101 Ch ơng 14 Các đặc tính động học của chong chóng 14.1. Các đặc tính động học của chong chóng Sự làm việc của chong chóng trong chất lỏng đ ợc xác định bằng hai dạng chuyển động đồng thời và độc lập: chuyển động tịnh tiến dọc trục với tốc độ v A và chuyển động quay quanh trục đó với tốc độ W = 2pn, trong đó: n - vòng quay của chong chóng. Nếu nh chong chóng quay trong môi tr ờng rắn, tựa nh bulông trong đai ốc, thì sau một vòng quay nó dịch theo h ớng trục một đoạn bằng b ớc P của chong chóng. Tuy nhiên trong thực tế khi làm việc trong chất lỏng sau một vòng quay nó dịch theo h ớng trục một đoạn nhỏ hơn P. Nh vậy chất lỏng đã nhận về mình một l ợng tốc độ nào đó, đ ợc gọi là tốc độ cảm ứng. Tốc độ này làm tăng tốc dòng n ớc sau chong chóng, xoắn dòng và làm giảm mặt cắt ngang của dòng. Chúng có thể đ ợc mô tả bằng ba thành phần tốc độ cảm ứng: h ớng trục w x , h ớng tiếp tuyến w q , h ớng bán kính w r . Khoảng cách h ớng trục mà chong chóng đã thực hiện sau một vòng quay gọi là b ớc tiến tuyệt đối h P của chong chóng. B ớc tiến này có liên quan với thời gian T = 1/n và tốc độ v A theo công thức h P = v A T = v A /n. Khi sử dụng khái niệm b ớc tiến t ơng đối của chong chóng J, là tỷ số giữa b ớc tiến tuyệt đối với đ ờng kính của chong chóng, ta có: J = h P /D = v A /(nD) Đại l ợng này là đặc tính động học không thứ nguyên cơ bản của chong chóng, nó nêu lên các chế độ làm việc của chong chóng trong chất lỏng. H ớng của tổng tốc độ dòng chảy bao các phần tử của cánh chong chóng không bị cảm ứng v - đ ợc xác định theo công thức sau: )/()/( rIrvtg A pb =W= (14.1.1) trong đó: r = r/R. Công thức (14.1.1) đ ợc mô tả bằng sơ đồ tốc độ của các phần tử cánh hình 3.1, trên đó ngoài tốc độ dòng không bị cảm ứng, còn trình bày cả các tốc độ cảm ứng w x và w q . Hiệu P - h P gọi là độ tr ợt của chong chóng. Nó chứng tỏ một điều là khi dịch chuyển trong chất lỏng chong chóng bị tụt lại một ít so với bulông dịch chuyển trong môi tr ờng rắn. Độ tr ợt đó đ ợc biểu thị bằng các đặc tr ng của b ớc: s = (P - h P )/P = 1- (h P /P) (14.1.2) và gọi là độ tr ợt t ơng đối. Các trị số của s và J có liên quan với nhau qua hệ thức: s)(1 D P Jvà DP J 1 DP Ph 1s P -=-=-= (14.1.3) Có thể nói rằng ở chế độ buộc khi v A = 0, b ớc tiến t ơng đối J = 0 và độ tr ợt t ơng đối s = 1. 102 14.2. Các đặc tính động lực của chong chóng Các lực tác dụng lên chong chóng, trong đó có lực đẩy và mômen xoắn, có thể xác định bằng cách cộng tất cả các lực tác dụng lên từng phần tử, mà các phần tử là các mặt cắt của cánh bằng các hình trụ đồng trục với chong chóng. Ph ơng pháp tính dựa vào nguyên lý trên có tên là lý thuyết cánh của chong chóng. Ta trở lại sơ đồ tốc độ của phần tử cánh (Xem H14.1). Ta cho phần tử cánh cố định và chất lỏng từ xa chảy bao nó với tốc độ Ơ- v H ớng của tốc độ cảm ứng h ớng trục w x trùng với tốc độ v A , còn tốc độ cảm ứng h ớng tiếp tuyến w q ng ợc chiều với thành phần tiếp tuyến của dòng chảy Wr. Thành phần tốc độ cảm ứng h ớng bán kính w r không xét đến trong lý thuyết cánh. Hình 14.1. Sơ đồ tốc độ và lực tác dụng lên phần tử cánh chong chóng. Vì w x và w q đều thay đổi dọc theo trục chong chóng, nên tại mặt đĩa ta kí hiệu các tốc độ đó là w x1 và w q 1 . Ta giả thiết rằng tổng hình học v R của tốc độ h ớng trục và quay (có xét cả w x1 và w q 1 ) là tốc độ nêu lên mối quan hệ giữa dòng chảy với phần tử cánh. Lúc bấy giờ h ớng của tốc độ đó đ ợc xác định qua góc b I , có tang đ ợc xác định theo công thức sau: tgb I = ( v A + w x1 ) + (Wr - w q 1 ) (14.2.1) Ta gọi đại l ợng II tgr lbp = - b ớc tiến cảm ứng của chong chóng, còn b I - góc tiến cảm ứng. Ta giả thiết rằng: lực tác dụng lên phần tử cánh đang xét với độ dang lớn và hữu hạn ở những góc tới nh nhau thì hình dáng prôphin hoàn toàn giống nhau. Các đặc tính thuỷ động lực của phần tử cánh đ ợc xác dịnh bằng hệ số không thứ nguyên của lực nâng và lực cản: C Y = 2.dY/(r. v R 2 .b.dr) ; C X = 2.dX/(r. v R 2 .b.dr) (14.2.2) trong đó: bdr và v R - t ơng ứng là diện tích phần tử cánh và tốc độ dòng bao nó. dY và dX - lực nâng và lực cản hình dáng. Các hệ số không thứ nguyên C Y và C x là hàm của góc tới. H ớng của dòng chảy mà theo nó hệ số C Y bằng không gọi là h ớng không lực nâng. Góc lực nâng không a 0 , là góc tạo bởi giữa h ớng của không lực nâng và dây cung của prôphin tiết diện. Để thuận tiện góc tới phải tính từ h ớng không lực nâng. Trong tr ờng hợp này góc giữa véctơ tốc độ dòng bao và h ớng không lực nâng gọi là góc tới thuỷ động lực a I . dY dR Y dR X dX dT X dT Y V R j I b W w H H P C H ớ n g c h u y ể n đ ộ n g V - Ơ q1 w 1 x 1 I b b V A W r =2 p rn I a a 0 a 103 Đôi khi ng ời ta dùng góc tới cuả prôphin tiết diện cánh a giữa h ớng tốc độ v R và dây cung làm góc tới thuỷ động lực a I . Mối quan hệ giữa góc tới thuỷ động lực và góc tới của prôphin tiết diện cánh đ ợc thể hiện qua công thức: a I = a + a 0 Sự phụ thuộc giữa các hệ số thuỷ động lực vào góc a I đ ợc mô tả trên hình 14.2. Trên hình này cũng thể hiện hệ số chất l ợng ng ợc của phần tử cánh e = dX/dY = C X /C Y .Trên hình 14.2 ta thấy đ ờng cong C Y = f(a I ) là một đ ờng thẳng trong giới hạn rộng của góc tới và chỉ ở những góc tới lớn a I - đ ợc gọi là góc tới tới hạn C Y = (a I ) mới chuyển sang đ ờng cong. Hình 14.2. Các đặc tính động lực của prôphin cánh. Thông th ờng các phần tử cánh chong chóng đều làm việc ở những góc tới nhỏ hơn góc tới tới hạn. Trong tr ờng hợp này nghiệm của bài toán về prôphin mỏng trong chất lỏng lý t ởng là: ( ) II I YYI ddCC paaa 2/ ằ= (14.2.3) Khi dòng bao prôphin có chiều dày bất kỳ bằng chất lỏng nhớt: I I YY d dC d dC 0 ạ ữ ứ ử ỗ ố ổ < ; (14.2.4) Dùng các hệ số điều chỉnh m và n để xét ảnh h ởng chiều day prôphin và độ nhớt chất lỏng đối với gradien lực nâng (dC Y /da) I và góc lực nâng không t ơng ứng có thể viết: C Y = 2pm (a + 2nd C ) (14.2.5) trong đó: d C - độ võng t ơng đối của đ ờng giữa mặt cắt. Trong chất lỏng không nhớt, đối với những prôphin th ờng đ ợc dùng để chế tạo chong chóng m I = 1 + 0,87d ; n I = 1,015 (14.2.6) trong đó: d - chiều dày t ơng đối của prôphin. Đối với prôphin thuộc dạng đã biết thì chất l ợng ng ợc e phụ thuộc vào góc tới. Trong giới hạn của những góc tới cho dòng bao không bị vấp khi mà tải trọng phân bố theo dây cung prôphin t ơng đối đồng đều và mép đạp không có điểm nhọn thì hàm e(a I ) có giá trị nhỏ nhất, nghĩa là dòng bao không bị vấp và góc tới t ơng ứng với a opt - gọi là tối u. Góc tới tối u và độ võng t ơng ứng của đ ờng giữa mặt cắt ứng với chế độ dòng bao không bị vấp phụ thuộc vào hình dáng của prôphin, ví dụ trong chất lỏng lý t ởng đ ợc biểu thị bằng công thức lý thuyết sau đây: 0,04 0,8 a , độ a opt e m i n 0 C x 0,02 1284 0,6 0,4 0,2 0 e y C e = C Y C X 20C X 0,06 C Y ; 1,2 1 104 a = 0 ; d C = 0,05515C Y (14.2.7) đối với prôphin có sự phân bố đều tải trọng theo dây cung (kiểu NACA, a = 1) hoặc a = 0,0269C Y ; d C = 0,05515C Y (14.2.8) đối với prôphin có sự phân bố đều tải trọng ở 80% dây cung (kiểu NACA, a = 0,8). Do tầm quan trọng của chế độ không vấp nói trên các đặc tính thuỷ động lực của prôphin kiểu này đ ợc nghiên cứu khá tỷ mỷ. Đặc biệt đối với prôphin có sự phân bố tải trọng kiểu NACA, a = 0,8 và sự phân bố chiều dày kiểu NACA - 66 dựa theo tính toán có hệ thống của B. G. Miskêvích đã nhận đ ợc các công thức sau đây: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ù ù ù ù ỵ ù ù ù ù ý ỹ + = ỳ ỳ ỷ ự ờ ờ ở ộ - - += -+ = 1458,0 2 3,2105808,0 ; 4378,0ln04664,0 05,0 1015,1 ;ln1855,046,120691,0exp187,01 S S S eY e e RC R R d e dd n ddm (14.2.9) trong đó: n /bvR Rl S = - số Reynolds. Các công thức trên không những đúng cho chế độ góc tới không vấp mà cả trong giới hạn của các góc tới gần với chế độ đó khi 0,3.C0,1 0,03;0 1,0;0 ;10R YC 5 l S ÊÊÊÊÊÊ Bây giờ ta tiếp tục xét phần tử cánh độ dài dr giống nh phần tử cánh máy bay, trong đó ta lấy dây cung b bằng chiều rộng duỗi phẳng của phần tử tại bán kính đang xét. Tổng tốc độ v R đ ợc xác định bằng công thức (xem hình 14.1). ( ) ( ) 2 1 2 1 q ww -W++= rvv xAR (14.2.10) tạo với h ớng không lực nâng góc tới thuỷ động lực: a I = j + a 0 - b I (14.2.11) Trên phần tử này xuất hiện lực nâng dY và lực cản hình dáng dX. Chiếu các lực này lên ph ơng trục chong chóng ta nhận đ ợc lực đẩy do phần tử cánh tạo nên: dT = dT Y - dT X = dY cosb I - dX sinb I = dY cosb I (1 - etgb I ) (14.2.12) Chiếu dY và dX lên ph ơng tiếp tuyến và nhân với bán kính ta nhận đ ợc mômen của lực tiếp tuyến đối với trục quay chong chóng mà động cơ phải thắng lại: dQ = r(dR Y + dR X ) = r(dYsinb I + dXcos = rdYsinb I (1 + ecotgb I ) (14.2.13) Từ các công thức trên ta thấy rằng: lực đẩy của phần tử cánh đ ợc tạo nên bởi lực nâng và lực cản hình dáng. Lực cản hình dáng làm giảm lực đẩy và làm tăng mômen cản quay của chong chóng. Biểu diễn lực đẩy và mômen của phần tử cánh bằng các hệ số lực ta có: dT = 0,5r C Y b v R 2 cosb I (1 - etgb I ) dr (14.2.14) dQ = 0,5r C Y b v R 2 sinb I (1 + ecotgb I ) dr (14.2.15) Để tính lực đẩy và mômen của cả chong chóng cần phải tích phân biểu thức (14.2.14) và (14.2.15) trong giới hạn chiều dài cánh theo h ớng bán kính và nhân với số l ợng cánh: ( ) drtgbvC,ZT R r IIRY H ũ -= 1cos50 2 (14.2.16) 105 ( ) drgbvC,ZQ R r IIRY H ũ += cot1sin50 2 (14.2.17) Nếu chuyển các biểu thức từ dạng tích phân sang dạng không thứ nguyên, ta có: ( ) rdtg nD v D b C Z Dn T K H r II R YT ũ - ữ ứ ử ỗ ố ổ ữ ứ ử ỗ ố ổ == 1 2 42 1cos 4 r (14.2.18) ( ) rdrg nD v D b C Z Dn Q K H r II R YQ ũ + ữ ứ ử ỗ ố ổ ữ ứ ử ỗ ố ổ == 1 2 52 cot1sin 8 r (14.2.19) Các đại l ợng K T và K Q - gọi là hệ số lực đẩy và hệ số mômen của chong chóng. Công suất P D cần để quay chong chóng có thể tính theo công thức sau: P D = QW = 2pK Q rn 3 D 5 (14.2.20) Hiệu suất làm việc của chong chóng trong n ớc tự do là tỷ số giữa công suất có ích T. v A với công suất phải bỏ ra P D để quay nó đ ợc xác định theo (14.2.18), (14.2.19) và (14.2.20): p h 2 . 0 J K K P Tv Q T D A == (14.2.21) Hình 14.3. Đ ờng làm việc của chong chóng. Các đặc tính thuỷ động lực không thứ nguyên K T , K Q và h 0 đ ợc biểu diễn theo b ớc tiến t ơng đối J - gọi là đ ờng cong làm việc của chong chóng (hình 3.3). Nhờ các đ ờng cong này ta có thể xác định đ ợc lực đẩy và mômen của chong chóng ở các chế độ làm việc khác nhau. Khi chong chóng làm việc sẽ xẩy ra một loạt các chế độ làm việc khác nhau. Khi không chuyển động tịnh tiến (chế độ buộc) b ớc tiến t ơng đối J = 0 và các hệ số K T , K Q có trị số lớn nhất do các góc tới có trị số lớn nhất (Xem H14.4). Nh vậy hiệu suất làm việc bằng không vì không chuyển động dọc trục nên chong chóng không sản ra công có ích. Càng tăng J thì các góc tiến cảm ứng b I càng tăng, dẫn đến giảm các góc tới của các phần tử cánh, và đ ơng nhiên làm giảm cả các lực tác dụng lên các phần tử đó. Các hệ số K T và K Q giảm xuống và ở một trị số J 1 nào đó K T sẽ bằng không (Xem H14.3). Chế độ ứng với nó gọi là chế độ không lực đẩy còn hệ số K Q vẫn giữ nguyên giá trị d ơng, nghĩa là T = 0, Q ạ 0, hiệu suất làm việc ở chế độ này cũng bằng không. 0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 J J 1 = P 1 / D J 2 = P 2 / D 0 K T ; 10K Q ; h h 0 10K Q K T 106 Chế độ không lực đẩy dành cho phần tử cánh thoả mãn điều kiện: dT = dY cosb I - dX sinb I = 0 ; tgb I = 1/e (14.2.22) nh vậy, ở chế độ này sau một vòng quay, chong chóng sẽ thực hiện một b ớc P 1 - gọi là b ớc không lực đẩy. Trị số J 1 = P 1 /D -b ớc tiến t ơng đối không lực đẩy hoặc tỷ số b ớc thuỷ động lực. Về nguyên tắc P 1 /D > P/D. Khi tiếp tục tăng b ớc tiến t ơng đối (J > J 1 ) sẽ xẩy ra chế độ, khi góc tới của phần tử cánh tại bán kính đang xét a I = 0 và lực nâng trên phần tử này không xuất hiện. B ớc tiến t ơng đối J 0 và tỷ số b ớc P 0 /D ứng với chế độ này đ ợc gọi là b ớc tiến t ơng đối và tỷ số b ớc không lực nâng. Tiếp tục tăng J tới J 2 t ơng ứng với hệ số mômen K Q = 0. Lúc này hệ số lực đẩy K T và góc tới a I có giá trị âm (Xem H14.3). Chong chóng làm việc ở chế độ không mômen. Chế độ không mômen dành cho phần tử cánh thoả mãn điều kiện: 0 = dY sinb I - dX cosb I = 0 ; tgb I = e (14.2.23) Tỷ số P 2 /D ứng với chế độ không mômen gọi là tỷ số b ớc không mômen, P 2 /D > P 1 /D > P/D. Càng tăng b ớc tiến t ơng đối (J > J 2 ) hệ số K Q sẽ âm, nghĩa là chong chóng quay theo tác dụng của dòng chảy, tạo ra mômen h ớng về phía chiều quay của chong chóng. Phân tích đ ờng cong làm việc của chong chóng ta có thể khẳng định rằng: trong giới hạn của b ớc tiến t ơng đối 1 0 JJ ÊÊ chong chóng tạo ra lực đẩy d ơng và làm việc mang tính chất của thiết bị đẩy tàu. Hay nói cách khác chong chóng tàu thuỷ đ ợc thiết kế ở chế độ làm việc 1 0 JJ ÊÊ . Khi J > J 2 - chong chóng tạo ra mômen quay và làm việc nh tuốcbin. Trong giới hạn J 1 < J < J 2 chong chóng không thể dùng làm thiết bị đẩy cũng nh làm tuốcbin. Độ dài của giới hạn này phụ thuộc vào chất l ợng ng ợc e và càng kéo dài khi tăng e. Khi không có tổn thất nhớt các điểm dY = 0, dT = 0, dQ = 0 đều trùng nhau cho từng mặt cắt. Hình 14.4. Các chế độ làm việc của phần tử cánh a. chế độ buộc b. chế độ không lực đẩy c. chế độ không mômen W r dR X dT X dX dR Y I a q1 x1 w 1 H H P C V R dT Y dY dR w w I b W r dX dR a I V A I b H H P C V R dY dY -dT dX V R b I I a H H P C V A W r a) b) c) a a . hình 14. 1). ( ) ( ) 2 1 2 1 q ww -W++= rvv xAR (14 .2. 10) tạo với h ớng không lực nâng góc tới thuỷ động lực: a I = j + a 0 - b I (14 .2. 11) Trên phần tử này xuất hiện lực nâng dY và lực. Các đặc tính thuỷ động lực của phần tử cánh đ ợc xác dịnh bằng hệ số không thứ nguyên của lực nâng và lực cản: C Y = 2. dY/(r. v R 2 .b.dr) ; C X = 2. dX/(r. v R 2 .b.dr) (14 .2. 2) trong đó:. (14 .2. 18), (14 .2. 19) và (14 .2. 20): p h 2 . 0 J K K P Tv Q T D A == (14 .2. 21) Hình 14. 3. Đ ờng làm việc của chong chóng. Các đặc tính thuỷ động lực không thứ