TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẤU TRÚC ĐỐI XỨNG CỦA TÍCH DESCARTES CÁC NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Trần Đạo Dõng, Đại học Huế Hoàng Thái Vũ, Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế Tóm tắt. Một trong các bài toán cơ bản trong hình học vi phân và lý thuyết Lie là khảo sát không gian đối xứng địa phương dưới dạng không gian thương của không gian đối xứng cảm sinh qua tác động của các nhóm (con) số học, đặc biệt là các nhóm rời rạc. Trong [6], chúng tôi đã khảo sát cấu trúc không gian đối xứng của nửa không gian trên H 3 được thể hiện như không gian đối xứng SL(2, C)/SU(2) qua tác động của SL(2, C). Từ đó, ứng dụng khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU(2) cảm sinh qua tác động của nhóm rời rạc SL(2, Z + iZ) trên H 3 . Trong bài viết này, chúng tôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp tích Descartes H n 3 := H 3 × × H 3 của các nửa không gian trên được thể hiện như không gian đối xứng SL n (2, C)/SU n (2) cảm sinh qua tác động của nhóm (con) rời rạc SL n (2, Z + iZ) trên H n 3 . 1. Cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nửa không gian trên Định nghĩa 1.1. Cho H = {s + tj|s, t ∈ C} là đại số quaternion (chuẩn tắc). Tập hợp H 3 := {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0} = {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0} ≡ {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0}, được gọi là nửa không gian trên. Khi đó H 3 là một đa tạp 3 chiều với cấu trúc Riemann ds 2 := |dz| 2 t 2 = dx 2 + dy 2 + dt 2 t 2 . Hơn nữa, ta có: Mệnh đề 1.2. Cho đa tạp H 3 và điểm cố định z 0 = (x 0 , y 0 , t 0 ) ∈ H 3 . Khi đó, ánh xạ f z 0 : H 3 −→ H 3 (x, y, t) −→ (2x 0 − x, 2y 0 − y, t), là một vi phôi đẳng cự và đối hợp. Suy ra H 3 là một không gian đối xứng. Chứng minh. i) f z 0 song ánh là rõ. 17 ii) Do các ánh xạ thành phần khả vi nên f z 0 khả vi. iii) Ta có, (f z 0 ) 2 (x, y, t) = f z 0 (f z 0 (x, y, t)) = f z 0 (2x 0 − x, 2y 0 − y, t) = (x, y, t), ∀(x, y, t) ∈ H 3 . Vậy (f z 0 ) 2 = Id H 3 . Suy ra, f z 0 là một phép biến đổi đối hợp. Hơn nữa, do (f z 0 ) 2 = Id H 3 nên (f z 0 ) −1 = f z 0 . Suy ra, (f z 0 ) −1 cũng khả vi. iv) Mặt khác, f z 0 được biểu diễn dưới dạng: f z 0 : H 3 −→ H 3 x + yi + tj −→ (−x − yi + tj) + (2x 0 + 2y 0 i). Suy ra f z 0 là một phép biến đổi đẳng cự của H 3 . Từ đó f z 0 là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H 3 . Chứng minh tương tự Mệnh đề (1.2), chúng ta có hai mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3.Cho đa tạp H 3 , xét k ∈ S 1 ⊂ C và z 0 = s 0 + t 0 j ∈ H 3 . Khi đó, ánh xạ f : H 3 −→ H 3 z = s + tj −→ −[t 0 ] 2 [k(s − s 0 ) + tj] −1 + s 0 , là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H 3 . Mệnh đề 1.4. Cho đa tạp H 3 , xét k ∈ S 0 = {−1, 1} và z 0 = s 0 + t 0 j ∈ H 3 . Khi đó, ánh xạ f : H 3 −→ H 3 z = s + tj −→ −[t 0 ] 2 [k(s − s 0 ) + tj] −1 + s 0 , là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H 3 . Kết quả dưới đây thể hiện mối liên hệ giữa H 3 với không gian đối xứng SL(2, C)/SU(2) qua tác động của nhóm Lie SL(2, C) trên H 3 Mệnh đề 1.5.([6, Mệnh đề 1.5]) Cho nhóm Lie G = SL(2, C) và nửa không gian trên H 3 = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R, t > 0}. Khi đó, ánh xạ ϕ : G × H 3 −→ H 3 (  a b c d  , z) −→  a b c d  .z := [az + b][cz + d] −1 , là một tác động (trái) đẳng cự và bắc cầu của nhóm Lie G = SL(2, C) trên tập hợp (đa tạp) H 3 . Hơn nữa, ta có H 3 ∼ = SL(2, C)/SU(2). Bây giờ chúng ta xác định cấu trúc không gian đối xứng của tích Descartes các nửa không gian trên H n 3 := H 3 × × H 3 . 18 Xét đa tạp tích H n 3 . Gọi d H 3 là mêtric trên nửa không gian trên H 3 . Khi đó, mêtric d H n 3 trên H n 3 được xác định bởi d H n 3 (z; w) = d H n 3 ((z 1 , , z n ); (w 1 , , w n )) := d H 3 (z 1 ; w 1 ) + + d H 3 (z n ; w n ); với mọi z = (z 1 , , z n ), w = (w 1 , , w n ) ∈ H n 3 . Mệnh đề 1.6. Cho đa tạp H n 3 và phần tử cố định z 0 = (z 0 1 , , z 0 n ) ∈ H n 3 . Khi đó, ánh xạ f z 0 : H n 3 −→ H n 3 (z 1 , , z n ) −→ (f 1 (z 1 ), , f n (z n )), là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H n 3 , trong đó, f i : H 3 −→ H 3 (x i , y i , t i ) −→ (2Re(z 0 i ) − x i , 2Im i (z 0 i ) − y i , t i ); i = 1, n. Suy ra H n 3 là một không gian đối xứng. Chứng minh. i) f z 0 song ánh là rõ. ii) Do các ánh xạ thành phần khả vi nên f z 0 khả vi. iii) Ta có, (f i ) 2 = Id H 3 , ∀i = 1, n. Do đó, (f z 0 ) 2 ((z 1 , , z n )) = f z 0 ((f 1 (z 1 ), , f n (z n ))) = (f 1 (f 1 (z 1 )), , f n (f n (z n ))) = ((f 1 ) 2 (z 1 ), , (f n ) 2 (z n )) = (z 1 , , z n ); ∀(z 1 , , z n ) ∈ H n 3 . Vậy (f z 0 ) 2 = Id H n 3 . Suy ra, f z 0 là một phép biến đổi đối hợp. Hơn nữa, do (f z 0 ) 2 = Id H n 3 nên (f z 0 ) −1 = f z 0 . Suy ra, (f z 0 ) −1 cũng khả vi. iv) Ta có, mỗi f i là phép biến đổi đẳng cự của H 3 . Do đó, d H n 3 (f z 0 (z 1 , , z n ); f z 0 (w 1 , , w n )) = d H n 3 ((f 1 (z 1 ), , f n (z n )); (f 1 (w 1 ), , f n (w n ))) = d H 3 (f 1 (z 1 ); f 1 (w 1 ))+ +d H 3 (f n (z n ); f n (w n )) = d H 3 (z 1 ; w 1 )+ +d H 3 (z n ; w n ) = d H n 3 ((z 1 , , z n ); (w 1 , , w n )); ∀(z 1 , , z n ), (w 1 , , w n ) ∈ H n 3 . Vậy f z 0 là một phép biến đổi đẳng cự của H n 3 . Tóm lại, f z 0 là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H n 3 . Chứng minh tương tự Mệnh đề (??), chúng ta có hai mệnh đề sau: Mệnh đề 1.7. Cho đa tạp H n 3 ; xét k 1 , k 2 , , k n ∈ S 1 ⊂ C và phần tử cố định z 0 = (s 0 1 + t 0 1 j, , s 0 n + t 0 n j) ∈ H n 3 . Khi đó, ánh xạ f z 0 : H n 3 −→ H n 3 (z 1 , , z n ) −→ (f 1 (z 1 ), , f n (z n )), là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H n 3 , trong đó f i : H 3 −→ H 3 z i = s i + t i j −→ −[t 0 i ] 2 [k i (s i − s 0 i ) + t i j] −1 + s 0 i ; i = 1, n. 19 Mệnh đề 1.8.Cho đa tạp H n 3 ; xét k 1 , k 2 , , k n ∈ S 0 = {−1, 1} và phần tử cố định z 0 = (s 0 1 + t 0 1 j, , s 0 n + t 0 n j) ∈ H n 3 . Khi đó, ánh xạ f z 0 : H n 3 −→ H n 3 (z 1 , , z n ) −→ (f 1 (z 1 ), , f n (z n )), là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H n 3 , trong đó f i : H 3 −→ H 3 z i = s i + t i j −→ −[t 0 i ] 2 [k i (s i − s 0 i ) + t i j] −1 + s 0 i ; i = 1, n. Xét nhóm Lie SL n (2, C) := SL(2, C) × × SL(2, C). Theo Mệnh đề ((1.5), chúng ta xác định được tác động của SL(2, C) lên H n 3 và mối liên hệ giữa H n 3 với không gian đối xứng SL n (2, C)/SU n (2) thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.9.Cho nhóm Lie G = SL n (2, C) và đa tạp H n 3 . Khi đó, ánh xạ α : G × H n 3 −→ H n 3 ((  a 1 b 1 c 1 d 1  , ,  a n b n c n d n  ); (z 1 , , z n )) −→ V ; trong đó, V := ([a 1 z 1 + b 1 ][c 1 z 1 + d 1 ] −1 , , [a n z n + b n ][c n z n + d n ] −1 ); là một tác động (trái), đẳng cự và bắc cầu của nhóm Lie G = SL n (2, C) trên đa tạp H n 3 . Hơn nữa, H n 3 ∼ = SL n (2, C)/SU n (2). 2. Không gian đối xứng địa phương SL n (2, Z + iZ)\H n 3 Xét không gian đối xứng H 3 ∼ = SL(2, C)/SU(2). Qua tác động của nhóm (con) rời rạc SL(2, Z + iZ) trên H 3 chúng ta xác định được không gian đối xứng địa phương SL(2, Z + iZ)\H 3 ∼ = SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU(2). Trong mục này, tương tự như trường hợp không gian đối xứng địa phương SL(2, Z)\H 2 cảm sinh từ nửa mặt phẳng trên H 2 được xét trong [5], chúng tôi mở rộng khái niệm miền cơ bản của một nhóm rời rạc Γ tác động trên H 2 cho trường hợp H 3 và ứng dụng để khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL(2, Z + iZ)\H 3 . Kết quả sau đây cho thấy có thể xác định miền cơ bản của nhóm rời rạc SL(2, Z + iZ) tác động trên H 3 . Mệnh đề 2.1.([6, Mệnh đề 2.1]) Một miền cơ bản Ω của Γ := SL(2, Z + iZ) trên H 3 được xác định bởi miền sau: Ω = {z = x + yi + tj ∈ H 3 | − 1 2 < x < 1 2 ; 0 < y < 1 2 ; |z| =  x 2 + y 2 + t 2 > 1}. Một tính chất quan trọng của SL(2, Z + iZ)\H 3 là không compact. Cụ thể, chúng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2. ([6, Mệnh đề 2.3]) Không gian thương SL(2, Z + iZ)\H 3 là không compact. 20 Chứng minh. Gọi (t n ) n là dãy các số thực dương tiến đến +∞ và xét tập con rời rạc Γ = SL(2, Z + iZ). Với mỗi n ∈ N, đặt z n = t n j. Khi đó, (z n ) n ⊂ H 3 ; (Γ.z n ) n ⊂ SL(2, Z + iZ)\H 3 . Mặt khác, ∀γ =  a b c d  ∈ Γ = SL(2, Z + iZ), ta có: γz n = bd + act 2 n |d| 2 + |c| 2 t 2 n + t n |d| 2 + |c| 2 t 2 n j. Hơn nữa, ∗ Nếu c = 0 thì ad = 1. Lúc đó, |d| 2 = 1 và Im j (γz n ) = t n ; ∗ Nếu c = 0 thì 0 ≤ Im j (γz n ) ≤ t n |c| 2 t 2 n ≤ 1 t n . Suy ra Im j (γz n ) n→∞ −−−−−−−−→  +∞ 0 , ∀γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). Như vậy, mọi (γz n k ) n k không thể hội tụ đến một phần tử trong H 3 , với mọi γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). Suy ra, mọi (Γ.z n k ) n k không thể hội tụ đến một phần tử trong SL(2, Z + iZ)\H 3 . Vậy SL(2, Z + iZ)\H 3 là không compact. Mệnh đề 2.3.([6, Mệnh đề 2.4]) Cho F = Ω ∪ {∂Ω ∩ {z ∈ H 3 | Re(z) ≥ 0}}. Khi đó, F là một tập cơ bản khớp của Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H 3 ) và ta xác định được một song ánh giữa các tập hợp SL(2, Z + iZ)\H 3 và F. Chứng minh. Do T =  1 1 0 1  , U =  1 i 0 1  ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh các phép tịnh tiến z −→ z + 1; z −→ z + i. Hơn nữa, do W =  i 0 0 −i  ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh phép đối xứng z = s + tj −→ −s + tj. Ngoài ra, do S =  0 1 −1 0  ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh phép biến đổi z = x + yi + tj −→ − x |z| 2 + y |z| 2 i + t |z| 2 j. Do đó, mệnh đề trên được suy ra từ Mệnh đề (2.1). Nhận xét 2.4. Cho F = Ω ∪ {∂Ω ∩ {z ∈ H 3 | Re(z) ≤ 0}}. Khi đó, F cũng là một tập cơ bản khớp của Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H 3 ). Bây giờ xét không gian đối xứng H n 3 ∼ = SL n (2, C)/SU n (2). Qua tác động của nhóm (con) rời rạc SL n (2, Z + iZ) lên H n 3 , tương tự như trường hợp không gian đối xứng H 3 chúng ta xác định được không gian đối xứng địa phương SL n (2, Z + iZ)\H n 3 ∼ = SL n (2, Z + iZ)\SL n (2, C)/SU n (2). 21 Trong mục này, chúng tôi mở rộng khái niệm miền cơ bản của một nhóm rời rạc Γ trên H 3 cho trường hợp H n 3 và ứng dụng để khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL n (2, Z + iZ)\H n 3 . Kết quả dưới đây cho thấy có thể xác định miền cơ bản cửa nhóm rời rạc SL n (2, Z+iZ) trên H n 3 cảm sinh từ miền cơ bản của SL(2, Z + iZ) trên H 3 . Mệnh đề 2.5. Một miền cơ bản Ω n của Γ n := SL n (2, Z + iZ) trên H n 3 được xác định bởi miền sau: Ω n := Ω × × Ω; trong đó, Ω = {z = x + yi + tj ∈ H 3 | − 1 2 < x < 1 2 ; 0 < y < 1 2 ; |z| =  x 2 + y 2 + t 2 > 1}. Chứng minh. i) Với z = (z 1 , , z n ) ∈ H n 3 ; xét Γ n −quỹ đạo Γ n .z = {γz = (γ 1 z 1 , , γ n z n ) | γ = (γ 1 , , γ n ) ∈ Γ n = SL n (2, Z + iZ)}. Với mỗi i, ta có z i ∈ H 3 nên ∃γ i ∈ SL n (2, Z + iZ) sao cho γ i z i ∈ Ω. Xét γ = (γ 1 , , γ n ) ∈ Γ n = SL n (2, Z + iZ. Khi đó, γz = (γ 1 z 1 , , γ n z n ) ∈ Ω × × Ω = Ω n . Vậy mọi Γ n −quỹ đạo chứa ít nhất một điểm trong Ω n . ii) Mặt khác, giả sử z = (z 1 , , z n ), γz = (γ 1 z 1 , , γ n z n ) ∈ Ω n ; trong đó, γ = (γ 1 , , γ n ) ∈ Γ n = SL n (2, Z + iZ. Với mỗi i, ta có z i , γ i z i ∈ Ω nên z i = γ i z i . Suy ra, γz = z. Vậy không có hai điểm nào của Ω n nằm trong cùng một Γ n −quỹ đạo. Vậy mệnh đề được chứng minh. Từ Mệnh đề (2.5) và phép chứng minh Mệnh đề (2.2), chúng ta suy ra mệnh đề sau: Mệnh đề 2.6. Không gian SL n (2, Z + iZ)\H n 3 là không compact. Chứng minh tương tự phép chứng minh Mệnh đề (2.3), chúng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.7. Cho F n := F × × F, trong đó F = Ω ∪{∂Ω ∩{z ∈ H 3 | Re(z) ≥ 0}}. Khi đó, F n là một tập cơ bản khớp của Γ n = SL n (2, Z + iZ) (trên H n 3 ) và ta xác định được một song ánh giữa các tập hợp SL n (2, Z + iZ)\H n 3 và F n . 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E.P. Van den Ban, Lie groups, Lecture Notes in Mathematics, MRI, University of Utrecht, Holland, 2003. [2] E.P. Van den Ban - H. Schlichtkrull, Harmonic analysis on reductive symmetric spaces, Progress in Math., 201, Birkhauser Verlag, Basel, 2001, 565-582. [3] B.Conrad, K.Rubin, Arithmetic algebraic geometry, IAS/Park City Math Series, vol. 9, AMS, 2001. [4] L.Ji, An introduction to symmetric spaces and their compactifications, University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109, 2001. [5] L.Ji, Lectures on locally symmetric spaces and arithmetic groups, University of Michi- gan, Ann Arbor, MI 48109, 2004. [6] Trần Đạo Dõng-Hoàng Thái Vũ, Về không gian đối xứng địa phương của nửa không gian trên, Tạp chí khoa học Đại học Huế, Số 53(2009), 15-25. SOME RESULTS ON THE SYMMETRIC STRUCTURE OF THE CARTESIAN PRODUCT OF HALF UPPER SPACES Tran Dao Dong, Hue University Hoang Thai Vu, Department of Education and Training, Thua Thien Hue Province Summary Locally symmetric spaces play an important part in differential geometry and Lie theory. The typical important class consists of quotients of symmetric spaces by arithmetic groups,especially discretely groups. In [6], we studied the symmetric structure of the upper half space H 3 and the relation with the symmetric space SL(2, C)/SU(2). Then we studied the locally symmetric space SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU(2) based on the action of SL(2, Z + iZ) on H 3 . In this note, firstly, we study the symmetric structure of the Cartesian product H n 3 of upper half spaces and the relation with the symmetric space SL n (2, C)/SU n (2). Then we study the locally symmetric space SL n (2, Z +iZ)\H n 3 based on the action of SL n (2, Z +iZ) on H n 3 . 23 . TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẤU TRÚC ĐỐI XỨNG CỦA TÍCH DESCARTES CÁC NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Trần Đạo Dõng, Đại học Huế Hoàng Thái. các nhóm (con) số học, đặc biệt là các nhóm rời rạc. Trong [6], chúng tôi đã khảo sát cấu trúc không gian đối xứng của nửa không gian trên H 3 được thể hiện như không gian đối xứng SL(2, C)/SU(2). trong các bài toán cơ bản trong hình học vi phân và lý thuyết Lie là khảo sát không gian đối xứng địa phương dưới dạng không gian thương của không gian đối xứng cảm sinh qua tác động của các nhóm