 2 0 cos 2 (2cos 2 1) 0 x x x x x x + ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + = cos2 0 2cos2 1 0 x x =  ⇔  + =  2 2 1 2 cos2 cos 2 3 4 2 2 2 2 ,( ). 3 2 2 2 3 x k x x k x k k x k π π π π π π π π π  = +  ⇔   = − =    = +    ⇔ = + ∈    = − +   ℤ 4 2 ( ) 3 3 x k x k k x k π π π π π π  = +    ⇔ = + ∈    = − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 4 2 3 x k x k k π π π π = + = ± + ∈ ℤ 4) 2 2 2cos 4cos 3sin x x x + = 2 2 2 2cos 4cos 3(1 cos ) 0 5cos 4cos 3 0 2 19 cos 5 2 19 cos 5 x x x x x x x ⇔ + − − = ⇔ + − =  − + =   ⇔  − − =   2 19 cos 5 x − + ⇔ = (Vì phương trình 2 19 cos 5 x − − = vô nghiệm) 314 2 19 arccos( ) 2 5 ( ) 2 19 arccos( ) 2 5 x k k x k π π  − + = +   ⇔ ∈  − + = − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 19 arccos 2 ,( ). 5 x k k π   − + = ± + ∈       ℤ 5) cos sin 3sin 2 1 0 x x x − + − = Đặt cos sin 2 cos , 4 t x x x π   = − = +     điều kiện: 2. t ≤ 2 sin 2 1 . x t ⇒ = − Phương trình đã cho trở thành 2 1 3 2 0 2 3 t t t t =   − − = ⇔  = −  2 cos( ) 1 4 2 2 cos( ) 4 3 x x π π  + =  ⇒   + = −   1 cos( ) 4 2 2 cos( ) 4 3 x x π π  + =   ⇔  + = −   2 4 4 2 4 4 2 arccos( ) 2 4 3 2 2 ,( ) 2 2 arccos( ) 2 3 4 x k x k x k x k x k k x k π π π π π π π π π π π π π  + = +    ⇔ + = − +    + = ± − +     =   ⇔ = − + ∈    = ± − − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 2 , 2 , arccos( ) 2 ,( ). 2 3 4 x k x k x k k π π π π π = = − + = ± − − + ∈ ℤ 315 6) ( ) 2sin 2 3 3 sin cos 3 3 0 x x x − + + = ( ) ( ) 4sin cos 3 3 sin cos 3 3 0 1 x x x x⇔ − + + = Đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x π   = + = +     điều kiện: 2. t ≤ Khi đó 2 2 1 1 2sin cos sin cos . 2 t t x x x x − = + ⇒ = Phương trình (1) trở thành ( ) 2 2 1 3 3 3 3 0 t t − − + = 2 2 3 3 3 3 2 0 1 3 3 2 2 t t t t ⇔ − + − = =   ⇔ −  =   Chọn 1 2 sin 1 4 t x π   = ⇒ + =     1 2 sin sin 4 2 4 2 x π π   ⇔ + = = =     ( ) 2 2 4 4 , . 2 2 2 4 4 x k x k k x k x k π π π π π π π π π π  = + = +    ⇔ ⇔ ∈   = +  + = − +    ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 , 2 ,( ). 2 x k x k k π π π = = + ∈ ℤ 7) sin 2 2 sin 1 2sin cos sin cos 1(1) 4 x x x x x x π   + − = ⇔ + − =     Đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x π   = − = −     điều kiện: 2. t ≤ Suy ra 2 1 2sin cos 1 sin2 t x x x = − = − 2 sin2 1 x t ⇒ = − Khi đó phương trình (1) trở thành ( ) 2 2 1 1 0 1 0 0 1 t t t t t t t t − + = ⇔ − = ⇔ − = =  ⇔  =  + Với t = 0. Ta có 316 2 sin 0 sin 0 ,( ). 4 4 4 4 x x x k x k k π π π π π π     − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = + ∈         ℤ + Với t = 1. Ta có ( ) 1 2 sin 1 sin 4 4 2 2 2 4 4 , . 2 2 2 4 4 x x x k x k k x k x k π π π π π π π π π π π π π     − = ⇔ − =          − = +   = +  ⇔ ⇔ ∈    = + − = − +    ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , 2 , 2 ,( ). 4 2 x k x k x k k π π π π π π = + = + = + ∈ ℤ 8) ( ) 2 2 1 sin 2sin cos 2cos 1 2 x x x x+ − = Vì cos 0 x = không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của phương trình (1) cho 2 cos 0 x ≠ ta nhận được của phương trình ( ) 2 2 1 tan 2 tan 2 1 tan 2 x x x + − = + ( ) 2 tan 4 tan 5 0 tan 1 , 4 tan 5 arctan( 5) x x x x k k x x k π π π ⇔ + − =  = = +   ⇔ ⇔ ∈   = −  = − +  ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , arctan( 5) ,( ). 4 x k x k k π π π = + = − + ∈ ℤ 9) cos 2 cos sin (1) 1 sin 2 x x x x + = − Điều kiện: ( ) 1 sin 2 0 sin2 1 , 4 x x x k k π π − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ Với điều kiện trên thì ( ) ( )( ) ( ) 2 2 cos 2 (1) cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = − + − ⇔ + = − + ⇔ + = − 317 ( ) 1 cos sin 1 0 cos sin cos sin 0 cos sin 1 x x x x x x x x   ⇔ + − =   −   + =  ⇔  − =  tan 1 2 cos 1 4 x x π = −   ⇔    + =       4 4 2 2 ,( ) 4 4 2 2 2 4 4 x k x k x k x k k x k x k π π π π π π π π π π π π π  = − +   = − +     ⇔ + = + ⇔ = ∈     = − +   + = − +    ℤ . (Thỏa điều kiện) Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , 2 , 2 ,( ). 4 2 x k x k x k k π π π π π = − + = = − + ∈ ℤ 10) 3 3 sin cos 1 sin cos x x x x − = + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 sin cos sin sin cos cos 1 sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + = + ⇔ − + = + ( ) ( ) 1 sin cos sin cos 1 0 x x x x ⇔ + − − = sin 2 1 2 sin 1 0 2 4 x x π       ⇔ + − − =             2 sin 1 0 4 sin 2 1 0 2 1 sin 4 2 sin 2 2 x x x x π π    − − =       ⇔  + =      − =    ⇔     = −  2 sin 4 2 x π   ⇔ − =     (Vì phương trình sin2 2 x = − vô nghiệm) 2 4 4 2 4 4 x k x k π π π π π π π  − = +  ⇔   − = − +   318 2 ,( ) 2 2 x k k x k π π π π  = +  ⇔ ∈  = +  ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 , 2 ,( ). 2 x k x k k π π π π = + = + ∈ ℤ VI.2.1) 2 sin 3 2cos 1 x x = − 3 2 3sin 4sin 1 2sin x x x ⇔ − = − 3 2 4sin 2sin 3sin 1 0 x x x ⇔ − − + = ( ) ( ) 2 sin 1 4sin 2sin 1 0 x x x ⇔ − + − = 2 sin 1 4sin 2sin 1 0 sin 1 1 5 sin 4 1 5 sin 4 x x x x x x =  ⇔  + − =    =  − +  ⇔ =   − −  =   2 2 1 5 arcsin 2 4 1 5 arcsin 2 4 1 5 arcsin 2 4 1 5 arcsin 2 4 x k x k x k x k x k π π π π π π π π   = +     − +  = +            − + ⇔ = − +           − −  = +            − −  = − +         Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 1 5 1 5 2 , arcsin 2 , arcsin 2 , . 2 4 4 x k x k x k k π π π π π     − ± − ± = + = + = − + ∈             ℤ 2) ( ) 2 1 tan sin cos (1) 1 tan x x x x + = + − 319 Điều kiện: cos 0 tan 1 x x ≠   ≠  ( ) 2 , . 4 x k k x k π π π π  ≠ +   ⇔ ∈   ≠ +   ℤ Với điều kiện trên thì ( ) 2 cos sin (1) sin cos cos sin x x x x x x + ⇔ = + − ( ) ( )( ) 2 cos sin cos sin cos sin 0 x x x x x x ⇔ + − − + = ( ) ( ) 2 2 cos sin 1 cos sin 0 x x x x ⇔ + − + = 2 cos sin 0 2sin 0 x x x + =  ⇔  =  2 sin 0 4 sin 0 x x π    + =    ⇔     =  sin 0 4 sin 0 x x π    + =    ⇔     =  ( ) , 4 4 x k x k k x k x k π π π π π π   + = = − +   ⇔ ⇔ ∈   = =   ℤ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 4 x k x k k π π π = − + = ∈ ℤ 3) 2 1 sin 2 1 tan 2 (1) cos 2 x x x − + = Điều kiện: ( ) cos 2 0 , . 4 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ Với điều kiện trên thì 2 2 sin 2 1 sin 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 (1) 1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 x x x x x x x x x − + − ⇔ + = ⇔ = ( ) cos 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 x x x x ⇔ + = − 2 cos 2 cos2 sin 2 sin 2 1 0 x x x x ⇔ + + − = sin2 (cos2 1) (cos2 1)(cos2 1) 0 x x x x ⇔ + + − + = (cos2 1)(sin 2 cos 2 1) 0 x x x ⇔ + + − = cos2 1 0 cos2 sin2 1 0 x x x + =  ⇔  + − =  cos2 1 2 cos(2 ) 1 4 x x π = −   ⇔  − =  320 2 2 2 2 ,( ) 4 4 2 2 4 4 x k x k k x k π π π π π π π π   = +   ⇔ − = + ∈    − = − +  ℤ 2 ,( ) 4 x k x k k x k π π π π π  = +    ⇔ = + ∈   =    ℤ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 2 x k x k k π π π = + = ∈ ℤ 4) ( ) tan 3 tan sin2 1 x x x − = Điều kiện: cos3 0 cos 0 x x ≠   ≠  ( ) 3 6 32 , . 6 3 2 2 k xx k k x k x k x k  ≠ +≠ +    ⇔ ⇔ ⇔ ≠ + ∈     ≠ + ≠ +     ℤ π ππ π π π π π π π Với điều kiện trên thì ( ) sin 2 1 sin 2 cos3 cos x x x x ⇔ = ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 cos3 cos sin 2 1 cos3 cos 0 sin 2 0 sin 2 0 1 cos3 cos 1 0 cos 4 cos 2 1 0 2 sin 2 0 sin 2 0 3 cos 2 1 cos 2 2cos 2 cos 2 3 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ = ⇔ − = =  =   ⇔ ⇔   − = + − =   =  =   ⇔ ⇔   = ∨ = − + − =   sin 2 0 cos2 1 x x =  ⇔  =  sin 2 0 . 2 k x x⇔ = ⇔ = π Đối chiếu với điều kiện thì nghiệm của phương trình đã cho là ( ) , . x k k π = ∈ ℤ 5) ( ) ( ) 2 sin sin 2 sin sin 2 sin 3 x x x x x − + = 2 2 2 sin sin 2 sin 3 x x x ⇔ − = 321 1 cos 2 1 cos 4 1 cos6 2 2 2 x x x − − − ⇔ − = cos 2 cos4 cos 6 1 0 x x x ⇔ − + + − = 2 3 cos2 2cos 2 1 4cos 2 3cos2 1 0 x x x x ⇔ − + − + − − = 3 2 2cos 2 cos 2 2cos2 1 0 x x x ⇔ + − − = cos 2 1 cos2 1 1 cos2 2 x x x   =  ⇔ = −   = −   2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 x k x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π    =  =    ⇔ = + ⇔ = +     = ± +   = ± +   2 ,( ) 3 k x k x k π π π  =  ⇔ ∈   = ± +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 2 3 k x x k k π π π = = ± + ∈ ℤ 6) 3 sin sin3 4cos 0 x x x + + = 3 2sin 2 cos 4cos 0 x x x ⇔ + = 2 4cos (sin cos ) 0 x x x ⇔ + = 2 4 2 cos cos( ) 0 4 x x π ⇔ − = cos 0 cos( ) 0 4 x x π =   ⇔  − =  2 4 2 x k x k π π π π π  = +  ⇔   − = +   2 ,( ) 3 4 x k k x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 3 , ,( ). 2 4 x k x k k π π π π = + = + ∈ ℤ [...]...   ⇔ cos  3 x −  − 4 cos  x −  − 3 = 0 2 6   π π   ⇔ cos 3  x −  − 4cos  x −  − 3 = 0 6 6   π π   ⇔ 4 cos3  x −  − 7 cos  x −  − 3 = 0 6 6     π 7π   cos  x − 6  = −1  x = 6 + k 2π       1 5π π ⇔  cos  x −  = − ⇔  x = + k 2π , ( k ∈ ℤ )  6 2 6      π 3  x = − π + k 2π  cos  x −  =  2  6 2   Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm... cho là x = kπ , (k ∈ ℤ ) 2 6) 3 cos 4 x + sin 4 x − 2 cos 3x = 0 ⇔ 3 cos 4 x + sin 4 x = 2 cos 3x ⇔ 3 1 cos 4 x + sin 4 x = cos 3 x 2 2 ⇔ cos π 6 cos 4 x + sin π 6 sin 4 x = cos 3 x π  ⇔ cos  4 x −  = cos 3x 6  π π    4 x − 6 = 3 x + k 2π  x = 6 + k 2π ⇔ ⇔ ,(k ∈ ℤ)  4 x − π = −3x + k 2π  x = π + k 2π   6 42 7   Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = π 6 + k 2π , x = π 42 + k 2π... − cos 2 x.sin x(1) 6 Điều kiện: cos 3x ≠ 0 ⇔ x ≠ π 6 +k π 3 , ( k ∈ ℤ ) Khi đó phương trình (1) trở thành π sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = tan 3 x sin( x + ) 6 π ⇔ sin 3x = tan 3x sin( x + ) 6 ⇔ sin 3 x = sin 3 x π sin( x + ) cos 3x 6 1 π   ⇔ sin 3x 1 − sin( x + )  = 0 6   cos 3x sin 3 x = 0 ⇔ 1 − 1 sin( x + π ) = 0 6  cos 3x sin 3 x = 0 ⇔ cos 3 x − sin( x + π ) = 0 6  sin 3 x = 0 ⇔...    x = 6 + k 2π sin x = 2 1 ⇔ ⇔ sin x = ⇔  , ( k ∈ ℤ ) 1 5π 2 x = sin x = + k 2π    2 6  Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = π 6 + k 2π , x = 5π + k 2π , ( k ∈ ℤ ) 6 π  sin 3x − 4 cos  x −  − 3 6  =0 7) sin 3 x − 1 Điều kiện: sin 3x ≠ 1 ⇔ 3 x ≠ π 2 + k 2π ⇔ x ≠ π 6 + k 2π , ( k ∈ ℤ ) (*) 3 Phương trình đã cho tương đương với π  sin 3x − 4 cos  x −  − 3 = 0 6  π π... x = 6 + k 2π  x = 12 + kπ 1 ⇔ sin 2 x = ⇔  ⇔ ,(k ∈ ℤ ) 2  2 x = 5π + k 2π  x = 5π + kπ   12 6   So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là x= 6) π 12 + kπ , x = 5π + kπ , (k ∈ ℤ) 12 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x cos x = 0(1) 2 − 2sin x Điều kiện: π   x ≠ 4 + k 2π 2  2 − 2sin x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ⇔ ( k ∈ ℤ) 3π 2 x ≠ + k 2π   4 Với điều kiện trên thì (1) ⇔ 2(cos 6 x + sin 6 x... 2 3 6) cos3 x sin x − sin 3 x cos x = 2 (1) 8 (1) ⇔ cos x sin x(cos 2 x − sin 2 x ) = 2 8 2 2 2 ⇔ sin 2 x cos 2 x = ⇔ sin 4 x = 8 4 2 π π π    x = 16 + k 2  4 x = 4 + k 2π ; (k ∈ ℤ) ⇔ ⇔  x = 3π + k π  4 x = 3π + k 2π   4 16 2   ⇔ cos x sin x cos 2 x = Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = π 16 +k π 2 ;x = 3π π + k ; ( k ∈ Z ) 16 2 7) sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x(1)... 3 x = 0 ⇔ cos 3 x − sin( x + π ) = 0 6  sin 3 x = 0 ⇔ cos 3 x = sin( x + π ) 6  sin 3 x = 0 ⇔ sin( π − 3 x) = sin( x + π ) 2 6   3 x = kπ  π π , (k ∈ ℤ) ⇔  − 3 x = x + + k 2π 2 6   π − 3 x = π − ( x + π )  + k 2π  2 6     329 kπ  x = 3  π kπ ⇔ x = − , (k ∈ ℤ )  12 2   x = − π − kπ  6  So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là x = 3) cot x − 1 = cos... = 6 + k 2π  5π ⇔ x = + k 2π , (k ∈ ℤ)  6   x = − π + kπ   4 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = 11) π 6 + k 2π , x = 5π π + k 2π , x = − + kπ , (k ∈ ℤ) 6 4 3 cos 5 x − 2 sin 3x cos 2 x − sin x = 0(1) (1) ⇔ 3 cos 5 x − ( sin 5 x + sin x ) − sin x = 0 ⇔ 3 cos 5 x − sin 5 x = 2sin x ⇔ 3 1 cos 5 x − sin 5 x = sin x 2 2 π  ⇔ sin  − 5 x  = sin x 3  π π π π    3 − 5 x = x + k 2π  6. .. 3   3 6 2    Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = ( π 18 − kπ π π ; x = − − k ,(k ∈ ℤ) 3 6 2 ) 12) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + sin 3 x (1) 3 1 3sin x − sin 3 x (1) ⇔ sin x + sin 3x + 3 cos 3x = 2 cos 4 x + 2 2 2 ⇔ sin 3x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x 1 3 ⇔ sin 3 x + cos 3 x = cos 4 x 2 2 π  ⇔ cos 4 x = cos  3 x −  6  334 π π    4 x = 3 x − 6 + k 2π  x = − 6 + k 2π... nghiệm của phương trình đã cho là x = kπ , x = ± 2π + k 2π , (k ∈ ℤ) 3 8) 13 − 18 tan x = 6 tan x − 3 6 tan x − 3 ≥ 0 ⇔ 2 13 − 18 tan x = (6 tan x − 3) 1   tan x ≥ ⇔ 2  18 tan 2 x − 9 tan x − 2 = 0  1   tan x ≥ 2  2 2  2 ⇔   tan x = ⇔ tan x = ⇔ x = arctan + kπ , (k ∈ ℤ ) 3 3 3   1   tan x = − 6  2 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = arctan + kπ , (k ∈ ℤ) 3 9) cos 4 x − sin . (1) 6 x x x x x x π = + − Điều kiện: ( ) cos3 0 , . 6 3 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ Khi đó phương trình (1) trở thành sin 2 cos cos 2 sin tan3 sin( ) 6 x x x x x x π + = + sin 3 tan 3 sin( ) 6 x. 3 sin3 sin( ) cos3 6 x x x x π ⇔ = + 1 sin 3 1 sin( ) 0 cos3 6 x x x π   ⇔ − + =     sin 3 0 1 1 sin( ) 0 cos3 6 x x x π =   ⇔  − + =  sin 3 0 cos3 sin( ) 0 6 x x x π =   ⇔  −. x π =   ⇔  − + =  sin 3 0 cos3 sin( ) 6 x x x π =   ⇔  = +  sin 3 0 sin( 3 ) sin( ) 2 6 x x x π π =   ⇔  − = +  3 3 2 ,( ) 2 6 3 ( ) 2 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π π π   =   ⇔

Ngày đăng: 28/07/2014, 10:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan