Phòng giáo dục đào tạo bỉm sơn Trờng thcs ba đình Hớng dẫn học sinh lớp làm số dạng toán phơng trình bậc hai ẩn Tác giả : Trần Thị Hà Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : Trờng THCS Ba Đình - Bỉm Sơn Môn: Toán Năm học: 2011 2012 SNG KIN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP LÀM MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A – ĐẶT VẤN ĐỀ I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình bậc hai ẩn số phần kiến thức quan trọng chương trình đại số lớp 9, tiếp tục củng cố lớp bậc Phổ thông trung học Trong sách giáo khoa đại số lớp 9, mảng kiến thức phương trình bậc hai ẩn bao gồm: Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = (a ≠ 0); Công thức nghiệm; Định lý Vi ét thuận đảo; Tính chất đặc điểm nghiệm (nếu có); phương trình qui bậc hai; Giải tốn cách lập phương trình bậc hai Vị trí phương trình bậc hai quan trọng vậy, đặc biệt định lý Vi ét có nhiều ứng dụng rộng rãi, kỳ thi tốt nghiệp Trung học sở kỳ thi chuyển cấp toán phương trình bậc hai ẩn chiếm vị trí khơng nhỏ, chủ đề phương trình bậc hai nói “người bạn đồng hành” Nhưng qua thực tế giảng dạy Tôi thấy học sinh biết cách giải phương trình bậc hai, sử dụng định lý Vi ét để nhẩm nghiệm, giải toán cách lập phương trình bậc hai, cịn tốn địi hỏi phải có linh hoạt sáng tạo vận dụng kiến thức nhiều em cịn lúng túng khơng biết đường lối giải Để giúp học sinh có kiến thức tương đối sâu sắc phương trình bậc hai, có kỹ thành thạo giải dạng tốn có liên quan, Tơi quan tâm nghiên cứu lựu chọn thực đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp giải số toán phương trình bậc hai ẩn” II – THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1/ Thực trạng: *Thực trạng chung: Dạng tốn phương trình bậc hai ẩn nằm rải rác toàn chương IV đại số 9, Sau thời gian học sinh thường quên học phần trước Dạng tốn khơng phải dạng khó xong để làm tốt học sinh cần phải chăm chỉ, nắm lý thuyết, luyện tập thường xuyên *Thực trạng giáo viên: Do thời gian chương trình nên để HS hiểu sâu GV phải tự tổng hợp kiến thức để dạy lồng ghép vào buổi học *Thực trạng học sinh: - Nhìn chung em làm tập học mà chưa biết cách hệ thống dạng tập để luyện tập, củng cố kiến thức - Một số học sinh chưa chịu khó tìm tịi tập địi hỏi tính sáng tạo, tốn liên quan đến chương trình học 2/.Khảo sát thực tế: Qua đợt kiểm tra HS chưa học đề tài số tốn phương trình bậc hai ẩn hai lớp 9A; 9D trường trung học sở Ba Đình thu kết sau: Lớp Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu 9A 6,8% 11,2% 42,5% 39,5% 9D 5,7% 9,3% 38,6% 46,4% Từ thực tế trên, để giúp em có kết học tập tốt hơn, năm học thực đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp làm số dạng tốn phương trình bậc hai ẩn” B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Đối tượng thực hiện: + Đối tượng giúp nghiên cứu áp dụng đề tài lớp 9A; 9D trường trung học sở Ba Đình- Bỉm Sơn – Thanh Hố + Thời gian thực : Trong năm học 2011- 2012 Phương pháp thực hiện: - Đề tài thực thơng qua chương trình dạy học lớp lồng ghép vào buổi học tự chọn, buổi học bồi dưỡng - Các vấn đề nâng cao phát triển đề tài lựa chọn, diễn đạt cách đơn giản, dễ hiểu để học sinh lớp tiếp thu - Tham khảo tài liệu liên quan đến chương trình đại số đặc biệt tham khảo ý kiến đóng góp đồng nghiệp tổ tốn trường II – TỔ CHỨC THỰC HIỆN: Giáo viên học sinh hệ thống kiến thức câu hỏi gợi mở, đưa tập, định hướng cách làm sau giao tập tương tự, có kiểm tra ,đánh giá, cho điểm.GV cho HS chốt lại vấn đề sau phần học HỆ THỐNG LÝ THUYẾT 1.1 Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax + bx + c = x ẩn số; a, b, c hệ số cho, a ≠ Nếu x = t nghiệm phương trình ta ln có at + bt + c = 1.2 Giải phương trình a) Phương trình bậc hai khuyết b c ( b =0; c = ) ax2 = : Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b) Phương trình bậc hai khuyết b ( b = ) ax2 + c = ⇔ x2 = c a + Nếu a c dấu hay + Nếu a c trái dấu hay x1 = - −c a ; −c a c a > : Phương trình vơ nghiệm < : Phương trình có nghiệm x2 = −c a c) Phương trình bậc hai khuyết c ( c = 0): ax2 + bx = ⇔ x(ax + b) = : −b a Phương trình có nghiệm : x = x1 = ; x = x2 = d) Phương trình bậc hai đủ: ax2 + bx + c = ( 1) (a, b, c ≠ 0) Công thức nghiệm tổng quát ∆ = b2 – 4ac < : (1) Vô nghiệm = 0: (1)Có nghiệm kép x1 = x2 = ∆ ∆ −b 2a ∆ > : (1) Có nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ 2a ; x2 = −b− ∆ 2a Công thức nghiệm thu gọn ∆ ′ = b’ – ac < : (1) Vơ nghiệm = : (1) Có nghiệm kép x1 = x2 = ∆′ ∆′ −b′ a ∆′ > : (1) Có nghiệm phân biệt: x1 = −b′ + ∆′ a ; x2 = − b′ − ∆ ′ a 1.3 Định lý Vi ét a) Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x ; x2 tổng tích hai nghiệm là: S = x + x2 = −b a ; P = x1 x2 = c a b) Định lý đảo: Nếu có hai số x1 ; x2 mà x1 + x2 = S ; x1 x2 = P S2 - 4P ≥ hai số nghiệm phương trình X - SX +P=0 Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = có nghiệm x ; x2 ta phân tích: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = với x1 = −b+ ∆ 2a ; x2 = −b− ∆ 2a HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 2.1 Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt a ≠  ∆ > * Bài toán: Cho phương trình mx2 - 2(m - 1)x + m + = (1) a) Giải phương trình với m = -2 b) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Định hướng giải: Học sinh thường mắc sai lầm cho phương trình (1) có nghiệm phân biệt cần ∆ ′ > Chỉ xét ∆ ′ phương trình bậc hai, tức m ≠ Rõ ràng m = phương trình (1) phương trình bậc ẩn khơng thể có hai nghiệm phân biệt toán giải sau: a) m = ta có 2x2 - 6x + = ∆ ′ = (-3)2 - 1.2 = - = Phương trình có nghiệm: x1 = 3+ ; x2 = 3− b) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt là: a ≠  ∆ ′ > m ≠ m ≠  ⇒  ⇒  (m 1) - m(m + 1) > m <  ⇒ ≠m < * Bài tốn vận dụng: Cho phương trình ẩn x : x2 - 2(m - 1)x + m2 = Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt 2.2 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép a ≠  ∆ = * Bài tốn: Cho phương trình (a + 1)x2 - a3x + a2(a - 1) = Tìm a để phương trình có nghiệm kép Định hướng: GV: Để phương trình cho có nghiệp kép phải có điều ? HS: Đáp số a + ≠  ∆ = a - 4(a + 1).a (a - 1) = a = a = - a = * Bài tốn vận dụng: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm kép: a) x2 - 18x + m = c) mx2 - 12x + = b) x2 + mx + = d) m2x2 - mx - = 2.3 Điều kiện để phương trình bậc hai vơ nghiệm Xét a ≠ ; ∆ < a = 0; b = 0; c ≠ Bài tốn: Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm: mx2 + 2m2x + = (1) Định hướng giải: Xét m = ; Phương trình (1) có dạng 0x + = : Vô nghiệm Xét m ≠ ; Phương trình (1) phương trình bậc hai, Vơ nghiệm ∆ ′ < ⇔ m(m - 1)(m2 + m + 1) < ⇔ m(m - 1) < (do m + m + > 0) ⇔ 0 ; P > ∆ >0 ; P>0 ; S>0 c) Có nghiệm dương phân biệt: ∆ >0 ; P>0 ; S 0) * Bài tốn: Khơng giải phương trình, xét dấu nghiệm phương trình sau: 13 a) 7x2 - 13x + = b) 4x2 + x - = c) 9x2 - 12x + = Hướng dẫn giải: a) = 113 > ; P = ∆ >0; S = 13 >0 ⇒ Phương trình có nghiệm dương phân biệt b) P < ; S < ⇒ Phương trình có nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương c) ∆ =0 ; S= 12 >0 ⇒ Phương trình có nghiệm kép dương * Bài toán áp dụng: Cho PT: x2 – 2(m – 1)x + m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b)Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có nghiệm dương 3.3 Xác định hệ số phương trình theo điều kiện dấu nghiệm: Bài tốn: Cho phương trình x2 - 3x + k - = 0, Xác định k để phương trình: a) Có nghiệm phân biệt dấu b) Có nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải: a) Để phương trình có nghiệm phân biệt dấu thì: ∆ = 10 − k > ⇔  P = k − > P 0 ⇒ ⇒ Phương trình phải lập là: x2 - 4x + =0 17 * Nghiệm α , β ; S = α + β ; P = α β ⇒ x2 - Sx + P = (x - α )(x β)=0 * Bài toán áp dụng: Bài 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm bằng: a) ; b) + - Bài 2: Cho phương trình x2 - 2kx + = có nghiệm x 1; x2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 gấp lần nghiệm phương trình Hướng dẫn giải: x1 + x2 = 2k ; x1 x2 = y1 + y = 3( x1 + x ) = 6k   ⇒ y1 y = x1 x =  Phương trình phải lập là: y2 - 6ky + = 3.8 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn (nếu có) hệ thức nghiệm: * Bài tốn: Cho phương trình x2 - mx +m - = a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm b) Tìm giá trị nhỏ P = x12 + x22 - 6x1x2 Hướng dẫn giải: a) a = ≠ ∆ = (m - 2)2 ≥ ; ∀m ∈ R nên phương trình ln có nghiệm b) x1 + x2 = m , x1 x2 = m - P = x12 + x22 - 6x1x2 = (x1 + x2)2 - 8x1x2 = m2 - 8(m - 1) =(m 4)2 - ≥ -8 Vậy P = - ⇔ m = * Bài tốn vận dụng: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 b) Tìm m để P = x12 + x22 + 10x1x2 đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: a) a = ≠ ∆ ′ = (m + 1)2 - (2m + 10) = m2 - ≥ ⇔ m ≥ b) x1 + x2 = 2m + ; x1 x2 = 2m + 10 P = x12 + x22 + 10x1x2 = (x1 + x2)2 + 8x1x2 = (2m + 2)2 + 8(2m +10) = 18 = 4(m2 + 6m + 9) + 48 = 4(m + 3)2 + 48 P = 48 ⇔ m = - ≥ 48 3.9 Tìm hai số biết tổng S tích P chúng: Hai số phải tìm nghiệm phương trình bậc hai x - Sx + P = với điều kiện S - 4P ≥ S - 4P ≥ ⇒ S Nếu x ≥ , y ≥ 2 ≥ 4P S ⇒   ≥ P   2 x+ y ≥ xy Nếu P ≥ S ≥ P * Bài tốn: Tìm hai số x , y trường hợp sau: a) x + y = 11 ; xy = 28 b) x - y = ; xy = 66 Hướng dẫn giải: a) x + y = 11 , xy = 28 Thì x, y nghiệm phương trình X - SX + P = ⇔ X - 11X + 28 = (Định lý Vi ét) Ta có S = X1 + X2 = + = 11 X1 X2 = 7.4 = 28 ⇒ X1 = , X2 = x =  y = Vậy b) Hoặc x − y =   xy = 66 x =  y = (1) Đặt - y = y’ (1) ⇔ '  x + y =   x(− y ' ) = 66  '  x + y = ⇔ '  xy = −66  Theo định lý Vi ét ta có: x, y’ nghiệm phương trình X - 5X - 66 = ⇒ x, y’ nghiệm phương trình ⇒ (X1 = 11 , Y1 = - 6) (X1 = - , Y1 = 11) ⇒ (x = 11 , y = 6) (x = - , y = - 11) * Bài tốn vận dụng: Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 32; uv = 231 ; b) u – v = ; uv = 24 ; c) u + v = -42; uv = - 400 19 3.10 So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước: a) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm khơng âm: Cách 1: Xét P = c a ≠ , - Có P < (một nghiệm âm, nghiệm dương) - Có P = (một nghiệm 0) - Có P > , ∆ ≥ , S > (hai nghiệm dương) Cách 2: Xét S = - b a , - Có S > (có nghiệm dương) - Hoặc S = (có nghiệm không âm) - Hoặc S < , P ≤ (có nghiệm khơng âm, nghiệm âm) * Bài tốn: Tìm m để phương trình (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = (1) có nghiệm x ≥ Xét m = - (1) ⇔ -2x =2 ⇔ x = - (loại) Xét m ≠ -1 , (1) phương trình bậc hai ∆ ′ = - m2 ≥ ⇔ m ≤ 2 m +1 ⇒ (1) S = x + x2 = Nếu m > -1 S > có hai trường hợp có nghiệm dương Nếu m < -1 S > Khi đó: P = x1.x2 = nghiệm âm Vậy giá trị m phải tìm m ≤   m > −1  ⇔ m −1 m +1 >0 -1 ta có -1   x1 − > x − >  Đáp số: < m < 49 Cách 2: Đặt x – = y, phương trình trở thành: 3(y + 2)2 - 14(y + 2) + 2m = ⇔ 3y2 - 2y + 2m - 16 = Cần tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt ∆ ′ >  P > S >  Ta phải có: ⇔ 8< m < 49 c) Xét số nghiệm phương trình cách so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số: * Bài tốn: Tìm m để phương trình: x - − x = m (1) có nghiệm Hướng dẫn giải: (1) ⇔ x-m= x2 −1 x ≥ m ⇔  2 ( x − m) = x − (2) (1) ⇔ 2x2 - 2mx + m2 - = (1) có nghiệm có nghiệm (2) thoả mãn x ≥ m.Đặt x-m=y (2) ⇔ 2y2 + 2my + m2 - = (3) Tìm m để (3) có nghiệm thoả mãn y ≥ ; có trường hợp: - Nếu (3) có nghiệm kép khơng âm ∆ ′ =  S ≥ ⇔ m=- - Nếu (3) có nghiệm trái dấu P < ⇔ - < m < - Nếu (3) có nghiệm ; nghiệm lại âm P = , S < m=1 ⇔ 21 Vậy m = - - < m ≤ * Bài tốn áp dụng: Tìm m để phương trình x(x + 2)(x + 4)(x – 2) = m (1) có nghiệm phân biệt Đáp án để GV đối chiếu với làm học sinh: (1) ⇔ (x2 + 2x)(x2 + 2x – 8) = m Đặt x2 + 2x + = y Ta có: (y - 1)(y - 9) = m ⇔ y2 - 10y + - m = (2) (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm dương phân biệt ⇔ ∆ ′ >  P > S >  ⇔ m + 16 >  9 − m > 10 >  ⇔ -16 < m < * Kết kiểm nghiệm (Qua kiểm tra 30 phút) sau học phần lớp 9D (34 HS) sau: + Số học sinh làm tốt: 30 em + Số HS làm xong cịn trình bày chưa gãy gọn: em + Số HS không làm được: * Với HS làm tốt, hai lớp 9A,D Tôi cho em làm thêm toán nâng cao dạng này, với em làm xong trình bày cịn chưa tốt tơi nhắc nhở, phân tích lỗi sai để em rút kinh nghiệm làm tốt C - KẾT LUẬN Sau thời gian thực đề tài“Hướng dẫn học sinh lớp làm số dạng toán phương trình bậc hai ẩn” tiến lịng say mê học toán em học sinh thể rõ, kết đạt sau: VỀ MẶT KIẾN THỨC: Nhìn chung em học sinh biết làm tốn phương trình bậc hai ẩn, biết vận dụng linh hoạt kiến thức phương trình bậc hai học Chương IV - Sách giáo khoa đại số lớp để làm số tốn có liên quan 22 Lớp 9A lớp học nên em tiếp thu nhanh, số em mở rộng để có tập phong phú Riêng lớp 9D lớp học mức trung bình so với tồn khối em thích thú học, 100% em biết cách làm Qua việc giải số dạng toán em củng cố kiến thức phương trình bậc hai cách bản, sâu sắc, đặc biệt nắm vững ứng dụng định lý Vi ét để vận dụng thành thạo làm tập, yêu cầu quan trọng em học phân môn đại số 9, sở để em ôn tập tốt cho kỳ thi vào phổ thông trung học tới VỀ THÁI ĐỘ: Rèn cho học sinh tính cẩn thận, kiên trì, trình bày khoa học, có lập luận chặt chẽ Biết nhìn nhận vấn đề cách linh hoạt, sáng tạo.Vận dụng toán học vào thực tế môn khoa học khác VỀ CHẤT LƯỢNG: Qua kiểm tra hai lớp 9A, 9D trường THCS Ba Đình sau học đề tài sau:( Kết kiểm tra 60 phút) Lớp 9A: Điểm Điểm giỏi Điểm TB Điểm yếu 23 Trước áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài 6,8% 11,2% 42,5% 39,5% 47,5% 31,5% 21% 0% Lớp 9D: Điểm giỏi Trước áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài Điểm Điểm TB Điểm yếu 5,7% 9,3% 38,6% 46,4% 45,6% 32,6% 21,8% 0% Với khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, tơi trình bày số ví dụ mẫu điển hình, cố gắng lựa chọn xếp từ dễ đến khó để học sinh tiếp thu cách nhẹ nhàng, gây động hứng thú học tập bước đầu có số thành công định Song việc phân dạng tương đối, nhiều tập hay khó mà viết chưa đề cập đến (để phù hợp với tiếp thu đa số học sinh lớp 9), điều quan trọng mà thân nhận thấy nghiên cứu khoa học, việc tích luỹ kinh nghiệm trình giảng dạy việc làm cần thiết giáo viên Trong trình thực đề tài cố gắng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến Thầy giáo để đề tài hồn chỉnh hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Xin trân trọng cảm ơn ! 24 Ba Đình, ngày 10 tháng năm 2012 NGƯỜI VIẾT (Đã ký) Trần Thị Hà 25 ... tài? ?Hướng dẫn học sinh lớp làm số dạng toán phương trình bậc hai ẩn? ?? tiến lịng say mê học tốn em học sinh thể rõ, kết đạt sau: VỀ MẶT KIẾN THỨC: Nhìn chung em học sinh biết làm toán phương trình. .. KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP LÀM MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A – ĐẶT VẤN ĐỀ I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình bậc hai ẩn số phần kiến thức... chương trình đại số lớp 9, tiếp tục củng cố lớp bậc Phổ thông trung học Trong sách giáo khoa đại số lớp 9, mảng kiến thức phương trình bậc hai ẩn bao gồm: Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn ax2