ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG 2011 Môn: Toán A- Năm học: 2010 – 2011 Câu Ý Nội dung I 1 + TXD: 1 \{ } 2 R . • Chiều biến thiên: Ta có: 2 2 1(2 1) 2( 1) 1 ' (2 1) (2 1) x x y x x − − − − + = = − + + . ' 0, Dy x TX < ∀ ∈ ⇒ hàm số nghịch biến với mọi x TXD ∈ • Tiệm cận: 1 2 lim x y → = ∞ ⇒ đồ thị có tiệm cận ngang 1 2 x = . 1 1 1 lim 1 2 2 x x y x →∞ − + = = − ⇒ − đồ thị có tiệm cận đứng 1 2 y = − • Bảng biến thiên: Đồ thị cắt trục hoành tại A(0;-1) 2 Giao điểm của đường thẳng y=x+m với ( C ) là nghiệm của pt: 1 2x 1 x x m − + + = − 1 2x 1 x x m − + + = −  2 1 2 3x 2 x 1 0(1) x m m   ≠       + − − =   2 1 2 3x 2 x 1 0(1) x m m   ≠       + − − =   Xét pt (1) có: 2 2 ' 2( 1) ( 1) 1 0m m m m ∆ = + + = + + > ∀ 2 2 ' 2( 1) ( 1) 1 0m m m m ∆ = + + = + + > ∀ Mà 2 1 1 2( ) 2 . 1 0 2 2 m m+ − − ≠ 2 1 1 2( ) 2 . 1 0 2 2 m m+ − − ≠  Pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt  ( c ) luôn cắt đường thẳng y=x+m tại 2 điểm phân biệt Gọi A(x 1 ;y 1 ); B(x 2 ;y 2 ) trong đó x 1 ;x 2 là nghiệm của (1)  2 1 2 2 1 1 (2x 1) 1 2 (2x 1) k k   = −   −       = −   −   2 1 2 2 1 1 (2x 1) 1 2 (2x 1) k k   = −   −       = −   −    k 1 +k 2 = [ ] 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) 4( ) 2 1 1 (2x 1) (2x 1) 4x 2( ) 1 x x x x x x x   + − + + − + = −   − − − + +   [ ] 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) 4( ) 2 1 1 (2x 1) (2x 1) 4x 2( ) 1 x x x x x x x   + − + + − + = −   − − − + +   Mà x 1 +x 2 =-m; x 1 x 2 =-(m+1)/2 k 1 +k 2 = 2 (4 8 6)m m − + + 2 (4 8 6)m m − + + Vì 2 (4 8 6)m m − + + = 2 2 (4 8 6) 4( 1) 2 2m m m + + = + + ≥ dấu = xảy ra khi và chỉ khi m=-1  Max(k 1 +k 2 ) = -2 tương đương m=-1 II 1 1 sin 2 os2 2 sin sin 2 1 os2 x c x x x c x + + = + 2 2 2 2 2 2 sin os 2sin cos os sin 2 sinx.2sin cos os 1 sin x c x x x c x x x x c x x + + + − ⇔ = + 2 2 2 2 2 (sinx cos ) (sin cos )(cos sin ) 2 2 sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x + + + − ⇔ = + 2 2 (sin cos ).2cos 2 2 sin cos 1 sin x x x x x x + ⇔ = 2 cos .sin (sin cos 2) 0x x x x⇔ + − = cos 0 2 sin cos 2 2 4 x k x x x x k π π π π = + = ⇔ ⇔ + = = + 2 2 2 2 2 2 5 4 3 2( ) 0 ( ) 2 ( ) x y xy y x y xy x y x y  − + − + =   + + = +   2 2 2 2 2 2 2 2 (2) ( ) 2 ( 2)( 1) 0 1 2 xy x y x y xy x y xy xy x y ⇔ + = + + ⇔ + − − = =  ⇔  + =  TH1: 1xy = 3 3 3 4 2 2 2 (1) 5 4 3 2( ) 0 3 3 6 0 1 2 0 2 1 0 1 0 1 1 1 x y y x y y x y y y y y y y x y y x y ⇔ − + − + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − = = =  ⇔ = ⇔  = = −  TH2: 2 2 2x y + = 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 (1) 5 4 3 ( )( ) 0 5 4 3 0 4 5 2 0 x y xy y x y x y x y xy y x y xy x y x x y xy y ⇔ − + − + + = ⇔ − + − − − − = ⇔ − + − = Nếu y=0 3 0 0x x ⇒ = ⇔ = (vô lý vì 2 2 2x y + = 2 2 2 2 2 2 5 4 3 2( ) 0 ( ) 2 ( ) x y xy y x y xy x y x y  − + − + =   + + = +   2 2 2 2 2 2 2 2 (2) ( ) 2 ( 2)( 1) 0 1 2 xy x y x y xy x y xy xy x y ⇔ + = + + ⇔ + − − = =  ⇔  + =  TH1: 1xy = 3 3 3 4 2 2 2 (1) 5 4 3 2( ) 0 3 3 6 0 1 2 0 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 x y y x y y x y y y y y y y y y x y x ⇔ − + − + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =  =    =   ⇔  = −    = −    TH2: 2 2 2x y + = 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 (1) 5 4 3 ( )( ) 0 5 4 3 0 4 5 2 0 x y xy y x y x y x y xy y x y xy x y x x y xy y ⇔ − + − + + = ⇔ − + − − − − = ⇔ − + − = Nếu y=0 3 0 0x x ⇒ = ⇔ = (vô lý vì 2 2 2x y + = Nếu: { { 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 5 2 0 2 1 0 2 2 5 2 2 2 1 1 2 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 1 1 x x x y y y y x x y y x y y x x y y x y x x y x y x y x y y x y x x y x y       ≠ ⇔ − + − =  ÷  ÷  ÷          ⇔ − − =  ÷ ÷       =  =    =      + =    =    ⇔ ⇔ ⇔   =   =   =       + =    =     =         =       ⇔ = −     = −   = = = = −         Vậy nghiệm của phương trình là 2 2 2 2 (1;1),( 1; 1),(2 ; ),( 2 ; ) 5 5 5 5 − − − − III 1 Tính tích phân: = + = + = - ln1 = IV AB BC 2a 2 2AC a = = ⇒ = Do 2 mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) ⇒ SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Do góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60 ° . Đồng thời AB và SB đều vuông góc với BC ⇒ ¼ 60 o SBA = ⇒ SB 4a= và 2 3SA a = . Diện tích 2 1 .2 .2 2 2 SAB a a a∆ = = Diện tích đáy 2 2 3 3 .2 4 2 MNBC a a = = Thể tích khổi 2 3 1 3 . .2 3. . 3. 3 2 S BCNH a a a = = Gọi P là trung điểm BC ⇒ Khoảng cách giữa AB và SN chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SNP Diện tích tam giác ANP bẳng ¼ diện tích ABC ∆ 2 3 1 1 1 3 . .2 3 .2 4 4 3 3 SANP SABC V V a a a ⇒ = = = Kẻ AH NP ⊥ . Do SA NP SH NP⊥ ⇒ ⊥ Ta có: 2 3.SA a = và AH a = và SAH∆ vuông tại A 2 13. 1 13 . . . 2 2 SNP SH a S SH NP a ⇒ = ⇒ = = ⇒ Khoảng cách cần tìm là: 2 39 . 13 a V Đặt: ; y a x = ; x b z = ; z c y = 1abc⇒ = Có 1 1 1 2 3 1 1 P a b c = + + + + + 1; x bc y = ≥ 4 4 x bc y ≤ ⇒ ≤ Ta c/m: 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 .( ) ( ) ( 1)( ) 0 b c bc b c b c bc bc bc b c b c bc b c + ≥ + + + + + ⇔ ≥ + + + + ⇔ − ≥ − ⇔ − − ≥ 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 2 bc P a bc bc bc bc bc ⇒ ≥ + = + = + + + + + + + Đặt t bc = , (2 1)t ≥ ≥ 2 2 min 2 ( ) 2 3 1 '( ) 0 2 4 2 34 ( ) 11 3 33 t f t t t f t t f t = + + + = ⇔ = ⇒ = + = VI A 1 Gọi B có tọa độ là (a,b,c) B €(S) nên Ta có mà tam giác ABC là tam giác đều => => Từ (1)(2) => 4(a+b+c) = 32  a+b+c =8  mà a+b =4  c=4  =16 mà  Ta có a+b = 4 => => ab=0 Nếu a=0 => b=4 Nếu b=0 => a=4 =>Tọa độ của B là (0,4,4) hoặc (4,0,4) Nếu B=(0,4,4) => = (-4,0,4) = (4,4,0) [ ]=(-16;16;-16) = -16(1;-1;1) =>vec tơ pháp tuyến của mp(OAB) là (1;-1;1) =>mp(OAB) đi qua O có vec tơ pháp tuyến (1;-1;1) Có phương trình là x-y+z =0 Nếu B=(0,4,4) => = (0,-4,4) = (4,4,0) [ ]=(-16;16;16) = -16(1;-1;-1) =>vec tơ pháp tuyến của mp(OAB) là (1;-1;-1) =>mp(OAB) đi qua O có vec tơ pháp tuyến (1;-1;-1) Có phương trình là x-y-z =0 Vậy phương trình mp(OAB) là x-y+z = 0 hoặc x-y-z=0 A 2 Ta có: (C): <=> =>(C) có tâm I(2;1),bán kính Vì S MAIB = 10 nên S MAI = 5 => => MI = 5(Theo định lý Pitago) =>M là giao điểm của đường tròn tâm I bán kính IM:(C’): Với => B 1 Lấy M là trung điểm của AB. Do cân tại O nên M thuộc Ox. Đặt M=(x 0 ;0) =>phương trình đường thẳng AB là x=x 0 Khi đó lấy A=( x 0, y A ) ; B=( x 0,- y A ) ; => AB=|2y A | (lấy y a >0) .Khi đó S OAB =1/2.OM.AB= 1/2x 0 |2y A |=x 0 y A Mà A thuộc (E) : => => y A= => S OAB =x 0 . =2 <= ( ) 2 + 1 - Dấu = xảy ra  x 0 = => y A = Điểm A ( ; ) và B ( ; ) B 2 Nếu B(0,4,4) => [ ]=(-16,16,-16)=-16(1,-1,1)  Vector pháp tuyến của mp(OAB) là (1,-1,1). Mặt phẳng OAB đi qua O có vector pháp tuyến là (1,-1,1) có phương trình là x-y+z=0 Nếu B(4,0,4) => [ ]=(-16,16,-16)=-16(1,-1,1)  Vector pháp tuyến của mp(OAB) là (1,-1,-1). Mặt phẳng OAB đi qua O có vector pháp tuyến là (1,-1,-1) có phương trình là x-y-z=0 Vậy phương trình OAB là z-y+z=0 hoặc x-y-z=0 VII a Tìm phần ảo số phức z biết 2 + Đặt z = a+ib (a, b thuộc R ) Ta có z 2 = a 2 + b 2 => . Từ z 2 = 2 +z  a 2 +b 2 +2iab= a 2 +b 2 +a-ib   Từ (2) => b=0 hoặc a= -1/2 . b=0=> a=0 theo (1) . a = -1/2 => b = ±1/2 Vậy tất cả các số phức là : {0; -1/2 +1/2 *I; -1/2 -1/2 *i } b 2) Từ => Lấy z = a + ib => => => =>  a = -b = => z= => . Đ P ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG 2011 Môn: Toán A- Năm học: 2010 – 2011 Câu Ý Nội dung I 1 + TXD: 1 { } 2 R . • Chiều biến thi n: Ta có: 2 2 1(2 1) 2( 1) 1 ' (2 1) (2. ]=(-16;16;16) = -16(1;-1;-1) =>vec tơ ph p tuyến của mp(OAB) là (1;-1;-1) =>mp(OAB) đi qua O có vec tơ ph p tuyến (1;-1;-1) Có phương trình là x-y-z =0 Vậy phương trình mp(OAB) là x-y+z = 0 hoặc x-y-z=0 A 2 Ta. Vector ph p tuyến của mp(OAB) là (1,-1,1). Mặt phẳng OAB đi qua O có vector ph p tuyến là (1,-1,1) có phương trình là x-y+z=0 Nếu B(4,0,4) => [ ]=(-16,16,-16)=-16(1,-1,1)  Vector ph p tuyến