có thể định dẫn cụ thể viƯc chän tèi −u ®é dμi tun ®o tut vμ khoảng cách điểm đo ứng với vùng địa lý vo dẫn liệu cấu trúc thống kê độ cao thảm tuyết vùng đà cho Chơng 8: Khai triển trình ngẫu nhiên v trờng ngẫu nhiên thnh thnh phần trực giao tự nhiên 8.1 Thiết lập bi toán Trong toán học, phơng pháp khai triển hm thnh chuỗi theo hệ hm trực giao chuẩn hoá no đợc sử dơng réng r·i HƯ hμm ϕ1 (t ) , ϕ2 (t ) , , n (t ), đợc gọi l trực giao chuẩn hoá (trực chuẩn) khoảng [a, b] (hữu hạn vô hạn), thoả mÃn hÖ thøc b  ϕ (t ) ϕ i a k 0 i ≠ k , (t ) d t =  1 i = k (8.1.1) Hệ hm {k (t )} đợc gọi l đầy đủ nÕu nh− mét hμm f (t ) bÊt kú cho khoảng [a, b] , khai triển thnh chuỗi Fourier theo f (t ) = a k ϕ k (t ) (8.1.2) k =1 C¸c h»ng sè a k gäi lμ c¸c hƯ sè Fourier v từ (8.1.1), (8.1.2) chúng đợc xác định theo công thøc b a k =  f (t )ϕ k (t )dt , (8.1.3) a Tổng n số hạng chuỗi (9.1.2) n f n (t ) = ak k (t ) (8.1.4) k =1 đợc gäi lμ ®a thøc Fourier cđa hμm f (t ) Bây giờ, cách gần đúng, ta thay thÕ hμm f (t ) b»ng tỉng (8.1.4) th× víi giá trị đối số t xuất sai sè δ n (t ) b»ng δ n (t ) = f (t ) − f n (t ) (8.1.5) Ngời ta gọi đại lợng n l sai số bình phơng trung bình phép xấp xỉ hm f (t ) tổng (8.1.4) khoảng [a, b] b δn =  [ f (t ) − f (t )] n a Từ đa thức dạng n C ϕ k k k =1 173 (t ) , dt (8.1.6) độ lệch bình phơng trung bình nhỏ cđa hμm f (t ) sÏ cho mét ®a thøc Fourier, tức đa thức m hệ số C k l hệ số Fourier ak Khi đại lợng n b n a k =1 δ =  f (t )dt −  a k n (8.1.7) Thùc vËy, n   δ =   f (t ) −  C k ϕ k (t ) dt = n k =1  a  b b n a b k =1 =  f (t )dt − 2 C k  f (t )ϕ k (t )dt + a n b n  C k Ci  ϕ k (t )ϕi (t )dt = k =1 i =1 a b ∞ n a k =1 k =1 =  f (t )dt −  (C k − ak )  a k (8.1.8) n Vế phải (8.1.8) nhận giá trị nhỏ nhÊt b»ng (8.1.7)  (C k − ak ) = , tøc k =1 C k = ak Đại lợng không âm, ta có bất đẳng thức n b n a k k =1 ≤  f (t )dt (8.1.9) a b Tõ ®ã thÊy r»ng, ®èi víi hm khả tích với bình phơng, tức f (t )dt l a số hữu hạn, chuỗi a k hội tụ, nữa, bất đẳng thức sau xảy k =1 b k =1 a  ak2 ≤  f (t )dt (8.1.10) v đợc gọi l bất đẳng thức Bessel Nếu hệ hm {k (t )} l đầy đủ hm lấy đợc tổng bình phơng f (t ) có đẳng thức a k =1 b k =  f (t )dt (8.1.11) a v đợc gọi l phơng trình khép kÝn Ng−êi ta øng dơng viƯc khai triĨn c¸c hμm theo hệ hm trực chuẩn khác nhau: khai triển thnh chuỗi Fourier theo hệ hm lợng giác, khai triển thnh chuỗi FourierBessel theo hệ hm Bessel, khai triển theo đa thức trực giao Trebsev, Ermit v hệ hm khác Phơng pháp khai triển theo hệ hμm trùc chn cịng cã thĨ ¸p dơng vμo c¸c hm ngẫu nhiên Giả sử X (t ) l hm ngẫu nhiên xác định khoảng [a, b] có kỳ vọng toán học không mx (t ) = vμ hμm t−¬ng quan cho tr−íc Rx (t1 , t2 ) , t1 , t2 ∈ [a, b]; {ϕk (t )} l hệ hm trực chuẩn đầy đủ Khi ®ã ta biĨu diƠn hμm ngÉu nhiªn X (t ) dới dạng chuỗi Fourier 174 X (t ) =  Ak ϕk (t ) (8.1.12) k =1 C¸c hƯ số Fourier Ak đợc xác định dới dạng b Ak =  X (t )ϕk (t )dt (8.1.13) a lμ đại lợng ngẫu nhiên Ta ký hiệu n X n (t ) =  Ak ϕ k (t ) (8.1.14) k =1 l tổng n số hạng đầu tiªn cđa khai triĨn (8.1.12) vμ ta sÏ xÊp xØ hμm ngÉu nhiªn X (t ) b»ng tỉng X n (t ) Khi đó, sai số bình phơng trung b×nh cđa phÐp xÊp xØ b  [x(t ) − X δn = (t )] d t n (8.1.15) a l đại lợng ngẫu nhiên Để lm thớc đo độ xác phép xấp xỉ ta sử dụng kỳ vọng toán học bình phơng đại lợng ngẫu nhiên n [ ] = M n n (8.1.16) Đại lợng biểu thị phơng sai sai số phép xấp xỉ đại lợng ngẫu nhiên, n phụ thuộc vo việc chọn hƯ hμm {ϕk (t )} vμ sè l−ỵng hμm n chúng Khi đó, không cho trớc hệ hm {k (t )} m xác định hệ ny xuất phát từ yêu cầu thoả mÃn điều kiện tự nhiên no Chẳng hạn, xác định hƯ nh− vËy tõ mét sè cho tr−íc n hμm ϕ1 (t ), ϕ2 (t ), , ϕ n (t ) cho đại lợng (8.1.16) trở thμnh cùc tiĨu Nh÷ng hμm n ϕ1 (t ), ϕ2 (t ), , n (t ) nh đợc gọi l hm trực giao tự nhiên Với hệ hm đợc chọn nh việc biểu diễn hm ngẫu nhiên X (t ) dới dạng tổng n số hạng n X (t ) ≈  Ak ϕk (t ) (8.1.17) k =1 đợc gọi l khai triển hm thnh tổng thnh phần trực giao tự nhiên Những vấn ®Ị lý thut cđa viƯc khai triĨn theo c¸c thμnh phần trực giao tự nhiên v tính chất phép khai triển nh đà đợc xét công trình Kh Khoteling [92], A M Obukhov [67, 68], N A Bagrov [35, 36], V S Pugatrev [21] Từ đẳng thức (8.1.7), viết biểu thức (8.1.15) d−íi d¹ng b n a k =1 δ2 =  X (t ) −  Ak2 n (8.1.18) Sử dụng (8.1.13) ta nhận đợc b n b  δ2 =  X (t )dt −    X (t )ϕk (t )dt  = n k =1  a a  b n b b =  X (t )dt −    X (t1 ) X (t2 )ϕk (t1 )ϕ k (t2 ) dt1 dt2 a k =1 a a ThÕ giá trị ny vo (8.1.16) ta nhận ®−ỵc n 175 (8.1.19) b b b n σ =  Rx (t )dt −    Rx (t1 , t2 )ϕk (t1 )ϕk (t2 ) dt1 dt2 n (8.1.20) k =1 a a a Bμi to¸n quy tìm hm (t ), (t ), , ϕn (t ) cho biÓu thøc (8.1.20) trë thμnh cùc tiĨu, hay nãi c¸ch kh¸c, cho tæng n b b    R (t , t x )ϕ k (t1 )ϕ k (t )dt1 dt2 (8.1.21) k =1 a a trë thμnh cực đại 8.2 Một số kiến thức lý thuyết phơng trình tích phân Để tìm hệ hm trực chuẩn lm cho (8.1.21) cực đại, ta sử dụng kết đà biết từ lý thuyết phơng trình tích phân với nhân đối xứng m liệt kê dới v bỏ qua việc chứng minh Trình by chi tiÕt vỊ lý thut nμy cã thĨ t×m thÊy, chẳng hạn, [66, 24] Xét phơng trình tích phân thuÇn nhÊt b  K ( x, s)ϕ(s)ds = λϕ( x) , (8.2.1) a ®ã hμm K ( x, s ) lμ hμm hai biÕn thùc cho h×nh ch÷ nhËt a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b; λ lμ mét sè nμo ®ã; ϕ( x) l hm cần tìm cho khoảng [a, b] Ta sÏ xem c¸c hμm K ( x, s ) vμ ϕ( x) giíi néi vμ cã sè mét h÷u hạn điểm gián đoạn, tích phân (8.2.1) tån t¹i Hμm K ( x, s ) gäi lμ nhân phơng trình tích phân Nếu thoả mÃn hệ thøc K ( x, s ) = K * ( s , x ) , (8.2.2) nhân thực, điều ny tơng đơng với đẳng thức K ( x, s ) = K ( s , x ) , (8.2.3) nhân đợc gọi l đối xứng Các giá trị tham số , phơng trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không đồng không, đợc gọi l giá trị riêng nhân K ( x, s ) hay phơng trình (8.2.1) Nếu = l giá trị riêng phơng trình (8.2.1) v ( x) l nghiệm phơng trình nμy λ = λ , tøc b  K ( x, s ) ϕ ( s ) d s = λ ϕ ( x ) , 0 (8.2.4) a hm ( x) đợc gọi l hm riêng ứng với giá trị riêng nhân K ( x, s ) hay phơng trình tích phân Có thể tất giá trị riêng nhân đối xứng l số thực, v tất hm riêng coi l hm thực Các hm riêng nhân đối xứng, ứng với giá trị riêng khác nhau, trùc giao víi Cã thĨ lμm cho c¸c hm riêng trở thnh hm chuẩn hoá Ta quy ớc liệt kê dÃy số riêng theo thứ tự giá trị tuyệt đối giảm dần Nh vậy, 176 λ1 , λ , , λ n , ( λ1 ≥ λ ≥ ≥ λ n ) (8.2.5) l dÃy giá trị riêng nhân đối xứng no đó, tơng ứng với dÃy ny l hệ trực giao hm riêng ( x), ϕ2 ( x), , ϕn ( x) (8.2.6) Trong trờng hợp ny định lý GilbertSmidth khẳng định r»ng, cã thĨ biĨu diƠn hμm f ( x) bÊt kỳ qua nhân K ( x, s ) dới dạng b f ( x) =  K ( x, s )h( s )ds , (8.2.7) a ®ã h( s ) lμ mét hμm giíi néi nμo ®ã cã sè hữu hạn điểm gián đoạn v khai triển đợc thnh chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối v theo hm riêng nhân Do viết chuỗi Fourier hm h( x) theo hm riêng (8.2.6) nhân K ( x, s ) dới dạng h( x ) ~ ∞  h ϕ ( x) , k (8.2.8) k k =1 th× hμm f ( x) (8.2.7) đợc khai triển thnh chuỗi f ( x) =  λ k hk ϕ k ( x) , (8.2.9) k =1 k l giá trị riêng, k ( x) l hm riêng nhân K ( x, s ) Gi¶ sư p( x) vμ q( x) lμ hai hμm giíi néi cã sè hữu hạn điểm gián đoạn khoảng [a, b] LËp tÝch ph©n kÐp b b   K ( x, s) p( x)q(s)dxds (8.2.10) a a áp dụng định lý Gilbert-Smidth, ta đợc b a k =1 K ( x, s)q(s)ds =  λ k qk ϕk ( x) , (8.2.11) qk l hệ sè Fourier cđa hμm q( x) khai triĨn thμnh chuỗi Fourier theo hm riêng (8.2.6), v chuỗi vế phải hội tụ Nhân hai vế (8.2.11) víi p( x) , lÊy tÝch ph©n theo x vμ ký hiƯu pk lμ nh÷ng hƯ sè Fourier cđa hμm p( x) khai triển thnh chuỗi theo hm riêng (8.2.6), ta nhận đợc biểu diễn tích phân (8.2.10) dới đây: b b a a k =1   K ( x, s) p( x)q(s)dxds = k pk qk (8.2.12) Đặc biệt, p( x) q( x) ta đợc b b  K ( x, s) p( x) p(s)dxds =  λ k pk (8.2.13) k =1 a a Ta xét tính chất cực trị hm riêng nhân đối xứng Khi xếp giá trị riêng theo thứ tự giảm dần giá trị tut ®èi cđa chóng, theo (8.2.13) ta cã ∞ b b   K ( x, s) p( x)q(s)dxds ≤ λ  p k =1 a a Theo ph−¬ng tr×nh khÐp kÝn (8.1.11), 177 k (8.2.14) ∞ b  p ( x)dx =  p 2 k (8.2.15) k =1 a §èi víi hμm chn hoá p( x) , tích phân vế trái (8.2.15) đơn vị, p k = (8.2.16) k =1 Tõ ®ã, ®èi víi hμm chn hoá p( x) bất đẳng thức (8.2.14) đợc viết dới d¹ng b b   K ( x, s) p( x)q(s)dxds ≤ λ (8.2.17) a a Trong (8.2.17) đẳng thức xảy p( x) = ( x), tøc hμm p( x) trïng víi hμm riêng ( x) Thực vậy, sau nhân hai vế đẳng thức , , , λ n , ( λ1 ≥ λ ≥ ≥ λ n ≥ ) (8.2.18) víi ϕ1 ( x) vμ lÊy tÝch ph©n theo x, tÝnh chuÈn hoá hm ( x) , ta nhận đợc: b b b   K ( x, s)ϕ ( x)ϕ (s)dxds = λ  ϕ ( x)dx = λ 1 1 a a (8.2.19) a Nh vậy, định lý sau l đúng: Trên tập hợp hm chuẩn hoá p( x) tích phân b b   K ( x, s) p( x) p(s)dxds có cực đại p( x) = ϕ1 ( x) a a B©y giê xÐt tËp hợp hm chuẩn hoá p( x) trực giao với m hm riêng (8.2.6) nhân K ( x, s ) Khi (8.2.13) m hệ số Fourier pk biểu thức khai triển hm p( x) thnh chuỗi Fourier theo hm (8.2.6) không Khi (8.2.13) đợc viết dới dạng b b a a k =m   K ( x, s) p( x) p(s)dxds =  λ k pk (8.2.20) Tõ ®ã b b   K ( x, s) p( x) p(s)dxds ≤ λ m (8.2.21) a a Trong (8.2.21) đẳng thức đạt đợc p ( x) = m ( x) , tức l định lý sau đúng: Trên tập hợp hm chuẩn tắc p( x) trực giao với m hm riêng nhân b b K ( x, s ) , tÝch ph©n   K ( x, s) p( x) p(s)dxds có cực đại m , cực đại ny đạt đợc a a p ( x) = m ( x) 8.3 Tìm thnh phần trực giao tự nhiên Bây trở lại bi toán tìm hệ hm {k ( x)} lm cho tổng (8.1.21) trở thnh cực đại, ta thấy sở lý thuyết đà trình by mục 8.2, số hạng thứ k có cực đại k chọn hm riêng hm tơng quan Rx (t1 , t2 ) ứng với giá trị riêng λ k lμm hμm ϕ k (t ) Nh− vËy, víi t− c¸ch lμ c¸c hμm trùc giao tù nhiªn cđa phÐp khai triĨn hμm ngÉu nhiªn X (t ) (8.1.17) phải lấy n hm riêng hμm t−¬ng 178 quan Rx (t1 , t2 ) t−¬ng ứng với n giá trị riêng hm tơng quan ny đợc xếp theo thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối Khi phơng sai sai số phép xấp xỉ đợc xác định theo công thøc n b n a k =1 σ2 =  Rx (t , t )dt −  λ k n (8.3.1)  b     λ k =   Rx (t1 , t2 )ϕk (t1 )ϕ k (t2 )dt1 dt2 = M   X (t )ϕ k (t )dt   = D[Ak ] a a  a     (8.3.2) Tõ đẳng thức b b thấy rằng, giá trị riêng hm tơng quan l phơng sai hệ số Ak tơng ứng khai triển hm ngẫu nhiên theo hệ hm riêng {k (t )} Do đó, giá trị riêng hm tơng quan thực l số dơng, v dấu giá trị tuyệt đối (8.3.1) bỏ Hệ phơng pháp đà trình by hon ton áp dụng cho khai triển trờng ngẫu nhiên thnh thnh phần trực giao tự nhiên Trong trờng hợp ny, tất hm đợc xét nh hm điểm N () cho miền giới hạn no với số chiều đà cho Chẳng hạn, giả sử U () = U ( x, y, z ) lμ tr−êng kh«ng gian ngẫu nhiên xác định miền D , có kỳ vọng toán học không v hm t−¬ng quan Ru (ρ1 , ρ )  Ta biểu diễn trờng ngẫu nhiên U () dới dạng tæng n   U (ρ) ≈  Ak ϕ k (ρ) , (8.3.3) k =1  ®ã {ϕk ()} l hệ hm trực chuẩn đầy đủ miền D , tøc lμ ®èi víi nã ®iỊu kiƯn sau ®−ỵc thùc hiƯn  ϕ ( x, y, z) ϕ i ( D) k 1 i = k , ( x, y, z )dxdydz =  0 i ≠ k (8.3.4) C¸c hƯ sè Fourier Ak lμ đại lợng ngẫu nhiên đợc xác định theo công thøc Ak = U ( x, y, z ) ϕk ( x, y, z )dxdydz (8.3.5) ( D) Trong trờng hợp ny bi toán xấp xỉ trờng ngẫu nhiên tổng thnh phần trực giao tự nhiên (8.3.3) đợc quy việc tìm hm ϕ1 (ρ), ϕ2 (ρ), , ϕ n (ρ) lμm cùc ®¹i tỉng n      R ( x, y, z; ξ, η, ζ)ϕ ( x, y, z)dxdydz × ϕ (ξ, η, ζ)dξdηdζ k =1 ( D )  (D)  u k   k (8.3.6) Khi xem xét lý thuyết đà trình by mục 8.2 áp dụng vo phơng trình tích phân K ( x, y, z; ξ, η, ζ)ϕ(ξ, η, ζ)dξdηdζ = λϕ( x, y, z ) , (8.3.7) ( D)  ta nhận đợc hm trực giao tự nhiên khai triĨn tr−êng ngÉu nhiªn U (ρ)   (8.3.3) l n hm riêng hm tơng quan Ru (1 , ) tơng ứng với n giá trị 179 riêng phơng trình (8.3.7) đợc xếp theo thứ tự không tăng giá trị chúng Khi phơng sai sai số phép xấp xỉ đợc xác định theo công thức n n σ2 =  Ru ( x, y, z; x, y, z )dxdydz −  λ k n (8.3.8) k =1 (D) Từ công thức phơng sai sai sè cña phÐp xÊp xØ (8.3.1) hay (8.3.8) thấy rằng, độ xác tăng lên tăng số thnh phần trực giao tự nhiên m hm ngẫu nhiên khai triển theo chúng Tuy nhiên số , λ , , λ n ph©n bè theo thứ tự giảm dần, số thứ tự thnh phần công thức (8.1.14) hay (8.3.3) cng lớn thì, trung bình, tỷ trọng thnh phần cng nhỏ Nếu giá trị riêng giảm nhanh, điều cho phép nhận kết gần cần ý tới số không lớn thnh phần u điểm phép khai triển theo thnh phần trực giao tự nhiên l chỗ tập trung tối đa thông tin hm ngẫu nhiên vo số không nhiều số hạng Khi đánh giá độ xác phép xấp xỉ (8.1.17) số n thnh phần trực giao tự nhiên đà chọn, sử dụng phơng sai tơng đối sai số xấp xỉ b M  [ X (t ) − X n (t )]2 dt   η2 =  a n b  M   X (t )dt  a (8.3.9) Theo (8.3.1) với giá trị cực tiểu ta nhận đợc n b = n n  Rx (t , t )dt −  λ k k =1 a b (8.3.10)  R (t , t )dt x a Sau dựng đồ thị phụ thuộc đại lợng n vo số n, ớc lợng số số hạng khai triển cần thiết tuỳ theo độ xác đà cho phép xấp xỉ Bây ta xét trờng hợp ghi liên tục hm ngẫu nhiên, m có lát cắt điểm rời rạc, điều m thờng xảy nghiên cứu thực nghiệm hm ngẫu nhiên Giả sử hm ngẫu nhiên X (t ) có kỳ vọng toán học không, đợc cho số hữu hạn điểm t1 , t2 , , tm , {ϕk (t )} lμ hÖ hm bất kỳ, đợc cho điểm t1 , t2 , , tm Ta sÏ xem hμm ngẫu nhiên X (t ) nh vectơ m chiều X ( X , X , , X m ) m thnh phần l lát cắt hm ngẫu nhiên X = X (t1 ) , X = X (t2 ) , , X m = X (tm )  k k Ta cịng xem c¸c hμm ϕ k (t ) nh vectơ m chiều k (1 , , , k ) m thnh m phần chúng l giá trị hm k (t ) điểm ti , tức k k = ϕ k (t1 ), ϕ2 = ϕ k (t2 ), , ϕ k = ϕk (t m ) m Ta coi vectơ k l trực giao v chuẩn hoá (trực chuẩn) Hai vectơ a (a1 , a2 , , am ) vμ b (b1 , b2 , , bm ) gäi lμ trùc giao nÕu tÝch v« h−íng cđa chóng b»ng kh«ng,   m a ⋅ b =  bi = i =1 180 (8.3.11)  Vect¬ a gäi l chuẩn hoá độ di đơn vÞ  a= m a i =1 (8.3.12) i =1 Điều kiện trực chuẩn vectơ { k } đợc viết dới dạng m k i i =1 l i 1 k = l , = 0 k ≠ l (8.3.13)   Ta biểu diễn vectơ ngẫu nhiên X dới dạng tổ hợp tuyến tính vectơ { k } n   X ≈  Ak ϕk , (8.3.14) k =1 hệ số Ak l tổ hợp tuyến tính thnh phần vectơ ngẫu nhiªn m Ak =  X j ϕ kj (8.3.15) j =1 Đẳng thức vectơ (8.3.14) viết cho thnh phần vectơ dẫn tới hệ đẳng thức n X i ≈  Ak ϕik , i = 1, 2, , m (8.3.16) k =1  Ph−¬ng sai sai số phép xấp xỉ vectơ ngẫu nhiên X tổng (8.3.14) đợc xác định dới dạng n n n n   m     m  σ2 = M   X i −  Ak ϕik   = = M   X i2 − X i  Ak ϕik +  Ak Al ϕik ϕli   = n k =1 k =1 k =1 l =1  i =1      i =1    n m m n n m m  = M  X i2 − 2 X i X j ϕik ϕlj +  Ak Al  ϕik ϕli  k =1 i =1 j =1 k =1 l =1 i =1  i =1  (8.3.17) Do (8.3.13), tổng cuối đẳng thức (8.3.17) n n m n n m m  A A  ϕ ϕ = A A = X X ϕ ϕ k k =1 l =1 k i l l i i =1 k k k =1 i j k i k j (8.3.18) k =1 i =1 j =1 Tõ ®ã ta nhËn ®−ỵc m n m m σ2 =  Rii − Rij ϕik ϕkj , n i =1 (8.3.19) k =1 i =1 j =1 ®ã Rij l mômen tơng quan lát cắt X i = X (ti ) vμ X j = X (t j ) hm ngẫu nhiên, tức l phần tử ma trận tơng quan Rij vectơ ngẫu nhiên X Ta tìm hệ vectơ trực chuẩn { k } cho đại lợng nhận giá trị nhỏ n nhất, hay nãi c¸ch kh¸c, tỉng ba líp (8.3.19) nhËn gi¸ trị lớn Những vectơ nh gọi l vectơ trực giao tự nhiên vectơ ngẫu nhiên X , phép khai triển (8.3.14) với cách chọn vectơ { k } nh gọi l khai triển vectơ ngẫu nhiên thnh thnh phẫn trực giao tự nhiên Vì hm tơng quan trình ngẫu nhiên l hm xác định dơng, nên số h¹ng 181 m m bk =  Rij ϕik ϕ kj (8.3.20) i =1 j =1 không âm, đó, bi toán quy việc xác định vectơ trực chuẩn { k } cho số hạng bk nhận giá trị lớn Ta xét hệ phơng trình m R ij = i , i = 1, 2, , m j (8.3.21) j =1 Những giá trị tham số hÖ (8.3.21) cã nghiÖm  ϕ(ϕ1 , ϕ2 , , m ) khác vectơ không, đợc gọi l giá trị riêng hay số riêng ma trận hệ số Rij hệ ny, nghiệm k nhận đợc ứng với số riêng đà cho k đợc gọi l vectơ riêng ma trận Rij Hệ (8.3.21) tơng tự (analog) nh phơng trình tích phân (8.2.1) m ta đà xét trờng hợp thể trình ngẫu nhiên đợc ghi liên tục, ma trận tơng quan Rij hệ (8.3.21), nh đà biết, l ma trận đối xứng, tơng tự nh nhân đối xứng phơng trình tích phân Những vectơ riêng ma trận thực đối xứng ứng với số riêng khác trực giao với Thực vậy, ta xét vectơ riêng k v l ứng với số riêng k v λ l , k ≠ l , ta cã m R ϕ ij k j = λ k ϕik , i = 1, 2, , m , (8.3.22) = λ l ϕli , i = 1, 2, , m (8.3.23) j =1 m R ϕ ij l j j =1 Nhân hai vế đẳng thức (8.3.22) với li cộng lại v nhân đẳng thức (8.3.23) víi ϕik vμ cịng céng l¹i: m m  R ϕ ϕ ij k j m l i i =1 j =1 m = λ k  ϕik ϕli , m  R ϕ ϕ ij l j (8.3.24) i =1 m k i i =1 j =1 = λ l  ϕik ϕli (8.3.25) i =1 Trừ (8.3.25) cho (8.3.24) ta nhận đợc m ( k − λ l ) ϕik ϕli = (8.3.26) i =1 V× λ k − λ l ≠ nªn m ϕ ϕ k i l i   = , tức vectơ k v l trực giao i =1 Ta tính phơng sai tỉ hỵp tun tÝnh (8.3.15)  m   D[ Ak ] = M  X j ϕkj   j =1    m m  m m  k k k k (8.3.27)  = M  X i X j ϕi ϕ j  =  Rij ϕi ϕ j   i =1 j =1  i =1 j =1   k k NÕu k l số riêng ma trận tơng quan, cßn ϕ k (ϕ1 , ϕ2 , , ϕ k ) l vectơ riêng m tơng ứng với nã, ta cã thĨ viÕt (8.3.27) d−íi d¹ng 182 m m m i =1 j =1 i =1 D[ Ak ] =  ϕik  Rij ϕkj = λ k  ϕik ϕik = λ k (8.3.28) Tõ ®ã thấy số riêng ma trận tơng quan l phơng sai tổ hợp tuyến tính Ak Điều ny số riêng ma trận tơng quan l số không âm Ta xếp số riêng ma trận tơng quan theo thứ tự giảm dần λ ≥ λ ≥ , vμ gi¶ sư ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , lμ nh÷ng vectơ riêng tơng ứng với chúng Có định lý sau tính chất cực trị số riêng v vectơ riêng ma trận đối xứng, tơng tự tính chất cực trị giá trị riêng v hm riêng nhân đối xứng phơng trình tích phân Định lý: Trên tập hợp vectơ chuẩn tắc (1 , , , m ) tæng m m i =1 j  R ij i (8.3.29) j có cực đại b»ng sè riªng lín nhÊt λ1 cđa ma trËn Rij Cực đại ny đạt đợc vectơ vectơ riêng ứng với số riêng Trên tập hợp vectơ trực giao chuẩn hoá với n vectơ riêng  ϕ , ϕ , , ϕ n −1 cña ma trận Rij , tổng (8.3.29) có cực đại số riêng n đạt đợc = ϕn    Chøng minh: Gi¶ sư , , , m l vectơ riêng độc lập tuyến tính ma trận Rij , vectơ biểu diễn dới dạng tổ hợp tuyến tính chúng  ϕ = c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + + cm ϕ m (8.3.30) ThÕ (8.3.30) vμo (8.3.29), tính chất trực giao vectơ riêng, ta nhận đợc m m m m m m m m m  R ϕ ϕ = R  c c ϕ ϕ =  c  R ϕ ϕ ij i j ij i =1 j =1 i =1 j =1 k l k i k l j k =1 l =1 k =1 ij k i k j (8.3.31) i =1 j =1  Sư dơng (8.3.21) v điều kiện chuẩn hoá vectơ , ta đợc m m m m m R ϕ =  c λ  [ϕ ] =  λ c ij i k j i =1 j =1 k i k k =1 i =1 k k k =1 m ≤ λ1  ck = λ1 (8.3.32) k =1   Tæng (8.3.29) có giá trị cực đại = , trờng hợp ny c1 = 1, c2 = =Cm =   Bây giả sử vectơ trực giao với vectơ riêng , , , n −1 , ®ã khai triĨn (8.3.30) c1 = c2 = = cn −1 = vμ từ (8.3.32) ta nhận đợc m m m R ϕ ϕ =  λ c ij i =1 j =1 i k k j ≤ λn (8.3.33) k =n Đẳng thức (8.3.33) đạt đợc ϕ = ϕ n  NÕu lÊy c¸c vectơ riêng ma trận tơng quan Rij lm hệ vectơ { k } khai triển vectơ ngẫu nhiên X (8.3.14) phơng sai sai số xấp xỉ đợc xác n định dới d¹ng 183 n n i =1 k =1 σ =  Rii −  λ k , n (8.3.34) k số riêng ma trận tơng quan Nh vậy, với t cách l vectơ trực giao tự nhiên khai triển vectơ ngẫu nhiên thnh tổng n thnh phần trực giao tự nhiên cần phải lấy n vectơ riêng ma trận tơng quan ứng với n số riêng Khi chọn vectơ riêng ma trận tơng quan lm vectơ { k }, hệ số khai triển Ak (8.3.14) đôi không tơng quan Thùc vËy, m m m m m i =1 j i =1 j =1 i =1 M [ Ak Al ] =  M [ X i X j ]ϕik ϕlj =  ϕik  Rij ϕli = λ l  ϕik ϕli = k ≠ l (8.3.35) Vì số riêng k ma trận tơng quan l phơng sai hệ số khai triển vectơ ngẫu nhiên theo vectơ riêng ma trận tơng quan, nên bi toán khai triển vectơ ngẫu nhiên thnh tổng thnh phần trực giao tự nhiên đặt nh sau Chẳng hạn, giả sử có m giá trị yếu tố khí tợng x1 , x2 , , xm Đây l giá trị m mực khác hay m điểm khác mặt đẳng áp, hay giá trị k k điểm, nhng thời điểm khác Các vectơ trực chuẩn k (ϕ1 , ϕ2 , , ϕ k ) , m tức l tổ hợp tuyến tính giá trị yếu tố khí tợng xi , i = 1, 2, , m d¹ng m Ak =  xi ik (8.3.36) i =1 đợc tìm cho phơng sai tổ hợp tuyến tính ny   m m  m D[ Ak ] = M  xi ϕik   =  Rij ϕik ϕkj  i =1   i =1 j =1 (8.3.37) cực đại Mỗi vectơ k nh l vectơ riêng ma trận tơng quan Rij Số riêng ma trận Rij tơng ứng với vectơ phơng sai tổ hợp tun tÝnh Ak ý nghÜa cđa khai triĨn hμm ngẫu nhiên thnh tổng thnh phần trực giao tự nhiên l chỗ, từ số lợng lớn số liệu thực nghiệm, trớc hết tách tổ hợp tuyến tính A1 , có độ biến thiên (phơng sai) lớn Tổ hợp tuyến tính ny tơng ứng với vectơ riêng ứng với số riêng lớn số riêng ma trận tơng quan Tiếp theo xét đến tổ hợp tuyến tính Ak , không tơng quan với A1 , v chọn lấy tổ hợp A2 số chúng có độ biến thiên lớn nhất, v.v Sau chọn đợc số không lớn tổ hợp nh thế, độ biến thiên tất tổ hợp tuyến tính lại trở nên nhỏ Vì vậy, mong muốn mô tả phần lớn độ biến thiên đặc trng tập hợp giá trị x1 , x2 , , xm , sử dụng tất tỉ hỵp tun tÝnh Ak , mμ chØ mét sè tổ hợp ứng với số riêng lớn k Khi đó, để đánh giá sai số mắc phải, sử dụng phơng sai tơng đối sai sè 184 n m      M   X i −  Ak ϕik   k =1  i =1     η2 =  n m  2 M  X i   i =1  (8.3.38) ®Ĩ cho phơng sai cực tiểu phù hợp với (8.3.34) v tính đến đẳng thức đà biết m m R = λ ii i =1 (8.3.39) k k =1 sai số ny đợc viết dới dạng n = − n k k =1 m λ (8.3.40) k k =1 Đại lợng n dn = k k k =1 m (8.3.41) k =1 đặc trng cho phần n thnh phần tự nhiên ph−¬ng sai tỉng Nh− vËy, so víi khai triĨn hμm ngẫu nhiên theo hệ hm hay vectơ trực chuẩn no khác, phép khai triển hm ngẫu nhiên theo thnh phần trực giao tự nhiên đảm bảo giảm phơng sai nhanh từ thnh phần ny đến thnh phần khác Bi toán tìm số riêng v vectơ riêng ma trận l bi toán đại số tuyến tính Nếu chuyển số hạng từ vế phải sang vế trái, viết lại hệ (8.3.21) dới dạng ( R11 − λ)ϕ1 + R12 ϕ2 + + R1m ϕm = 0, R21ϕ1 + ( R22 − λ)ϕ2 + + R2 m ϕm = 0, (8.3.42) Rm1ϕ1 + Rm2 ϕ2 + + ( Rmm − λ)ϕ m = HÖ phơng trình (8.3.42) có nghiệm khác vectơ không trờng hợp định thức hệ không, tức l ta có phơng trình R11 λ R21 Rm1 R12 R22 − λ Rm R1 m R2 m Rmm = (8.3.43) Phơng trình ny đợc gọi l phơng trình đặc trng ma trận hệ số Rij hay phơng trình trọng lợng Khai triển định thức (8.3.43), ta viết dới dạng phơng trình đại số m p1 λm −1 − p2 λm −2 − − pm −1 λ − pm = 185 (8.3.44) Nh− vậy, số riêng ma trận Rij l nghiệm phơng trình bậc m (8.3.44), v đó, nãi chung cã m sè riªng λ1 , λ , , λ m , cã thĨ s¾p xÕp theo thứ tự giảm dần Để xác định vectơ riêng ϕ1 (ϕ1 , ϕ1 , , ϕ1 ) , t−¬ng ứng với số riêng lớn , l vectơ m trùc giao tù nhiªn thø nhÊt khai triển vectơ ngẫu nhiên (8.3.14), cần phải đặt = λ1 vμo hƯ (8.3.42) vμ t×m nghiƯm cđa hƯ ny Mỗi vectơ trực giao tự nhiên   ϕ2 , ϕ3 , , ϕ n sÏ đợc tìm cách giải hệ (8.3.42) với = λ , λ , , λ n Những hệ số phơng trình đặc trng (8.3.44) l tổng tất định thức ma trận Rij bậc i dựa đờng chéo Tính trực tiếp hệ số Pi l công việc nặng nề v đòi hỏi nhiều thao tác Trong đại số tuyến tính đà xây dựng nhiều phơng pháp đơn giản hoá việc giải bi toán xác định số riêng v vectơ riêng ma trận, trình by chi tiết vấn đề ny tìm đợc [77] Phần lớn phơng pháp bao gồm việc tính trớc các hệ số phơng trình đặc trng bỏ qua việc tính nhiều định thức Sau số riêng đợc tính phơng pháp no để tính gần nghiệm đa thức Khi khai triển vectơ ngẫu nhiên thnh tổng thnh phần trực giao tự nhiên, nh đà thấy đây, thờng ngời ta giới hạn số thnh phần đầu tiên, tức l sử dụng số vectơ riêng ma trận tơng quan tơng ứng với số riêng lớn Bi toán tìm số riêng ma trận v vectơ riêng tơng ứng với chúng đại số tuyến tính có tên l bi toán giá trị riêng phận để phân biệt với bi toán đầy đủ đòi hỏi xác định tất số riêng v vectơ riêng ma trận Để giải bi toán phận phơng pháp lặp l hiệu quả, số riêng đợc nhận nh l giới hạn chuỗi số no đó, v thnh phần vectơ riêng tơng ứng với chúng nh Trong phơng pháp lặp, số riêng thờng đợc tính trực tiếp m không cần tính trớc hệ số phơng trình đặc trng, điều lm đơn giản bi toán Các phơng pháp lặp thích hợp việc giải máy tính điện tử, chúng quan trọng 8.4 Biểu diễn trờng khí tợng dới dạng tổng thnh phần trực giao tự nhiên Phơng pháp khai triển hm ngẫu nhiên thnh thnh phần trực giao tự nhiên cho phép tách đặc điểm v loại bỏ chi tiết nhỏ từ số lợng lớn số liệu thực nghiệm; phơng pháp ny đà đợc ứng dụng rộng rÃi để mô tả cấu trúc thống kê trờng khí tợng công trình N A Bagrov [35,36], A M Obukhov [67], M.I Iu®in [87], L V Rukoves [73], G § Ku®ashkin [58], A V Mesherskaija vμ N I Iakovleva [64,65,89,90] v tác giả khác Để lm ví dụ xét việc khai triển profile thẳng đứng trờng địa vị theo thnh phần trực giao tự nhiên, đợc thực công trình L V Rukhoves Số liệu thực nghiệm ban đầu đợc sử dụng l giá trị địa vị sáu mặt đẳng áp (1000, 850, 700, 500, 300 v 200 mb) qua v chúng đợc chia thnh bốn tËp: tËp thø nhÊt bao qu¸t thêi kú 10 ngμy, tõ 23/1 ®Õn 1/2/1959, tËp thø hai − 10 ngμy, tõ 15 ®Õn 24/4/1959, tËp thø ba − 11 ngμy, tõ ®Õn 16/7/1959, tËp thø t− − 10 ngμy, tõ 20 ®Õn 29/10/1959 186 ViƯc chän mét vμi tËp nh nhằm khảo sát vấn đề độ ổn định phép khai triển Nếu thnh phần trực giao tự nhiên nhận đợc theo tập tính ổn định chuyển sang tập khác, việc øng dơng khai triĨn nh− vËy vμo thùc tÕ trë thnh hiệu v không u việt so với phÐp khai triĨn theo c¸c hƯ hμm trùc giao kh¸c Số liệu đợc lấy điểm nút lới lÃnh thổ châu Âu Mỗi mùa có không 990 giá trị biến đổi ngy đêm địa vị, mặc dù, nh tác giả [73] đà nêu, tất giá trị độc lập Để nghiên cứu phụ thuộc hm trực giao tự nhiên vo vĩ độ, ton lÃnh thổ đợc chia thnh ba vùng theo vĩ độ Theo sè liƯu cđa tËp thø ba, tËp cã nhiỊu gi¸ trị nhất, đà tính ma trận tơng quan Rij cho tõng vïng sè ba vïng, nh÷ng ma trËn tơng quan ny mô tả mối liên hệ biến đổi ngy đêm địa vị mực ton sáu mặt đẳng áp Vì xét số liệu sáu mực chuẩn, nên ma trận tơng quan Rij lμ ma trËn bËc s¸u ViƯc tÝnh c¸c số riêng v vectơ riêng đợc thực theo phơng pháp Jacobi, tức l đa ma trận dạng đờng chéo nhờ phép quay đơn giản [77] Việc tính biến đổi ngy đêm, ma trận tơng quan, số riêng v vectơ riêng đợc thực máy tính điện tử Giá trị vectơ riêng ma trận t−¬ng quan cho ba vïng (1, 2, 3), lÊy tõ [73], đợc biểu diễn hình 8.1 Do độ biến động địa vị tăng theo vĩ độ m ma trận tơng quan vùng khác biệt cách đáng kể Nhng, nh ta thấy hình 8.1, vectơ riêng ma trận gần Hình 8.1 Để nhận định tính chất ổn định vectơ riêng, hình 8.2 đà dẫn giá trị chúng cho tËp cđa mét vïng Tõ h×nh 8.2 thÊy rằng, mùa khác hình dạng vectơ riêng gần giống nhau, đặc biệt hai vectơ riêng Trong bảng 8.1 dẫn giá trị số riêng ma trận tơng quan tập v đại lợng 187 n dn = λ k k =1 m λk , (8.4.1) k =1 đặc trng cho phần đóng góp n thnh phần trực giao tự nhiên vo phơng sai khai triĨn (8.3.14) víi n = 1, 2, , , tøc lμ h¹n chÕ bëi mét, hai, ba, v.v số hạng tổng (8.3.14) Hình 8.2 Bảng 8.1 TËp k λk dn % λk dn % λk dn % λk dn % 559,8 93,4 22,5 10,6 3,6 2,1 80,9 94,4 97,6 99,2 99,7 100 195,2 59,4 18,5 11,0 8,7 2,1 66,2 86,3 92,6 96,3 99,3 100 184,7 40,8 14,2 5,5 4,2 1,9 73,5 89,7 95,3 97,5 99,2 100 625,2 115,5 21,0 10,7 5,1 2,4 50,2 95,0 97,7 99,0 99,7 100 Từ bảng thấy hai thnh phần trực giao tự nhiên tập trung khoảng 90% phơng sai tỉng céng, tøc lμ khai triĨn theo c¸c thμnh phần trực giao tự nhiên có tốc độ hội tụ cao 188 ... (8. 3.14) Hình 8. 2 Bảng 8. 1 Tập k λk dn % λk dn % λk dn % λk dn % 559 ,8 93,4 22,5 10,6 3,6 2,1 80 ,9 94,4 97,6 99,2 99,7 100 195,2 59,4 18, 5 11,0 8, 7 2,1 66,2 86 ,3 92,6 96,3 99,3 100 184 ,7 40 ,8. .. (8. 3 .8) k =1 (D) Từ công thức phơng sai sai sè cña phÐp xÊp xØ (8. 3.1) hay (8. 3 .8) thÊy r»ng, độ xác tăng lên tăng số thnh phần trực giao tự nhiên m hm ngẫu nhiên khai triển theo chúng Tuy nhiên. .. (t )dt1 dt2 (8. 1.21) k =1 a a trở thnh cực đại 8. 2 Một số kiến thức lý thuyết phơng trình tích phân Để tìm hệ hm trực chuẩn lm cho (8. 1.21) cực đại, ta sử dụng kết đà biết từ lý thuyết phơng