Sở GD&ĐT Hà Nam Trung Tâm GDTX Duy Tiên Chuyên đề Chuyên đề hàm số BÙI QUỸ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Sự đồng biến, nghịch biến hàm số 1.1 Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) Ta nói: - Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) khoảng (a; b) với x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) - Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) với x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng gọi đơn điệu khoảng Điều kiện đủ tính đơn điệu Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a) hay f (c) = f (b) − f (a) b−a Định lý 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) a) Nếu f (x) > ∀x ∈ (a; b) hàm số y = f (x) đồng biến khoảng b) Nếu f (x) < ∀x ∈ (a; b) hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng Định lý 1.3 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) Nếu f (x) ≥ f (x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng (a; b) hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) khoảng Chú ý Trong hàm số sơ cấp học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết sau: - y = f (x) hàm số đồng biến (a; b) ⇐⇒ f (x) ≥ ∀x ∈ (a; b) - y = f (x) hàm số nghịch biến (a; b) ⇐⇒ f (x) ≤ ∀x ∈ (a; b) * Các bước xét tính đơn điệu hàm số: - Tìm điểm tới hạn - Xác định dấu đạo hàm khoảng xác định điểm tới hạn - Lập bảng biến thiên, từ suy chiều biến thiên hàm số Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai1 1.2 Ví dụ tập 1.1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: Phải nhắc lại định lí thuận định lí đảo CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN a) y = 4x3 − 3x + b) y = x4 + x3 − 3x2 + x+1 x−1 x2 + 3x + d) y = x+1 c) y = x4 + 2x2 − x2 f) y = x − 3x2 + 15 e) y = 1.2 Cho hàm số y = − x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − Tìm m để hàm số tăng (0; 3) 1.3 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m − Tìm m để hàm số tăng (−1; +∞) 1.4 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + Tìm m để hàm số tăng tập xác định mx2 + 6x − Tìm m để hàm số giảm (1; +∞) 1.5 Cho hàm số y = x+2 1 1.6 Cho hàm số y = mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + Tìm m để hàm số tăng (2; +∞) 3 1.7 Cho hàm số y = 2x2 + (1 − m)x + + m Tìm m để hàm số tăng (1; +∞) x−m 1.8 Cho hàm số y = x3 + mx2 − mx + Tìm m để hàm số: a) Tăng tập xác định b) Tăng (−∞; 0) 1.9 Cho hàm số y = x2 + mx − Tìm m để hàm số: 3−x a) Giảm tập xác định 2.1 b) Giảm (−1; 0) c) Tăng (−2; 2) Cực đại cực tiểu Tóm tắt lí thuyết Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0 ) = Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm lân cận điểm x0 (có thể trừ điểm x0 ) i) Nếu f (x) > khoảng (x0 − δ; x0 ); f (x) < khoảng (x0 ; x0 + δ) x0 điểm cực đại hàm số y = f (x) ii) Nếu f (x) < khoảng (x0 − δ; x0 ); f (x) > khoảng (x0 ; x0 + δ) x0 điểm cực tiểu hàm số y = f (x) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN Nói cách vắn tắt: Nếu qua x0 , đạo hàm đổi dấu x0 điểm cực trị Và đổi dấu từ + sang - x0 điểm cực đại đổi dấu từ - sang + x0 điểm cực tiểu Quy tắc I - Tìm f (x) - Tìm điểm tới hạn - Xét dấu đạo hàm - Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f (x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục x0 f (x0 ) = 0, f (x0 ) = x0 điểm cực trị hàm số, nữa: - Nếu f (x0 ) > x0 điểm cực tiểu - Nếu f (x0 ) < x0 điểm cực đại Quy tắc II - Tìm f (x) Giải phương trình f (x) = Gọi xi nghiệm - Tính f (x) - Từ dấu f (xi ) suy điểm cực trị Chú ý - Nếu f (x0 ) = f (x0 ) = khơng thể khẳng định x0 có điểm cực trị hay không - Chúng ta dùng dấu hiệu I trường hợp tổng quát, dấu hiệu II dùng gặp hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác) 2.2 Ví dụ tập 2.1 Tìm cực trị hàm số: x2 − x + a) y = 2x2 − x4 b) y = x +x+1 x d) y = e) y = ex sin x ln x √ c) y = x + 3x2 + √ f) y = x4 x2 + mx + đạt cực đại x = 2.2 Xác định m để hàm số y = x+m 2.3 Chứng minh hàm số y = x2 + 2x + m có cực đại cực tiểu x2 + 2.4 Tìm a b để cực trị hàm số y = a2 x3 + 2ax2 − 9x + b số dương x0 = − điểm cực đại 2.5 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) Tìm m để hàm số đạt cực đại x = 2.6 Cho hàm số y = a sin x + π sin 3x Tìm a để hàm số đạt cực trị x = 3 2.7 Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN a) y = x3 + mx2 + (m + 6)x − 2.8 Cho hàm số y = b) y = x2 − 2x + m 4−x x2 + mx + Tìm m để hàm số đạt cực đại x = x+m 2.9 Cho hàm số y = x3 − (m − 3)x2 + (4m − 1)x − m Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x1 < −2 < x2 x2 − x + m x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có hai cực trị c) Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị dấu 2.10 Cho hàm số y = x2 + (m + 1)x + − m Tìm m để hàm số có: x−m a) Một cực đại cực tiểu b) Hai cực trị giá trị cực trị trái dấu c) Cực tiểu có hồnh độ nhỏ 2.11 Cho hàm số y = mx + Tìm m để hàm số có hai cực trị Trong trường hợp chứng − x2 minh điểm cực trị đồ thị phía trục hồnh 2.12 Cho hàm số y = mx2 − 2x + m Tìm m để hàm số: x2 − x a) Tăng khoảng xác định b) Chỉ có cực trị c) Đạt cực đại cực tiểu điểm có hoành độ dương 2.13 Cho hàm số y = 2.14 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3(m + 1)x2 − (3m2 + 7m − 1)x + m2 − đạt cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ 2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 2.16 Cho hàm số y = x4 + 8mx3 + 3(1 + 2m)x2 − Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại CHUN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 3.1 Tóm tắt lí thuyết Phương pháp bất đẳng thức2 Phương pháp hàm số Phương pháp hàm số thường sử dụng gặp tốn tìm GTLN, GTNN chứng minh BĐT có tham số Khi thường tìm điều kiện chặt tham số Xét hàm số y = f (x) tập X ⊂ D Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số X, ta làm sau: a Phương pháp chung: - Lập bảng biến thiên hàm số X - Dựa bảng biến thiên (chú ý đến thay đổi giá trị hàm số X), ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) hàm số X b Trường hợp đặc biệt: Khi X = [a; b], ta làm sau: y = y không xác định , giả sử nghiệm x1 , x2 , , xn - Giải HPT x ∈ (a; b) - Tính f (x1 ), f (x2 ), , f (xn ) f (a), f (b) - Số lớn số giá trị lớn - Số nhỏ số giá trị nhỏ Chú ý Trong trường hợp hàm số có chu kì cần tìm GTLN, GTNN đoạn có độ dài chu kì Phương pháp biến thiên để giải biện luận phương trình có tham số Phương pháp chung để giải biện luận phương trình có tham số PP biến thiên là: Bước 1: Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t Bước 2: Từ giả thiết toán biến đổi dạng sau: f (t) = g(m); f (t) ≥ g(m); f (t) ≤ g(m); f (t) > g(m); f (t) < g(m) Tức biến đổi để cô lập m vế, vế độc lập với m Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số f (t) miền giá trị t tìm sau bước Bước 4: Từ bảng biến thiên suy miền giá trị f (t) Sử dụng kết bảng biến thiên, để tìm kết luận toán Chú ý Điều kiện chặt cho t có nghĩa tìm giá trị t để phương trình t = u(x) có nghiệm Giả sử f (x) hàm liên tục miền D giả thiết tồn giá trị lớn nhât, nhỏ f (x), xét miền D (kí hiệu là: max f (x), f (x)) Khi ta có định lí sau: x∈D x∈D Định lý 3.1 Giả sử D = [a; b] Nếu f (a).f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm (a; b) Làm kĩ cách chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN Định lý 3.2 Phương trình f (x) = m có nghiệm khi: f (x) ≤ m ≤ max f (x) x∈D x∈D Chứng minh =⇒ Giả sử phương trình cho có nghiệm x0 ∈ D =⇒ f (x0 ) = m Ta có: f (x) ≤ f (x0 ) ≤ max f (x) x∈D x∈D hay: f (x) ≤ m ≤ max f (x) x∈D x∈D ⇐= Giả sử f (x) ≤ m ≤ max f (x) x∈D x∈D Do f (x) liên tục nên nhận giá trị từ f (x) tới max f (x) nhận giá trị m, tức x∈D x∈D ∃x0 ∈ D cho f (x0 ) = m Điều có nghĩa phương trình f (x) = m, x ∈ D có nghiệm Định lý 3.3 a) Bất phương trình f (x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi: max f (x) ≥ m x∈D b) Bất phương trình f (x) ≥ m ∀x ∈ D f (x) ≥ m x∈D Chứng minh a) =⇒/ Giả sử bất phương trình f (x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm =⇒ ∃x0 ∈ D cho f (x0 ) ≥ m Rõ ràng: max f (x) ≥ f (x0 ) ≥ m x∈D ⇐=/ Giả sử max f (x) ≥ m x∈D Phản chứng bất phương trình cho vơ nghiệm, tức f (x) < m, ∀x ∈ D =⇒ max f (x) < m x∈D điều mâu thuẫn với giả thiết.Từ suy điều phải chứng minh b) Chứng minh tương tự phần a) Định lý 3.4 a) Bất phương trình f (x) ≤ m, x ∈ D có nghiệm khi: f (x) ≤ m x∈D b) Bất phương trình f (x) ≤ m ∀x ∈ D max f (x) ≤ m x∈D Định lý 3.5 Cho phương trình f (x) = g(x) với x ∈ D Giả sử miền D hàm f (x) ln đồng biến, cịn hàm g(x) ln nghịch biến Khi phương trình có nghiệm nghiệm Định lý 3.6 Xét bất phương trình f (x) ≤ g(x) miền D Nếu max f (x) ≤ g(x) bất x∈D x∈D phương trình thoả mãn ∀x ∈ D Chú ý: max f (x) ≤ g(x) điều kiện đủ để f (x) ≤ g(x), x ∈ D điều x∈D x∈D kiện cần đủ Giả sử D = [a; b], α, β ∈ R, α < β max f (x) = β > α = g(x) x∈[a;b] Nhưng f (x) < g(x), ∀x ∈ D x∈[a;b] CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 3.2 Ví dụ tập 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: √ √ x2 + x + d) y = f (x) = x − + − x (x>0) a) y = f (x) = 2x2 + 4x + x e) y = f (x) = b) y = f (x) = + 4x − x √ x +1 c) y = f (x) = x4 − 2x2 + (x ∈ [−2; 3]) f) y = sin x + cos x 3.2 Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ y = f (x) = lg2 x + lg x + 2 3.3 Giả sử x, y hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu 4 thức S = + x 4y 3.4 Cho x, y, z số dương thoả mãn 1 + + =4 x y z Tìm GTLN 1 + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 3.5 Cho x, y, z > thoả mãn xyz = Tìm GTNN + x3 + y + xy 3.6 Tìm GTLN, GTNN y = + y3 + z3 + yz √ + z + x3 zx ln2 x , x ∈ [1; e3 ] x 3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm √ √ √ √ √ m( + x2 − − x2 + 2) = − x4 + + x2 − − x2 3.8 Cho phương trình: log2 x + log2 x + − 2m − = a) Giải phương trình m = √ b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [1; 3 ] 3.9 Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTLN y z x + + x+1 y+1 z+1 3.10 Với giá trị m bất phương trình sau ∀x ∈ [−5; 1] √ 5−4x−x2 + 21+ √ 5−4x−x2 ≤m CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 3.11 Cho phương trình 9x − m3x + 2m = a) Giải phương trình với m = −1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 3.12 Tìm GTLN, GTNN hàm số √ √ y = + sin x + + cos x cos6 x + sin6 x 3.13 Cho phương trình = m tan 2x cos2 x − sin2 x 13 a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm 3.14 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) √ 4(log2 x)2 − log x + m = 3.15 Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x6 + 4(1 − x2 )3 x ∈ [−1; 1] π 3.16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn [0; ] 2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x + m = 3.17 Cho a, b, c > a + b + c = Tìm GTNN 1 (a + )(b + )(c + ) a b c 3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4x − m.2x − m + ≤ 3.19 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) + tan2 x + m(cot x + tan x) − = sin2 x m+2 b) 5x2 − (x + 1)2 = 2x − x + 1+x 1+x c) ( √ ) + 2m( √ ) + = x x 2mx 4x2 + + − m2 = d) + 2x2 + x4 + x2 e) √6 + 3x5 + (6 − m)x4 + (7 − 2m)x3 + (6 − m)x2 + 3x + = x √ f) x2 + x + − x2 − x + = m g) 2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + − x = √ √ h) √ + x +√ − x − (3 + x)(6 − x) = m i) x − + − x = m x+1 j) (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) = 3m − m2 x−3 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN π π 3.20 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [− ; ] 2 + sin 2x = m(1 + cos x)2 π 3.21 Tìm giá trị m để bất phương trình sau ∀x ∈ [0; ]: sin 3x + m sin 2x + sin x ≥ 3.22 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x5 − (x − 3)5 = m 0≤x≤3 3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: √ √ x+1+ y+2= m x + y = 3m 3.24 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: a)  (4 − 6m) sin3 x + 3(2m − 1) sin x   +2(m − 2) sin2 x cos x − (4m − 3) cos x =  0 ≤ x ≤ π  b)  2x2 = y + m  y m2  2y = x + x 3.25 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x < 0: x4 + x3 + mx2 + 2x + < 3.26 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: √ √ x+1− 4−x ≥ m 3.27 Tìm m để bất phương trình sau với x : cos4 x − cos 3x − 36 sin2 x − 15 cos x + 36 + 24m − 12m2 ≥ 3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với |x| ≥ 2: x4 − 5x2 + x + − m ≥ 3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm [1; 2]: 42x−x + 22x−x +1 + 2m − ≥ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 13 y y C2 C1 C0 O O x x C0 y y C3 C4 O x O x C0 C0 Chú ý Với hàm số y = u(x).v(x) (C) y = u(x) muốn vẽ đồ thị hàm số y = v(x) u(x) Ta giữ nguyên đồ thị (C) miền làm cho u(x) > |v(x)| v(x) > 0, (tương ứng) Lấy đố xứng phần cịn lại qua trục hồnh |u(x)|v(x) (C1 ) y = 7.1 Một số tốn liên quan đến khảo sát hàm số Tóm tắt lí thuyết Bài tốn Tìm giao điểm hai đường Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị (C) hàm số y = g(x) có đồ thị (C1 ) Hãy tìm giao điểm (C) (C1 ) Hoành độ giao điểm (C) (C1 ) nghiệm phương trình f (x) = g(x) (1) Nếu x0 , x1 , nghiệm (1) điểm M0 (x0 ; f (x0 )), M1 (x1 ; f (x1 )), giao điểm (C) (C1 ) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 14 y y C6 C5 O x O x C0 C0 Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f (x) a) Gọi (C) đồ thị nó, viết phương trình tiếp tuyến đường cong (C) điểm M0 (x0 ; f (x0 )) b) Hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm M1 (x1 ; y1 ) tiếp xúc với (C) c) Hãy viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với (C) Cách giải a) Tiếp tuyến (C) M0 (x0 ; f ((x0 )) y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 b) Đường thẳng d qua M1 (x1 ; y1 ) có hệ số góc k có phương trình y = k(x − x1 ) + y1 Để đường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm: f (x) = k(x − x1 ) + y1 f (x) = k Hệ phương trình cho phép ta xác định hồnh độ x0 tiếp điểm, hệ số góc k = f (x0 ) tiếp tuyến Chú ý - Số nghiệm hệ lúc số tiếp tuyến - Có thể mở rộng vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với điểm chung Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x), gọi (C) (C ) theo thứ tự đồ thị chúng Hai đồ thị gọi tiếp xúc với điểm chung, điểm chúng có tiếp tuyến Khi điểm chung gọi tiếp điểm Như vậy, hai đồ thị (C) (C ) tiếp xúc với hệ phương trình sau có nghiệm: f (x) = g(x) f (x) = g (x) Bài tốn Biện luận phương trình PP đồ thị Giả sử có đồ thị hàm số y = f (x) (nhờ khảo sát, biến đổi từ đồ thị hàm số đó) Bài tốn đặt biện luận số nghiệm phương trình P (x) = Q(x) có chứa tham số m thông thường ta làm sau - Biến đổi P (x) = Q(x) f (x) = g(x, m) - Hạn chế đồ thị hàm số y = f (x) cần - Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị (C) : y = f (x) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 15 ∆ : y = g(x, m) - Cho ∆ chuyển động theo biến thiên tham số m, biện luận theo m số giao điểm ∆ (C) từ ta số nghiệm phương trình Các dạng đồ thị y = g(x, m) Dạng g(x, m) = h(m) ∆ đường thẳng vng góc với Oy cắt trục tung điểm có tung độ h(m) Dạng g(x, m) = kx + h(m), k = const ∆ đường thẳng phương với đường thẳng y = kx cắt trục tung điểm có tung độ h(m) Tìm tiếp tuyến song song với đường thẳng y = kx.Để giải biện luận loại hệ ta cần so sánh h(m) với tung độ giao điểm tiếp tuyến với Oy Dạng g(x, m) = h(m)(x − x0 ) + y0 , x0 , y0 = const ∆ đường thẳng ln quay quanh điểm A(x0 ; y0 ) cố định Tìm tiếp tuyến qua điểm A(x0 ; y0 ) Để giải biện luận loại hệ ta cần so sánh h(m) với hệ số góc tiếp tuyến 7.2 Ví dụ tập 7.1 Biện luận theo m số giao điểm đồ thị hàm số x2 − 6x + y= y = x − m x+2 7.2 Biện luận đồ thị số nghiệm phương trình x3 + 3x2 − = m 7.3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = (2 − x2 )2 (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0; 4) 7.4 Khảo sát vị trí tương đối đồ thị (C) hàm số y = 4x3 − 3x + đường thẳng d : y = m(x − 1) + x+2 Chứng minh với b đường thẳng y = x + b cắt đồ thị x−2 (C) hàm số hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt 7.5 Cho hàm số y = 7.6 Xác định m cho đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + cắt trục hồnh bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng 7.7 Xác định m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) hàm số y= x2 − 2x + x−1 hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng y = x + CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 16 7.8 Tìm m để đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= x2 − 3x + 1−x 7.9 Cho hàm số y = x3 − 3x có đồ thị (C) đường thẳng d qua điểm A(1; −2) có hệ số góc k Biện luận theo k vị trí tương đối (C) d 7.10 Xác định định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3ax2 + 4a3 ba biểm phân biệt A, B, C cho AB = BC 7.11 Xác định m để hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng (3m + 1)x − m2 + m với m = Xác định m để giao điểm đồ thị x+m với trục hoành tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x − 10 7.12 Cho hàm số y = 7.13 Chứng minh tiếp tuyến đồ thị hàm số y = I(1; 1) x2 − x + không qua điểm x−1 7.14 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x + biết tiếp tuyến qua A( ; −1) 7.15 Tìm điểm A trục tung cho qua A kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 − x2 + x2 − 3x + 2x − a) Tìm phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số điểm A(0; −2) b) Đường thẳng d cắt tiệm cận đồ thị hàm số điểm B, C Chứng minh A trung điểm đoạn BC 7.16 Cho hàm số y = mx2 + (2 − m2 )x − 2m − Tìm m để hàm số có cực trị Chứng minh x−m với m tìm được, đồ thị hàm số ln tìm hai điểm mà tiếp tuyến hai điểm vng góc 7.17 Cho hàm số y = x2 + 3x + m Với giá trị m đồ thị hàm số có tiếp x+1 tuyến vng góc với đường phân giác thứ góc hợp hai trục toạ độ Chứng minh đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu 7.18 Cho hàm số y = 2x2 − x + 7.19 Cho hàm số y = Chứng minh đường thẳng y = có bốn điểm x−1 cho từ điểm kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số hai tiếp tuyến hợp với góc 450 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 17 −x + 2x − a) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ hai mặt phẳng toạ độ b) Biện luận theo k số nghiệm phương trình 7.20 Cho hàm số y = 2x2 − 2kx − 2x + k + = 7.21 Cho hàm số y = x3 − 3x Dựa vào đồ thị hàm số, hãybiện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − x(m + 3) + m − = x2 + mx + 2m − mx + a) Xác định m cho hàm số có cực trị đường tiệm cận xiên qua gốc toạ độ b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = c) Biện luân theo m số nghiệm phương trình 7.22 Cho hàm số y = cos 2x + 2(1 − m) cos x + − 2m = −π < x < π −3x2 + mx + 4x + m a) Với giá trị m tiếp tuyến với đồ thị điểm có hồnh độ khơng vng góc với tiệm cận xiên đồ thị b) Xác định giá trị a để phương trình sau có nghiệm 7.23 Cho hàm số y = sin6 x + cos6 x = a| sin 2x| 2x2 − 3x + m x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Biện luận theo a số nghiệm phương trình 7.24 Cho hàm số y = 2x2 − 3x + + log a = x−1 Khoảng cách 8.1 Cho hàm số y = cho AB ngắn x2 − x + Xác định hai điểm A, B hai nhánh phân biệt đồ thị x−1 x+1 Gọi d : 2x − y + m = Chứng minh d cắt đồ thị hàm số x−1 hai điểm phân biệt A, B hai nhánh đồ thị Xác định m để độ dài AB ngắn 8.2 Cho hàm số y = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 18 x2 Xác định k cho đường thẳng y = k cắt đồ thị hàm số hai x−1 √ điểm có khoảng cách 8.3 Cho hàm số y = x2 + x − x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm hai nhánh phân biệt (C) hai điểm A, B cho khoảng cách AB ngắn c) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm (C) đến hai tiệm cận số 8.4 Cho hàm số y = 8.5 Cho (C) : y = x−1 Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ x+1 x2 + 5x + 15 x+3 a) Tìm M ∈ (C) để toạ độ M ssó nguyên b) Tìm M ∈ (C) để để khoảng cách từ M đến Ox gấp hai lần khoảng cách từ M đến Oy 8.6 Cho đồ thị hàm số (C) : y = 8.7 Tìm M ∈ (C) : y = 8.8 Cho (C) : y = tiệm cận nhỏ x2 + 3x + để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ x+2 x2 + 2x − Tìm điểm M ∈ (C) để khoảng cách từ M đến giao điểm hai x−1 Họ đường cong Định lý 9.1 Cho đa thức Pn (x) = an xn + + a1 x + a0 Khi Pn (x) = có tối đa n nghiệm Nếu Pn (x) có nhiều n nghiệm Pn (x) có tất hệ số khơng 9.1 Tìm điểm cố định họ (Cm ): a) y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m − 1) 2x2 + (1 − m)x + (1 + m) với m = −1 b) y = x−m 9.2 Chứng minh (Cm ) : y = (m + 2)x3 − 3(m + 2)x2 − 4x + 2m − có ba điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua ba điểm cố định −x2 + mx − m2 9.3 Cho đường cong (Cm ) : y = Tìm điểm mặt phẳng cho có x−m hai đường cong họ (Cm ) qua CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 19 9.4 Cho họ đường cong (Cm ) : y = mx2 − (m2 + m − 1)x + (m2 − m + 2) x−m Chứng minh điểm bên phải đường thẳng x = ln có hai đường cong (Cm ) qua 9.5 Tìm mặt phẳng điểm mà khơng có đồ thị họ (Cm ) qua: (3m + 1)x − m2 + m a) y = x+m b) y = 2x3 + 3mx2 − m3 − 5m2 − 10 10.1 Tâm đối xứng Trục đối xứng đồ thị hàm số Tóm tắt lí thuyết Cơng thức đổi hệ trục toạ độ Cho hệ trục toạ độ Đềcác Oxy hệ trục toạ độ IXY Giải sử điểm M(x; y) I(x0 ; y0 ) hệ x = x0 + X trục toạ độ Oxy Khi hệ trục toạ độ IXY điểm M(X; Y ) ta có y = y0 + Y Định nghĩa 10.1 Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn D ∀x ∈ D −x ∈ D f (x) = f (−x) Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ D ∀x ∈ D −x ∈ D f (x) = −f (−x) Định lý 10.1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng Chú ý 10 - Muốn chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng hay có trục đối xứng ta cần dùng phép đổi hệ trục toạ độ chứng minh hàm số hàm số lẻ hay chẵn - Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Đồ thị hàm số phân thức (bậc hai/bậc hay bậc nhất/bậc nhất) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng Đồ thị hàm số trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng 10.2 Ví dụ tập 10.1 Chứng minh đường thẳng ∆ : x = trục đối xứng đồ thị (C) hàm số y = x4 − 4x3 + 7x2 − 6x + 10.2 Cho đồ thị (C) : y = 2x + Chứng minh (C) nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng x−1 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 11 20 Phần đề luyện tập 2x2 − 4x − 2(x − 1) b) Tìm m để phương trình 2x2 − 4x − + 2m|x − 1| = có hai nghiệm phân biệt 11.1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 11.2 Cho hàm số x2 + (2m + 1)x + m2 + m + y= (1) 2(x + m) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 11.3 Cho hàm số y = (x − 1)(x2 + mx + m) (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt 2x − (1) x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng IM 11.4 Cho hàm số y = x2 + 5x + m2 + x+3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) 11.5 Cho hàm số y = 11.6 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x3 − 3x2 − b) Gọi dk đường thẳng qua điểm M(0; −1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) ba điểm phân biệt 11.7 Cho hàm số y = x4 − mx2 + m − (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Xác định m đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt x2 − 2x + m x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Xác định m để hàm số nghịch biến đoạn [−1; 0] c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 11.8 Cho hàm số y = 91+ √ 1−t2 − (a + 2)31+ √ 1−t2 + 2a + = 1 11.9 Cho hàm số y = x3 + mx2 − 2x − 2m − 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 4x + cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng b) Tìm m ∈ 0; x = 0, x = 2, y = có diện tích CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 21 11.10 Cho hàm số y = (x − m)3 − 3x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = c) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:  |x − 1|3 − 3x − k < 1  log2 x2 + log2 (x − 1)3 ≤ x2 + mx 1−x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Với giá trị m khoảng cách hai điểm cực trị hàm số 10 11.11 Cho hàm số y = 11.12 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + 3x b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị trục hoành x2 − x + (1) 11.13 Cho hàm số y = x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị hàm số (1), vẽ đồ thị hàm số sau y = x2 − |x| + |x| − x+3 (1) x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh đường thẳng y = x − m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B Xác định m cho độ dài đoạn AB nhỏ 11.14 Cho hàm số y = 11.15 Cho hàm số y = −x3 + 3x − (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (1), biết tiếp tuyến qua điểm A(−2; 0) c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 3x + + log2 m = m với m tham số dương (1) x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tiếp tuyến tuỳ ý với đồ thị (1) hàm số cắt hai tiệm cận A, B, gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi tiếp tuyến thay đổi 11.16 Cho hàm số y = x + + x2 + x − (1) x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = mx − 2m + cắt đồ thị (1) hai điểm thuộc hai nhánh (1) 11.17 Cho hàm số y = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 22 x2 + 2x + (1) x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 11.18 Cho hàm số y = x2 + 2x + − mx − m = x+1 11.19 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + (m − 1)x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Chứng minh m = 0, đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt x2 − x + m 1−x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục tung 11.20 Cho hàm số y = x2 + (m + 2)x + 2(m + 1) x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 11.21 Cho hàm số y = 11.22 Cho hàm số y = x3 − mx2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 2x + x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A, B Tìm m để AB ngắn 11.23 Cho hàm số y = x2 + x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 11.24 Cho hàm số y = x2 + m2 + = x m x2 + (m + 2)x − m x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = −1 b) Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu c) Tìm m để đường thẳng y = −x − cắt đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng y = x 11.25 Cho hàm số y = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 23 11.26 Cho hàm số y = x3 + mx2 − x − m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm phân biệt hoành độ giao điểm lập thành cấp số cộng c) Tìm điểm mà đồ thị hàm số qua với m x2 + 2x + x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để phương trình |x + 2| + = log2 m có ba nghiệm phân biệt x 11.27 Cho hàm số y = x2 − 2x + x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Hãy viết phương trình đường thẳng qua I cho chúng có hệ số góc nguyên cắt đồ thị hàm số bốn điểm phân biệt bốn đỉnh hình chữ nhật 11.28 Cho hàm số y = x2 + 2x − x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Xác định m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A, B cho gốc toạ độ O trung điểm AB 11.29 Cho hàm số y = 2x2 + x + x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M đồ thị đến hai đường tiệm cận ln số 11.30 Cho hàm số y = (1) x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số (1) đến tiệm cận xiên √ 11.31 Cho hàm số y = mx + 11.32 Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm k để phương trình −x3 + 3x2 + k − 3k = có ba nghiệm phân biệt c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số (1) mx2 + x + m 11.33 Cho hàm số y = (1) x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = −1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hnh độ dương CHUN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 24 −x2 + 3x − 2(x − 1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B cho AB = 11.34 Cho hàm số y = 11.35 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có ba cực trị 11.36 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ đô 11.37 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ điểm uốn Chứng minh ∆ tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ x2 + (m + 1)x + m + x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Chứng minh với m bất kì, đồ thị hàm số ln có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời √ khoảng cách hai điểm 20 11.38 Cho hàm số y = (2m − 1)x − m2 (1) x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = −1, gọi (C) đồ thị hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) hai trục toạ độ c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x 11.39 Cho hàm số y = x2 − 2x + 11.40 Cho hàm số y = (1) x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = mx + − 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt m 1 11.41 Cho hàm số y = x3 − x2 + 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ −1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số M song song với đường thẳng 5x − y = 11.42 Cho hàm số y = x2 − x + 2; (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh từ điểm A( ; 0) vẽ hai tiếp tuyến đồ thị hàm số cho hai tiếp tuyến vng góc với c) Gọi d đường thẳng qua B(1; −1) có hệ số góc k Biện luận theo k vị trí tương đối d (C) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 25 11.43 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m − có đồ thị (Cm ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 1; m = b) Xác định m cho hàm số: 1) Đồng biến (−1; +∞) 2) Có cực trị (−1; +∞) c) Chứng minh (Cm ) ln ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt M, N Xác định m cho MN nhỏ 11.44 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x + (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng c) Gọi a hồnh độ tâm đối xứng, giải bất phương trình f (x − a) ≥ 11.45 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + m = 3x + x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm điểm đồ thị hàm số có toạ độ số nguyên c) Chứng minh khơng có tiếp tuyến đồ thị hàm số qua giao điểm hai tiệm cận 11.46 Cho hàm số y = x+3 x+1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Gọi (C) đồ thị hàm số cho Chứng minh đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N c) Xác định m cho độ dài đoạn MN nhỏ d) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai đường tiệm cận (C) P, Q Chứng minh S trung điểm P Q 11.47 Cho hàm số y = x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Gọi (C) đồ thị hàm số cho Tìm toạ độ tâm đối xứng đồ thị (C) c) Chứng minh (C) tồn cặp điểm mà tiếp tuyến song song với d) Xác định m để đường thẳng y = m cắt (C) hai điểm A, B cho OA⊥OB 11.48 Cho hàm số y = x − x2 − 3x x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Gọi (C) đồ thị hàm số cho Tìm điểm (C) có toạ độ số nguyên c) Chứng minh đường thẳng d : y = −x + m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt M, N d) Giả sử đường thẳng d cắt hai tiệm cận (C) P, Q Chứng minh hai đoạn MN P Q có trung điểm 11.49 Cho hàm số y = x2 + mx + 2m − (Cm ) mx + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 11.50 Cho hàm số y = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 26 b) Xác định m cho hàm số có cực trị tiệm cận xiên Cm qua gốc toạ độ c) Biện luận theo tham số h, số nghiệm phương trình cos 2t + 2(1 − h) cos t + − 2h = −π < t < π x2 + mx − 2m − x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = −1 b) Xác định m để hàm số có cực trị c) Gọi (C) đồ thị hàm số Giả sử tiếp tuyến M ∈ (C) cắt hai tiệm cận P, Q Chứng minh MP = MQ 11.51 Cho hàm số y = x2 + mx − m + x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = −1 b) Viết phương trình Parabol qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng 2x − y − 10 = c) Trong trường hợp tổng quát, xác định tất giá trị tham số m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho hai phía đường thẳng 9x − 7y − = 11.52 Cho hàm số y = 11.53 Cho hàm số y = x3 + ax + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a = −3 b) Tìm tất giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm 11.54 Cho hàm số y = x3 − mx2 − x + m + (C) 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (C) c) Với giá trị m đồ thị (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x2 + x2 + x2 > 15 x2 + mx − m + x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = −1 b) Viết phương trình Parabol qua điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng 2x − y − 10 = c) Trong trường hợp tổng quát, xác định tất giá trị tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị hàm số cho hai phía đường thẳng 9x − 7y − = 11.55 Cho hàm số y = 11.56 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 + 2m − 3)x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = b) Viết phương trình Parabol qua điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = −2x + c) Trong trường hợp tổng quát, xác định tất giá trị tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị hàm số cho hai phía trục tung CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 27 11.57 Cho hàm số y = x3 + ax + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a = −3 b) Tìm tất giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm 11.58 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị x2 + x − x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ c) Với giá trị m đường thẳng y = m − x cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt Chứng minh hai giao điểm thuộc nhánh đồ thị 11.59 Cho hàm số y = x2 x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm hai điểm A, B đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = x − 11.60 Cho hàm số y = 2x2 + (a + 1)x − x+a a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a = b) Xác định a để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = x2 + c) Tìm quỹ tích giao điểm hai tiệm cận a thay đổi 11.61 Cho hàm số y = 11.62 Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x − 2m(m + 2) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để phương trình y(x) = có ba nghiệm phân biệt ≥ x2 11.63 Cho hàm số y = x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình Parabol qua điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = − c) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số để khoảng cách chúng nhỏ x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh đường thẳng y = 2x + m ln cắt đồ thị hàm số hai điểm có hồnh độ x1 , x2 Tìm giá trị m cho khoảng cách hai điểm cực trị nhỏ 11.64 Cho hàm số y = −x + + 11.65 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tất giá trị tham số a để phương trình x3 − 3x2 − a = có ba nghiệm phân biệt, có hai nghiệm lớn .. .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Sự đồng biến, nghịch biến hàm số 1.1 Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) Ta nói: - Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng)... thức xảy số hữu hạn điểm khoảng (a; b) hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) khoảng Chú ý Trong hàm số sơ cấp học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết sau: - y = f (x) hàm số đồng biến (a;... xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng Chú ý 10 - Muốn chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng hay có trục đối xứng ta cần dùng phép đổi hệ trục toạ độ chứng minh hàm số hàm số