trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 5 Sử DụNG MộT Số KIếN THứC CƠ Sở CủA Lý THUYếT NHóM KHảO SáT CáC TíNH CHấT NGHIệM CủA ĐA THứC x n - 1 Và VậN DụNG VàO VIệC KHAI THáC CáC BàI TOáN ở TRƯờNG PHổ THÔNG PHAN ANH (a) Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi khai thác một số bài toán phổ thông, qua nghiên cứu tập nghiệm của đa thức 1 n x dựa trên quan điểm nhóm. Qua đó định hớng sự vận dụng Toán học cao cấp vào việc khám phá các vấn đề thuộc lĩnh vực toán học phổ thông, nhằm nâng cao chất lợng đào tạo sinh viên ngành s phạm toán. Việc nhìn nhận Toán học phổ thông theo quan điểm của Toán học hiện đại đợc nhiều nhà khoa học s phạm chú ý đến. Trong giáo trình Toán phổ thông, các tác giả nh Văn Nh Cơng, Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính, Nguyễn Xuân Liêm đã đa ý tởng đó xuyên suốt các cấp học. Thể hiện rất rõ là: các đơn vị kiến thức đợc xây dựng trên nền tảng của lý thuyết tập hợp; việc mở rộng hệ thống số theo quan điểm của cấu trúc đại số; khái niệm hàm ngày càng hoàn chỉnh và là "sợi chỉ đỏ xuyên suốt các cấp học"; việc đại số hoá hình học Bởi vậy, việc dạy học các môn toán cơ bản, nhất là Đại số đại cơng (ĐSĐC) ở các trờng đại học s phạm cần có sự thay đổi nhất định nhằm đảm bảo thích ứng với việc dạy và học ở trờng phổ thông. Trong [4], tác giả đã "phiên dịch" một lớp các bài toán trong ĐSĐC sang ngôn ngữ "sơ cấp". Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày việc vận dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm nhằm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức 1 n x và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trờng phổ thông. I. Tính chất tập nghiệm của đa thức 1 n x Giả sử U là tập nghiệm của đa thức 1 n x trên trờng số phức , n , n > 1. Khi đó 1. Ký hiệu { } 1| == xCxA , thì A là một nhóm đối với phép nhân và U là nhóm con của nhóm A. 2. U là nhóm xiclíc cấp n sinh bởi , trong đó n i n 2 sin 2 cos += . 3. Nếu là phần tử khác 1 của nhóm xiclic U thì 0 1 12 =++++ n . 4. Nếu n là số nguyên tố thì U là nhóm xiclic cấp n sinh bởi nghiệm bất kỳ khác 1 của đa thức 1 n x . II. Các bài toán phổ thông đợc khai thác Chúng ta bắt đầu từ một bài toán phổ thông đơn giản sau đây: Bài toán 1. Phân tích đa thức 1 5 x thành nhân tử trên [x]. Dễ dàng chúng ta thu nhận đợc Nhận bài ngày 19/12/2007. Sửa chữa xong 05/6/2008. PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10 6 )1)(1(1 2345 ++++= xxxxxx . (1) Tuy nhiên, sự phân tích ở trên là cha đợc mĩ mãn. Để ý rằng tập nghiệm của đa thức 1 5 x là nhóm { } 432 ,,,,1 =U ,trong đó 5 2 sin 5 2 cos i+= . Trong nhóm U , ta có 234 ; == . Bởi vậy: ))()()()(1(1 4325 = xxxxxx [ ] [ ] ))(()(()1( 324 = xxxxx [ ] [ ] ))(())(()1( 22 = xxxxx )1 5 4 cos2)(1 5 2 cos2)(1( 22 ++= xxxxx . Từ sự phân tích trên, ta tìm ra lời giải bài toán trên ở bậc phổ thông. Đặt )1)(1(1 22234 ++++=++++ bxxaxxxxxx . Bằng cách đồng nhất hệ số bất định dẫn đến 2 51 ; 2 51 = + = ba hoặc 2 51 ; 2 51 + = = ba . Do đó )1 2 51 )(1 2 51 )(1(1 225 + ++ + += xxxxxx . Suy luận trên đây và kết quả của bài toán 1 giúp chúng ta giải các bài toán sau. Bài toán 2. Tính 5 4 cos, 5 2 cos Theo bài toán 1 ta có: 1 5 x )1 5 4 cos2)(1 5 2 cos2)(1( 22 ++= xxxxx . Mặt khác )1 2 51 )(1 2 51 )(1(1 225 + ++ + += xxxxxx . Để ý rằng 0 5 4 cos;0 5 2 cos <> nên suy ra 4 51 5 2 cos; 4 51 5 4 cos + = + = . Lời giải bài toán 2 gợi ý cho chúng ta cách tìm giá trị các hàm lợng giác của một số góc dạng nh 9 2 cos, 7 2 cos Bài toán 3 (Vô địch Bungari vòng 3, 1982). Xét xem phơng trình sau đây có nghiệm thực hay không? 019801978198219791981 234 =++++ xxxx . Đặt f(x) = 19801978198219791981 234 ++++ xxxx . Ta có 132)1(1979)( 24234 +++++++= xxxxxxxxf 132)1 5 4 cos2)(1 5 2 cos2(1979 2422 +++++= xxxxxxx trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 7 Dễ dàng nhận thấy 1 5 4 cos2;1 5 2 cos2 22 ++ xxxx , 13 2 + xx nhận các giá trị dơng với mọi x và 02 4 x với mọi x . Bởi vậy 0)( > xf với mọi x . Do đó phơng trình đã cho không có nghiệm thực. Ta cũng có thể sử dụng cấu trúc nhóm U dể giải quyết bài toán sau đây trong [3]. Bài toán 4. Trong vành [x], đa thức 1)( = n xxf chia hết cho đa thức 1)( = m xxg khi và chỉ khi m là ớc của n. Thực vậy, ký hiệu nm UU , thứ tự là các tập nghiệm của các đa thức )(),( xgxf . Nếu )()( xgxf trong [x] thì nm UU . Vì nm UU , là các nhóm nên ta suy ra m U là nhóm con của n U . Do cấp của m U là m, cấp của n U là n nên theo định lý Lagrange m là ớc của n. Nguợc lại, giả sử m là ớc của n, ta đặt n = tm, t * . Nếu 1 = t thì hiển nhiên )()( xgxf trong [x]. Nếu 1 > t thì: ]1 )())[(1(11)( 21 ++++=== mtmtmmmtn xxxxxxxf . Bởi vậy )()( xgxf trong [x]. Do đó, đa thức f(x) chia hết cho g(x) trong [x] khi và chỉ khi m là ớc của n. Sử dụng các tính chất của tập nghiệm đa thức 1 n x , chúng ta có thể phát biểu các bài toán sau. Bài toán 5. Giả sử n là số nguyên dơng lớn hơn 1. Chứng minh các hệ thức: 0 2 sin;0 2 1 1 1 1 1 ==+ = = n k n k n k n k osc Theo tính chất 2 tập nghiệm của đa thức 1 n x là nhóm { } 132 , ,,,,1 = n U , trong đó n k i n k k 2 sin 2 cos += , 1,0 = nk . Do là nghiệm khác 1 của đa thức 1 n x nên 0 1 12 =++++ n . Bởi vậy 0 2 sin) 2 cos1( 1 1 1 1 =++ = = n k n k n k i n k . Từ đó suy ra 0 2 sin;0 2 1 1 1 1 1 ==+ = = n k n k n k n k osc . Bài toán 6. Cho p là một số nguyên tố, m là số nguyên không chia hết cho p. Chứng minh các hệ thức: 0 2 sin,;0 2 1, 1 1 1 1 ==+ = = p k p k p km b p km scoa . Tập nghiệm của đa thức 1 p x là { } 132 , ,,,,1 = p U . U là nhóm xiclic cấp p sinh bởi , với p i p 2 sin 2 cos += . Vì p là số nguyên tố nên theo tính chất 4, PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10 8 U sinh bởi phần tử bất kỳ khác đơn vị. Do m không chia hết cho p nên 1 m . Bởi vậy, U sinh bởi m và { } )1(32 , ,,,,1 = pmmmm U , trong đó 1,0, 2 sin 2 cos =+= pk p km i p km km . Vì 0 1 )1(2 =++++ pmmm , nên 0 2 sin) 2 cos1( 1 1 1 1 =++ = = p k p k p km i p km . Do đó 0 2 sin;0 2 1 1 1 1 1 ==+ = = p k p k p km p km sco . Trong [ ] 2 , tác giả đã cho chúng ta bài tập sau đây: Cho X là nhóm xiclic cấp n, sinh bởi phần tử a; b = a k . Chứng minh rằng cấp của phần tử b bằng n /d; trong đó d = (k,n). Sử dụng kết quả này, chúng ta có thể thu đợc bài toán phổ thông sau đây. Bài toán 7. Cho k và n là hai số nguyên dơng, (k,n) = d, k không chia hết cho n. Chứng minh rằng: 0 2 sin,;0 2 1, 1 1 1 1 11 ==+ = = d t d t n kt b n kt scoa , trong đó d n d = 1 . Ta có tập nghiệm của đa thức 1 n x là { } 132 , ,,,,1 = n U là nhóm xiclic cấp n, sinh bởi n i n 2 sin 2 cos += . Do (k,n) = d nên theo kết quả đã chỉ ra ở trên, ta có cấp của k là 1 d . Bởi vậy { } kd kkk A )1( 2 1 , ,,,1 >==< , trong đó 1,0; 2 sin 2 cos 1 =+= dt n tk i n tk tk là tập nghiệm của đa thức 1 1 d x . Vì k không chia hết cho n nên 1 k . Do đó 0 1 )1( 2 1 =++++ kd kk . Tơng tự nh trên ta có đợc 0 2 sin;0 2 1 1 1 1 1 11 ==+ = = d t d t n kt n kt sco . Vận dụng tính chất đồng cấu nhóm, chúng ta có thể giải các bài toán hình học sau đây. Bài toán 8. Cho n AAA 21 là đa giác đều tâm O. Chứng minh rằng OOAOAOA n =+++ 21 Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết đa giác n AAA 21 nội tiếp trong đờng tròn đơn vị, có tia 1 OA trùng với tia Ox. Các điểm n AAA , ,, 21 thứ tự nằm trên đờng tròn đơn vị ngợc chiều với chiều quay kim đồng hồ. Ta biết rằng ánh xạ f từ nhóm cộng các số phức đến nhóm cộng các véc tơ buộc tại gốc toạ độ, biến số phức iba + = thành véc tơ ),( bav là đẳng cấu nhóm. Các véc tơ trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 9 n OAOAOA , ,, 21 lần lợt là ảnh của các số phức 12 , ,,,1 n trong nhóm U . Do đó )( )()()1() 1( 1212 ++++=++++ nn fffff n OAOAOA +++= 21 . Mặt khác: 0 1 12 =++++ n và f là đồng cấu nhóm nên Of n =++++ ) 1( 12 . Từ đó suy ra OOAOAOA n =+++ 21 . Bài toán 9. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó trùng nhau. Hiển nhiên nếu tam giác ABC đều thì tâm đờng tròn ngoại tiếp và trọng tâm của nó trùng nhau. Ta chỉ cần chứng minh nếu trọng tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều. Không mất tính tổng quát ta giả thiết rằng tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn đơn vị trên mặt phẳng toạ độ; tia OA trùng với Ox. Các điểm A, B, C thứ tự nằm trên đờng tròn ngợc chiều với chiều quay của kim đồng hồ. Qua đẳng cấu f (đã chỉ ra trong bài toán 8), ta có OAf =)1( . Giả sử OCfOBf == )(,)( , ta có OCOBOAfff ++=++ )()()1( . Vì f là đồng cấu nhóm nên OCOBOAf ++=++ )1( . Mặt khác OOCOBOA =++ (do O là trọng tâm tam giác ABC) nên Of =++ )1( . Từ f là đơn cấu nhóm suy ra: 01 = + + , do đó )1( + = . Vậy 11 =+== . Đặt 02;sincos > > + = i . Từ += 1 suy ra 3 2 = . Bởi vậy 3 2 sin 3 2 cos i+= . Để chứng minh tam giác ABC đều, ta cần chứng minh { } ,,1 chính là nhóm U của đa thức 1 3 x . Thực vậy, 2 3 2 1 ) 3 2 sin 3 2 cos1()1( ii =++=+= ; 2 3 2 1 ) 3 2 sin 3 2 (cos 22 ii =+= . PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10 10 Do đó { } { } 2 ,,1,,1 = , với 3 2 sin 3 2 cos i+= là tập nghiệm của đa thức 1 3 x . Từ đó suy ra điều cần chứng minh. Nh vậy, chúng tôi đã dùng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khai thác, "phiên dịch", "chế biến" các bài toán sơ cấp. Thông qua các bài toán ở trên, bớc đầu đã bắc đợc một chiếc cầu nối giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông. Chúng tôi thiết nghĩ rằng: kết hợp đợc một cách nhuần nhuyễn giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông là một việc làm rất cần thiết trong quá trình đào tạo sinh viên s phạm Toán. Thực hiện tốt đợc vấn đề này là chúng ta đã gắn đào tạo với thực tiễn, giúp sinh viên thích ứng với nghề nghiệp trong tơng lai. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Bá Kim,Vũ Dơng Thuỵ, Phơng pháp dạy học môn toán, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000. [2] Hoàng Xuân Sính, Trần Phơng Dung, Đại số đại cơng, NXB Đại học s phạm, Hà Nội, 2004, tr. 28. [3] Đỗ Đức Thái, Những bài toán chọn lọc cho trờng chuyên lớp chọn, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1996. [4] Đặng Quang Việt, Dùng kiến thức, cách nhìn của Đại số đại cơng về sáng tạo đề toán hoặc chế biến lời giải phù hợp trình độ học sinh phổ thông, Tạp chí Giáo dục, Số 155, kỳ1-2/2007, tr. 31. SUMMARY USING SOME BASIC KNOWLEDGE OF THE GROUP THEORY IN THE INVESTIGATION OF SOLUTION PROPERTIES OF THE POLYNOMIAL x n -1 AND APPLYING TO THE EXPLORATION OF MATHS PROBLEMS IN SECONDARY SCHOOLS In this article, we explore mathematics problems in secondary schools through studying a set of solutions of the polynomial x n -1 on the basis of the group theory perspective. Then, we initially applied advanced mathematics to the investigations of secondary mathematics in order to improve the training quality for students majoring in pedagogical mathematics. (a) Khoa S phạm Tự nhiên, Trờng Đại học Hà Tĩnh. . bày việc vận dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm nhằm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức 1 n x và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trờng phổ thông. I. Tính chất. chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 5 Sử DụNG MộT Số KIếN THứC CƠ Sở CủA Lý THUYếT NHóM KHảO SáT CáC TíNH CHấT NGHIệM CủA ĐA THứC x n - 1 Và VậN DụNG VàO VIệC KHAI THáC CáC BàI TOáN. là nhóm xiclic cấp n sinh bởi nghiệm bất kỳ khác 1 của đa thức 1 n x . II. Các bài toán phổ thông đợc khai thác Chúng ta bắt đầu từ một bài toán phổ thông đơn giản sau đây: Bài toán 1.