K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 33 - (H. 3-3) Mặt cắt ớt là mặt cắt vuông góc với véctơ vận tốc của dòng chảy, ký hiệu trong công thức là , trong bản vẽ là1-1,b-b,, đơn vị là m 2 Chu vi ớt là đoạn tiếp xúc giữa chất lỏng và thành giới hạn dòng chảy, ký hiệu , đơn vị là m Bán kính thuỷ lực: =R , ví dụ tiết diện tròn 2.2 . 2 r r r R == Lu lợng là lợng chất lỏng chảy qua trong 1 đơn vị thời gian, -Lu lợng thể tich: ký hiệu là Q: = udQ Đơn vị đo Q: m 3 /s -Lu lợng trọng lợng: : ký hiệu là G: = duG Đơn vị đo G: N/s, KG/s Trong trờng hợp xét chuyển động theo đờng cong kín trong mặt phẳng (H.3-4): = s n dsuQ K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 34 - = s s dsu . - gọi là lu số vận tốc. dS S u n u s u A B Với 1 cung AB: +== == B A yx B A s B A B A s AB dyudxudsu dsusdu ) (. .cos.).( ds tiếp tuyến tại một điểm nào đó của AB H.3-4 Vận tốc trung bình của tiết diện ớt: Q v = Suy ra: Q=v. 3. Đờng dòng, Dòng nguyên tố. Đờng dòng là đờng cong trên đó véctơ vận tốc của mỗi điểm trùng với tiếp tuyến với đờng cong tại điểm đó. Từ định nghĩa suy ra: - Cách vẽ đờng dòng là vẽ đờng cong tiếp tuyến với các véc tơ vận tốc tại một thời điểm trong không gian. - Phơng trình đờng dòng trong chuyển động dừng: từ định nghĩa ta xét chuyển động dừng vận tốc trùng phơng với dịch chuyển dS 0 0// == dzdydx uuu kji sdusdu zyx r r r r từ đó: zyx u dz u dy u dx == (3-1) K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 35 - Chú ý: Tại mỗi điểm trong không gian, ở mỗi thời điểm chỉ đi qua một đờng dòng, nghĩa là các đờng dòng không cắt nhau. 3 2 1 u u u d H.3-4 Cần phân biệt quĩ đạo với đờng dòng: Quỹ đạo đặc trng cho sự biến thiên vị trí của phần tử chất lỏng theo thời gian, còn đờng dòng biểu diễn phơng vận tốc của các phần tử chất lỏng tại một thời điểm. Trong chuyển động dừng thì chúng trùng nhau. Các đờng dòng tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ ta đợc một ống dòng. Chất lỏng chảy đầy trong ống gọi là dòng nguyên tố. Chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng. 4. Hàm dòng và thế vận tốc. Để đơn giản, ta khảo sát chuyển động trong mặt phẳng xy. Từ phơng trình đờng dòng: yx u dy u dx = , đa vào hàm (x,y) và (x,y) sao cho thoả mãn điều kiện: K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 36 - yx u xy u yx = = = = ; Ta có: 0:.0 == + =+ ddy y dx x haydyudxu xy Do đó phơng trình đờng dòng có dạng: = const = C. gọi là hàm dòng; Tơng tự, ta có = const biểu diễn họ đờng đẳng vận tốc,gọi là thế vận tốc. Từ định nghĩa của và ta đợc: 0= + yyxx Đó là điều kiện trực giao của các đờng dòng và đờng thế vận tốc hay goi là điều kiện Côsi-Riêman. Để thấy rõ ý nghĩa vật lý của và , từ định nghĩa của lu số vận tốc ở trên: )()()( ABddy y dx x dyudxudsu B A B A y B A x B A sAB == + =+== Tơng tự: )()()( ABddy y dx x dyudxudsuQ B A B A y B A x B A nAB == + === nghĩa là hiệu các giá trị hàm dòng tại hai điểm nào đó bằng lu lơng chất lỏng chảy qua ống dòng giới hạn bởi hai đờng dòng đi qua hai điểm đó. 5. Đờng xoáy, ống xoáy. Chuyển động quay của mỗi phần tử chất lỏng xung quanh một trục quay tức thời đi qua nó đợc gọi là chuyển động xoáy. Vectơ vân tốc góc quay trong chuyển động xoáy: K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 37 - urot 2 1 = Chuyển động không xoáy hay chuyển động thế khi: 0=urot Tơng tự nh khái niệm về đờng dòng và ống dòng, ở đây ta có khái niệm về đờng xoáy và ống xoáy. Nếu cho trớc trờng vận tốc, từ biểu thức trên ta có thể xác định trờng vectơ vận tốc góc . Đờng cong tiếp xúc với vectơ vận tốc góc gọi là đờng xoáy. Tập hợp các đờng xoáy bao quanh một phân tố diện tích d nào đó gọi là ống xoáy. Chất lỏng chảy đầy trong ống xoáy gọi là sợi xoáy. Cờng độ của ống xoáy: = duroti n . Phơng trình đờng xoáy: z dz y dy x dx = = 3.3. Định lý cosi hemhon (định lý hemhon 1) Hay là định lý cơ bản của động học chất lỏng. Định lý về sự biến dạng của phân tố chất lỏng. Theo cơ học lý thuyết, đối với vật rắn, vận tốc tại M bằng vận tốc tịnh tiến tại 0 cộng với vận tốc quay của M quanh 0 (H.3-5): MOoM uuu += ru MO = O r 0 u M H.3-5 K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 38 - Đối với chất lỏng, mọi thể tích bất kỳ nào đó đều bị biến dạng trong quá trình chuyển động. Vì vậy khảo sát vận tốc của một phân tố chất lỏng phải thêm vào thành phần vận tốc biến dạng bd u : bdo uruu ++= Đó là nột dung của định lý Hemhon 1. bd u của phân tố chất lỏng tại M có thể viết dới dạng ma trận: v SS && = - tenxơ vận tốc biến dạng, với các thành phần + = i j j i v x u x u S 2 1 && ; i,j = 1,2,3 Ngoài ra, còn có các định lý về chuyển động xoáy sau đây: Định lý Hemhon 2: Định lý bảo toàn xoáy. Định lý Stốc: Định lý về sự liên hệ giữa cờng độ của ống xoáy và lu số vận tốc: i = . Công thức Biô - Xava: Tìm phân bố vận tốc cảm ứng quanh sợi xoáy đã biết. 3.4. Phơng trình liên tục Đây là một dạng của định luật bảo toàn khối lợng: Khối lợng m của hệ cô lập không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động: 0= dt dm 1. Dạng tổng quát (hay là dạng ơle) Trong môi trờng chất lỏng chuyển động ta tởng tợng tách ra một phân tố hình hộp có thể tích dxdydzV = (H.3-6). Theo định luật bảo toàn khối lợng: 0 )( = dt Vd ),,,( tzyx = khối lợng riêng của chất lỏng K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 39 - Lấy đạo hàm: 0 11 = + dt Vd Vdt d y x z 1 2 O x u dx x u u x x + H.3-6 dt Vd là vận tốc biến dạng tơng đối của thể tích phân tố chất lỏng, đợc xác định nh là tổng hợp của các biến dạng dài thành phần theo ba phơng x,y,z. Xét theo phơng x, vận tốc mặt 1: x u . vận tốc mặt 2: + dx dx u u x x Thể tích của phân tố chất lỏng thay đổi theo hớng trục x một lợng tuyệt đối sau thời gian dt bằng: dxdydzdt x u dydzdtudydzdtdx x u u x x x x = + tơng tự cho hai phơng y,z, và tổng biến dạng theo ba phơng sẽ là: dxdydzdt z u y u x u Vd z y x + + = và z u y u x u dt Vd V z y x + + = 1 K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 40 - Vậy 0 1 = + + + z u y u x u dt d z y x Đó chính là phơng trình liên tục dạng tổng quát. Có thể viết dới dạng gọn hơn: 0. 1 =+ udiv dt d hay là: 0)( =+ udiv t (3-1) Trong chuyển động dừng: 0= t nên 0)( =udiv Đối với chất lỏng không nén đợc (` = const) ta đợc: 0. =udiv Có thể chứng minh phơng trình liên tục gọn hơn bằng các công thức và biến đổi tích phân. 2. Đối với dòng nguyên tốvà toàn dòng chảy. Đối với dòng nguyên tố: Khảo sát đối với chất lỏng trong dòng nguyên tố giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Giả thiết chuyển động dừng, chất lỏng không nén đợc. Sau thời gian dt lợng chất lỏng: - đi vào 1-1: dm 1 = u 1 d 1 dt - đi ra 2-2: dm 2 = u 2 d 2 dt Theo định luật bảo toàn khối lợng: u 1 d 1 = u 2 d 2 u 1 d 1 = u 2 d 2 = dQ = Const Đối với toàn dòng: v 1 1 = v 2 2 = Const 1 2 1 u 1 d 2 d 2 u 1 2 K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 41 - hay là: Q 1 = Q 2 = Const, nghĩa là, trong dòng chảy dừng của chất lỏng không nén đợc, lu lợng qua mọi mặt cắt đều bằng nhau, suy ra vân tốc tỷ lệ nghịch với tiết diện. K thut thu khớ Chng4-ng lc hc cht lng 42 chơng IV động lực học chất lỏng Trong chơng này ta nghiên cứu các quy luật chuyển động của chất lỏng dới tác dụng của lực và những ứng dụng của nó. Để tiết kiệm thời gian, ta khảo sát chất lỏng thực trớc, sau đó suy ra cho chất lỏng lý tởng. Đ 4.1. phơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực. 1.dạng ứng suất. Trong chất lỏng thực chuyển động, áp suất thuỷ động vẫn hớng vào mặt tác dụng (giống nh áp suất thuỷ tĩnh, chơng 2), nhng không chỉ hớng theo pháp tuyến, mà nó là tổng của thành phần ứng suất pháp tuyến, ký hiệu là p, và thành phần ứng suất tiếp do lực nhớt gây ra (xem (1-1)). x y z O mF xy xx p dx x xz xz + xz dx x xy xy + dx x p p xx xx + dx dy dz H.4-1 Để thành lập đợc phơng trình vi phân chuyển động, ta tiến hành giống nh khi thành lập phơng trình Ơle tĩnh (2-3). Trong môi trờng chuyển động, ta khảo sát một phân tố hình hộp chất lỏng với vận tốc u (hình 4-1). ở đây, lực mặt gồm áp lực P ,và lực [...]... góc với nhau qua điểm đó: p= 1 ( pxx + p yy + pzz ) 3 (4-2) Có dấu trừ vì chọn chiều dơng là chiều kéo giãn phần tử chất lỏng 2 ứng suất phápcủa chất lỏng nhớt đồng chất đã làm xuất hiện các ứng suất pháp bổ sung pxx = p + xx ; với xx = 2 p yy = p + yy yy = 2 pzz = p + zz zz = 2 u x 2 divu ; x 3 u y 2 .divu y 3 (4 -3) u z 2 divu z 3 3 ứng suất tiếp: Theo Newton: ứng suất tiếp gây ra bởi... tạp, ta đợc phơng trình Navie Stốc: 1 p 1 du x =X + v.u x + v divu x 3 x dt du y dt =Y 1 p 1 + v.u y + v divu y 3 y Chng4-ng lc hc cht lng (4-5) 44 K thut thu khớ du z 1 p 1 =Z + v.u z + v divu dt 3 z z Hay viết dới dạng véctơ: ( ) du 1 v = F gradp + v.u + grad divu dt 3 - toán tử Laplas; Trong đó (4-6) =/ độ nhớt động học Một số nhận xét:... xz=zx; zy=yz; 2 phơng trình navie-stốc: Chng4-ng lc hc cht lng 43 K thut thu khớ -Hai ông Navie (ngời Pháp) và Stokes (ngời Anh) đã viết hệ phơng trình (4-1) dới dạng khác, tiện sử dụng, dựa trên các giả thuyết về ứng suất, và phơng trình đó đợc mang tên hai ông.Với các giả thuyết sau: 1 áp suất thuỷ động p tại một điểm là trung bình cộng của các áp suất... Laplas; Trong đó (4-6) =/ độ nhớt động học Một số nhận xét: - Đối với chất lỏng không nén đợc: = const div.u = 0 nên phơng trình (4-6) mất đi số hạng cuối cùng: du 1 = F gradp + v.u dt (4-7) Nh vậy 3 phơng trình (4-7) và phơng trình liên tục divu = 0 đủ để xác định 4 ẩn: ux, uy, uz và p, có nghĩa mô hình toán là kín - Khi = 0, nghĩa là chất lỏng lý tởng, ta đợc: du 1 = F gradp dt (4-8) - Chất... U y Z = U z Khi đó phơng trình (4-9) đợc viết dới dạng: Chng4-ng lc hc cht lng 46 K thut thu khớ u2 grad U + P + 2 u t = 2 u ; (4-10) Đ 4 .3 Tích phân phơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tởng 1 Tích phân côsi lagrăngiơ: ( ) Xét chuyển động thế = 0 và không dừng 0 Khi đó tồn tại hàm thế vận t tốc : grad = u Do đó phơng . K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 33 - (H. 3- 3) Mặt cắt ớt là mặt cắt vuông góc với véctơ vận tốc của dòng chảy, ký. bổ sung xxxx pp += ; với divu x u x xx . 3 2 2 = ; yyyy pp += divu y u y yy . 3 2 2 = (4 -3) zzzz pp += divu z u z zz . 3 2 2 = 3. ứng suất tiếp: Theo Newton: ứng suất tiếp. tiến tại 0 cộng với vận tốc quay của M quanh 0 (H .3- 5): MOoM uuu += ru MO = O r 0 u M H .3- 5 K thut thu khớ Chng3. ng hc cht lng - 38 - Đối với chất lỏng, mọi thể tích bất kỳ nào