Trần Sĩ Tùng TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 17 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số yxmxmx 322 29121 =+++ (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x CĐ , cực tiểu tại x CT thỏa mãn: CÑCT xx 2 = . Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: xxx 2 1 143 ++=+ 2) Giải hệ phương trình: xx 5 5cos24sin–9 36 pp æöæö +=- ç÷ç÷ èøèø Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số: xxx fx x 23 2 ln(1) () 1 ++ = + Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 6 2 3 a . Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: abbaab 22 3311 2 2 4422 æöæöæöæö ++++³++ ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: dxy 1 :2–30 += , dxy 2 :3450 ++= , dxy 3 :4320 ++= . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d 1 và tiếp xúc với d 2 và d 3 . 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D): 22 132 xyz -+ == và mặt phẳng (P): xyz 210 +-+= . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P). Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng () d : 2120 xmy ++-= và đường tròn có phương trình 22 ():2440 +-+-= Cxyxy . Gọi I là tâm đường tròn () C . Tìm m sao cho () d cắt () C tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho mn 1 += và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ( ) x xx x x 1 2 2 4–2.2–3 .log–344 + >- ============================ Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) yxmxmxmxm 2222 618126(32)  =++=++ Hm s cú C v CT y 0  = cú 2 nghim phõn bit xx 12 , D = m 2 > 0 m 0 ạ Khi ú: ( ) ( ) xmmxmm 12 11 3,3 22 = =-+ . Da vo bng xột du y suy ra CẹCT xxxx 12 , == Do ú: CẹCT xx 2 = mmmm 2 33 22 ổử + = ỗữ ốứ m 2 =- Cõu II: 1) iu kin x 0 . PT xxx 2 41310 -+-+= x xx xx 21 (21)(21)0 31 - +-+= ++ xx xx 1 (21)210 31 ổử -++= ỗữ ++ ốứ x 210 -= x 1 2 = . 2) PT xx 2 10sin4sin140 66 pp ổửổử +++-= ỗữỗữ ốứốứ x sin1 6 p ổử += ỗữ ốứ xk 2 3 p p =+ . Cõu III: Ta cú: xxxxxxxx fxx xxxx 222 2222 ln(1)(1)ln(1) () 1111 ++-+ =+=+- ++++ ị Fxfxdxxdxxdxdx 222 11 ()()ln(1)(1)ln(1) 22 ==+++-+ ũũũũ = xxxC 2222 111 ln(1)ln(1) 422 ++-++ . Cõu IV: Do B v D cỏch u S, A, C nờn BD ^ (SAC). Gi O l tõm ca ỏy ABCD. Cỏc tam giỏc ABD, BCD, SBD l cỏc tam giỏc cõn bng nhau v cú ỏy BD chung nờn OA = OC = OS. Do ú DASC vuụng ti S. Ta cú: SABCDSABC VVBOSASCaxABOA 22 11 22 63 ===- = ax ax axaax 22 22 2 1 3 46 1 3 + = Do ú: SABCD aa axaxV 33 22 . 212 3 666 =-= xa xa 2 ộ = ờ = ở . Cõu V: Ta cú: aabababaaba 2 22 1111 2222 31 44 ổử =-+++++ ỗữ ốứ ++=-++++ Tng t: baab 2 1 2 3 4 ++++ . Ta s chng minh abab 2 111 2(2 222 ổửổửổử ++++ ỗữỗữỗữ ốứốứốứ (*) Tht vy, (*) ababababab 22 11 4 44 2 ++++++++ ab 2 0 () - . Du "=" xy ra ab 1 2 == . II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Gi tõm ng trũn l Itt (;32) - ẻ d 1 . Khi ú: dId dId 23 )(,) (, = tt tt 34(32)5 5 43(32)2 5 +-+ = +-+ t t 2 4 ộ ờ ở = = Vy cú 2 ng trũn tho món: xy 22 49 25 (2)(1) = -++ v xy 22 9 (4)(5) 25 -++= . 2) (D) : 2 22 3 132 22 xt xyz yt zt =+ ỡ -+ ù === ớ ù =-+ ợ . (P) cú VTPT n (2;1;1) =- r . Trần Sĩ Tùng Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm Þ Ittt (2;3;22) +-+ (1,32,12) AIttt Þ=+ + uur là VTCP của d. Do d song song mặt phẳng (P) .0 AIn Û= uurr ( ) ttAI 1 31032;9;5 3 Û+=Û=-Þ= uur . Vậy phương trình đường thẳng d là: 121 295 xyz + == . Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x= 123456 = xaaaaaa . Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm. Vì phải có mặt chữ số 0 và 1 0 a ¹ nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách. Số cách xếp cho 5 vị trí còn lại là : 5 8 A . Vậy số các số cần tìm là: 5. 5 8 A = 33.600 (số) 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) () C có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. (d) cắt () C tại 2 điểm phân biệt A, B (,) Û< dIdR 2 221232Û-+-<+ mm 222 14418954170 Û-+<+Û++>ÛÎ mmmmmmR Ta có: · 119 .sin. 222 =£= SIAIBAIBIAIB IAB Vậy: S IAB lớn nhất là 9 2 khi · 0 90 =AIB Û AB = 232 =R Û 32 (,) 2 =dId Û 32 2 122 2 mm -=+ 222 161643618216320 Û-+=+Û++= mmmmm 4 Û=- m 2) Ta có: (;0;1),(0;;1) =-=- SMmSNn uuuruuur Þ VTPT của (SMN) là (;;) = nnmmn r Phương trình mặt phẳng (SMN): 0 nxmymnzmn ++-= Ta có: d(A,(SMN)) 2222 nmmn nmmn +- = ++ 1. 1 1 1 22 12 mn mn mn mnmn - - === - -+ Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định. Câu VII.b: BPT Û xxxx x 1 2 (42.23).log324 + >- Û xx x 2 (42.23).(log1)0 +> Û xx xx x x 2 2 2 2 2 2 2.230 log10 2.230 log10 é ì ê í î ê ê ì ê í ê î ë > +> < +< Û x x x x 2 2 23 log1 23 log1 é ì > ê í >- î ê ê ì < ê í <- ê î ë Û x x x x 2 2 log3 1 2 log3 1 0 2 é ì > ï ê í ê > ï êî ê ì < ï ê í ê << ï ê î ë Û x x 2 log3 1 0 2 é > ê ê << ë ===================== . Tùng TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 17 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2. yxmxmx 322 29121 =+++ (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x CĐ , cực tiểu tại x CT thỏa mãn: CÑCT xx 2 =. trình đường tròn có tâm thuộc d 1 và tiếp xúc với d 2 và d 3 . 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D): 22 132 xyz -+ == và mặt phẳng (P): xyz 210 +-+= .