Chương Xác suất biến cố ngẫu nhiên 1.1 Phép thử, biến cố phép tính biến cố 1.1.1 Phép thử, biến cố - Phép thử hiểu nhóm hành động, thí nghiệm để nghiên cứu đối tượng hay tượng - Biến cố (hay kiện) hiểu vật, tượng sống Có thể hiểu biến cố kết cục phép thử VD 1.1: - phép thử gieo đồng xu, biến cố: “đồng xu sấp”, “đồng xu ngửa” - phép thử gieo xúc xắc, biến cố: “xuất mặt chấm” - phép thử bắn viên đạn, biến cố : “bắn trúng”, “bắn trật” 1.1.2 Các loại biến cố - Biến cố chắn (ký hiệu Ω) biến cố định xảy thực phép thử VD 1.2: gieo xúc xắc, biến cố “xuất mặt có số chấm nhỏ 7” chắn - Biến cố (ký hiệu ) biến cố định không xảy thực phép thử VD 1.3: biến cố “xuất đồng thời mặt sấp ngửa” gieo đồng xu - Biến cố ngẫu nhiên (bcnn) (thường ký hiệu A, B, C…) biến cố xảy hay không xảy thực phép thử VD 1.4: biến cố “xuất mặt chấm” gieo xúc xắc bcnn - Các biến cố đồng khả biến cố có khả xuất phép thử (không có biến cố ưu tiên xảy biến cố khác) VD 1.5: gieo lần xúc xắc Gọi A i biến cố “xuất mặt i chấm”, i=1, ,6 Các biến cố A1 , , A đồng khả VD 1.6: Một hộp đựng 10 viên nhau, có bi trắng bi đen Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Nếu quan tâm đến việc lấy bi màu ta có biến cố không đồng khả 1.1.3 Quan hệ phép tính - Sự kéo theo A ⊂ B : A xảy B xảy VD 1.7: B biến cố “xuất mặt chẵn” gieo xúc xắc Ta có A ⊂ B, A ⊂ B, A ⊂ B - Sự A ⊂ B A=B⇔ B ⊂ A - Biến cố tổng A ∪ B biến cố xảy hai biến cố A, B xảy Biến cố sơ cấp (bcsc) biến cố biểu diễn thành tổng biến cố khác Về mặt hình học hình dung, phần nhỏ phân chia nhỏ * Chú ý: + Mọi bcnn A biểu diễn dạng tổng số bcsc Các bcsc tổng gọi thuận lợi cho A + Biến cố chắn Ω tổng bcsc có, nên Ω cịn gọi không gian bcsc hay không gian mẫu + Bcsc bcnn, ngược lại, bcnn nói chung khơng bcsc VD 1.8: VD 1.5 VD 1.7 Ω = { A1 , A , A , A , A , A } A1 , , A bcsc B = A ∪ A ∪ A bcnn khơng bcsc - Biến cố tích A ∩ B hay AB biến cố xảy A B đồng thời xảy VD 1.9: Phép thử gieo xúc xắc, A bc xuất mặt chẵn, B bc xuất mặt nhỏ Ta có A = A2 ∪ A4 ∪ A6 B = A1 ∪ A ∪ A Khi đó: AB = A tức xuất mặt chấm - Biến cố xung khắc: hai bc A B gọi xung khắc AB = ∅ VD 1.10: Bắn viên đạn vào bia, A bc có điểm, B bc có điểm A B xung khắc - Biến cố đối lập A A bc A không xảy ra, nghĩa A ∪ A = Ω, AA = ∅ * Chú ý: bc đối lập xung khắc, ngược lại không VD 1.11: Cho bc A, B, C Sử dụng ký hiệu bc tổng, bc tích bc đối lập để diễn tả bc sau đây: a) A, B, C xảy b) có bc xảy c) có bc xảy d) có bc xảy e) khơng có bc xảy VD 1.12: Ba xạ thủ bắn viên đạn vào thú Gọi A i bc “ xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1,2,3 Hãy biểu diễn qua A i bc a) A=“thú bị trúng đạn” b) B=“thú không bị trúng đạn” c) C=“thú bị trúng viên đạn” d) D=“thú bị trúng viên đạn” 1.1.4 Giải tích tổ hợp 1.1.4.1 Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc hồn thành qua k giai đoạn, giai đoạn thứ i có n i cách có tất n1n n k cách hồn thành cơng việc 1.1.4.2 Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) gồm k phần tử (lấy từ n phần tử) thoả: + khác + có thứ tự Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! k An = (n − k)! VD 1.13: Một lớp phải học môn, ngày học môn Hỏi có cách xếp thời khóa biểu ngày? 1.1.4.3 Hoán vị n phần tử: Là cách thứ tự n phần tử, chỉnh hợp chập n n phần tử Số hoán vị n n phần tử Pn = A n = n! 1.1.4.4 Tổ hợp Tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) gồm k phần tử (lấy từ n phần tử) thoả: + khác + thứ tự Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! k Cn = k!(n − k)! VD 1.14: Có cách lập tổ gồm người từ 10 người cho? 1.1.4.5 Nhị thức Newton: n (a + b) = å n k=0 k n- k k Cn a b 1.2 Định nghĩa xác suất Để so sánh biến cố khả xuất hiện, người ta gán cho biến cố số không âm, cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố có khả xuất nhiều gán cho số lớn hơn, biến cố đồng khả gán cho số Số gán cho biến cố A, ký hiệu P(A), gọi xác suất biến cố A 1.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển: m P(A) = n n số bcsc đồng khả xảy thực phép thử, m số bcsc thuận lợi cho biến cố A VD 1.15: Gieo lần xúc xắc Tính xác suất để: a/ xuất mặt chấm b/ xuất mặt chẵn VD 1.16: Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm, có sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng a/ Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt b/ Lấy ngẫu nhiên (1 lần) sản phẩm từ lơ hàng Tìm xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm tốt VD 1.17: Một hộp đựng bi đỏ, bi đen Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để: a/ bi bi đỏ b/ có bi đỏ, bi đen c/ có bi đen * Hạn chế: + số lượng bcsc hữu hạn + tính chất đồng khả xác định 1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê: Nếu lặp lại n lần phép thử thấy bc A xảy m lần m gọi tần số xảy bc A, tỷ số m f n (A) = (1) gọi tần suất biến cố A n Với n đủ lớn (1) xấp xỉ số p đó, gọi xác suất A P(A) = lim f n (A) = p n →∞ m Trong thực tế, người ta coi p ≈ (khi n đủ n lớn) VD 1.18: Khi quan sát 100 hút thuốc thấy có 91 người viêm phổi, nói bạn hút thuốc xác suất bạn bị viêm phổi khoảng 91% 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hình học (xem giáo trình tr 21) 1.2.4 Tính chất ý nghĩa xác suất: - Tính chất i P( )=0 ii P(Ω)=1 iii 0≤P(A)≤1, với biến cố A - Ý nghĩa: xác suất P(A) đặc trưng cho khả xuất biến cố A phép thử P(A) lớn (càng gần 1) khả xuất A nhiều, P(A) nhỏ (càng gần 0) khả xuất A Bài tập: 14-18 sách Bài tập ... biến cố - Biến cố chắn (ký hiệu Ω) biến cố định xảy thực phép thử VD 1.2 : gieo xúc xắc, biến cố ? ?xuất mặt có số chấm nhỏ 7” chắn - Biến cố (ký hiệu ) biến cố định không xảy thực phép thử VD 1.3 :... xắc bcnn - Các biến cố đồng khả biến cố có khả xuất phép thử (khơng có biến cố ưu tiên xảy biến cố khác) VD 1.5 : gieo lần xúc xắc Gọi A i biến cố ? ?xuất mặt i chấm”, i=1, ,6 Các biến cố A1 , ,... xảy VD 1.7 : B biến cố ? ?xuất mặt chẵn” gieo xúc xắc Ta có A ⊂ B, A ⊂ B, A ⊂ B - Sự A ⊂ B A=B⇔ B ⊂ A - Biến cố tổng A ∪ B biến cố xảy hai biến cố A, B xảy Biến cố sơ cấp (bcsc) biến cố biểu