Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của s+2 điểm béo không nằm trên một (s-1) phẳng trong P n , s pdf

6 283 1
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của s+2 điểm béo không nằm trên một (s-1) phẳng trong P n , s pdf

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009 CHẶN TRÊN SEGRE CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA s + 2 ĐIỂM BÉO KHÔNG NẰM TRÊN MỘT (s − 1)−PHẲNG TRONG P n , s ≤ n Phan Văn Thiện, Đậu Văn Lương Trường Đại học Sư phạm Huế, Đại học Huế Tóm tắt: Chúng tôi sẽ chứng minh dự đoán của N.V. Trung về chặn trên cho chỉ số chính qui của tập điểm béo là đúng cho tập s + 2 điểm béo không nằm trên một (s − 1)−phẳng trong P n , với 1 ≤ s ≤ n. Kết quả gần đây của B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [1] về chặn trên cho chỉ số chính qui của tập n + 2 điểm béo không suy biến trong P n là một trường hợp trong kết quả của chúng tôi khi s = n. 1. Giới thiệu Cho P 1 , . . . , P r là các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh n-chiều P n := P n k , với k là trường đóng đại số, m 1 , . . . , m r là một dãy các số nguyên dương. Cho ℘ 1 , . . . , ℘ r là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong vành đa thức R := k[X 0 , . . . , X n ] được xác định bởi các điểm P 1 , . . . , P r tương ứng. Ký hiệu m 1 P 1 + · · · + m r P r là lược đồ chiều không được xác định bởi iđêan ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m r r và gọi Z := m 1 P 1 + · · · + m r P r là một tập điểm béo trong P n . Vành A := R/(℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m r r ) là vành toạ độ thuần nhất của Z. Chúng ta biết rằng A = ⊕ t≥0 A t là k-đại số phân bậc Cohen-Macaulay một chiều có số bội là e := r  i=1  m i + n − 1 n  . Hàm Hilbert H A (t) := dim k A t tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội, tại đó nó dừng. Chỉ số chính qui của Z được định nghĩa là số nguyên t bé nhất sao cho H A (t) = e và chúng tôi ký hiệu nó là reg(Z). Vấn đề tìm chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo là một vấn đề có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Việc tìm ra được chặn trên tốt cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo tuỳ ý là vấn đề khó, vì vậy người ta thường giải bài toán chặn trên này cho những tậ p điểm có những điều kiện nào đó (xem [1]-[4], [6]-[7]). 135 Với tập các điểm béo tuỳ ý Z = m 1 P 1 + · · · + m r P r trong P 2 , Fulton [6] đã tìm được chặn trên: reg(Z) ≤ m 1 + · · · + m r − 1. Chặn trên này sau đó được Davis và Geramita [4] mở rộng cho tập các điểm béo tùy ý trong P n . Các tác giả này cũng đã chỉ ra rằng dấu bằng xãy ra khi các điểm nằm trên một đường thẳng. Với tập các điểm béo hầu khắp trong P 2 , Segre [7] đã chứng minh: reg(Z) ≤ max  m 1 + m 2 − 1,  m 1 + · · · + m r 2  nếu m 1 ≥ · · · ≥ m r . Những tập điểm như trên luôn ở trong vị trí tổng quát. Một tập điểm béo trong P n được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm trong chúng nằ m trên cùng một j-phẳng với mọi j < n. Với một tập điểm béo ở vị trí tổng quát trong P 2 , M.V Catalisano [2] đã chứng minh: reg(Z) ≤ max  m 1 + m 2 − 1,  m 1 + · · · + m r 2  nếu m 1 ≥ · · · ≥ m r . Kết quả trên sau đó được M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla [3] mở rộng cho tập các điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n : reg(Z) ≤ max  m 1 + m 2 − 1,   r i=1 m i + n − 2 n  nếu m 1 ≥ · · · ≥ m r . Chúng tôi sẽ gọi nó là chặn trên Segre. N.V. Trung đã đưa ra dự đoán một chặn trên tốt cho tập các điểm béo tuỳ ý trong P n , chặn này là mở rộng cho tất cả các chặn ở trên: reg(Z) ≤ max{T j | j = 1, . . . , n}, trong đó T j = max   q j=1 m i j + j − 2 j  | P i 1 , . . . , P i q nằm trên một j-phẳng  . Dự đoán này đã được P.V. Thiện [8], [9] chứng minh trong trường hợp n = 2, 3. Các kết quả tương tự cũng được đưa ra một cách độc lập bởi G. Fatabbi và A. Lorenzini [5] với phương pháp chứng minh khác. Vào năm 2002 P.V. Thiện [10] cũng đã chứng minh dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập các điểm kép tuỳ ý trong P 4 . Gần đây, B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini đã chứng minh dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập n + 2 điểm béo Z = m 1 P 1 + · · · + m n+2 P n+2 không suy biến trong P n [1, Theorem 4.8]. 136 Trong bài báo này, bằng một phương pháp chứng minh ngắn gọn hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập gồm (s + 2) điểm béo không nằm trên một (s − 1)-phẳng trong P n , s ≤ n: Định lý. Cho s ≤ n và P 1 , . . . , P s+2 là các điểm không nằm trên cùng một (s − 1)- phẳng trong P n . Cho m 1 , . . . , m s+2 là các số nguyên dương và Z = m 1 P 1 + · · · + m s+2 P s+2 . Với j = 1, . . . , n đặt T j = max   q j=1 m i j + j − 2 j  | P i 1 , . . . , P i q nằm trên một j-phẳng  . Khi đó reg(Z) ≤ max{T j | j = 1, . . . , n}. Rõ ràng là khi s = n, thì Z = m 1 P 1 + · · · + m n+2 P n+2 là tập các điểm béo không suy biến trong P n và chúng ta nhận được kết quả của B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [1]. 2. Chứng minh Định lý Chúng tôi sẽ cần đến ba bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [3]. Bổ đề đầu tiên cho phép chứng minh qui nạp trên số các điểm khi tính toán chỉ số chính qui của tập các điểm béo tuỳ ý: Bổ đề 0.1. [3, Lemma 1] Cho P 1 , . . . , P u , P là các điểm phân biệt trong P n và cho ℘ là iđêan xác định bởi điểm P . Nếu m 1 , . . . , m u và a là các số nguyên dương, J := ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m u u , và I = J ∩ ℘ a , thì reg(R/I) = max {a − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘ a ))} . Bổ đề thứ hai đưa ra một tính chất của vành artin R/(J + ℘ a ): Bổ đề 0.2. [3, Lemma 3] Cho P 1 , . . . , P u là các điểm phân biệt trong P n và m 1 , . . . , m u , a là các số nguyên dương. Đặt J = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m u u và ℘ = (X 1 , . . . , X n ). Khi đó reg(R/(J + ℘ a )) ≤ b nếu và chỉ nếu X b−i 0 M ∈ J + ℘ i+1 với mọi đơn thức M bậc i theo X 1 , . . . , X n , i = 0, . . . , a − 1. Bổ đề thứ ba mang tính chất tổ hợp: Bổ đề 0.3. [3, Lemma 4] Cho P 1 , . . . , P u , P là các điểm phân biệt trong P n , cho m 1 ≥ · · · ≥ m u là các số nguyên dương và J = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m u u . Nếu t là một số nguyên sao cho nt ≥ u  i=1 m i và t ≥ m 1 , thì có thể tìm được t siêu phẳng, gọi là L 1 , . . . , L t , không đi qua P thoả mãn L 1 · · · L t ∈ J. 137 Chứng minh Định lý: Đặt X = {P 1 , . . . , P s+2 }, I = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s+2 s+2 . Khi đó reg(Z) = reg(R /I). Nếu X nằm trong vị trí tổng quát của P n , thì theo [3, Theorem 6] chúng ta có reg(Z) ≤ max  m 1 + m 2 − 1,  ( s+2  i=1 m i + n − 2)/n  . Nếu X không nằm trong vị trí tổng quát của P n , thì X nằm trên một s-phẳng. Với s = 1, thì các điểm P 1 , P 2 , P 3 nằm trên cùng một đường thẳng. Theo [4] chúng ta nhận được reg(Z) = m 1 + m 2 + m 3 − 1 = T 1 . Vậy, chúng ta có thể chứng minh qui nạp trên s. Chúng ta phân biệt hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Mọ i (s + 1) điểm của X không nằm trên cùng một (s − 1)-phẳng. Đặt J = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s+1 s+1 , theo Bổ đề 0.1 chúng ta nhận được reg(Z) = max{m j+2 − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘ m s+2 s+2 ))}. Cho P s+2 = (1, 0, · · · , 0), P 1 = (0, 1, . . . , 0), , P s = (0, . . . , 0, 1  s+1 , 0 . . . , 0). Khi đó ℘ s+2 = (x 1 , , x n ). Với mọi đơn thức M = x c 1 1 · · · x c n n , c 1 + · · · + c n = i, i = 1, , m s+2 − 1, đặt m  l = m l − i + c l ; l = 1, , s; m  s+1 = m s+1 và t = max  m 1 ,  ( s+1  l=1 m  l + s − 1)/s  . Do X nằm trên một s-phẳng trong P n nên về mặt hình học chúng ta có thể xem như X nằm trong P s . Theo Bổ đề 0.3 chúng ta có thể tìm được t các (s − 1)-phẳng, gọi là L 1 , , L t , không đi qua P s+2 sao cho với mọi điểm P l , l = 1, , s, thì luôn luôn có m  l các (s − 1)-phẳng trong {L 1 , , L t } đi qua điểm P l đó. Vì vậy, chúng ta có thể tìm được t các (n − 1)-phẳng, gọi là H 1 , , H t , không đi qua P s+2 thoả mãn H 1 · · · H t M ∈ J. Theo Bổ đề 0.2 chúng ta nhận được reg(R/(J + ℘ m s+2 s+2 )) ≤ t + i ≤ max{T j |j = 1, . . . , n}. Mặt khác, do Y = {P 1 , , P s+1 } nằm trong vị trí tổng quát của P n , nên theo [5, Theorem 6] chúng ta nhận được reg(R/J) ≤ max{T j |j = 1, . . . , n}. Từ các kết quả trên suy ra reg(Z) ≤ max{T j |j = 1, . . . , n}. Trường hợp 2: Có s + 1 điểm của X nằm trên một (s − 1)-phẳng, gọi là K. Chúng ta có thể giả sử rằng P s+2 /∈ K (chúng ta có thể đánh số thứ tự lại các điểm). Đặt J = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s+1 s+1 , theo Bổ đề 0.1 chúng ta có reg(Z) = max{m s+2 − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘ m s+2 s+2 ))}. 138 Đặt W = {P 1 , , P s+1 }. Do X không nằm trên một (s − 1)-phẳng, nên W không nằm trên một (s − 2)-phẳng. Cho j = 1, . . . , n, đặt T  j = max   q j=1 m i j + j − 2 j       P i 1 , . . . , P i q nằm trên một j-phẳng; i 1 , . . . , i q ≤ s + 1  . Theo giả thiết qui nạp chúng ta có reg(R/J) ≤ max{T  j |j = 1, . . . , n}. Rõ ràng là T  j ≤ T j , j = 1, . . . , n. Do đó reg(R /J) ≤ max{T j |j = 1, . . . , n}. Bây giờ chúng ta còn phải chứng minh: reg(R/(J + ℘ m s+2 s+2 )) ≤ max{T j |j = 1, . . . , n}. Cho P s+2 = (1, 0, . . . , 0), khi đó ℘ s+2 = (x 1 , , x n ). Đặt η = max{m 1 , , m s+1 }. Do P s+2 /∈ K, nên có một (n − 1)-phẳng, gọi là H, chứa K và không đi qua P s+2 . Khi đó H η ∈ ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s+1 s+1 . Vì vậy H η M ∈ ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s+1 s+1 = J, với mọi đơn thức M bậc i theo X 1 , , X n , i = 1, , m s+2 − 1. Theo Bổ đề 0.2 chúng ta nhận được reg(R/(J + ℘ m s+2 s+2 )) ≤ η + i ≤ T 1 . Định lý đã được chứng minh xong. Tài liệu t ham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B. Benedetti, G. Fatabbi and A. Lorenzini Genericity of Segre bound and the case of n + 2 fat points of P n (preprint, submit to Proc. Amer. Math. So c). [2] M.V. Catalisano, Fat points on a conic, Comm. Algebra 19 (1991), 2153-2168. [3] M.V. Catalisano, N.V. Trung and G. Valla, A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 717-724. [4] E.D. Davis and A.V. Geramita, The Hilbert function of a special class of 1- dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67 (1984), 1-29. 139 [5] G. Fatabbi, A. Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J. Pure and Appl. Algebra 161 (2001), 91-111. [6] W. Fulton, Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin 1969. [7] B. Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti. Convergno. Intern. di Torino 1961, 15-33. [8] P.V. Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P 2 , Acta Math. Vietnamica 24 (1999), 75-81. [9] P.V. Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P 3 , J. Pure and Appl. Algebra 151 (2000), 197-214. [10] P.V. Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P 4 , Comm. Algebra 30 (2002), 5825-5847. SEGRE’S BOUND FOR THE REGULARITY INDEX OF s + 2 FAT POINTS NOT IN A LINEAR (s − 1)-SPACE IN P n , s ≤ n Phan Van Thien, Dau Van Luong College of Pedagogy, Hue University SUMMARY Let s ≤ n. We will prove the Trung’s Conjecture about a sharp bound for the regularity index of fat points in the case of s + 2 fat points not on a linear (s − 1)- space in P n . Our result generalizes Benedetti, Fatabbi and Lorenzini’s result [1] for the upper bound for regularity index of a non degenerate set of n + 2 fat points in P n . Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40. 140 . n m tr n một (s − 1) -phẳng trong P n , s ≤ n: Định lý. Cho s ≤ n và P 1 , . . . , P s+ 2 là các điểm không n m tr n cùng một (s − 1)- phẳng trong P n . Cho m 1 , . . . , m s+ 2 là các s nguy n. T P CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HU , S 50-2009 CH N TR N SEGRE CHO CHỈ S CHÍNH QUI CỦA s + 2 ĐIỂM BÉO KHÔNG N M TR N MỘT (s − 1)−PHẲNG TRONG P n , s ≤ n Phan V n Thi n, Đậu V n Lương Trường Đại. S phạm Hu , Đại học Huế Tóm tắt: Chúng tôi s chứng minh dự đo n của N. V. Trung về ch n tr n cho chỉ s chính qui của t p điểm béo là đúng cho t p s + 2 điểm béo không n m tr n một (s − 1)−phẳng

Ngày đăng: 23/07/2014, 00:21

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan