Viện khoa học công nghệ Việt nam Viện Toán häc nguyễn huy chiêu Một số vấn đề phép tính vi phân tích phân giải tích không trơn lý thuyết tối ưu Chuyên ngành: Lý thuyÕt tèi ­u M· sè: 62 46 20 01 Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học Hà Nội - 2011 Công trình hoàn thành Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Đông Yên PGS TS Nguyễn Năng Tâm Phản biện 1: PGS TS Trương Xuân Đức Hà Phản biện 2: GS TS Ngun B­êng Ph¶n biƯn 3: PGS TS Hnh ThÕ Phùng Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp Hội trường Viện Toán học vào hồi 30 ngày 07 tháng 04 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viƯn ViƯn To¸n häc, Th­ ViƯn Qc gia ViƯt Nam Mở đầu Hàm số không trơn tập có biên không trơn xuất thường xuyên biết đến từ lâu toán học khoa học ứng dụng Vì lý thuyết vi phân cổ điển không phù hợp cho việc khảo sát đối tượng nên lý thuyết vi phân suy rộng đà xây dựng Từ đầu thập niên 60, đà có nhiều nỗ lực nghiên cứu nhằm xây dựng lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm xác định không gian véctơ thực nhận giá trị tập số thực suy rộng để phân tích thấu đáo toán tối ưu với liệu không trơn Kết bước đầu trình lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm lồi Với cống hiến quan trọng R T Rockafellar nhà toán học khác, quy hoạch lồi - dựa giải tích lồi - đà trở thành phần quan trọng đẹp đẽ lý thuyết tối ưu Năm 1973, F H Clarke đưa khái niệm dẫn đến lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm số Lipschitz địa phương Đây bước tiến quan trọng giải tích không trơn Lý thuyết bao hàm lý thuyết vi phân cổ điển lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm lồi Lipschitz địa phương Cuối thập niên 70 đầu thập niên 80, lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đà R T Rockafellar, J.-B Hiriart-Urruty, J.-P Aubin số nhà toán học khác phát triển cho hàm nhận giá trị thực suy rộng Chỉ sau 10 năm (1973-1983), lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đà đạt nhiều thành tựu quan trọng vỊ mỈt lý thut cịng nh­ vỊ øng dơng Trong nỗ lực để thu điều kiện cần cực trị toán điều khiển tối ưu có tập ràng buộc điểm cuối cho dạng hình học, năm 1976 B S Mordukhovich đà đưa định nghĩa nón pháp tuyến vi phân qua giới hạn Đây mốc quan trọng đánh dấu đời cđa mét lý thut vi ph©n suy réng míi: lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich Giai đoạn 1993-1996, có nhiều kết quan trọng lý thuyết công bố Tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính liên tục Aubin ánh xạ đa trị trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình suy rộng Ngày lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich tiếp tục phát triển đóng vai trò trung tâm giải tích đa trị biến phân Năm 1965, R J Aumann định nghĩa tích phân ánh xạ đa trị tập hợp giá trị tích phân lát cắt khả tích ánh xạ đa trị Dưới vi phân hàm số ánh xạ đa trị đặc biệt, có vai trò tương tự đạo hàm lý thuyết vi phân cổ ®iĨn Trong lý thut tÝch ph©n Lebesgue, ng­êi ta ®· chøng minh r»ng nÕu f : [a, b] → R hàm số Lipschitz (hoặc, tổng quát hơn, hàm liên tục tuyệt đối) xác định đoạn [a, b] R, công thức Newton- b Leibniz a f (t)dt = f (b) − f (a) nghiƯm ®óng Vấn đề đặt là: Vế phải công thức đạo hàm Fréchet f (Ã) tích phân Cl Lebesgue tương ứng thay vi phân Clarke f (Ã) (hoặc vi phân Mordukhovich f (Ã)) tích phân Aumann? Phiếm hàm tích phân khái niệm xuất nhiều hướng nghiên cứu lý thuyết ứng dụng toán học (như phương trình vi phân, bao hàm thức vi phân, giải tích hàm sở, lý thuyết toán tử, quy hoạch toán học, toán biến phân, điều khiển tối ưu) Đó hàm số có dạng g(, x)dà(), G(x) = với g hàm số xác định ì U , U tập mở không gian Banach (, à) không gian có độ đo Đối với lý thuyết tối ưu, việc khảo sát tính khả vi khâu quan trọng nhiều vấn đề như: tìm nghiệm tối ưu, nghiên cứu độ nhạy tính chất ổn định nghiệm, phân tích hội tụ thuật toán, Chính vậy, việc nghiên cứu tính chất vi phân phiếm hàm tích phân đề tài thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Để làm rõ ý nghĩa việc nghiên cứu tính chất vi phân phiếm hàm tích phân, cần nhắc lại kết lý thuyết tối ưu, qui tắc nhân tử Lagrange Xét toán qui hoạch toán học (P) min{f (x) | x ∈ X, gi (x) ≤ ∀i ∈ I, hj (x) = ∀j ∈ J}, X không gian Banach, I J tập hữu hạn số, f, gi , hj hàm xác định X , nhận giá trị tập số thực suy rộng Nếu Qui tắc nhân tử Lagrange x nghiệm địa phương (P) f, gi (i I), hj (j J) Lipschitz địa phương x, tồn nhân tử Lagrange λ0 ≥ 0, λi ≥ (i ∈ I), µj R (j J) không đồng thời cho ∈ λ0 ∂ Cl f (¯) + x λi ∂ Cl gi (¯) + x i∈I vµ λi gi (¯) = ∀i ∈ I, x ë ®ã ∂ Cl µj ∂ Cl hj (¯) x j∈J ký hiệu vi phân Clarke (Xem Chương 6, tr 228, cuèn s¸ch "Optimization and Nonsmooth Analysis", Wiley-Interscience, 1983, F H Clarke) X không gian Asplund, x nghiệm địa f, gi (i I), hj (j J) Lipschitz địa phương x, Qui tắc nhân tử Lagrange phương (P), Nếu tồn nhân tử Lagrange λ0 ≥ 0, λi ≥ (i ∈ I), µj R (j J) không đồng thời cho bao hµm thøc ∈ λ0 ∂f (¯) + x λi ∂gi (¯) + x j∈J i∈I víi (àj hj )(), x ký hiệu vi phân Mordukhovich, điều kiện thoả mÃn i gi () = ∀i ∈ I, x (Xem Ch­¬ng 5, tr 33, cuèn s¸ch "Variational Analy- sis and Generalized Differentiation, Vol II: Applications", Springer, 2006, cña B S Mordukhovich) Râ ràng rằng, hàm xác định toán (P) phiếm hàm tích phân sử dụng qui tắc nhân tử Lagrange (tương ứng, qui tắc nhân tử Lagrange 2) ta biết cách tính toán xác ước lượng vi phân Clarke (tương ứng, vi phân Mordukhovich) phiếm hàm tích phân Bài toán ước lượng vi phân Clarke phiếm hàm tích phân đà nghiên cứu Mục 2.7 cn s¸ch "Optimization and Nonsmooth Analysis" (1983) cđa F H Clarke Vấn đề đặt là: Tính toán ước lượng vi phân Mordukhovich G(Ã) Trong trường hợp tổng quát, toán cho ®Õn vÉn ch­a cã lêi gi¶i Mơc ®Ých chÝnh luận án khảo sát mối quan hệ phép tính tích phân phép tính vi phân giải tích không trơn lý thuyết tối ưu sở nghiên cứu hai toán đặt Việc nghiên cứu theo đề tài luận án thực cách sử dụng số kiến thức kỹ thuật lý thuyết tối ưu, giải tích hàm, giải tích không trơn, giải tích đa trị biến phân Ngoài phần mở đầu, luận án gồm chương, phần kết luận, danh sách 63 tài liệu tham khảo Chương nhắc lại số khái niệm tính chất lý thuyết vi phân suy rộng lý thuyết tích phân ánh xạ đa trị Các kiến thức sở cho việc khảo sát trình bày chương Chương nghiên cứu toán tính toán ước lượng tích phân ánh xạ vi phân Mục 2.1 dành cho tích phân ánh xạ vi phân Clarke Mục 2.2 xét tích phân Aumann ánh xạ vi phân Mordukhovich Chương nghiên cứu toán tính vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân Mục 3.1 khảo sát vi phân Mordukhovich tích phân bất định Mục 3.2 giới thiệu công thức tính vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân L1 (; E) Các kết dẫn đến tiêu chuẩn tồn nghiệm địa phương toán tối ưu không ràng buộc, với hàm mục tiêu phiếm hàm tích phân Chương nghiên cứu miền giá trị ánh xạ vi phân Fréchet Mục 4.1 dành cho trường hợp không gian Banach phản xạ, đặc trưng không gian phản xạ đưa Mục 4.2 khảo sát miền giá trị ánh xạ vi phân Fréchet cho trường hợp không gian Asplund Mục 4.3 trình bày số kết tồn điểm dừng tồn nghiệm toán nhiễu toán tối ưu phi tuyến không gian vô hạn chiều tác động nhiễu tuyến tính Việc đánh số chương, mục, định lý, công thức, tóm tắt giữ nguyên luận án Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm tính chất sử dụng chương 1.1 Vi phân suy réng ¯ f : X → R := [−∞, +∞] hàm không gian Banach thực X Ta ký hiệu không gian đối ngẫu tôpô X X cặp đối ngẫu X X x , x Hình cầu đơn vị đóng không gian X không gian đối ngẫu X ký hiệu tương ứng BX BX Đối với ánh xạ đa trị G : X X ∗, Cho ký hiÖu w∗ Lim sup G(x) := x∗ ∈ X ∗ ∃uk → x, x∗ − x∗ , k → u→x x∗ ∈ G(uk ) k = 1, 2, k dùng để giới hạn theo dÃy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski X tôpô yếu (được ký hiệu chữ w ) X Các f ký hiệu u x hàm f : X R u x đối víi mét tËp Ω ⊂ X t­¬ng øng cã nghÜa lµ u → x víi f (u) → f (x) u x với u Các ký hiệu t t+ t t0 tương ứng cã nghÜa lµ t → t0 víi t > t0 vµ t → t0 víi t ≥ t0 tôpô sinh chuẩn f hàm số Lipschitz địa phương x X hàm theo h­íng Clarke cđa f t¹i x theo h­íng v ∈ X xác định f (x + tv) f (x ) f (x; v) := lim sup t x x, t0+ Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Đạo Dưới vi phân Clarke f x tập hợp Cl f (x) := X | , v Đạo hàm theo h­íng cđa f (x; v) ∀v ∈ X f t¹i x theo h­íng v ∈ X, ký hiệu f (x; v), xác định f (x; v) := lim + t→0 f (x + tv) − f (x) , t nÕu giíi h¹n ë vÕ phải tồn Định nghĩa 1.1.2 Cho f hàm số Lipschitz địa phương x X Ta nói f qui Clarke x với v X đạo hàm theo hướng f (x; v) tồn f (x; v) = f (x; v) Định nghĩa 1.1.3 Với 0, -dưới vi phân Fréchet f x X mà f (x) R tập hợp f (x) := x∗ ∈ X ∗ lim inf u→x f (u) − f (x) − x∗ , u − x ≥ −ε u−x NÕu |f (x)| = ∞ đặt f (x) = Khi = 0, tập f (x) ký hiệu f (x) gọi vi phân Fréchet f x Tập hợp f (x) := Lim sup f (u) f ux gọi d­íi vi ph©n Mordukhovich (hay d­íi vi ph©n qua giíi hạn) hàm f x X cho bëi c«ng thøc δ(x; Ω) = nÕu x ∈ Ω vµ δ(x; Ω) = +∞ nÕu x ∈ X\ Nón pháp tuyến Fréchet nón pháp tuyến qua giới hạn (nón pháp tuyến Mordukhovich) x X tương ứng định nghĩa N (x; Ω) := ∂δ(x; Ω) vµ N (x; Ω) := ∂δ(x; ) Hàm tập Dưới vi phân Fenchel cđa f t¹i x ∈ X víi f (x) ∈ R tập hợp F en f (x) := {x∗ ∈ X ∗ | f (u) − f (x) ≥ x∗ , u − x ∀u ∈ X} ¯ f : X R gọi nửa liên tục điểm x X lim inf f (u), lim inf f (u) := sup inf f (u) với N (x) họ tất Hµm sè f (x) u→x u→x U ∈N (x) u∈U c¸c tËp më cđa X cã chøa x Ta nãi f nửa liên tục địa phương x tån t¹i U ∈ N (x) cho f nưa liên tục điểm u U Nếu tôpô sinh chuẩn X thay tôpô yếu X tương ứng ta có khái niệm nửa liên tục yếu điểm nửa liên tục yếu địa phương hàm số thực xác định Không gian Banach tính chất Asplund) X gọi X không gian Asplund (hoặc không gian có hàm lồi liên tục f : U R xác định tập lồi mở U X khả vi Fréchet trªn mét tËp trï mËt cđa U 1.2 Tích phân Aumann (, A, à) không gian có độ đo hữu hạn đầy đủ G : Rn ánh xạ đa trị từ vào Rn có giá trị đóng khác rỗng Ta nói G đo n G (W ) := {ω ∈ Ω | G(ω) ∩ W = ∅} ∈ A víi mäi tËp më W ⊂ R ; G giới nội khả tích tồn hàm không âm k(Ã) L1 () cho G() k()BRn hầu khắp nơi , L1 () không gian hàm khả tích từ vào R Cho Đặt G = g L1 (Ω; Rn ) | g(ω) ∈ G(ω) h.k.n trªn Ω Định nghĩa 1.2.1 Tích phân của lát cắt khả tích G tập hợp gồm tất tích phân G: gdà | g G Gdà := g1 dà, , gn dµ víi mäi g = (g1 , , gn ) gdà = , Chương Tích phân ánh xạ vi phân 2.1 Tích phân ánh xạ vi phân Clarke Mục giới thiệu công thức biểu diễn tích phân Aumann-Gelfand ánh xạ vi phân Clarke, điều kiện cần đủ để tích phân đơn trị, dạng tương tự công thức Newton-Leibniz cổ điển cho trường hợp tích phân đa trị Công thức dạng Newton-Leibniz cho phép đưa chứng minh cho kết đà biết khả đặc trưng hàm số ánh xạ vi phân Clarke (X, A, à) không gian có độ đo, A -đại số chứa tất tập mở X Giả sử f : U R hàm Lipschitz tập më U ⊂ X vµ Ω ⊂ U lµ mét tập đo có à() < Khi đó, Định lý 2.1.1 Cho X Cl không gian Banach khả ly, f (x)dà(x) = Cl F (0) (2.1) = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v Ωf (x; v)dµ(x) ∀ v ∈ X , f (x; v)dà(x) Tích phân Cl f (x)dà(x) công thức (2.1) hiểu tích phân Aumann-Gelfand; nghĩa Cl f (x)dµ(x) nÕu vµ chØ nÕu ξ ∗ ∈ X tồn ánh xạ x → ξx tõ Ω vµo X ∗ cho ξx Cl f (x) hầu khắp nơi, với u X , x , u hàm số khả tích ξ ∗ , u = Ω ξx , u dµ(x) F (v) := Cho Định nghĩa 2.1.1 không gian Banach f : X Y ánh xạ từ không gian Banach X vào Y (i) Ta nói f khả vi chặt Hadamard x0 X tồn ánh xạ tuyến tính liên tôc Ds f (x0 ) : X → Y cho lim x→x0 , t→0+ t−1 (f (x + tv) − f (x)) = Ds f (x0 )(v) vµ sù hội tụ theo v tập compact cđa X Khi ®ã Ds f (x0 ) gọi đạo hàm chặt Hadamard f x0 (ii) Nếu tồn ánh xạ tuyến tÝnh liªn tơc f (x0 ) : X → Y cho lim x=x x,x −→x0 f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 ) = 0, x x0 ta nói f khả vi Fréchet x0 Khi f (x0 ) gọi đạo hàm Fréchet f x0 (iii) f gọi khả vi chặt Fréchet x0 tồn ánh xạ tuyến tính liªn tơc f (x0 ) : X → Y cho lim x=x x,x −→x0 Khi ®ã f (x) − f (x ) − f (x0 )(x − x ) = xx f (x0 ) gọi đạo hàm chặt Fréchet f x0 f khả vi chặt Fréchet x0 f khả vi chặt Hadamard x0 f (x0 ) = Ds f (x0 ) Chiều ngược lại X không gian hữu Nhận xét 2.1.1 Nếu hạn chiều Nếu X không gian hữu hạn chiều, sử dụng thuật ngữ "khả vi chặt" thay cho thuật ngữ "khả vi chặt Fréchet" "khả vi chặt Hadamard" f : U R hàm Lipschitz xác định tập mở U R , U đo có độ đo Lebesgue à() < Khi đó, tính Định lý 2.1.2 Giả sử n chất sau tương đương: Cl f (x)dà(x) tập hợp gồm điểm; (i) (ii) với v Rn , f (x), v = f (x; v) hầu khắp nơi ; (iii) f qui Clarke hầu khắp nơi (iv) f khả vi chặt hầu khắp nơi Nếu tính chất ; (i)-(iv) nghiệm đúng, Cl f (x)dà(x) = f (x)dà(x) Kết dạng tương tự công thức Newton-Leibniz cổ ®iÓn b a f (t)dt = f (b) − f (a) Chúng ta thu cho trường hợp đạo hàm Fréchet f (x) tích phân Lebesgue tương ứng thay vi phân Clarke Cl f (x) tích phân Aumann Định lý 2.1.3 Nếu f : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) hàm Lipschitz, b Cl f (x)dx f (b) − f (a) ∈ (2.6) a đẳng thức b Cl f (x)dx = f (b) f (a) a nghiệm f khả vi chặt hầu khắp nơi Tập hợp vế phải công thức [a, b] (2.6) chứa vô hạn phần tử {rk }kN tập tất số hữu tỷ khoảng (a, b) R, a < b Với k ∈ N, lÊy δk > cho (rk − δk , rk + δk ) ⊂ (a, b) k < 2(k+3) (b a) Đặt A = ∪∞ (rk − δk , rk + δk ) vµ P = [a, b]\A Vì A tập k=1 mở R nên P tập đóng vµ A = ∪j=1 (aj , bj ), víi {(aj , bj )}jN Ví dụ 2.1.1 Giả sử dÃy khoảng mở đôi rời Xét hàm số f : [a, b] R cho bëi c«ng thøc  0 nÕu x ∈ P, f (x) = Ta cã (x − aj )2 (x − bj )2 sin nÕu x ∈ (aj , bj ) (bj − aj )(x − aj )(x − bj ) f Lipschitz [a, b] I := b Cl a f (t)dt tập hợp đếm Định lý 2.1.3 cho phép đưa chứng minh cho kết đà biết [Thibault L., Zagrodny D (2005), "Enlarged inclusion of subdifferentials", Canad Math Bull., , pp 283 - 301] đặc trưng hàm số Lipschitz địa phương 48 vi phân Clarke f, g : X R hàm Cl Cl Lipschitz địa phương Khi đó, f qui Clarke vµ ∂ g(x) ⊂ ∂ f (x) víi x X, tồn R cho f (x) = g(x) + α víi mäi x X Định lý 2.1.4 Giả sử X không gian Banach Nếu X không gian hữu hạn chiều giả thiết f "chính qui Clarke" vµ "∂ g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) với x X " Định lý 2.1.4 giảm nhẹ Cl f, g : Rn R hàm Lipschitz địa phương Nếu f lµ Cl Cl n chÝnh qui Clarke vµ ∂ g(x) f (x) hầu khắp nơi R , tồn R n cho f (x) = g(x) + α víi mäi x ∈ R Định lý 2.1.5 Giả sử 2.2 Tích phân ánh xạ vi phân Mordukhovich f : U R hàm Lipschitz xác định tập mở U tập đo có độ đo Lebesgue à() < Khi Định lý 2.2.1 U R n Giả sử đó, f (x)dà(x) = x∗ ∈ Rn | x∗ , v Ω Ω VÝ dơ 2.2.1 XÐt hµm sè f : [a, b] → R ë VÝ dô 2.1.1 Ta cã f (x; v) = max ξ∈∂ Cl f (x) víi mäi f (x; v)dµ(x) ∀v ∈ Rn ξ, v = |v| f (x)v nÕu x ∈ P ∩ (a, b), nÕu x ∈ A, v ∈ R Theo §Þnh lý 2.2.1, b ∂f (x)dx = x∗ ∈ R | x∗ , v µ(P )|v| ∀v ∈ R = [à(P ), à(P )] a Hệ 2.2.1 Nếu f : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) hàm Lipschitz, b f (b) f (a) f (x)dx a đẳng thøc b ∂f (x)dx = f (b) − f (a) a xảy f hàm khả vi chặt hầu khắp nơi [a, b] Chương Dưới vi phân phiếm hàm tích phân Một số công thức tính vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân thiết lập Các kết dẫn đến tiêu chuẩn tồn nghiệm địa phương toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu phiếm hàm tích phân 3.1 Dưới vi phân tích phân bất định Kết mục công thøc tÝnh d­íi vi ph©n Mordukhovich cđa tÝch ph©n bÊt ®Þnh x F (x) = f (t)dt, (3.1) a ë f hàm bị chặn cốt yếu đoạn [a, b] R (nghĩa f đo tồn M > cho |f (x)| M hầu khắp nơi [a, b]) Ký hiệu L [a, b] tập gồm tất hàm bị chặn cốt yếu [a, b] Đặt f + (x) = inf M | ∃ ε > cho f (x ) M h.k.n trªn [x − ε, x + ε] , + f+ (x) = inf M | ∃ ε > cho f (x ) M h.k.n trªn [x, x + ε] , f − (x) = sup M | ∃ ε > cho f (x ) M h.k.n trªn [x − ε, x + ε] , − f− (x) = sup M | ∃ ε > cho f (x ) M h.k.n trªn [x − ε, x] DƠ thÊy r»ng f − (x) − f− (x) f + (x) vµ f − (x) 10 + f+ (x) f + (x) Do đó, + f (x), f+ (x) Định lý 3.1.2 Gi¶ sư − f− (x), f + (x) ⊂ f − (x), f + (x) f ∈ L [a, b], F hàm cho công thức (3.1), x (a, b) Khi đó, + F (x) = f − (x), f+ (x) − f− (x), f + (x) (3.2) Sau số vÝ dơ minh häa viƯc tÝnh d­íi vi ph©n Mordukhovich cách sử dụng công thức F (x) (3.2) E tập đo [0, 1] có tính chất sau: giao khoảng mở khác rỗng bÊt kú cđa [0, 1] víi E vµ víi [0, 1]\E có độ đo Lebesgue dương Đặt f (t) = nÕu t ∈ E , f (t) = nÕu t ∈ [0, 1]\E XÐt hµm VÝ dô 3.1.1 LÊy x f (t)dt (x ∈ [0, 1]) Ta cã f ∈ L∞ [0, 1] vµ F (x) = + − f + (x) = f+ (x) = vµ f − (x) = f− (x) = với x (0, 1) Theo Định lý 3.1.2, VÝ dơ 3.1.2 ∂F (x) = [0, 1] víi mäi x ∈ (0, 1) LÊy tËp E nh­ VÝ dơ 3.1.1 Gi¶ sư x0 ∈ E ∩ (0, 1) vµ f : [0, 1] → R lµ hµm sè cho bëi c«ng thøc  1 nÕu t ∈ [x0 , 1] E,    0 nÕu t ∈ [x , 1]\E, f (t) = 2 nÕu t ∈ [0, x0 ) E,    3 nÕu t ∈ [0, x )\E x + F (x) = f (t)dt (x ∈ [0, 1]) Ta cã f ∈ L∞ [0, 1] vµ f + (x0 ) = 3, f+ (x0 ) = − 1, f − (x0 ) = 0, f− (x0 ) = Theo Định lý 3.1.2, Đặt F (x0 ) = 0, 2, Hệ 3.1.1 Ngoài giả thiết Định lý 3.1.2, giả sử F (x) = ∅ Khi ®ã ta cã ∂F (x) = f (x), f + (x) , ∂F (x) = ∂ Cl F (x) NhËn xÐt 3.1.2 Tõ HƯ qu¶ 3.1.1 ta suy r»ng nÕu d­íi vi phân Mordukhovich F (x) tập không lồi th× ∂F (x) = ∅ 11 ϕ : I → R hàm số Lipschitz địa phương Cl khoảng më I cđa R, x ∈ I , vµ ∂ϕ(x) = Khi (x) = (x) Hệ 3.1.2 Giả sử Ký hiệu vi phân đối xứng (symmetric subdifferential) hàm số x bëi ∂ ϕ(x) := ∂ϕ(x)∪[−∂(−ϕ)(x)] V× ∂ϕ(x) ⊂ ∂ ϕ(x) (x) khả vi Fréchet x (x) = { (x)} = , nên từ Hệ 3.1.2 ta thu lại 0 Cl kết sau J M Borwein X Wang [Borwein J M., Wang X (1997), "Distinct differentiable functions may share the same Clarke subdifferential at all points", Proc Amer Math Soc., , pp 807 - 813] 125 khảng mở R Cl Lipschitz địa phương Khi (x) = (x) = Hệ 3.1.3 Cho I : I R hàm khả vi (x) 3.2 Dưới vi phân phiếm hàm tích phân không gian L1 (; E) Cho (, A, à) không gian có độ đo không nguyên tử hữu hạn đầy đủ, E không gian Banach khả ly f : ì E R hàm A B(E)đo Kết mục công thức tính xác vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân có dạng f (, u())dà() (u L1 (; E)) F (u) = (3.16) Định nghĩa 3.2.1 (i) Hàm s : E gọi hàm đơn giản biểu diễn dạng m s= ci Ai , i=1 m m ∈ N, ci ∈ E, Ai ∈ A (i = 1, 2, , m) đôi rời nhau, = Ai , i=1 χA (ω) = nÕu ω ∈ A vµ χA (ω) = nÕu ω ∈ X\A (ii) Hàm u : E gọi đo mạnh tồn dÃy hàm đơn giản sk : E cho lim sk () u() k (iii) Hàm đơn giản E = h.k.n s : E gọi khả tích Bochner ta biểu diƠn nã d­íi d¹ng m s= ci χAi , i=1 12 m m N, ci E, Ai A (i = 1, 2, , m) đôi mét rêi nhau, Ω = Ai , i=1 ci = à(Ai ) = Với A A, tích phân Bochner s A định nghĩa công thức m à(A Ai )ci , sdà := i=1 A à(A Ai )ci := nÕu ci = vµ µ(A ∩ Ai ) = (iv) Hàm đo mạnh u : E gọi khả tích Bochner tồn dÃy hàm đơn giản sk : Ω → E kh¶ tÝch Bochner tho¶ m·n lim sk (ω) − u(ω) k→∞ E = h.k.n vµ sk − u dµ = lim k→∞ Ω Víi A A, tích phân Bochner u A định nghĩa udà := lim sk dà k A A Ký hiƯu bëi L1 (Ω; E) kh«ng gian tÊt hàm u : E khả tích Bochner trang bị chuẩn u := Ω u(ω) dµ víi mäi u ∈ L1 (Ω; E) Với u L1 (; E), đặt If (u) = ∗ Ω f (ω, u(ω))dµ (3.18) := inf Ω v(ω)dµ | v ∈ L1 (Ω; R), v(ω) ≥ f (ω, u(ω)) h.k.n NÕu ω → f (ω, u(ω)) hàm khả tích hiển nhiên If (u) = F (u), F (u) cho (3.16) v : E gọi đo yếu với e E , hµm sè Ω ω → v(ω), e lµ ®o ®­ỵc Ký hiƯu bëi Lw (Ω; E ∗ ) không gian tất hàm đo yếu v : E cho hàm Ω ω → v(ω) thuéc L∞ (Ω; R) w ∗ Không gian L (; E ) trang bị chuẩn v Lw (Ω;E ∗ ) = ess sup v(ω) , Hàm ess sup v() = inf{ > | v(ω) < α h.k.n.} ω∈Ω 13 KÕt sau phát biểu chứng minh sách I Fonseca G Leoni "Modern Methods in the Calculus of Variations: Lp Spaces", Vol I, Springer, 2007 Tuy nhiên, chứng minh không chặt chẽ Vì vậy, tác giả luận án đà đề xuất chứng minh (Chứng minh dài đà Giáo sư I Fonseca Giáo sư G Leoni công nhận đưa lên trang web http://www.math.cmu.edu/~ leoni/book1, http://www.math.cmu.edu/~ leoni /Typos.pdf, http://www.math.cmu.edu/~ leoni/notes.pdf liên quan đến sách nói trên.) Định lý 3.2.2 Giả sử (, A, à) không gian có độ đo không gian Banach khả ly Khi đó: (i) Nếu T (L1 (; E)) tồn phần tử hữu hạn E v Lw (; E ) ∞ cho v(ω), u(ω) dµ T (u) = (3.19) Ω u ∈ L1 (Ω; E) H¬n thÕ, T = v (ii) Mọi phiếm hàm T có dạng (3.19), tun tÝnh liªn tơc trªn L1 (Ω; E) víi mäi Lw (Ω;E ∗ ) ∞ ë ®ã v ∈ Lw (Ω; E ∗ ), ∞ lµ phiÕm hµm MƯnh đề sau đóng vai trò then chốt chứng minh Định lý 3.2.3 - kết mục nµy ¯ If (·) : L1 (Ω; E) → R hàm số (3.18) x L1 (; E) tho¶ m·n f (x) ∈ L1 (Ω; R) Khi Mệnh đề 3.2.1 Giả sử cho công thức ∂ε If (x) = x∗ ∈ Lw (Ω; E ∗ ) | inf gε (ω, e, x∗ (ω)) ≥ h.k.n ∞ e∈E = x∗ ∈ Lw (Ω; E ∗ ) | If (u) − If (x) − x∗ , u − x ∞ ≥ −ε u − x ∀u ∈ L1 (Ω; E) , gε (ω, e, e∗ ) := f (ω, e) − f (ω, x(ω)) − e∗ , e − x(ω) + ε e − x(ω) , ω ∈ Ω, e ∈ E, e∗ ∈ E ∗ , Định lý 3.2.3 Giả sử f : ì E R hàm A B(E)đo thoả mÃn với f (u) L1 (Ω; R) víi mäi u ∈ L1 (Ω; E), F hàm số cho công thức (3.16) Khi ®ã ∂F (x) = ∂F (x) = ∂ F en F (x) = x∗ ∈ Lw (Ω; E ∗ ) | inf g0 (ω, e, x∗ (ω)) ≥ h.k.n , ∞ e∈E g0 (ω, e, e ) := f (ω, e) − f (ω, x(ω)) − e∗ , e − x(ω) , ω ∈ Ω, e ∈ E, e∗ ∈ E ∗ vµ x ∈ L1 (Ω; E) với 14 Hệ 3.2.1 Ngoài giả thiết Định lý 3.2.3, giả sử thêm vi Fréchet Lipschitz địa phương lim x F (x) = k k Do đó, F khả vi liên tục F F khả x, ta cã x∗ ∈ ∂F (xk ) mµ lim xk = x k k khả vi Fréchet Lipschitz địa phương Xét toán tối ưu (P) F (x) = min{F (x) | x ∈ L1 (Ω; E)}, Ω f (ω, x(ω))dµ(ω) (x ∈ L1 (Ω; E)) phiếm hàm tích phân thoả mÃn giả thiết Định lý 3.2.3 Điều kiện cần đủ để Hệ 3.2.2 x nghiệm địa phương toán (P) f (, e) = f (, x()) eE hầu khắp nơi Chương Miền giá trị ánh xạ vi phân Trong chương nghiên cứu miền giá trị ánh xạ vi phân hàm f : X R {+} thường nửa liên tục thoả mÃn điều kiện bức, X không gian Banach 4.1 Trường hợp không gian Banach phản xạ Định lý 4.1.1 Cho X không gian Banach Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) X (ii) không gian phản xạ Với hàm thường nửa liên tục yếu f : X R {+} thoả mÃn điều kiÖn bøc f (x) = +∞, →∞ x lim x (4.1) ∂f (x) = X ∗ ta cã x∈X N (x; Ω) = X ∗ (iii) Víi bÊt kỳ tập đóng yếu bị chặn X, ta có x 15 4.2 Trường hợp không gian Asplund Định lý 4.2.1 Cho X không gian Asplund vµ f : X → R ∪ {+∞} lµ mét f bị chặn tập bị chặn ∂f (x) lµ trï mËt X ∗ hµm thường nửa liên tục Nếu điều kiện (4.1) đúng, tập hợp xX en := (0, , 0, 1, 0, ), phần tử đơn vị nằm vị trí thứ n Xét hàm số f : X → R ∪ {+∞} cho bëi c«ng thøc  1 1 + t  − nÕu x = (1 − t)en + ten+1  n n + n  (t ∈ [0, 1) n = 1, 2, ), f (x) :=  ∞   +∞  nÕu x ∈ X\ [en , en+1 ) ,  VÝ dơ 4.2.1 LÊy vµ X= n=1 [en , en+1 ) := (1 − t)en + ten+1 | t [0, 1) Khi đó, giả thiết Định lý 4.2.1 thoả mÃn f (x) = X xX Giả sử Hệ 4.2.2 X không gian Asplund rỗng, đóng bị chặn X Khi tập N (x; ) tập khác trï mËt X x∈Ω VÝ dô 4.2.2 ∞ Ω= LÊy X = vµ en := (0, , 0, 1, 0, ) véctơ đơn vị thứ n Đặt [en , en+1 ], [en , en+1 ] := en + t(en+1 − en ) | t ∈ [0, 1] Ta cã Ω lµ n=1 mét tập đóng khác rỗng bị chặn N (x; Ω) = X ∗ X vµ x∈Ω 4.3 Mét vài ứng dụng Xét toán (P0 ) min{f (x) | x X}, X không gian Banach vµ f : X → R ∪ {+∞} lµ hàm nửa liên tục Ta nói x X điểm dừng (P0 ) f () x Định lý 4.3.1 Nếu X f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm chÝnh bøc (4.1) thoả mÃn thì, với không gian phản xạ, thường nửa liên tục yếu, điều kiện c X , toán (Pc ) min{f (x) + c, x | x ∈ X} cã tËp điểm dừng khác rỗng 16 f : X R {+} hàm lồi thường nửa liên tục dưới, điều kiện (4.1) thoả mÃn với c X toán (Pc ) có nghiệm Mệnh đề 4.3.1 Nếu X không gian phản xạ, (Pc ) kết việc làm "nhiễu tuyến tính" toán (P0 ) (tức việc cộng thêm hàm tuyến tính c, x vào hàm mục tiêu f (x) (P0 )) Theo cách hiểu này, Định lý 4.3.1 khẳng định tồn điểm dừng toán nhiễu (P0 ) tác động nhiễu tuyến tính, NhËn xÐt 4.3.1 Ta cã thĨ xem MƯnh ®Ị 4.3.1 điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán nhiễu toán qui hoạch lồi tác động nhiễu tuyến tính f : X R {+} hàm thường nửa liên tục bị chặn tập bị chặn X Nếu điều kiện (4.1) thoả mÃn, tồn tập C trï mËt X cho víi mäi c C toán (Pc ) có tập điểm dừng khác rỗng Định lý 4.3.2 Cho Mệnh đề 4.3.2 X Cho không gian Asplund, X không gian Asplund, f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm låi thường nửa liên tục bị chặn tập bị chặn X Nếu điều kiện (4.1) thoả mÃn, tồn t¹i X ∗ cho víi mäi c ∈ C toán (Pc ) có nghiệm 17 tập C trù mật Kết luận Các kết luận án bao gồm: Công thức biểu diễn tích phân Aumann ánh xạ vi phân Clarke ánh xạ vi phân Mordukhovich, điều kiện cần đủ để tích phân tập gồm điểm Một dạng tương tự công thức Newton-Leibniz cổ điển cho trường hợp tích phân đa trị Chứng minh cho định lý đà biết khả đặc trưng hàm số ánh xạ vi phân Clarke Công thức tính xác vi phân Mordukhovich tích phân bất định F (x) = x a f (t)dt, víi f lµ mét hµm bị chặn cốt yếu Công thức tính xác vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân (u ∈ L1 (Ω; E)), víi (Ω, A, µ) lµ mét không gian có độ đo không nguyên tử -hữu hạn đầy đủ, E không gian Banach khả ly, f : ì E R hàm A B(E)đo Công thức kéo theo F (u) = f (, u())dà() tiêu chuẩn tồn nghiệm địa phương toán tối ưu không ràng buộc, với hàm mục tiêu phiếm hàm tích phân Một số đặc trưng không gian Banach phản xạ thông qua tính chất tràn ánh xạ vi phân Fréchet Điều kiện đủ để miền giá trị ánh xạ vi phân Fréchet trù mật X không gian X Asplund Hai định lý tồn điểm dừng toán nhiễu toán tối ưu phi tuyến tác động nhiễu tuyến tính Hai mệnh đề tồn nghiệm toán nhiễu toán qui hoạch lồi tác động nhiễu tuyến tính Cùng với công thức Newton-Leibniz (đà khảo sát Chương 2), hướng nghiên cứu luận án tiếp tục công thức Green, công thức Gauss ứng dụng Đối với toán tính toán đánh giá vi phân phiếm hàm tích phân (Chương luận án), lớp hàm đà xét, cần tiếp tục nghiên cứu tìm công thức tính toán đánh giá vi phân cho lớp hàm khác ứng dụng công thức thu vào việc khảo sát toán tối ưu có liên quan đến phiếm hàm tích phân, đặc biệt toán điều khiển tối ưu 18 Các kết luận án đà báo cáo ã Xêmina phòng Giải tích số Tính toán khoa học, Viện Toán học ã The 4th Vietnam-Korea Workshop on Mathematical Optimization Theory and Applications, Ho Chi Minh City, February 18-20, 2004 ã Các hội thảo Tối ưu Tính toán khoa học lần thứ (Hà Nội, 20-24/4/2005), lần thứ (Ba Vì, 16-19/5/2007), lần thứ (Ba Vì, 23-26/4/2008) ã Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ (Qui Nhơn, 4-8/8/2008) ã Miniworkshop for Optimization (Department of Mathematics, National Cheng Kung University, Tainan, Taiwan, 14/1/2009) • International Symposium on Optimization and Optimal Control (National Sun Yat-sen University, Kaohsiung, Taiwan, 2-6/2/2009) 19 Danh mục công trình tác giả có liên quan tới luận án Nguyen Huy Chieu (2008), "Limiting subdifferentials of indefinite integrals", Journal of Mathematical Analysis and Applications, , pp 247 - 258 341 Nguyen Huy Chieu (2008), "Density of the range of the FrÐchet subdifferential of a lower semicontinuous function in Asplund spaces", Nonlinear Analysis Forum, , pp 67 - 76 13 Nguyen Huy Chieu (2009), "The FrÐchet and limiting subdifferentials of integral functionals on the spaces and Applications, L1 (Ω, E)", Journal of Mathematical Analysis , pp 704 - 710 360 Nguyen Huy Chieu (2010), "Integral of the Clarke subdifferential mapping and a generalized Newton-Leibniz formula", Nonlinear Analysis, 20 , pp 614 - 621 73 ... là: Tính toán ước lượng vi phân Mordukhovich G(Ã) Trong trường hợp tổng quát, toán chưa có lời giải Mục đích luận án khảo sát mối quan hệ phép tính tích phân phép tính vi phân giải tích không trơn. .. trơn lý thuyết tối ưu sở nghiên cứu hai toán đặt Vi? ??c nghiên cứu theo đề tài luận án thực cách sử dụng số kiến thức kỹ thuật lý thuyết tối ưu, giải tích hàm, giải tích không trơn, giải tích đa... tiến quan trọng giải tích không trơn Lý thuyết bao hàm lý thuyết vi phân cổ điển lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm lồi Lipschitz địa phương Cuối thập niên 70 đầu thập niên 80, lý thuyết vi phân