Sáng kiến kinh nghiệm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC ***    *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA GIẢI BÀI TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC Người thực hiện: Vũ Thị Nhì Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn : Toán THANH HOÁ - NĂM 2013 Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 1 Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 I. .CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 1 1.Định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 1 2. Bất đẳng thức Côsi 2 3. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki 2 4. Dùng hàm số để xét giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 2 II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 2 III.GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 3 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức một biến 3 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến 8 IV.KIỂM NGHIỆM 18 1. Kết quả kiểm tra tại lớp 18 2. Kết quả thi học sinh giỏi 19 C. KẾT LUẬN 19 I. KẾT LUẬN 19 II. Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 20 Tài liệu kham khảo 21 Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 2 Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (GTLN và GTNN) là một loại bài toán khó. Nó khó ở chỗ về lý thuyết rất ngắn, thế nhưng về các phương pháp dùng để giải quyết bài toán lại đa dạng và phong phú. Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải quyết khác nhau. Muốn giải quyết được nó yêu cầu học sinh phải có kiến thức tổng hợp và phải có khả năng phán đoán để đưa ra lời giải thích hợp. Đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Hơn nữa, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức thường xuất hiện trong các đề thi Đại học và Cao đẳng, các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia hàng năm. Trên thực tế, qua quá trình giảng dạy và tham khảo kết quả bài làm của học sinh qua các kỳ thi nói trên, tôi thấy học sinh thường bỏ qua hoặc rất ngại khi gặp các bài toán về dạng này. Sở dĩ như vậy là vì: +) Phương pháp học tập của học sinh quá thụ động, không sáng tạo, không linh hoạt khi vận dụng kiến thức vào bài tập. +) Do cách truyền thụ của các thầy cô về vấn đề này còn hời hợt, chưa tập trung khai thác và hướng dẫn học sinh học một cách tích cực. Từ hai nguyên nhân trên dẫn đến học sinh có tư tưởng “ngại” khi gặp dạng bài toán này. Từ thực tế trên tôi quyết định chọn đề tài “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức ” để giúp học sinh giải quyết các yêu cầu sau: +) Có cách nhìn tổng quát và hướng giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. +) Thông qua đề tài, các em tập đào sâu và đưa ra được nhiều cách giải khác nhau. Từ đó các em có nhiều cách nhìn mới đối với dạng bài toán này. +) Giúp nâng cao năng lực tư duy, năng lực sáng tạo cho học sinh, giúp các em hứng thú và nâng cao hiệu quả học tập, thi cử khi gặp dạng toán này. Thông qua đó rèn luyện kĩ năng cho học sinh. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ. 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. a, Hàm số )(xfy = xác định trên D có giá trị lớn nhất là M nếu:      =∈∃ ∈∀≤ MxfDx DxMxf )(/ )( 00 Ký hiệu Dx xMaxfM ∈∀ = )( b, Hàm số )(xfy = xác định trên D có giá trị nhỏ nhất là m nếu: Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 3 Sáng kiến kinh nghiệm      =∈∃ ∈∀≥ mxfDx Dxmxf )(\ )( 00 Ký hiệu )(xfMinm Dx∈∀ = 2. Bất đẳng thức Cô – si ( BĐTgiữa trung bình cộng và trung bình nhân ): 2.1. Đối với hai số không âm: Với mọi 0,0 ≥≥ ba ta có: ab ba ≥ + 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba = . 2.2. Đối với ba số không âm: Với mọi 0,0,0 ≥≥≥ cba ta có: 3 3 abc cba ≥ ++ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cba == . 2.3. Đối với n số không âm: Cho n số không âm n aaa ; ;; 21 ta luôn có: n n n aaa n aaa 21 21 ≥ +++ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n aaa === 21 . Lưu ý: +) Nếu Kaaa n =+++ 21 (hằng số) thì n n n K aaa )( 21 ≤ ⇒ Tích n aaa 21 đạt giá trị lớn nhất. +)Nếu Kaaa n = 21 thì n n Knaaa ≥+++ 21 ⇒ Tổng đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki. 3.1. Đối với 4 số thực: Với bốn số thực dcba ,,, ta có: ))(()( 22222 dbcacdab ++≤+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bcad = . 3.2. Đối với n2 số thực: Cho hai bộ n số thực tuỳ ý: n aaa , ,, 21 và n bbb , ,, 21 . Ta có: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 . 4. Dùng hàm số để xét giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. a. Nếu hàm số )(xfy = luôn luôn đồng biến trên ];[ ba thì: )()( bfxMaxf bxa = ≤≤ , )()( afxfMin bxa = ≤≤ b. Nếu hàm số )(xfy = luôn nghịch biến trên ];[ ba thì: )()( afxMaxf bxa = ≤≤ , )()( bfxfMin bxa = ≤≤ II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ. Sách giáo khoa trình bày vấn đề này còn khá đơn giản. Trong khi đó các kỳ thi chọn học sinh giỏi, các kỳ thi Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây xuất hiện dạng bài toán này tương đối phổ biến (câu V). Kỹ năng giải quyết dạng bài tập này của học sinh còn yếu. Từ đó tâm lý của học sinh “ngại” tiếp xúc và hầu như bỏ qua bài toán này. Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 4 Sáng kiến kinh nghiệm Vì thế thông qua học tập làm sao giúp các em rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, từ đó có kĩ năng giải quyết các vấn đề trong học tập, giúp học sinh có hứng thú học tập bộ môn. Việc làm này tôi nghĩ cần thiết và phù hợp với yêu cầu của giáo dục trong giai đoạn mới. Từ thực trạng trên để công việc đạt hiệu quả hơn, trong chuyên đề này tôi muốn trình bày các phương pháp giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một biểu thức. Chuyên đề không trình bày kiểu hệ thống từng phương pháp giải mà lồng vào từng bài, để từ đó các em đưa ra được kết luận cho mình phần tổng hợp các phương pháp, khi nào dùng phương pháp nào cho phù hợp. Tôi mong rằng chuyên đề: “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức”này sẽ đem lại cho các đồng nghiệp những điều gợi ý mới, những suy nghĩ mới và những cải tiến giảng dạy mới, nhằm góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục hiện nay. Việc đổi mới cách dạy và cách học chắc chắn sẽ mang lại nhiều hiệu quả mới của nghành giáo dục phổ thông, trong việc phát huy vai trò của mình đối với xã hội và đất nước. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN. Chuyên đề đã thực hiện trong các năm học từ 2010 đến 2013 tại các lớp 12A9, 12A7, 12A4. Sau khi thực hiện có kiểm tra, đối chứng. Từ đó tôi thấy học sinh đã bắt đầu học tập tốt và có hứng thú học tập đối với phần này. Vì thế chuyên đề đã đóng góp việc nâng cao hiệu quả học tập nói chung và kết quả các kỳ thi nói riêng. Trong mỗi phần của chuyên đề có trình bày cách giải độc đáo và có các bài toán giải bằng nhiều phương pháp khác nhau. Học sinh tự tổng hợp các phương pháp và đưa ra kết luận cho từng loại. Trong mỗi phần có các bài toán rèn luyện kỹ năng. Với cách trình bày như vậy, tôi tin rằng học sinh có thể nắm vững từng phương pháp. Từ đó các em có một phương pháp học tập và nghiên cứu không những phần này mà học tập các phần khác. 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức một biến. Căn cứ vào ý định đã nêu, trong mỗi bài toán hướng dẫn học sinh cách tìm tòi các lời giải khác nhau. Từ đó giúp các em có cách nhìn rộng, từ một bài toán cụ thể đến các vấn đề tổng quát hơn. Sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 1243)( 23 =+−= xxxxf với 51 ≤≤ x Giải: Cách 1: Có 2 giá trị biến của x cần quan tâm là 1 và 5. Từ 51 ≤≤ x Ta có: [ ] 5,1 0)5( 0)1( ∈∀    ≤− ≥− x x x Phân tích 1243)( 23 −+−= xxxxf thành 1)22)(1()( 2 −+−−= xxxxf 10−≥ nếu bằng ⇔ 1=x . Vây 10)( −=xMìnf khi 1=x . Ta có: 4848)142)(5()( 2 ≤++−−= xxxxf dấu bằng xảy ra 5 =⇔ x Vậy 48)( =xMaxf khi 5=x . Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 5 Sáng kiến kinh nghiệm Cách 2: Dùng đạo hàm Ta có: 463)(' 2 +−= xxxf . 0)(' =xf không xảy ra vì 0)(' >xf Rx ∈∀ Bảng biến thiên: x 1 5 )(' xf + )(xf 48 -10 Vây 10)( −=xMìnf khi 1=x và 48)( =xMaxf khi 5=x . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của += xxf )( 2 xx − với 0 1 ≤≤ x . Giải: Cách 1: Dùng biểu thức. Trước hết ta thấy trên miền 0 1 ≤≤ x hàm số += xxf )( 0 2 ≥− xx . Dấu bằng xảy ra 0=⇔ x .Vậy 0)( =xMìnf khi 0=x Mặt khác: =)(xf 2 2 1 2 1 xxx −−+ . Theo Bunhia ta có +≤−+−+= 2 1 1) 2 1 (1 2 1 )( 2 xxxxf ) 4 1 )(11( 22 xxxx −++−+ = 2 21 2 2 2 1 + =+ Dấu bằng xảy ra ⇔ 2 2 1 xxx −=− ⇔ 4 22 ) 2 1 ( 0 2 1 22 + =⇔        −=− ≥− x xxx x . Vậy 2 21 ) 4 22 ()( ]1;0[ + = + = fxfMax Cách 2: Dùng tam thức bậc 2. Đặt mxf =)( ta có 2 xxxm −+= ⇔ 2 xxxm −=− ⇔      =++− ≤ ⇔    −=− ≤ (*)0)12(2 )( 22 22 mxmx mx xxxm mx Giá trị hàm số )(xf đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thế thì ( *) có nghiệm thoả mãn 0 1 ≤≤ x . Và mx ≤ . Xét 22 8)12( mmx −+=∆ 144 2 ++−= mm ⇔≥∆ 0x 144 2 ++− mm 2 21 0 − ⇔≥ 2 21+ ≤≤ m ( **) Do ∈x [ ] 1,0 và mx ≤ nên ( **) ⇔ 2 21 0 + ≤≤ m Vây 0)( =xMìnf khi 0 = x và 2 21 )( + =xMaxf khi 2 22 + =x . Cách 3: Dùng đạo hàm. Với 2 )( xxxxf −+= với x ∈ [ ] 1;0 ta có += 1)(' xf 2 2 2 2 212 2 21 xx xxx xx x − −+− = − − Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 6 Sáng kiến kinh nghiệm 0)(' =xf ⇔ 4 22 10 122 2 + =⇔      << −=− x x xxx Do đó f(x) đạt cực trị tại 4 22 + =x 2 21 ) 4 22 () 4 22 ();1();0(max)( ]1;0[ + = + =       + = ffffxfMax . Vậy 2 21 )( ]1;0[ + =xfMax khi 4 22 + =x và 0)( ]1;0[ =xfMin khi 0 = x Cách 4: Phương pháp lượng giác hoá Do x ∈ [ ] 1;0 nên đặt α 2 sin=x với mọi α . )sin1(sinsinsinsinsin)()( 22422 ααααααα −+=−+== gxf = ααα cossinsin 2 + Xét π π απ kk +≤≤ 2 . Ta có ) 2 sin(.sin2)cos(sinsincossinsin)( 2 π ααααααααα +=+=+=g = 2 21 1 2 2 2 2 ) 4 2cos( 4 cos 2 2 + =       +≤       +− π α π Dấu bằng ⇔ ππ π α π α kCos +=+⇒−=+ 4 21) 4 2( ⇒ π π απ π α kk +=⇒+= 8 3 2 4 3 2 ( zk ∈ ) Xét ππαπ π kk +≤≤+ 2 tương tự ta cũng có. ) 4 sin(.sin2)cos(sinsincossinsin)( 2 π ααααααααα −=−=−=g = )) 4 2cos( 4 (cos 2 2 π α π −− . )( α Maxg xảy ra khi và chỉ khi 1) 4 2cos( =− π α )()( 2 10 α π π απ gMaxxfMax kk x +≤≤ ≤≤ = 2 21 ) 8 5 ( + =+= π π mg xảy ra khi 4 22 + =x Dễ thấy 0sinsinsin)( 422 ≥−+= αααα g Dấu bằng xảy ra πααα k=⇒=⇒=⇔ 0sin0sin 2 )( zk ∈ Vậy 0)inf( =xM khi 0 = x . Cách 5. Dùng phương pháp toạ độ. Giá trị m là một giá trị tuỳ ý của hàm số )(xf Điều đó có nghĩa là phương trình sau có nghiệm: xmxxmxxx −=−⇔=−+ 22 (*) Do đó 2 10 )( mxfMax x = ≤≤ và 1 10 )( mxfMin x = ≤≤ Ở đây 1 m và 2 m Tương ướng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tham số m Làm cho (*) có nghiệm. Dễ thấy 2 xxy −=    =−+ ≥ ⇔ 0 0 22 xxy y      =+− ≥ ⇔ 4 1 ) 2 1 ( 0 22 yx y ⇒ 2 xxy −= là nửa đường tròn nằm phía trên 0x tâm )0, 2 1 (0 1 và r 2 1 = Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 7 Sáng kiến kinh nghiệm Gọi đường thẳng xmy −= là ( ∆ ) Xét tương giao của đường tròn và đường thẳng ( ∆ ) xmy −= là do xy −= tịnh tiến lên xuống theo oy. Dựa vào hình vẽ ta thấy khi 0=m ⇒ khi đó 1 m = 0. Cho xy −= tịnh tiến lên trên và khi đó ( ∆ ) tiếp xúc với đường tròn tại M, cắt oy tại P( 0, 2 m ), cắt 0x tại N( 0; 2 m ). Ta cần tìm 2 m Ta có: OPOM = nên NOPMNO ∆∆ υ 1 1 1 1 MONM OP NO MO NM =⇒==⇒ . Theo định lý Pitago trong 1 NMO∆ ( góc ∧ NMO = 0 90 ) ta có: 2 2 22 22 1 2 1 2 1 ===+= RMOMONMNO Vậy 2 1 11 =+= NOOOON + 2 2 21 2 2 m= + = Vậy 00 =⇒= xm 4 22 2 21 + =⇒ + = xm Vậy 0)inf( =xM khi 0=x và 2 21 )( 10 + = ≤≤ xfMax x xảy ra khi 4 22 + =x . Ví dụ 3: Cho 1 2 )( − += x xxf với 1>x . Tìm )(xMìnf . Giải: Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 8 Sáng kiến kinh nghiệm Cách 1. Dùng bất đẳng thức Côsi Ta có: 1 1 2 1)( + − +−= x xxf . Theo Côsi ta có: 22 1 2 1 ≥ − +− x x dấu bằng xảy ra 21 1 2 1 ±=⇔ − =−⇔ x x x Do 1 > x nên chọn 21+=x . Vậy 221)( +=xMìnf đạt tại 21+=x . Cách 2: Dùng đạo hàm Ta có: 2 2 2 )1( 2)1( )1( 2 1)(' − −− = − −= x x x xf . 212)1(0)(' 2 ±=⇔=−⇔= xxxf . Ta có bảng biến thiên: x 1 21+ ∞+ )(' xf - 0 + )(xf ∞+ ∞+ 1+2 2 Vậy 221)( +=xMìnf đạt tại 21+=x . Ví dụ 4:Tìm GTLN của biểu thức: 1654)( 234 +−−−= xxxxxP với 31 ≤≤− x Giải: Đây là đa thức bậc bốn. Nếu dùng đạo hàm thì phương trình 0)(' =xP có nghiệm lẻ. Tất nhiên là có thể tính được, thế nhưng nó phức tạp. Ta thử suy nghĩ theo hướng khác để tránh sự nhầm lẫn trong tính toán. Ta sẽ áp dụng phương pháp sơ cấp để giải quyết bài toán. 1654)( 234 +−−−= xxxxxP 19)1)(3)(1( 2 +++−+= xxxx 01;03;01 2 >++≤−≥+ xxxx x∀ [ ] 3,1−∈ 19)( ≤xP x∀ [ ] 3,1−∈ dấu bằng đạt tại 1−=x ; 3=x . Vậy 19)( =xMaxP tại 1 −= x hoặc 3 = x . Bài tập rèn luyện: Bài 1. Cho 1023)( 235 +−+= xxxxf với ]7;2[∈x . Tìm )(xMaxf và )inf(xM . Bài 2. Cho xxA −+−= 41 với ]4;1[∈x . Tìm MaxA và MinA . Bài 3(Đề thi đại học khối B - 2003). Cho 2 4 xxA −+= với ]2;2[−∈x . Tìm MaxA và MinA . Bài 4(Đề thi đại học khối D - 2011). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 1 332 2 + ++ = x xx y trên ]2;0[ . Bài 5. Cho 2 143 xxA −+= với ]1;1[−∈x . Tìm MaxA và MinA . Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 326 )1(4 xxy −+= với ]1;1[−∈x Trong phần trên chúng ta đã hướng dẫn học sinh khai thác các cách giải khác nhau ở mỗi bài toán. Tuy vậy không phải mọi bài toán có thể giải theo nhiều Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 9 Sáng kiến kinh nghiệm cách. Tuỳ từng bài toán mà ta chọn cách giải ngắn nhất và phù hợp. Đó là ý định của đề tài. 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến. Ví dụ 1: Cho 1;;0 ≤≤ cba . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: )1()1()1(),,( accbbacbaf −+−+−= Giải: Hai điểm biên của c là 0, 1 nên ta chứng minh: )]1,,();,,([),,( bafobafMaxcbaf ≤ . Thật vậy ta có: )1()1()1()1(1)11()1(),,()1,,( accbbaabbacbafbaf −−−−−−−+−+−=− = )1).(1()1(1 bacbacba −−−=−−−−− . Tương tự ta xét: )1(),,()0,,( baccbafbaf −−−=− Nếu 01 ≥−− ba suy ra 0),,()1,,( ≥− cbafbaf ),,()1,,( cbafbaf ≥⇒ Nếu 01 ≤−− ba suy ra 0),,()0,,( ≥− cbafbaf ),,()0,,( cbafbaf ≥⇒ Do vậy )]0,,();1,,([),,( bafbafMaxcbaf ≤ Làm tương tự với biến b và a ta sẽ thu được kết quả )]1,1,1();1,0,1();1,1,0();1,0,0();0,1,1();0,0,1();0,1,0();0,0,0([),,( ffffffffMaxcbaf ≤ Suy ra 1),,( ≤cbaf . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số cba ,, có 2 số bằng 0 và một số bằng 1. Ví dụ 2: Cho 1,,0 ≤≤ cba . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: )()(2),,( 222333 accbbacbacbaf ++−++= Giải: Hai điểm biên của c là 0 và 1. Ta sẽ chứng minh: )]1,,();,,([),,( bafobafMaxcbaf ≤ Thật vậy ta có: )()(2)()1(2[),,()1 ( 2223332233 accbbacbaabbabacbafbaf +++++−++−++=− accbcab 2232 22 ++−−−= )1()1)(1()1)(1(2 22 cbccaccc −−+−−++−= )222)(1( 22 bacaccc −−−++−= )222)(1( 22 bacccac −−++−−= Tương tự ta có: )()(2)(2),,()0,,( 222333233 accbbacbababacbafbaf +++++−−+=− )2(2 22223 acbccaccbc −−−=++−= Nếu 02 22 ≥−− cabc thì 0),,()1,,( ≥− cbafbaf ),,()1,,( cbafbaf ≥⇒ Nếu 02 22 ≤−− cabc thì 0),,()0,,( ≥− cbafbaf ),,()0,,( cbafbaf ≥⇒ Do vậy )]0,,();1,,([),,( bafbafMaxcbaf ≤ Làm tương tự với biến b và a ta sẽ thu được kết quả )]1,1,1();1,0,1();1,1,0();1,0,0();0,1,1();0,0,1();0,1,0();0,0,0([),,( ffffffffMaxcbaf ≤ Suy ra 3),,( ≤cbaf . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số cba ,, có 2 số bằng 1 và một số bằng 0. Ví dụ 3: Cho edcba ,,,, thoả mãn điều kiện: 5,,,,2 ≤≤− edcba và 4 =++++ edcba . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22222 edcbaS ++++= Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc . 10 [...]... y + z = 2 013 Tìm GTLN của biểu thức: A = xyz Học sinh: Phạm Văn Long lớp 12 A4 làm được Kết quả em đạt giải nhì Từ kết quả kiểm tra tại lớp, phần làm bài của học sinh khi học bồi dưỡng ôn thi đại học, kết quả thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy việc đưa đề tài: Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” vào giảng... Giải: Cách 1: 1 1 1 1 ≤ ( + ) (1) Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b a+b 4 a b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≤ ( + ) ≤ [ + ( + )] = ( + + ) 2x + y + z 4 2x y + z 4 2x 4 y z 8 x 2 y 2z Chứng minh a, b > 0 thì Áp dụng Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc 15 Sáng kiến kinh nghiệm Tư ng tự 1 1 1 1 1 ≤ ( + + ) x + 2 y + z 8 y 2x 2z 1 1 1 1 1 ≤ ( + + ) x + y + 2z 8 z 2x 2 y 1 1 1 1 4 ⇒ A ≤ ( + + ) = 1 đạt tại x =... 4 x y z 3 1 1 1 1 1 1 1 = ≤ 4 Cách 2: Xét 2x + y + z x + x + y + z 4 x x y z 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ≤ ( + + + )= ( + + ) 4 4 x x y z 16 x y z 1 1 2 1 1 ⇒ ≤ ( + + ) Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z 2 x + y + z 16 x y z 1 1 1 2 1 Tư ng tự: x + 2 y + z ≤ 16 ( x + y + z ) Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z 1 1 1 1 2 ≤ ( + + ) Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z x + y + 2 z 16 x y z 1 1 1 1 4 ⇒ A ≤ ( + + ) = 1 đạt tại... các Giáo viên: Vũ Thị Nhì –Trường THPT Vĩnh Lộc 20 Sáng kiến kinh nghiệm em học sinh lớp 12 A9 Cụ thể: Điểm 0 1- 2 3 Lớp 12 A9 Năm học 2 011 -2 012 4 7 % 10 17 ,5% 12 A4 Năm học 2 012 -2 013 4 5 8 20% 5 8 % 12 ,5 20% 2 5% 3 7,5% 6 7 3 7,5% 3 2 % 7,5 5% 3 6 % 7,5 15 % 8 20% 8 9 10 5 7 6 % % % 15 12 ,5 17 ,5 2.Kết quả thi học sinh giỏi: +) Năm học 2 011 – 2 012 : Đề thi học sinh giỏi tỉnh của Sở GD-ĐT Thanh Hoá - môn Toán. .. học sinh khi giáo viên không sử dụng và sử dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm nghiệm như sau: 1 Kết quả kiểm tra tại lớp: Tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết ( thời gian 45 phút ) cho 2 lớp 12 A4 và 12 A9 (Lớp 12 A9 năm học 2 011 -2 012 và lớp 12 A4 năm học 2 012 -2 013 ) Đề bài: Bài 1( 4đ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f ( x) = x + 4 − x 2 với − 2 ≤ x ≤ 2 2( x 2 + 6 xy ) 1 + 2 xy + 2 y 2 Bài 3(3đ) Cho x, y, z... số của x 2 bằng 0) Giả thiết bài toán có thể thay đổi khi mối liên hệ là biểu thức bậc hai Bài tập tự luyện Bài 1: Cho a, b, c, d , e thoả mãn điều kiện: − 2 ≤ a, b, c, d , e ≤ 2 và a + b + c + d + e = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 Bài 2: Cho a, b, c, d , e thoả mãn điều kiện: − 1 ≤ a, b, c, d , e ≤ 3 và a + b + c + d + e = 5 Tìm giá trị lớn. .. thiên: t 1 9 0 Q ' (t ) - Q (t ) 82 1 9 Q (t ) ≥ Q ( ) = 82 Vậy A ≥ 82 1 1 1 2 2 Cách 2: Ta có : ( x + y + z ) + ( x + y + z ) = 81 1 1 1 ( x + y + z ) 2 + ( + + ) 2 − 80( x + y + z ) 2 x y z 1 1 1 ≥ 18 ( x + y + z )( + + ) − 80( x + y + z ) 2 ≥ 16 − 80 x y z 1 Vậy A ≥ 82 dấu bằng ⇔ x = y = z = 3 Ví dụ 12 ( Đề thi đại học khối B - 2007) Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất x 1 y 1 z 1 của biểu thức:... Thanh Hoá - môn Toán : 3 2 1 1 1 Cho các số thực x, y, z thoả mãn x > ; y > ; z > 1 và 3x + 2 + 2 y + 1 + z ≥ 2 3 2 Tìm GTLN của biểu thức: A = (3x − 1) (2 y − 1) ( z − 1) Học sinh: Trịnh Thị Hoà lớp 12 A9 không làm được, để lại Kết quả em đạt giải khuyến khích +) Năm học 2 012 – 2 013 : Đề thi học sinh giỏi tỉnh của Sở GD-ĐT Thanh Hoá - môn Toán Casio:  x ≥ 3; y ≥ 2; z ≥ 19 30 Cho các số thực x, y, z thoả... 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1 Tìm GTLN của biểu thức: P = x 5 + y 5 + z 5 Bài 12 ( Đề thi đại học khối D - 2 012 ): Cho x, y thoả mãn ( x − 4) 2 + ( y − 4) 2 + 2 xy ≤ 32 Tìm GTNN của biểu thức: A = x 3 + y 3 + 3( xy − 1) ( x + y − 2) IV KIỂM NGHIỆM Để thấy rõ vai trò, ý nghĩa và sự tác động khác nhau lên quá trình lĩnh hội kiến thức, sự phát triển năng lực tư duy sáng tạo, hình thành kĩ năng của học sinh. .. z 3 1 1 1 Cách 3: A ≤ 2 2 x( y + z ) + 2 2 y ( x + z ) + 2 2 z ( x + y ) 1 1 1 1 1 1 1 = [ + + ] 2 2x y + z 2y x + z 2z x + y Dùng Bunhiacốpxki và thay biểu thức ban đầu cho kết quả  x − my = 2 − 4m với m là số mx + y = 3m + 1 Ví dụ 9: Gọi ( x; y ) là nghiệm của hệ phương trình  thực Tìm giá trị lớn nhất của A = x 2 + y 2 − 2 x khi m thay đổi Giải: 2 2 Cách 1: A = ( x − 1) + y − 1 ( x − 1) − . đưa ra lời giải thích hợp. Đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Hơn nữa, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức thường. nào cho phù hợp. Tôi mong rằng chuyên đề: Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức này sẽ đem lại cho. xét giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 2 II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 2 III.GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 3 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức một biến 3 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất