Lời nói đầu Năm 1892, trường Đại học tổng hợp Kharkov, A M Lyapunov công bố bảo vệ thành cơng luận án tiến sĩ có nhan đề "Bài tốn tổng qt tính ổn định chuyển động" Ông đưa định nghĩa đặt cách chặt chẽ toán học toán nghiên cứu ổn định nghiệm phương trình vi phân thường Ơng phát triển hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân thường phương pháp số mũ Lyapunov (hay gọi phương pháp thứ nhất) phương pháp sử dụng hàm số Lyapunov (hay gọi phương pháp thứ hai) Những ý tưởng ông đưa nhà khoa học nghiên cứu, phát triển thành ngành khoa học chuyên sâu thu nhiều kết có ý nghĩa nhiều lĩnh vực Lý thuyết số mũ Lyapunov phát triển cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ có nhiều cơng trình nghiên cứu số mũ Lyapunov hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ, đặc biệt phương trình ơtơnơm Lý thuyết số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô không ôtônôm phát triển thời gian gần Vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tính chất số mũ Lyapunov hệ phương trình vi phân có nhiễu ngẫu nhiên nhỏ Tuy nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô nghiên cứu lý thuyết số mũ Lyapunov hạn chế so với nghiên cứu lý thuyết hàm Lyapunov, nhiều vấn đề quan trọng thuộc lý thuyết số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ cịn mở, cần nghiên cứu phát triển Với lý chúng tơi chọn "nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính" làm đề tài luận án tiến sĩ Luận án cấu trúc sau Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục cơng trình cơng bố, luận án chia làm ba chương Chương giới thiệu tổng quan phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Chương giới thiệu khái niệm ổn định ngẫu nhiên nghiệm tầm thường phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Trình bày số kết nghiên cứu mối liên hệ loại ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Chương trình bày kết nghiên cứu chúng tơi tính chất số mũ trung tâm số mũ bổ trợ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Sự trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện khơng suy biến Cuối dáng điệu tiệm cận số mũ Lyapunov lớn phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên Itô nhỏ Các kết luận án công bố ba báo trình bày tiểu ban xác suất thống kê - Đại hội tốn học tồn quốc lần thứ VII (Quy Nhơn, ngày 5/8/2008), seminar phòng Xác suất Thống kê toán học - Viện Toán học (25/2; 11,18,25/3/2009), Hội nghị quốc tế phương trình vi phân giải tích ứng dụng lần thứ IV (Viện Tốn học, ngày 16-18/10/09), seminar phịng Tối ưu Điều khiển - Viện Toán học (15/12/2009) Hội nghị Xác suất - Thống kê toàn quốc lần thứ IV (Vinh, ngày 20-22/5/2010) Chương Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ thực chất hiểu phương trình tích phân Itơ có số hạng tích phân Riemann, số hạng tích phân Itơ Trước trình bày số kết nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính, luận án dành Chương để giới thiệu khái niệm liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ 1.1 Những lớp trình ngẫu nhiên quan trọng Cho (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ, I ⊂ R+ (thông thường I = [0, T ), I = [0, T ] với < T ∈ R I = R+ ) Trong luận án ta xét I = R+ Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình Gauss) Quá trình ngẫu nhiên X = {X(t) : Ω −→ R, t ∈ I} gọi trình Gauss (hay q trình có phân phối chuẩn), phân phối hữu hạn chiều Gauss, tức phân phối vec tơ ngẫu nhiên (X(t1 ), X(t2 ), , X(tn )) phân phối Gauss t1 , t2 , , tn ∈ I Định nghĩa 1.1.2 (Quá trình dừng theo nghĩa hẹp) Quá trình ngẫu nhiên X = {X(t) : Ω −→ R, t ∈ I} gọi trình dừng theo nghĩa hẹp với dãy số hữu hạn t1 , t2 , , tn ∈ I, với số thực h thỏa mãn t1 +h, t2 +h, , tn +h ∈ I véc tơ ngẫu nhiên (X(t1 ), X(t2 ), , X(tn )) (X(t1 + h), X(t2 + h), , X(tn + h)) có phân phối Định nghĩa 1.1.3 (Quá trình dừng theo nghĩa rộng) Quá trình ngẫu nhiên X = {X(t) : Ω −→ R, t ∈ I} có phương sai hữu hạn gọi trình dừng theo nghĩa rộng (i) Hàm trung bình số: EX(t) = m = const với t ∈ I, (ii) Hàm tương quan (hàm covarian) phụ thuộc vào hiệu số thời gian, tức là: K(t, s) = EX(t)X(s) − m2 , phụ thuộc t − s với t, s ∈ I Ta chứng minh rằng: (i) Nếu X q trình có phương sai hữu hạn dừng theo nghĩa hẹp dừng theo nghĩa rộng (ii) Nếu X trình Gauss dừng theo nghĩa hẹp dừng theo nghĩa rộng tương đương Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình gia số độc lập) Quá trình ngẫu nhiên X = {X(t) : Ω −→ R, t ∈ I} gọi trình gia số độc lập gia số khoảng thời gian rời biến ngẫu nhiên độc lập, tức phân hoạch hữu hạn: t0 < t1 < < tn , tk ∈ I, k = 0, 1, , n, gia số X(t0 ), X(t1 ) − X(t0 ), X(t2 ) − X(t1 ), , X(tn ) − X(tn−1 ) biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 1.1.5 (Q trình Markov) Cho (E, B) khơng gian đo cho tất tập gồm điểm đo Quá trình ngẫu nhiên X = {X(t) : Ω −→ E, t ∈ I} , nhận giá trị E gọi trình Markov với A ∈ B, ≤ s < t ta có P(X(t, ω) ∈ A|Ns ) = P(X(t, ω) ∈ A|X(s, ω)), Ns σ-đại số sinh tất tập có dạng {ω : X(u, ω) ∈ B} (với u ≤ s, B ∈ B) Nhận xét: Quá trình gia số độc lập trình Markov Tồn hàm bốn biến P (s, x, t, A), ≤ s ≤ t, x ∈ E, A ∈ B thỏa mãn: (i) cố định s, t, x, hàm số P (s, x, t, ) : B −→ [0, 1] độ đo xác suất (E, B), (ii) cố định s, t, A, hàm số P (s, , t, A) : E −→ [0, 1] đo B, x ∈ A (iii) P (s, x, s, A) = δx (A) = x ∈ A, (iv) s, t cho trước, ≤ s ≤ t x ∈ E, A ∈ B, ta có P(X(t) ∈ A|X(s) = x) = P (s, t, x, A) Hàm P (s, x, t, A) gọi hàm chuyển (hay xác suất chuyển) q trình Markov Với x ∈ E, trừ tập N giá trị x cho P(X(s) ∈ N ) = 0, hàm chuyển trình Markov thỏa mãn phương trình Chapman-Kolmogorov: P (s, x, t, A) = P (s, x, u, dy)P (u, y, t, A) E Ngược lại có hàm chuyển ta xây dựng trình Markov với phân phối ban đầu tùy ý Định nghĩa 1.1.6 (Martingale) Cho lọc {Ft , t ∈ I} σ-đại số F Quá trình ngẫu nhiên X = {X(t) : Ω −→ R, t ∈ I} , gọi martingale lọc {Ft , t ∈ I}, viết {X, Ft , t ∈ I} nếu: (i) E|X(t)| < +∞ với t ∈ I, (ii) X thích nghi với {Ft , t ∈ I} , (iii) với ≤ s < t, ta có đẳng thức E(X(t)|Fs ) = X(s) hầu chắn Định nghĩa 1.1.7 (Quá trình Wiener) Quá trình ngẫu nhiên W = {W (t) : Ω −→ R, t ∈ I} , gọi trình Wiener (i) W (0) = 0, (ii) W trình gia số độc lập, (iii) với ≤ s < t biến ngẫu nhiên W (t) − W (s) có phân phối chuẩn với trung bình phương sai t − s, (iv) W có quỹ đạo liên tục (hầu chắn) Ta định nghĩa q trình Wiener theo cách sau 6 Định nghĩa 1.1.8 Quá trình Wiener W = {W (t) : Ω −→ R, t ∈ I} trình Gauss với gia số dừng độc lập thỏa mãn điều kiện EW (t) = 0, 1.2 1.2.2 K(t, s) = K(t − s) = EW (t)W (s) = min(s, t) Định nghĩa tích phân Itơ Định nghĩa tích phân Itơ cho q trình đơn giản Cho trình Wiener W = {W (t), t ≥ 0} Lọc tự nhiên tương ứng với trình W Ft = σ(W (s))0≤s≤t , t ≥ Định nghĩa 1.2.1 Một trình ngẫu nhiên c = {c(t), t ∈ [0, T ]} gọi đơn giản điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tồn phân hoạch τn : = t0 < t1 < < tn = T, dãy biến ngẫu nhiên {Zi , i = 1, 2, , n} cho Zn Zi c(t) = nếu t = T, ti−1 ≤ t < ti , i = 1, 2, , n (ii) Dãy {Zi , i = 1, 2, , n} thích nghi với lọc Fti−1 , i = 1, 2, , n thỏa mãn EZi < +∞ với i = 1, 2, , n Định nghĩa 1.2.2 Tích phân Itơ q trình ngẫu nhiên đơn giản c đoạn [0, T ] định nghĩa công thức T n c(ti−1 )[W (ti ) − W (ti−1 )] c(s)dW (s) := 1.2.3 i=1 Định nghĩa tích phân Itơ Ta ln đặt giả thiết (H) sau lên trình ngẫu nhiên X q trình mà ta lấy tích phân Itơ: (i) X thích nghi q trình Wiener [0, T ] T EX (s)ds hữu hạn (ii) Tích phân Nhận xét: Nếu trình ngẫu nhiên X thỏa mãn giả thiết (H) tồn dãy trình ngẫu nhiên đơn giản c(n) , n = 1, 2, cho T n→+∞ E[X(s) − c(n) (s)]2 ds −→ 0 Tồn q trình bình phương khả tích It (X) [0, T ] giới hạn trung bình bình phương tích phân Itơ q trình ngẫu nhiên đơn giản n→+∞ c(n) , n = 1, 2, , tức E sup [It (X) − It (c(n) )]2 −→ 0≤t≤T Lưu ý, giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy trình ngẫu nhiên đơn giản c(n) , n = 1, 2, Định nghĩa 1.2.3 Giới hạn trung bình bình phương It (X) gọi tích phân Itơ q trình ngẫu nhiên X ký hiệu t X(s)dW (s), It (X) = t ∈ [0, T ] Tích phân Itơ trình ngẫu nhiên X thỏa mãn giả thiết (H) có tính chất sau: Q trình ngẫu nhiên It (X), t ∈ [0, T ] martingale lọc tự nhiên trình Wiener Tích phân Itơ có kỳ vọng Tích phân Itơ có tính chất đẳng chuẩn Tích phân Itơ có tính chất tuyến tính Tích phân Itơ có tính chất cộng tính Q trình ngẫu nhiên It (X) có quỹ đạo mẫu liên tục 1.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Trong khơng gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) cho họ σ-đại số đầy đủ {Ft , t ∈ [0, T ]} F; W 1(t), W 2(t), , W m(t), t ∈ [0, T ] trình Wiener độc lập với nhau, thỏa mãn với r = 1, 2, , m {W r(t), Ft , t ∈ [0, T ]} lập thành martingale Thông thường Ft = σ(W (s), W (s), , W m (s))0≤s≤t Định nghĩa 1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ viết dạng m br (t, X(t))dW r (t), dX(t) = a(t, X(t))dt + r=1 (1.1) X(t0 ) = x0 (ω), t X(t) = x0 (ω) + m t br (s, X(s))dW r (s), a(s, X(s))ds + (1.2) r=1 t t0 ≤ t0 ≤ t ≤ T < +∞, biến ngẫu nhiên n-chiều x0 (ω) gọi giá trị ban đầu điểm t0 , {X(t, ω), t ∈ [t0 , T ]} trình ngẫu nhiên n-chiều thỏa mãn X(t0 , ω)=x0 (ω), a(t, x), br (t, x) : [0, T ] × Rn −→ Rn , r = 1, m véc tơ hàm n-chiều đo Với (t, x) giả thiết hàm a(t, x), br (t, x) độc lập với ω ∈ Ω, tức tham số ngẫu nhiên ω xuất gián tiếp hệ số phương trình (1.1) hay (1.2) dạng a(t, X(t, ω)), br (t, X(t, ω)) Định nghĩa 1.3.2 Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ (1.1) q trình ngẫu nhiên n-chiều X = {X(t, ω) = (X1 (t, ω), X2 (t, ω), , Xn (t, ω)), t ∈ [t0 , T ]} thỏa mãn tính chất sau: x (ω) (i) Xi (t, ω) thích nghi với σ-đại số Ft := σ(Ft , x0 (ω)) với i = 1, 2, , n t ∈ [t0 , T ] (ii) Các hàm a(t, ω) = a(t, X(t, ω)), br (t, ω) = br (t, X(t, ω)) với r = 1, 2, , m thỏa mãn T P {ω : a(t, ω) dt < +∞} = 1, T P {ω : br (t, ω) dt < +∞} = (iii) Đẳng thức (1.2) thỏa mãn với t ∈ [0, T ] hầu chắn 9 Định lý 1.3.3 Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô (1.1) Giả sử a(t, x), br (t, x) : [t0 , T ] × Rn −→ Rn (r = 1, 2, , m) hàm liên tục theo hai biến (t, x) tồn số K cho với t ∈ [t0 , T ] x, y ∈ Rn ta có: m a(t, x) − a(t, y) + br (t, x) − br (t, y) ≤ K x − y , r=1 m br (t, x) ≤ K(1 + x ) a(t, x) + r=1 Khi với biến ngẫu nhiên n-chiều x0 (ω) đo σ-đại số Ft0 , có E[x0 (ω)]2 δ > tồn số r > cho với t ≥ t0 x0 < r, ta có P {ω : Φt0 ,t (ω) x0 ≥ } 11 < δ (2.1) 12 Định nghĩa 2.1.2 (Ổn định theo xác suất) Nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ phương trình (1.1) gọi ổn định theo xác suất với t ≥ với t0 ≥ > ta có lim P x0 →0 ω : sup Φt0 ,t (ω) x0 > = (2.2) t>t0 Định nghĩa 2.1.6 (Ổn định tiệm cận theo xác suất) Nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận theo xác suất với t ≥ t0 X(t, ω) ≡ ổn định theo xác suất với t ≥ t0 lim P x0 →0 lim Φt0 ,t (ω) x0 = t→+∞ (2.3) = (2.4) Định nghĩa 2.1.7 (Ổn định tiệm cận toàn cục theo xác suất) Nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận toàn cục theo xác suất với t ≥ t0 X(t, ω) ≡ ổn định tiệm cận yếu theo xác suất với t ≥ t0 với x0 ∈ Rn , > : lim P {ω : Φt0 ,t (ω) x0 > } t→+∞ = (2.5) (2.6) Định nghĩa 2.1.13 (Ổn định hầu chắn) Nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ phương trình (1.1) gọi ổn định hầu chắn với t t0 tồn tập Ω ⊂ Ω, P(Ω ) = cho với ω ∈ Ω nghiệm X(t, ω) ≡ ổn định (tất định) với t t0 2.2 Mối liên hệ loại ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Trước tiên chúng tơi chứng minh mối liên hệ Khasminskii "Ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân" Mệnh đề 2.2.1 Nghiệm X(t, ω) ≡ phương trình (1.3) ổn định tiệm cận theo xác suất ổn định tiệm cận toàn cục theo xác suất 13 Như biết phương trình vi phân tất định tính ổn định nghiệm khơng phụ thuộc vào thời điểm ban đầu, tức nghiệm ổn định tính từ thời điểm t0 ∈ R+ ổn định tính từ thời điểm t0 ∈ R+ Đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (1.3) chúng tơi chứng minh tính ổn định hầu chắn nghiệm tầm thường không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu Định lý 2.2.2 Cho t0 , t∗ ∈ R+ , tùy ý Nếu nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ phương trình (1.3) ổn định hầu chắn với t t0 ổn định hầu chắn với t t∗ Chứng minh Định lý chứng minh phương pháp phản chứng Trong lý thuyết xác suất, nói chung tính chất hầu chắn theo xác suất ngược lại không Với khái niệm ổn định theo xác suất trình bày chúng tơi chứng minh tính ổn định theo xác suất ổn định hầu chắn nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (1.3) tương đương Định lý 2.2.3 Nếu nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ phương trình (1.3) ổn định hầu chắn với t ổn định theo xác suất với t ngược lại Chứng minh Định lý chứng minh phương pháp phản chứng Từ định nghĩa loại ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ ta thấy nghiệm ổn định theo xác suất ổn định yếu theo xác suất Hơn Khasminskii ví dụ phương trình ngẫu nhiên có nghiệm ổn định yếu theo xác suất không ổn định theo xác suất Tuy nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính 1-chiều, hệ số hằng, thỏa mãn điều kiện khơng suy biến chúng tơi tính ổn định yếu theo xác suất tính ổn định theo xác suất nghiệm tương đương Định lý 2.2.4 Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính 1-chiều, hệ số m σr X(t)dW r (t) dX(t) = BX(t)dt + r=1 (2.16) 14 thỏa mãn điều kiện không suy biến m (σr x, α)2 K x α , r=1 K số dương Khi tính ổn định theo xác suất tính ổn định yếu theo xác suất nghiệm tầm thường X(t, ω) ≡ tương đương Khasminskii lưu ý ví dụ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính, hệ số hằng, thỏa mãn điều kiện không suy biến, ổn định yếu theo xác suất không ổn định theo xác suất Chúng tơi cố gắng tìm ví dụ chứng tỏ điều này, đồng thời đặt toán chứng minh phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính n-chiều (n ≥ 2), hệ số hằng, thỏa mãn điều kiện khơng suy biến tính ổn định theo xác suất ổn định yếu theo xác suất nghiệm tương đương đến chưa thu kết theo hướng Chương Số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Khi nghiên cứu tốn ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên người ta thường tìm cách mở rộng, tổng quát hóa khái niệm, kết lý thuyết ổn định Lyapunov tất định lên trường hợp ngẫu nhiên Ta biết rằng, hai phương pháp lý thuyết ổn định Lyapunov tất định phương pháp hàm Lyapunov phương pháp số mũ Lyapunov Đối với phương pháp hàm Lyapunov, "Ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân" Khasminskii đề cập toàn diện chi tiết kết thu việc nghiên cứu toán ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên nói chung phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ nói riêng Đối với phương pháp số mũ Lypunov, năm 1966, số mũ trung tâm Ω1 phương trình vi phân tất định lần giới thiệu Vinograd để làm đánh giá chặn số mũ Lyapunov lớn λ1 Tương tự số mũ trung tâm Ω1 Vinograd, Millionshchikov (1983) định nghĩa số mũ trung tâm Ωk hệ tất định làm chặn số mũ Lypunov λk Nguyễn Đình Cơng (1990) định nghĩa số mũ trung tâm Θk làm chặn số mũ Lyapunov λk với k = 1, 2, · · · , n Nói chung số mũ trung tâm đưa thực khác biệt với số mũ Lyapunov Điều Bylov ví dụ cụ thể 15 16 Năm 1970, tương tự trường hợp tất định, lần Millionshchikov đưa định nghĩa số mũ bổ trợ cho phương trình vi phân có nhiễu ngẫu nhiên (hay phương trình vi phân ngẫu nhiên) Số mũ bổ trợ đưa để hỗ trợ cho việc nghiên cứu số mũ Lyapunov Một ưu điểm việc tính tốn số mũ bổ trợ khơng phải theo dõi quỹ đạo nghiệm toàn thời gian mà cần tính tốn ma trận nghiệm khoảng thời gian compac Nghiên cứu số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên tốn Millionshchikov, xét phương trình vi phân u = [B(t) + C(t, ω)]u, B(t) ma trận hàm liên ˙ tục, bị chặn ma trận C(t, ω) có phần tử trình ngẫu nhiên khúc, độc lập với Sử dụng luật 0-1 Kolmogorov, Millionshchikov chứng minh số mũ Lyapunov khơng phụ thuộc vào ω Chú ý phương trình giải theo quỹ đạo mà khơng cần sử dụng phép tính tích phân Itơ Năm 1993, xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô m Fr X(t)dW r (t), dX(t) = F0 (t)X(t)dt + σ (3.1) r=1 F0 (t) ma trận hàm liên tục bị chặn, Fr (r = 1, 2, , m) ma trận hằng, Nguyễn Đình Cơng đưa nhận xét số mũ Lyapunov, số mũ trung tâm, số mũ bổ trợ thứ k (k = 1, 2, , n) phương trình (3.1) khơng phụ thuộc vào ω chứng minh phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện không suy biến nhiễu ngẫu nhiên, tức tồn hai số thực dương µ1 , µ2 cho với x, y ∈ Rn m µ1 x y ≤ Fr x, y ≤ µ2 x y , r=1 số mũ trung tâm, số mũ Lyapunov, số mũ bổ trợ thứ k (k = 1, 2, , n) phương trình (3.1) Đến năm 2001 báo "Phổ phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính khơng ơtơnơm", Nguyễn Đình Cơng chứng minh cụ thể cho trường hợp tổng quát (không cần điều kiện không suy biến) số mũ Lyapunov phương trình (1.3) khơng phụ thuộc vào ω, tức khơng ngẫu nhiên 17 Dựa ý tưởng Nguyễn Đình Cơng cơng bố, chúng tơi chứng minh số tính chất số mũ trung tâm số mũ bổ trợ phương trình (1.3) Thay sử dụng Luật 0-1 Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập sử dụng Luật mạnh số lớn bất đẳng thức đưa Rosenblatt-Roth cho xích Markov khơng để chứng minh số mũ trung tâm, số mũ Lyapunov, số mũ bổ trợ thứ k (k = 1, 2, , n) phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (1.3), thỏa mãn điều kiện khơng suy biến, trùng Chú ý phương trình (1.3) tổng quát phương trình (3.1) 3.1 Các định nghĩa số mũ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Cho X ma trận vng cấp n khơng suy biến, d1 (X) ≥ d2 (X) ≥ ≥ dn (X) bậc hai dương giá trị riêng ma trận X ∗ X Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (1.3) Nhắc lại Φs,t (ω) dòng ngẫu nhiên hai tham số tốn tử tuyến tính Rn sinh phương trình (1.3) Định nghĩa 3.1.1 Các biến ngẫu nhiên λk (ω), Ωk (ω), Θk (ω) với k ∈ {1, 2, , n} xác định λk (ω) := max lim sup ln Φ0,t (ω)x , U ∈Gn−k+1 x∈U t→+∞ t Θk (ω) := sup sup lim sup V ∈Gk T ∈R+ m→+∞ mT (3.2) m−1 ln Φ(i+1)T,iT (ω) −1 Φ0,(i+1)T (ω)V , (3.3) , (3.4) i=0 Ωk (ω) := inf inf+ lim sup U ∈Gn−k+1 T ∈R m→+∞ mT m−1 ln ΦiT,(i+1)T (ω) Φ0,iT (ω)U i=0 tương ứng số mũ Lyapunov, số mũ trung tâm chặn số mũ trung tâm chặn phương trình (1.3) Trong Định lý 3.2.6 chứng minh công thức (3.3) (3.4) thay T ∈ R+ T > 18 Định nghĩa 3.1.2 Biến ngẫu nhiên γk (ω) xác định công thức γk (ω) := lim sup lim sup T →+∞ m→+∞ mT m−1 ln dk ΦiT,(i+1)T (ω) , (3.7) i=0 với k ∈ {1, 2, , n} gọi số mũ bổ trợ phương trình (1.3) Hàm γk (T ) xác định cơng thức γk (T ) := lim sup m→+∞ mT m−1 E ln dk ΦiT,(i+1)T (ω) , (3.8) i=0 với k ∈ {1, 2, , n} , T ∈ R+ gọi hàm số bổ trợ phương trình (1.3) 3.2 Một số tính chất số mũ trung tâm số mũ bổ trợ Định lý 3.2.1 Với k∈{1, 2, , n} ta có đẳng thức γk (ω) = lim sup γk (T ) với T →+∞ xác suất 1, tức số mũ bổ trợ γk (ω) phương trình (1.3) khơng phụ thuộc vào ω ∈ Ω Định lý 3.2.2 Với k ∈ {1, 2, , n} số mũ trung tâm Θk (ω) phương trình (1.3) khơng phụ thuộc vào ω ∈ Ω Định lý 3.2.3 Với k ∈ {1, 2, , n}, số mũ trung tâm Ωk (ω) phương trình (1.3) không phụ thuộc vào ω ∈ Ω Như số mũ Lyapunov, số mũ trung tâm, số mũ bổ trợ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (1.3) khơng phụ thuộc vào ω ký hiệu sau số mũ bỏ qua ω Định lý 3.2.4 Với k ∈ {1, 2, , n}, số mũ trung tâm Ωk phương trình (1.3) lớn số mũ Lyapunov λk Định lý 3.2.5 Với k ∈ {1, 2, , n}, số mũ trung tâm Θk phương trình (1.3) nhỏ số mũ Lyapunov λk Định lý 3.2.6 Với k ∈ {1, 2, , n}, số mũ trung tâm Θk phương trình (1.3) nhỏ số mũ bổ trợ γk 19 Định lý 3.2.7 Đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (1.3) ta ln có γ1 ≥ Ω1 γn = Θn 3.3 Sự trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện khơng suy biến Trong phần xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính (1.3) có phần ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện không suy biến sau đây: Tồn hai số thực dương µ1 , µ2 cho với x, y ∈ Rn t ∈ R+ µ1 x y ≤ D(t, x)y, y ≤ µ2 x y , (3.16) m D(t, x) = dij (t, x) n×n n h l fir (t)fjr (t)xh xl với dij (t, x) = r=1 h,l=1 Trước tiên ta nhắc lại Mệnh đề mà Nguyễn Đình Cơng chứng minh Mệnh đề 3.3.1 Với > 0, tồn < δ = δ( ) < cho với không gian véc tơ V ∈ Gk , U ∈ Gn−k (k = 1, 2, , n − 1) với τ ∈ R+ tập hợp ω ∈ Ω thỏa mãn ˆ Φτ,τ +1 (ω)V ∩ U [δ( )] ≡ {0} ˆ có độ đo xác suất nhỏ , U ( ) biểu thị nón gồm véc tơ Rn tạo với khơng gian véc tơ U góc nhỏ Tiếp sau hai kết Rosenblatt-Roth Luật mạnh số lớn xích Markov khơng Cho (Ui , Σi ) không gian đo được, xi phần tử Ui , Ai tập đo phần tử σ-đại số Σi (i = 1, 2, ) Xác suất chuyển (hay hàm chuyển) Pi (xi , Ai+1 ) miền xác định (Ui , Σi , Ui+1 , Σi+1 ) với i = 1, 2, xác định xích Markov Ta ký hiệu αi = α(Pi ) hệ số ergodic Pi Xét dãy biến ngẫu 20 nhiên ξi , (i = 1, 2, ), phụ thuộc vào r ≥ bước thời gian (hay r-phụ thuộc) xích Markov giả sử với i = 1, 2, biến ngẫu nhiên ξi có phương sai Dξi hữu hạn Đặt m α (m) = αi , Dm = 1≤i≤m Dξi , i=1 m Sm = Um = max |Ss − ESs |, ξi , (m = 1, 2, ) 1≤s≤m i=1 +∞ Mệnh đề 3.3.2 Nếu αi > ρ > (i = 1, 2, ) m−2 Dξm < +∞ dãy m=1 biến ngẫu nhiên ξi (i = 1, 2, ) thỏa mãn luật mạnh số lớn Mệnh đề 3.3.3 Nếu αi > ρ > (i = 1, 2, ) √ [20(1 + 6)]2 ρ2 Dm P(Um > ) < Dựa vào kết Mệnh đề chứng minh bất đẳng thức đánh giá sai số số mũ trung tâm số mũ bổ trợ thứ k (k ∈ {1, 2, , n}) phương trình (1.3) Định lý 3.3.4 Tồn số c1 > cho với ∈ (0, 1), T ∈ R, T > k ∈ {1, 2, · · · , n} bất đẳng thức sau xảy |Ωk − γk (T )| ≤ (2c1 + 1) √ √ − δ( ) ln , T δ( ) ln , T δ( ) xác định Mệnh đề 3.3.1 |Θk − γk (T )| ≤ (2c1 + 1) − (3.17) (3.18) Định lý 3.3.5 Nếu phương trình (1.3) thỏa mãn điều kiện khơng suy biến (3.16) với k ∈ {1, 2, , n} giới hạn sau tồn số mũ bổ trợ γk := lim γk (T ) = γk (ω) T →+∞ Hơn ta có đẳng thức sau Ωk = λk = Θk = γk (3.32) 21 3.4 Dáng điệu tiệm cận số mũ Lyapunov lớn phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên Itơ nhỏ Xét phương trình vi phân tuyến tính tất định n-chiều dX(t) = F0 (t)X(t)dt, (3.35) j t ∈ R+ , F0 (t) = (fi0 )n×n ma trận hàm, liên tục, bị chặn phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính n-chiều có dạng m dX(t) = F0 (t)X(t)dt + σ r=1 Fr (t)X(t)dW r (t), (3.36) X(t0 ) = x0 , j Fr (t) = (fir (t))n×n (r = 1, 2, , m) ma trận hàm, liên tục, bị chặn, thỏa mãn điều kiện không suy biến (3.16) Ta coi phương trình (3.36) phương trình vi phân tất định (3.35) nhiễu tiếng ồn trắng có dạng ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện khơng suy biến (3.16) Khi ta có định lý sau Định lý 3.4.1 Số mũ Lyapunov lớn phương trình (3.36) tiến đến số mũ trung tâm lớn phương trình (3.35) σ tiến đến Kết luận Luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Những kết luận án Luận án số mối liên hệ loại ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Luận án chứng minh số tính chất số mũ trung tâm, số mũ bổ trợ Chỉ trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính thỏa mãn điều kiện không suy biến Các vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Các nghiên cứu thực Luận án thuộc hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ Các kết bước đầu phổ Lyapunov phổ liên quan phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính tạo sở để tác giả tiếp tục nghiên cứu hệ có cấu trúc phức tạp hệ suy biến hệ có tính khơng suy biến yếu so với giả thiết đặt luận án (hệ số khơng suy biến µ1 , µ2 phụ thuộc vào t chẳng hạn) Sử dụng kết công cụ luận án tác giả tiếp tục nghiên cứu tính chất ổn định phổ Lyapunov, tính chất ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính; nghiên cứu tính chất định tính phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô phi tuyến Một hướng phát triển thú vị nghiên cứu tính chất định tính hệ đặc biệt (hệ vật lý, hệ học, hệ sinh học) mơ hình ngẫu nhiên dạng 22 23 phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ: phương trỡnh Schorădinger ngu nhiờn, ứ phng trỡnh h sinh thỏi thú-mồi môi trường ngẫu nhiên Danh mục công trình cơng bố Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2004), Using some Financial Mathematical Methods for Analysing Vietnam stock’s Market, Journal of Science and Technique, No 108, 86-93 Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2009), On the stability of solutions of Ito differential equations, Acta Math Vietnamica, Vol 35, No 2, 253-261 Nguyễn Đình Cơng, Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2009), Lyapunov exponents and central exponents of linear Ito stochastic diferential equations, Acta Math Vietnamica (đã nhận đăng) Nguyễn Đình Công, Nguyễn Thị Thúy Quỳnh (2009), Coincidence of Lyapunov exponents and central exponents of linear Ito stochastic differential equations with nondegenerate stochastic term, preprint,Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, 09/09 gửi đăng 24 ... Số mũ Lyapunov lớn phương trình (3.36) tiến đến số mũ trung tâm lớn phương trình (3.35) σ tiến đến Kết luận Luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định số mũ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. Chương trình bày kết nghiên cứu chúng tơi tính chất số mũ trung tâm số mũ bổ trợ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Sự trùng số mũ Lyapunov số mũ trung tâm phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. nhiên Itơ tuyến tính Những kết luận án Luận án số mối liên hệ loại ổn định ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính Luận án chứng minh số tính chất số mũ trung tâm, số mũ bổ trợ