M T PH NG PHÁP TÌM GIÁ TR NH NH T VÀ GIỘ ƯƠ Ị Ỏ Ấ Ấ TR L N NH TỊ Ớ Ấ Trong bài vi t này, tôi đ c p đ n m t d ng toán ế ề ậ ế ộ ạ tìm giá tr l n nh tị ớ ấ (GTLN) và giá tr nh nh t (GTNN) c a m t bi u th c nhi u nị ỏ ấ ủ ộ ể ứ ề ẩ , trong đó các n là nghi m c a nh ng ph ng trình ho c b t ph ng trình choẩ ệ ủ ữ ươ ặ ấ ươ tr c. ướ Đ i v i d ng toán này, ta c n xác đ nh và gi i m t b t ph ng trình m tố ớ ạ ầ ị ả ộ ấ ươ ộ n mà n đó là bi u th c c n tìm GTLN, GTNN. ẩ ẩ ể ứ ầ Bài toán 1 : Tìm GTLN và GTNN c a xy bi t x và y là nghi m c aủ ế ệ ủ ph ng trình ươ x 4 + y 4 - 3 = xy(1 - 2xy) L i gi i :ờ ả Ta có x 4 + y 4 - 3 = xy(1 - 2xy) <=> xy + 3 = x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 <=> xy + 3 = (x 2 + y 2 ) 2 (1). Do (x 2 - y 2 ) 2 ≥ 0 v i m i x, y, d dàng suy ra (xớ ọ ễ 2 + y 2 ) 2 ≥ 4(xy) 2 v i m i x, yớ ọ (2). T (1) và (2) ta có : ừ xy + 3 ≥ 4(xy) 2 <=> 4t 2 - t - 3 ≤ 0 (v i t = xy) ớ <=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0 V y : t = xy đ t GTLN b ng 1 ậ ạ ằ <=> x = y = 1 ; t = xy đ t GTNN b ng ạ ằ Bài toán 2 : Cho x, y, z là các s d ng th a mãn xyz ≥ x + y + z + 2. Tìmố ươ ỏ GTNN c a x + y + z. ủ L i gi i :ờ ả áp d ng b t đ ng th c Cô-si cho ba s d ng x, y, z ta có : ụ ấ ẳ ứ ố ươ V y t = x + y + z đ t GTNN b ng 6 khi và ch khi x = y = z = 2. ậ ạ ằ ỉ Bài toán 3 : Cho các s th c x, y, z th a mãn xố ự ỏ 2 + 2y 2 + 2x 2 z 2 + y 2 z 2 + 3x2y 2 z 2 = 9. Tìm GTLN và GTNN c a A = xyz. ủ L i gi i : ờ ả x 2 + 2y 2 + 2x 2 z 2 + y 2 z 2 + 3x 2 y 2 z 2 = 9 <=> (x 2 + y 2 z 2 ) + 2(y 2 + x 2 z 2 ) + 3x 2 y 2 z 2 = 9 (1). áp d ng b t đ ng th c mụ ấ ẳ ứ 2 + n 2 ≥ 2|mn| v i m i m, n ta có : ớ ọ x 2 + y 2 z 2 ≥ 2|xyz| ; y 2 + x 2 z 2 ≥ 2|xyz| (2). T (1) và (2) suy ra : ừ 2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 9 <=> 3A 2 + 6|A| - 9 ≤ 0 <=> A 2 + 2|A| - 3 ≤ 0 <=> (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ 0 <=> |A| ≤ 1 <=> -1 ≤ A ≤ 1. V y : A đ t GTLN b ng 1 ậ ạ ằ A đ t GTNN b ng -1 ạ ằ Bài toán 4 : Cho các s th c x, y, z th a mãn xố ự ỏ 4 + y 4 + x 2 - 3 = 2y 2 (1 - x 2 ). Tìm GTLN và GTNN c a xủ 2 + y 2 . L i gi i : Ta có xờ ả 4 + y 4 + x 2 - 3 = 2y 2 (1 - x 2 ) <=> (x 2 + y 2 ) 2 - 2(x 2 + y 2 ) - 3 = -3x 2 ≤ 0 => t 2 - 2t - 3 ≤ 0 (v i t = xớ 2 + y2 ≥ 0) => (t + 1)(t - 3) ≤ 0 => t ≤ 3 V y t = xậ 2 + y 2 đ t GTLN b ng 3 khi và ch khi x = 0 ; ạ ằ ỉ Ta l i có xạ 4 + y 4 + x 2 - 3 = 2y 2 (1 - x 2 ) <=> (x 2 + y 2 ) 2 + x 2 + y 2 - 3 = 3y 2 ≥ 0 => t 2 + t - 3 ≥ 0 (v i t = xớ 2 + y 2 ≥ 0) V y t = xậ 2 + y 2 đ t GTNN b ng ạ ằ khi và ch khi y = 0 ; ỉ Bài t p t ng t ậ ươ ự 1) Cho x, y, z th a mãn : ỏ 2xyz + xy + yz + zx ≤ 1. Tìm GTLN c a xyz. ủ Đáp s : 1/8(x = y = z = 1/2) ố 2) Cho ba s d ng x, y, z th a mãn : ố ươ ỏ (x + y + z) 3 + x 2 + y 2 + z 2 + 4 = 29xyz Tìm GTNN c a xyz. ủ Đáp s : 8 (x = y = z = 2). ố 3) Tìm GTLN và GTNN c a S = xủ 2 + y 2 bi t x và y là nghi m c a ph ngế ệ ủ ươ trình : 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 36 Đáp s : GTLN là 36 ố GTNN là 4 4) Cho x và y là các s th c th a mãn : ố ự ỏ Tìm GTLN c a xủ 2 + y 2 . Đáp s : 1 (x = -1 ; y = 0). ố 5) Cho các s th c x, y, z th a mãn : ố ự ỏ x 2 + 4y 2 + z 2 = 4xy + 5x - 10y +2z - 5 Tìm GTLN và GTNN c a x - 2y. ủ Đáp s : ố GTLN là 4 (x = 2y + 4 ; y Є R ; z = 1) ; GTNN là 1 (x = 2y + 1 ; y Є R ; z = 1). 6) Tìm các s nguyên không âm x, y, z, t đ M = xố ể 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 đ tạ GTNN, bi t r ng : ế ằ Đáp s : x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0. Khi đó M đ t giá tr nh nh t là 61.ố ạ ị ỏ ấ M T H NG Đ NG TH C THÚ VỘ Ằ Ẳ Ứ Ị V i m i s th c a, b, c, ta có : ớ ọ ố ự (a + b)(a + c) = a 2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*). V i tôi, (*) là h ng đ ng th c r t thú v . Tr c h t, t (*) ta có ngay : ớ ằ ẳ ứ ấ ị ướ ế ừ H qu 1 :ệ ả N u ab + bc + ca = 1 thì ế a 2 + 1 = (a + b)(a + c). H qu 2 ệ ả : N u a + b + c = 1 thì ế a + bc = (a + b)(a + c). Bây gi , chúng ta đ n v i m t vài ng d ng c a (*) và hai h qu trên. ờ ế ớ ộ ứ ụ ủ ệ ả Bài toán 1 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tínhố ươ ỏ giá tr c a bi u th c : ị ủ ể ứ L i gi i :ờ ả Theo h qu 1 ta có ệ ả a 2 + 1 = a 2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b 2 + 1 = b 2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c 2 + 1 = c 2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b). Suy ra Vì v y A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) ậ = 2(ab + bc + ca) = 2. V n đ s khó h n khi ta h ng t i vi c đánh giá các bi u th c. ấ ề ẽ ơ ướ ớ ệ ể ứ Bài toán 2 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn (a +b)(a +c) = 1. Ch ngố ươ ỏ ứ minh r ng : ằ L i gi i :ờ ả a) S d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s d ng a(a + b + c) ;ử ụ ấ ẳ ứ ố ươ bc : 1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥ b) S d ng b t đ ng th c Cô-si cho ba s d ng aử ụ ấ ẳ ứ ố ươ 2 ; (ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2 1 = (a + b)( a + c) = a 2 + (ab + bc + ca) = Bài toán 3 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1. Ch ngố ươ ỏ ứ minh r ng : ằ L i gi i :ờ ả Theo h qu 1 ta có ệ ả S d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s d ng aử ụ ấ ẳ ứ ố ươ 2 + ab ; a 2 + ac : T ng t ta có ươ ự T các k t qu trên ta suy ra : ừ ế ả Bài toán sau đây nguyên là đ thi Châu á - Thái Bình D ng năm 2002 đãề ươ đ c vi t l i cho đ n gi n h n (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) b i (a ; b ; c)). ượ ế ạ ơ ả ơ ở Bài toán 4 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minhố ươ ỏ ứ r ng : ằ L i gi i :ờ ả Theo h qu 2 và b t đ ng th c Bu-nhi-a-c p-ski ta có ệ ả ấ ẳ ứ ố T ng t ta có ươ ự T các k t qu trên ta suy ra : ừ ế ả Đ k t thúc, xin các b n làm thêm m t s bài t p : ể ế ạ ộ ố ậ Bài t p 1 :ậ Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Hãy tính giá trố ươ ỏ ị c a bi u th c : ủ ể ứ Bài t p 2 :ậ Cho ba s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1. Ch ng minhố ươ ỏ ứ r ng : ằ Bài t p 3 :ậ Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minhố ươ ỏ ứ r ng : ằ (a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca) 2 . LÀM QUEN V I B T Đ NG TH CỚ Ấ Ẳ Ứ TRÊ-B -SEPƯ Các b n đã t ng đ c làm quen v i các b t đ ng th c Cô si, Bunhiacôpskiạ ừ ượ ớ ấ ẳ ứ nh ng không ít b n còn ch a bi t v b t đ ng th c Trê - b - sép. Conư ạ ư ế ề ấ ẳ ứ ư đ ng đi đ n b t đ ng th c này th t là gi n d , quá g n gũi v i nh ngườ ế ấ ẳ ứ ậ ả ị ầ ớ ữ ki n th c c b n c a các b n b c THCS.ế ứ ơ ả ủ ạ ậ Các b n có th th y ngay : N u aạ ể ấ ế 1 ≤ a 2 và b 1 ≤ b 2 thì (a 2 - a 1 ) (b 2 - b 1 ) ≥ 0. Khai tri n v trái c a b t đ ng th c này ta có :ể ế ủ ấ ẳ ứ a 1 b 1 + a 2 b 2 - a 1 b 2 - a 2 b 1 ≥ 0 => : a 1 b 1 + a 2 b 2 ≥ a 1 b 2 + a 2 b 1 . N u c ng thêm aế ộ 1 b 1 + a 2 b 2 vào c hai v ta đ c :ả ế ượ 2 (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) ≥ a 1 (b 1 + b 2 ) + a 2 (b 1 + b 2 ) => : 2 (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) ≥ (a 1 + a 2 ) (b 1 + b 2 ) (*) B t đ ng th c (*) chính là b t đ ng th c Trê - b - sép v i n = 2. N uấ ẳ ứ ấ ẳ ứ ư ớ ế thay đ i gi thi t, cho aổ ả ế 1 ≤ a 2 và b 1 ≥ b 2 thì t t c các b t đ ng th c trênấ ả ấ ẳ ứ cùng đ i chi u và ta có :ổ ề 2 (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) ≤ (a 1 + a 2 ) (b 1 + b 2 ) (**) Các b t đ ng th c (*) và (**) đ u tr thành đ ng th c khi và ch khi aấ ẳ ứ ề ở ẳ ứ ỉ 1 = a 2 ho c bặ 1 = b 2 . Làm theo con đ ng đi t i (*) ho c (**), các b n có th gi i quy t nhi uườ ớ ặ ạ ể ả ế ề bài toán r t thú v . ấ ị Bài toán 1 : Bi t r ng x + y = 2. Ch ng minh xế ằ ứ 2003 + y 2003 ≤ x 2004 + y 2004 . L i gi i :ờ ả Do vai trò bình đ ng c a x và y nên có th gi s x ≤ y. T đóẳ ủ ể ả ử ừ => : x 2003 ≤ y 2003 . Do đó (y 2003 - x 2003 ).(y - x) ≥ 0 => : x 2004 + y 2004 ≥ x.y 2003 + y.x 2003 C ng thêm xộ 2004 + y 2004 vào hai v ta có : 2.(xế 2004 + y 2004 ) ≥ (x+y) (x 2003 + y 2003 ) = 2.(x 2003 + y 2003 ) => : x 2004 + y 2004 ≥ x 2003 + y 2003 (đpcm). Đ ý r ng : B t đ ng th c v a ch ng minh tr thành đ ng th c khi và chể ằ ấ ẳ ứ ừ ứ ở ẳ ứ ỉ khi x = y = 1 ; các b n s có l i gi i c a các bài toán sau : ạ ẽ ờ ả ủ Bài toán 2 : Gi i h ph ng trình : ả ệ ươ N u các b n quan tâm t i các y u t trong tam giác thì v n d ng các b tế ạ ớ ế ố ậ ụ ấ đ ng th c (*) ho c (**) s d n đ n nhi u bài toán m i. ẳ ứ ặ ẽ ẫ ế ề ớ Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có di n tích b ng 1. AH và BK là cácệ ằ đ ng cao c a tam giác. ườ ủ Ch ng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8. ứ L i gi i :ờ ả Ta có AH x BC = BK x CA = 2. Do vai trò bình đ ng c a BC vàẳ ủ CA nên có th gi s r ng BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA => AH ≥ BK. ể ả ử ằ Do đó (CA - BC).(BK - AH) ≤ 0 => : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH C ng thêm CA x BK + BC x AH vào 2 v ta có :ộ ế 2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK) => : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8. Đ ng th c x y ra khi và ch khi BC = CA ho c BK = AH t ng đ ngẳ ứ ả ỉ ặ ươ ươ v i BC = CA hay tam giác ABC là tam giác cân đ nh C. ớ ỉ Bài toán 4 : Cho tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c và các đ ngớ ườ cao t ng ng c a các c nh này có đ dài l n l t là hươ ứ ủ ạ ộ ầ ượ a , h b , h c . Ch ngứ minh : v i S là di n tích tam giác ABC. ớ ệ L i gi i :ờ ả Do vai trò bình đ ng c a các c nh trong tam giác nên có th giẳ ủ ạ ể ả s r ng a ≤ b ≤ c ử ằ => : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => h a ≥ h b ≥ h c . Làm nh l i gi i bài toán 3 ta có :ư ờ ả (a + b).(ha + hb) ≥ 8S => : 1/(h a + h b ) ≤ (a + b)/(8S) (1) T ng t ta đ c : ươ ự ượ 1/(h b + h b ) ≤ (b + c)/(8S) (2) 1/(h c + h a ) ≤ (c + a)/(8S) (3) C ng t ng v c a (1), (2), (3) d n đ n : ộ ừ ế ủ ẫ ế B t đ ng th c (4) tr thành đ ng th c khi và ch khi các b t đ ng th c (1),ấ ẳ ứ ở ẳ ứ ỉ ấ ẳ ứ (2), (3) đ ng th i tr thành đ ng th c t ng đ ng v i a = b = c hay tamồ ờ ở ẳ ứ ươ ươ ớ giác ABC là tam giác đ u. ề Bây gi các b n th gi i các bài t p sau đây : ờ ạ ử ả ậ 1) Bi t r ng xế ằ 2 + y 2 = 1. Tìm giá tr l n nh t c a F = (xị ớ ấ ủ 4 + y 4 ) / (x 6 + y 6 ) 2) Cho các s d ng x, y, z th a mãn x + y + z = 1. Ch ng minh : ố ươ ỏ ứ 3) Cho tam giác ABC có đ dài các c nh l n l t là a, b, c và đ dài cácộ ạ ầ ượ ộ đ ng phân giác trong thu c các c nh này l n l t là lườ ộ ạ ầ ượ a , l b , l c . Ch ngứ minh : 4) Hãy d đoán và ch ng minh b t đ ng th c Trê - b - sép v i n = 3. Tự ứ ấ ẳ ứ ư ớ ừ đó hãy sáng t o ra các bài toán. N u b n th y thú v v i nh ng khám pháạ ế ạ ấ ị ớ ữ c a mình bài t p này, hãy g i g p bài vi t v cho chuyên m c EUREKAủ ở ậ ử ấ ế ề ụ c a TTT2.ủ PH NG PHÁP HOÁN V VÒNG QUANHƯƠ Ị Phân tích thành nhân t là m t trong nh ng kĩ năng c b n nh t c aử ộ ữ ơ ả ấ ủ ch ng trình đ i s b c THCS. Kĩ năng này đ c s d ng khi gi i các bàiươ ạ ố ậ ượ ử ụ ả toán : bi n đ i đ ng nh t các bi u th c toán h c, gi i ph ng trình,ế ổ ồ ấ ể ứ ọ ả ươ ch ng minh b t đ ng th c và gi i các bài toán c c tr Sách giáo khoaứ ấ ẳ ứ ả ự ị l p 8 đã gi i thi u nhi u ph ng pháp phân tích thành nhân t . Sau đây tôiớ ớ ệ ề ươ ử xin nêu m t ph ng pháp th ng s d ng, d a vào vi c k t h p cácộ ươ ườ ử ụ ự ệ ế ợ ph ng pháp quen thu c nh đ t nhân t chung, nhóm s h ng, h ngươ ộ ư ặ ử ố ạ ằ đ ng th c ẳ ứ Ph ng pháp này d a vào m t s nh n xét sau đây : ươ ự ộ ố ậ 1/ Gi s ph i phân tích bi u th c F(a, b, c) thành nhân t , trong đó a,ả ử ả ể ứ ử b, c có vai trò nh nhau trong bi u th c đó. N u F(a, b, c) = 0 khi a = bư ể ứ ế thì F(a, b, c) s ch a các nhân t a - b, b - c và c - a. ẽ ứ ử Bài toán 1 : Phân tích thành nhân t : ử F(a, b, c) = a 2 (b - c) + b 2 (c - a) + c 2 (a - b). Nh n xét :ậ Khi a = b ta có : F(a, b, c) = a 2 (a - c) + a 2 (c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có ch a nhân t a - b. ứ ử T ng t F(a, b, c) ch a các nhân t b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là bi u th cươ ự ứ ử ể ứ b c ba, do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a). ậ Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : 1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1. V y : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a). ậ Bài toán 2 : Phân tích thành nhân t : ử F(a, b, c) = a 3 (b - c) + b 3 (c - a) + c 3 (a - b). Nh n xét :ậ T ng t nh bài toán 1, ta th y F(a, b, c) ph i ch a các nhânươ ự ư ấ ả ứ t a - b, b - c, c - a. Nh ng đây F(a, b, c) là bi u th c b c b n, trong khiử ư ở ể ứ ậ ố đó (a - b)(b - c)(c - a) b c ba, vì v y F(a, b, c) ph i có m t th a s b cậ ậ ả ộ ừ ố ậ nh t c a a, b, c. Do vai trò a, b, c nh nhau nên th a s này có d ng k(a + bấ ủ ư ừ ố ạ + c). Do đó : F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1. V y : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c). ậ 2/ Trong m t s bài toán, n u F(a, b, c) là bi u th c đ i x ng c a a,ộ ố ế ể ứ ố ứ ủ b, c nh ng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta th xem khi a = -b, F(a, b, c) cóư ử tri t tiêu không, n u th a mãn thì F(a, b, c) ch a nhân t a + b, và tệ ế ỏ ứ ử ừ đó ch a các nhân t b + c, c + a. ứ ử Bài toán 3 : Ch ng minh r ng :ứ ằ N u : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) thì ế 1/x n + 1/y n + 1/z n = 1/(x n + y n + z n ) v i m i s nguyên l n. ớ ọ ố ẻ Nh n xét : ậ T gi thi t 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => : ừ ả ế (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = 0 (*) Do đó ta th phân tích bi u th cử ể ứ F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân t . ử Chú ý r ng khi x = - y thì F(x, y, z) = - yằ 2 z + y 2 z = 0 nên F(x, y, z) ch aứ nhân t x + y. L p lu n t ng t nh bài toán 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(yử ậ ậ ươ ự ư + z)(x + z). Do đó (*) tr thành : (x + y)(y + z)(x + z) = 0 ở T ng đ ng v i : x + y = 0 ho c y + z = 0 ho c z + x = 0 . ươ ươ ớ ặ ặ N u x + y = 0 ch ng h n thì x = - y và do n l nên xế ẳ ạ ẻ n = (-y) n = -y n . V y : 1/xậ n + 1/y n + 1/z n = 1/(x n + y n + z n ) T ng t cho các tr ng h p còn l i, ta có đpcm. ươ ự ườ ợ ạ Có nh ng khi ta ph i linh ho t h n trong tình hu ng mà hai nguyên t cữ ả ạ ơ ố ắ trên không th a mãn : ỏ Bài toán 4 : Phân tích đa th c sau thành nhân t :ứ ử F(x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz. Nh n xét :ậ Ta th y r ng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nh ng n uấ ằ ư ế thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân t x + y + z. Chiaử F(x, y, z) cho x + y + z, ta đ c th ng xượ ươ 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx và d là 0.ư Do đó : F(x, y, z) = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx). Ta có th thêm b t vào F(x, y, z) m t l ng 3xể ớ ộ ượ 2 y + 3xy 2 đ nhân đ c k tể ượ ế qu này. ả Các b n hãy dùng các ph ng pháp và k t qu nêu trên đ gi i các bài t pạ ươ ế ả ể ả ậ sau đây. Bài toán 5 : Tính t ng : ổ trong đó k = 1, 2, 3, 4. Bài toán 6 : Ch ng minh r ng (a - b)ứ ằ 5 + (b - c) 5 + (c - a) 5 chia h t cho 5(a -ế b)(b - c)(c - a). TS. Lê Qu c Hánố (ĐH Vinh) M T PH NG PHÁP TÌM NGHI M Đ C ĐÁOỘ ƯƠ Ệ Ộ B ng ki n th c hình h c l p 6 ta có th gi i đ c các ph ng trình b cằ ế ứ ọ ớ ể ả ượ ươ ậ hai m t n đ c không ? Câu tr l i là tr ng h p t ng quát thì khôngộ ẩ ượ ả ờ ở ườ ợ ổ đ c, nh ng trong r t nhi u tr ng h p ta v n có th tìm đ c nghi mượ ư ấ ề ườ ợ ẫ ể ượ ệ d ng. ươ Ví d :ụ Tìm nghi m d ng c a ph ng trình xệ ươ ủ ươ 2 + 10x = 39. L i gi i :ờ ả Ta có : x 2 + 10x = 39 t ng đ ng xươ ươ 2 + 2.5.x = 39 T bi n đ i trên, ta hình dung x là c nh c a m t hình vuông thì di n tíchừ ế ổ ạ ủ ộ ệ c a hình vuông đó là xủ 2 . Kéo dài m i c nh c a hình vuông thêm 5 đ n vỗ ạ ủ ơ ị (nh hình v ), ta d th y : ư ẽ ễ ấ [...]... đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ? CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương trong TTT2 số 9 Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số chính phương Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa Ta biết rằng, số chính phương. .. đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0) Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1 Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - xy + y2 = 3 (7) Lời... 3 Vậy phương trình có nghiệm dương là x = 3 Phương pháp này đã được nhà toán học Italia nổi tiếng Jerôm Cacđanô (1501 - 1576) sử dụng khi tìm nghiệm dương của phương trình x2 + 6x = 31 Các bạn hãy tìm nghiệm dương của phương trình x2 - 8x = 33 bằng phương pháp hình học thử xem ? MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN Trong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội... giá giữa các ẩn hoặc giữa ẩn với một số, từ đó xác định nghiệm của hệ Phương pháp này gọi là phương pháp đánh giá các ẩn” 1 Đánh giá giữa các ẩn Ví dụ 1 (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, ĐHQG Hà Nội năm 1996) : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện : x ≥ 1/2 ; y ≤ 1/2 Ta sẽ chứng minh x = y Thật vậy : Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) là : x = y = 1 Ví dụ 2 (đề thi vào... Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2) Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - 2y2 = 5 (4) Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 4k2 +4k... thẳng AD và BC cắt nhau tại O Gọi F là trung điểm của CD, E là giao điểm của OF và AB Chứng minh rằng AE = EB Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ Bài toán 1 : Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai điểm C, D sao cho AB = CD Gọi M và N là trung điểm của AC và BD Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy Suy luận : Vị trí đặc biệt nhất của... chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số 2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương... cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương Bài toán 2 : Chứng minh số : là số chính phương Lời giải : Ta có : Vậy : là số chính phương Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương Bài toán 3 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là... NF và NE = 1/2 NF => tứ giác MEFN là hình bình hành => MN // EF => đpcm Bài toán 1 có nhiều biến dạng” rất thú vị, sau đây là một vài biến dạng của nó, đề nghị các bạn giải xem như những bài tập nhỏ ; sau đó hãy đề xuất những “biến dạng” tương tự Bài toán 2 : Cho tam giác ABC Trên AB và CD có hai điểm D và E chuyển động sao cho BD = CE Đường thẳng qua các trung điểm của BC và DE cắt AB và AC tại I và. .. Cho tam giác ABC, AB ≠ AC AD và AE là phân giác trong và trung tuyến của tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC tại M và N Gọi F là trung điểm của MN Chứng minh AD // EF Trong việc giải các bài toán chứa các điểm di động, việc xét các vị trí đặc biệt càng tỏ ra hữu ích, đặc biệt là các bài toán tìm tập hợp điểm” Bài toán 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định và một điểm . M T PH NG PHÁP TÌM GIÁ TR NH NH T VÀ GIỘ ƯƠ Ị Ỏ Ấ Ấ TR L N NH TỊ Ớ Ấ Trong bài vi t này, tôi đ c p đ n m t d ng toán ế ề ậ ế ộ ạ tìm giá tr l n nh tị ớ ấ (GTLN) và giá tr nh nh t (GTNN). và 72 => d thu c {1 ; 2 ; 3 ; 6}. ướ ủ ộ L n l t thay các giá tr c a d vào (1) và (2) đ tính m, n ta th y ch cóầ ượ ị ủ ể ấ ỉ tr ng h p d = 6 => ườ ợ m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và. ư ậ ể tìm cách đánh giá gi a các n ho c gi a n v i m t s , t đó xác đ nhữ ẩ ặ ữ ẩ ớ ộ ố ừ ị nghi m c a h . Ph ng pháp này g i là ệ ủ ệ ươ ọ “ph ng pháp đánh giá các n”ươ ẩ . 1. Đánh giá gi