TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 95 DẠY VÀ HỌC CÔNG THỨC XÁC SUẤT BAYES VỚI SỰ TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE TEACHING AND LEARNING BAYES’ FORMULA WITH THE HELP OF THE MAPLE MATHEMATICS SOFTWARE Trần Ngọc Việt Trường Cao đẳng GTVT II Phạm Văn Tiến Trường Cao đẳng Công nghệ - Kinh tế và Thủy lợi miền Trung TÓM TẮT Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng phần mềm MAPLE để phân tích quá trình áp dụng công thức xác suất toàn phần - công thức xác suất Bayes và điều quan trọng hơn hết là phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, các tình huống cụ thể. Từ đó áp dụng giải một số bài toán xác suất dạng nâng cao hơn. Như vậy mới gọi là nắm vững và hiểu thấu đáo môn học, đồng thời đưa những thành tựu nổi bật của công nghệ thông tin để hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học theo chủ trương của Bộ Giáo dục & Đào tạo. ABSTRACT This paper presents a new approach to the computing of probabilities – Bayes’ formula with the help of a program written in the Maple math software. It is important that we should know how to apply such knowledge to solving mathematical problems and dealing with practical situations. Accordingly, this can be applied to the solution of various probability problems. In this way, the subjects are thoroughly mastered so that great IT achievements in support of the teaching and learning innovation issued by the Ministry of Education and Training can be recorded. 1. Đặt vấn đề Từ mấy năm lại đây, môn học Xác suất thống kê đã được giảng dạy rộng rãi ở các trường đại học, cao đẳng khối tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, …Để đáp ứng nhu cầu dạy và học đó, qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm môn học này cho các đối tượng khác nhau, chúng tôi nghiên cứu viết chương trình xác suất Bayes và sử dụng nó như một công cụ làm việc thì thường thu được kết quả bất ngờ. Thực tế cho thấy cán bộ kỹ thuật có thể tự mình giải quyết một bài toán nẩy sinh từ thực tiễn công việc. Định nghĩa (xác suất cổ điển) Cho { } 1 w , ,w n Ω= là không gian các sự kiện cơ bản. Giả sử các sự kiện cơ bản { } { } 1 w , , w n có cùng khả năng xuất hiện, tức có cùng xác suất, nghĩa là { } { } 1 1 ( w ) ( w ) n PP n = = = . Khi đó với { } 1 w , ,w i ik A = , ta nói 1 w , ,w i ik là các sự kiện cơ bản thuận lợi cho A ; và TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 96 () k PA n = (với k là các sự kiện ngẫu nhiên cơ bản thuận lợi cho A ; n là các sự kiện ngẫu nhiên cơ bản của không gian mẫu). Định nghĩa (xác suất có điều kiện) Giả sử () 0PB≠ . Xác suất có điều kiện của A khi điều kiện B được định nghĩa bởi: () (/) () P AB PA B PB = (1.1) Mệnh đề (xác suất tích) (a) ( ) ( / ). ( ) ( / ). ( )PAB PA BPB PB APA= = (1.2) (b) 12 1 2 2 3 1 ( ) ( / ). ( / ) ( / ). ( ) n n n nn n PAA A PA A A PA A A PA A PA − = Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [3], mệnh đề 2.5.1 , tr.34. Định nghĩa (sự kiện độc lập) a) Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau nếu ( ) ().()PAB PAPB= b) Các sự kiện 1 , , ( 2) n A An> được gọi là độc lập từng đôi nếu ( ) ( ). ( ), 1 ik i k PAA PA PA i k n= ≤≠ ≤ Mệnh đề (công thức xác suất toàn phần) Giả sử 1 , , n AA là xung khắc từng đôi và đầy đủ. Khi đó với bất kỳ sự kiện A , ta có: 1 ( ) ( / ). ( ) n ii i PA PA A PA = = ∑ (1.3) Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [3], mệnh đề 2.6.1 , tr.36. Mệnh đề (công thức xác suất Bayes) Giả sử 1 , , n AA là xung khắc từng đôi và đầy đủ, và A là một sự kiện ngẫu nhiên. Khi đó: ( / ). ( ) ( /) () ii i PA A PA PA A PA = (1.4) Chứng minh Áp dụng công thức (1.1), (1.2) và (1.3) ta có: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 97 1 ( .) ( / ).( ) ( / ).( ) ( / ) , 1, , () () ( / ). ( ) i ii ii i n kk k PAA PA A PA PA A PA PA A i n PA PA PA A PA = = = = ∀= ∑ 2. Chương trình toán học - xác suất Bayes 2.1. Lệnh nhập xuất dữ liệu +Hàm readstat("<prompt>"): hiện dấu nhắc <prompt> +Hàm trả về dữ liệu nhập từ bàn phím. print(data1, data2,… ): hiển thị dữ liệu ra màn hình. Lưu ý: xâu ký tự đặt trong dấu ` ` 2.2. Xây dựng thủ tục trong Maple . +Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure). Chế độ thủ tục được thực hiện bằng cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào một thủ tục duy nhất, sau đó chỉ cần gọi thủ tục này và Maple tự động thực hiện các lệnh trong thủ tục đó và trả lại kết quả cuối cùng. +Khai báo thủ tục như sau: Procedure_name:=proc(parameter_sequence) [local local_sequence] [global global_sequence] [options options_sequence] statements_sequence end; > > restart; proc_xs2:=proc() # Thu tuc xs Toan Phan-Bayes local P1,P11,P2,P21,P3,P31,xstoanphan,toanphan,tph,xsbayes,bayes1 ,bayes11,bayes2,bayes21,bayes3,bayes31,bien:global global_toanphan: P1:=readstat("P(A[1])="): P11:=readstat("P(A/A[1])="): P2:=readstat("P(A[2])="): P21:=readstat("P(A/A[2])="): P3:=readstat("P(A[3])="): P31:=readstat("P(A/A[3])="): global_toanphan:=toanphan: print(` Bài Giai `); TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 98 print(`Goi A[i]la Su kien lay san pham cua phan xuong thu i:`); print(`P(A[1])=`); print(P1); print(`P(A[2])=`); print(P2); print(`P(A[3])=`); print(P3); print(`Goi A la Su kien san pham lay ra la Phe Pham:`); print(`P(A/A[1])=`); print(P11); print(`P(A/A[2])=`); print(P21); print(`P(A/A[3])=`); print(P31); xstoanphan:=P(A)=Sum(P(A[i])*P(A/A[i]),i=1 n):xstoanpha: print(`+Cong thuc xac suat TOAN PHAN:`); print(xstoanphan); toanphan:=P(A)=P(A[1])*P(A/A[1])+P(A[2])*P(A/A[2])+P(A[3] )*P(A/A[3]):toanphan: print(toanphan); tph:=P(A)=P1*P11+P2*P21+P3*P31:tph: bien:=P1*P11+P2*P21+P3*P31:bien: print(`Vay, xac suat cua Bien Co A la:`); print(tph); xsbayes:=(P(A[i]/A)=(P(A[i])*P(A/A[i]))/P(A),i=1 n):xsba yes: print(`+Cong thuc xac suat BAYES:`); print(xsbayes); bayes1:=(P(A[1]/A)=(P(A[1])*P(A/A[1]))/P(A)):bayes1: print(bayes1); bayes11:=(P(A[1]/A)=(P1*P11)/bien):bayes11: print(bayes11); bayes2:=(P(A[2]/A)=(P(A[2])*P(A/A[2]))/P(A)):bayes2: print(bayes2); TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 99 bayes21:=(P(A[2]/A)=(P2*P21)/bien):bayes21: print(bayes21); bayes3:=(P(A[3]/A)=(P(A[3])*P(A/A[3]))/P(A)):bayes3: print(bayes3); bayes31:=(P(A[3]/A)=(P3*P31)/bien):bayes31: print(bayes31); end; 2.3. Lưu và nạp chương trình #Ket thuc chuong trinh +Maple cho phép lưu chương trình để sử dụng một cách thuận tiện như sau: > +Trong file có sử dụng chương trình thực hiện lệnh read fileproc, trong đó fileproc là tên file (có cả đường dẫn) chứa chư ơng trình biên dịch, được tạo bởi lệnh save: save proc_xs2 "\\xac_suat.m": > > restart; > read "\\xac_suat.m"; 2.4. Sử dụng chương trình proc_xs2(0.36, 0.12, 0.34, 0.1, 0.3, 0.08); Ví dụ: Một Công ty có 3 phân xưởng sản xuất cùng một loại sản phẩm. Trong đó phân xưởng I chiếm 36%, phân xưởng II chiếm 34%, phân xưởng III chiếm 30% sản lượng toàn Công ty. Biết tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các phân xưởng là 12%, 10%, 8%. a)Tính tỷ lệ phế phẩm chung của toàn Công ty ? b)Lấy ngẫu nhiên từ kho một sản phẩm, biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm ấy thuộc phân xưởng I, phân xưởng II và phân xưởng III ? > P(A[1])= proc_xs2(); P(A/A[1])= 0.36; P(A[2])= 0.12; P(A/A[2])= 0.34; P(A[3])= 0.1; P(A/A[3])= 0.3; Bài Giai 0.08; Goi A[i]la Su kien lay san pham cua phan xuong thu i: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 100 P(A[1])= 0.36 P(A[2])= 0.34 P(A[3])= 0.3 Goi A la Su kien san pham lay ra la Phe Pham: P(A/A[1])= 0.12 P(A/A[2])= 0.1 P(A/A[3])= 0.08 +Cong thuc xac suat TOAN PHAN: = ( )P A ∑ = i 1 n ( )P A i           P A A i = ( )P A + + ( )P A 1           P A A 1 ( )P A 2           P A A 2 ( )P A 3           P A A 3 Vay, xac suat cua Bien Co A la: = ( )P A 0.1012 +Cong thuc xac suat BAYES: , =           P A i A ( )P A i           P A A i ( )P A = i 1 n =           P A 1 A ( )P A 1           P A A 1 ( )P A =           P A 1 A 0.4268774704 =           P A 2 A ( )P A 2           P A A 2 ( )P A TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 101 =           P A 2 A 0.3359683794 =           P A 3 A ( )P A 3           P A A 3 ( )P A =           P A 3 A 0.2371541502 3. Kết luận Bài báo đã trình bày các bước cơ bản bài toán xác suất toàn phần - xác suất Bayes bằng chương trình toán học. Kinh nghiệm cho thấy là nếu viết một chương trình phức tạp thì trước hết ta viết và chạy từng lệnh một để xem kết quả thế nào, khi thấy kết quả tốt ta nhóm các lệnh trên thành một chương trình hoàn chỉnh. Hy vọng qua chương trình xác suất Bayes sẽ giúp cho người học có thêm phương pháp và tư duy mới về xác suất. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Quốc Chiến, Giáo trình Phần mềm toán học, ĐH ĐN, 2008. [2] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng , Hướng dẫn thực hành tính toán trên chương trình MAPLE V, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1998. [3] Nguyễn Văn Hộ, Xác suất thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006. [4] Đặng Hùng Thắng, Bài tập Xác suất thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006. [5] Trần Quốc Chiến, Trần Ngọc Việt, Tạp chí khoa học & công nghệ số 28-năm 2008, ĐHĐN. [6] Trần Quốc Chiến, Phạm Văn Tiến, Tạp chí khoa học & công nghệ số 31-năm 2009, ĐHĐN. . TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 95 DẠY VÀ HỌC CÔNG THỨC XÁC SUẤT BAYES VỚI SỰ TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE TEACHING AND LEARNING BAYES FORMULA. đẳng Công nghệ - Kinh tế và Thủy lợi miền Trung TÓM TẮT Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng phần mềm MAPLE để phân tích quá trình áp dụng công thức xác suất toàn phần. qua chương trình xác suất Bayes sẽ giúp cho người học có thêm phương pháp và tư duy mới về xác suất. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Quốc Chiến, Giáo trình Phần mềm toán học, ĐH ĐN, 2008. [2]