ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 9/16 K K e e á á t t h h ơ ơ ï ï p p c c a a ù ù c c p p h h e e ù ù p p q q u u a a y y • Tương tự, ta có tọa độ điểm ( ) ' , ' y x Q là điểm phát sinh sau khi kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ ( ) 11 α R M và ( ) 22 α R M là : ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } 22112211 . . . . αααα RRRR M M P M M P Q == • Ta có : ( ) ( )           −           −= 100 0cossin 0 sin cos . 100 0cossin 0 sin cos . 22 22 11 11 2211 αα αα αα αα αα RR MM ( ) ( ) ( ) ( )           ++− ++ = 100 0cossin 0 sin cos 2121 2121 αααα αααα hay : ( ) ( ) ( ) 212211 . α α α α + = RRR M M M • Vậy kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ là một phép quay quanh gốc tọa độ. Từ đó dễ dàng suy ra kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng là một phép quay quanh gốc tọa độ. ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 10/16 P P h h e e ù ù p p q q u u a a y y c c o o ù ù t t a a â â m m q q u u a a y y l l a a ø ø đ đ i i e e å å m m b b a a á á t t k k ì ì • Giả sử tâm quay có tọa độ ( ) RR y x I , , ta có thể xem phép quay quanh tâm I một góc α được kết hợp từ các phép biến đổi cơ sở sau : ♦ Tònh tiến theo vector tònh tiến ( ) RR y x −− , để dòch chuyển tâm quay về gốc tọa độ (đưa về trường hợp quay quanh gốc tọa độ). ♦ Quay quanh gốc tọa độ một góc α . ♦ Tònh tiến theo vector tònh tiến ( ) RR y x , để đưa tâm quay về lại vò trí ban đầu. • Ta có ma trận của phép biến đổi : ( ) ( ) ( ) ( ) RRTRRRTRRR y x M M y x M y x M , . . , , , αα −−=                     −           −− = 1 010 0 0 1 . 100 0cossin 0 sin cos . 1 010 0 0 1 RRRR yxyx αα αα ( ) ( )           −+−+− −= 1cos1.sin.sincos1 0cossin 0 sin cos RRRR yxyx αααα αα αα x y x y α x y I(x R ,y R ) x y I(x R ,y R ) (a) (b) (c) (d) ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 11/16 M M o o ä ä t t s s o o á á t t í í n n h h c c h h a a á á t t c c u u û û a a p p h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n đ đ o o å å i i a a f f f f i i n n e e • Bảo toàn đường thẳng : ảnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng. ♦ Để biến đổi một đoạn thẳng qua hai điểm A và B, chỉ cần thực hiện phép biến đổi cho A và B. ♦ Để biến đổi một đa giác, chỉ cần thực hiện phép biến đổi đối với các đỉnh của đa giác. • Bảo toàn tính song song : ảnh của hai đường thẳng song song là song song. ♦ Ảnh của các hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành sau phép biến đổi là hình bình hành. • Bảo toàn tính tỉ lệ về khoảng cách : Nếu điểm C chia đoạn AB theo tỉ số t thì ảnh của C cũng sẽ chia ảnh của đoạn AB theo tỉ số t. ♦ Trong hình vuông, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên các đường chéo của bất kì hình bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ♦ Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến chia mỗi đường theo tỉ số 1:2. Do ảnh của tam giác đều qua phép biến đổi affine là một tam giác nên giao điểm của các đường trung tuyến trong một tam giác cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2. ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 12/16 P P h h e e ù ù p p đ đ o o á á i i x x ư ư ù ù n n g g • Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay quanh trục đối xứng một góc 180 0 . • Trục đối xứng là trục hoành :           −= 100 010 0 0 1 Rfx M • Trục đối xứng là trục tung :           − = 100 010 0 0 1 Rfy M P P h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n d d a a ï ï n n g g • Phép biến dạng là phép biến đổi làm thay đổi, méo mó hình dạng của các đối tượng. • Biến dạng theo phương trục x sẽ làm thay đổi hoành độ còn tung độ vẫn giữ nguyên :           = 100 01 0 0 1 xyShx shM • Biến dạng theo phương trục y sẽ làm thay đổi tung độ còn hoành độ vẫn giữ nguyên :           = 100 010 0 1 yx Shy sh M x y (1,1) (3,1) (3,3)(1,3) (4,1) (6,1) (12,3)(10,3) . đường thẳng : ảnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng. ♦ Để biến đổi một đoạn thẳng qua hai điểm A và B, chỉ cần thực hiện phép biến đổi cho A và B. ♦ Để biến đổi một đa giác,. đều qua phép biến đổi affine là một tam giác nên giao điểm của các đường trung tuyến trong một tam giác cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2 . ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi. nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng là một phép quay quanh gốc tọa độ. ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 10/16 P P h h e e ù ù p p q q u u a a y y