'4 CÁC QUY T C TÍNH XÁC SU T a) Quy t c c ng xác su t: N u bi n c A1, A2, …, An liên quan th T xung kh c t ng ôi m t, n  n P  ∪ Ai  = ∑ P ( Ai )  i =1  i =1 n phép Ví d Trong m t l p g m 100 sinh viên có 60 em 12 em xác su t t nh Y Ch n ng u nhiên m t em Tính em t nh X ho c t nh Y Gi i A = “Em ó t nh X t nh X”, B = “Em ó t nh Y” A B xung kh c, nên 60 12 + = 0, 72 ☺ P(A∪B) = P(A) + P(B) = 100 100 b) Quy t c c ng xác su t t ng quát: N u bi n c A1, A2, …, An liên quan n phép th T, n  n P  ∪ Ai  = ∑ P ( Ai ) −  i =1  i =1 n −1 − ∑ P (Ai A j ) + ∑ P (Ai A j Ak ) + L + (− 1) i< j P ( A1A2 L An ) i < j 0 xác su t có i u ki n c a A2 A1 ã x y ra, ký hi u P ( A2 / A1 ), c cho b i P ( A1A2 ) P ( A2 / A1 ) = P ( A1 ) Chú ý Xác su t có i u ki n có th tính tr c ti p t b i c nh tốn mà khơng c n thơng qua cơng th c Ví d Gieo ng th i xúc x c cân i Tính xác su t t ng s n t 7, bi t r ng có nh t m t m t Gi i Cách Không gian m u thu g n bao g m 11 bi n c c p có nh t m t m t là: (i, 5) v i i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} (5, j) v i j∈{1, 2, 3, 4, 6} Trong t p có trư ng h p mà t ng b ng ⇒P= 11 sơ Cách A = “Ít nh t m t 5”, B = “T ng s ch m hai b ng 7” |Ω| = 62, Ω A = {(i, j)| i j ∈ {1, 2, 3, 4, 6}} ΩAB = {(2, 5), (5, 2)}   = 11 P(AB) = ⇒P(A) = − P (A ) = −   36   36 P ( AB ) = ☺ ⇒ P (B / A ) = P ( A ) 11 e) Quy t c nhân xác su t T nh nghĩa Xác su t có i u ki n c a A2 A1 (P(A1) > 0) ã x y ra: P ( A1A2 ) P ( A2 / A1 ) = , P ( A1 ) ta suy Quy t c nhân xác su t N u P(A1) > 0, P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) M r ng công th c P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) cho n bi n c , ta có Quy t c nhân xác su t t ng quát N u P(A1A2⋅⋅⋅An-1) > (n>1), P(A1A2⋅⋅⋅An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) Ch ng minh T A1A2⋅⋅⋅An-1⊂ A1A2⋅⋅⋅An-2 ⊂ ⋅⋅⋅⊂ A1 ta có < P ( A1A2 L An −1 ) ≤ P ( A1A2 L An −2 ) ≤ K ≤ P ( A1 ) Vì v y, ta có th áp d ng cơng th c tính xác su t có i u ki n có: P(A2/A1) = P(A1A2) / P(A1) P(A3/A1A2) = P(A1A2A3) / P(A1A2) …………………………………… P(An-1/A1A2⋅⋅⋅An-2) = P(A1A2⋅⋅⋅An-1) / P(A1A2⋅⋅⋅An-2) P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1A2⋅⋅⋅An-1) T ây ta suy P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1) Nhân hai v v i P(A1) ta có Cơng th c nhân xác su t t ng quát ☺ Ví d M t lô hàng g m 100 s n ph m, ó có 10 ph ph m Rút ng u nhiên l n lư t s n ph m theo ki u m i l n rút khơng hồn l i ki m tra N u t t c s n ph m u t t lơ hàng c nh n Tìm xác su t lô hàng c nh n Gi i H = “Lô hàng c nh n”, Ai = “S n ph m rút l n th i t t”, (i = 1, 2, 3, 4) H = A1A2A3A4 ⇒ P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)P(A4/A1A2A3) 90 89 88 87 = ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0,6516 ☺ 100 99 98 97 ... P(A1A2) …………………………………… P(An-1/A1A2⋅⋅⋅An-2) = P(A1A2⋅⋅⋅An-1) / P(A1A2⋅⋅⋅An-2) P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1A2⋅⋅⋅An-1) T ây ta suy P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1)... hàng c nh n Tìm xác su t lơ hàng c nh n Gi i H = “Lô hàng c nh n”, Ai = “S n ph m rút l n th i t t”, (i = 1, 2, 3, 4) H = A1A2A3A4 ⇒ P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)P(A4/A1A2A3) 90... = 365⋅3 64? ??363 nên 365 ⋅ 3 64 ⋅ 363 P ( A ) = − P (A ) = − = 0,082 ☺ 365 d) Xác su t có i u ki n Có nh ng bi n c mà s x y c a chúng có nh hư ng Ví d Ch n ng u nhiên m t gia ình có Tính xác su t